E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$. Alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $15\sqrt{2}$
b. $15\sqrt{3}$
c. $\dfrac{15}{2}$
d. $15$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}\\
&=5\times 6\times \cos \dfrac{\pi}{4} \\
&=30\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=15\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse a
$\quad$

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$\quad$

Question 2

$ABCD$ est un carré de centre $O$ tel que $AB=1$. Alors $\vect{AB}.\vect{OD}$ est égal à :

a. $1$
b. $0$
c. $-0,5$
d. $-1$

Correction Question 2

Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD}\right)$ on a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $D(0;1)$ et $O(0,5;0,5)$
Ainsi $\vect{AB}(1;0)$ et $\vect{OD}(-0,5;0,5)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{OD}&=1\times (-0,5)+0\times 0,5\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse c

Remarque : On pouvait aussi calculer la longueur $OD$ et déterminer la mesure de l’angle $\left(\vect{AB},\vect{OD}\right)$ et calculer le produit scalaire comme à la question précédente ou encore utiliser les projetés orthogonaux des points $O$ et $D$ sur la droite $(AB)$

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux tels que $\norme{\vec{u}}=2$ et $\norme{\vec{v}}=1$.
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(2\vec{u}-\vec{v}\right)$ est égal à :

a. $6$
b. $9$
c. $13$
d. $7$

Correction Question 3

$\begin{align*} \left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(2\vec{u}-\vec{v}\right)&=2\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vec{v}+2\vec{v}.\vec{u}-\vec{v}.\vec{v} \\
&=2\norme{\vec{u}}^2-0+0-\norme{v}^2 \\
&=8-1\\
&=7\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

On se place dans un repère orthonormé du plan.
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative notée $C$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
La droite $D$ est tangente à la courbe $C$ au point $A(5; 0)$.

Question 4

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. Alors $f'(5)$ est égal à :

a. $3$
b. $-3$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $-\dfrac{1}{3}$

Correction Question 4

$f'(5)$ est le coefficient directeur de la droite $D$.
Cette droite passe par le point $A(5;0)$ et $B(2;1)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(5)&=\dfrac{1-0}{2-5} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;0[$ on a :

a. $f'(x)\pp 0$
b. $f'(x)\pg 0$
c. $f(x)\pg 0$
d. $f(x)\pp 0$

Correction Question 5

La fonction $f$ change de sens de variation sur l’intervalle $]-\infty;0]$. Par conséquent $f'(x)$ change de signe sur cet intervalle. Cela exclut les réponses a. et b. .
Sur l’intervalle $]-\infty;0]$ la courbe $C$ est au-dessus de l’axe des abscisses. Donc $f(x)\pg 0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise pharmaceutique fabrique un soin antipelliculaire. Elle peut produire entre $200$ et $2~000$ litres de produit par semaine. Le résultat, en dizaines de milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de litres est donné par la fonction $R$ définie par :

$\hspace{3cm}R(x)=(5x-30)\e^{-0,25x}$ pour tout réel $x \in[2;20]$

Calculer le résultat réalisé par la fabrication et la vente de $7$ centaines de litres de produit. On l’arrondira à l’euro près.
$\quad$
Vérifier que pour la fabrication et la vente de $400$ litres de produit, l’entreprise réalise un résultat négatif (appelé déficit).
$\quad$
Résoudre l’inéquation $R(x) \pg 0$, d’inconnue $x$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On note $R’$ la dérivée de la fonction $R$.
Un logiciel de calcul formel donne : $R'(x) = (-1,25𝑥+12,5)\e^{-0,25x}$.
En déduire la quantité de produit que l’entreprise doit produire et vendre pour réaliser le résultat maximal.

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} R(7)&=(5\times 7-30)\e^{-0,25\times 7} \\
&=5\e^{-1,75} \\
&\approx 0,868~9\end{align*}$
Le résultat pour la production et la vente de $7$ centaines de litres est environ égal à $8~689$ euros.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} R(4)&=(5\times 4-30)\e^{-0,25\times 4} \\
&=-10\e^{-1} \\
&<0\end{align*}$
L’entreprise réalise un résultat négatif quand elle fabrique et vend $400$ litres de produit.
$\quad$
$R(x)\pg 0 \ssi (5x-30)\e^{-0,25x} \pg 0$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Donc :
$\begin{align*} R(x)\pg 0&\ssi 5x-30 \pg 0\\
&\ssi 5x\pg 30 \\
&\ssi x\pg 6\end{align*}$
L’entreprise réalise un résultat positif si elle fabrique et elle vend au moins $600$ litres de produit.
$\quad$
On étudie le signe de $R'(x)$
$R'(x)\pg 0 \ssi (-1,25x+12,5)\e^{-0,25x} \pg 0$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Donc
$\begin{align*} R'(x)> 0 &\ssi -1,25x+12,5> 0 \\
&\ssi -1,25x > -12,5 \\
&\ssi x < 10\end{align*}$
Par conséquent $R$ est strictement croissante sur l’intervalle $[2;10]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[10;20]$.
La fonction $R$ atteint donc son maximum en $x=10$.
L’entreprise doit donc produire et vendre $1~000$ litres de produit pour réaliser le résultat maximal.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Lors du lancement d’un hebdomadaire, $1~200$ exemplaires ont été vendus.
Une étude de marché prévoit une progression des ventes de $2 \%$ chaque semaine.
On modélise le nombre d’hebdomadaires vendus par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus durant la $n$-ième semaine après le début de l’opération.

On a donc $u_0 = 1~200$.

Calculer le nombre $u_2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Écrire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Voici un programme rédigé en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite( ):}\\
\quad \text{u = 1200}\\
\quad \text{S = 1200}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while S < 30000 :} \hspace{2cm}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\qquad \text{u = u * 1.02}\\
\qquad \text{S = S + u}\\
\quad \text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Le programme retourne la valeur $20$.
Attention : il y a des coquilles dans le sujet original pour cette question. Elles ont été corrigées ici.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer le nombre total d’hebdomadaires vendus au bout d’un an.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
&=1,02u_0\\
&=1~224\end{align*}$
Et :
$\begin{align*} u_2&=1,02u_n \\
&=1~248,48\end{align*}$
Cela signifie donc que la deuxième semaine après le début de l’opération environ $1~248$ journaux seront vendus.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,02u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=1~200$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~200\times 1,02^n$.
$\quad$
Cela signifie qu’il faut $20$ semaines pour que le nombre cumulé de journaux vendus dépasse $30~000$ exemplaires.
$\quad$
Au bout d’un an, soit $52$ semaines, le nombre total d’hebdomadaires vendus est :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots +u_{52}\\
&=1~200\times \dfrac{1-1,02^{53}}{1-1,02} \\
&\approx 111~380\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une agence de voyage propose deux formules week-end pour se rendre à Londres au départ de Nantes. Les clients choisissent leur moyen de transport : train ou avion.

De plus, s’ils le souhaitent, ils peuvent compléter leur formule par l’option « visites guidées ».

Une étude a produit les données suivantes :

$40 \%$ des clients optent pour l’avion ;
parmi les clients ayant choisi le train, $50 \%$ choisissent aussi l’option « visites guidées » ;
$12 \%$ des clients ont choisi à la fois l’avion et l’option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « le client a choisi l’avion » ;
$V$ : « le client a choisi l’option « visites guidées ».

Déterminer $P_A(V)$.
$\quad$
Démontrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites guidées » est égale à $0,42$.
$\quad$
Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées ». Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
On interroge au hasard deux clients de manière aléatoire et indépendante.
Quelle est la probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « visites guidées » ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(A)=0,4$ et $P(A\cap V)=0,12$
Donc :
$\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(A\cap V)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,12}{0,4} \\
&= 0,3\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(V)&=P(A\cap V)+P\left(\conj{A}\cap V\right) \\
&=0,12+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(V)\\
&=0,12+0,6\times 0,5 \\
&=0,42\end{align*}$
La probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites guidées » est égale à $0,42$.
$\quad$
On veut donc calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{V}}(A)&=\dfrac{P\left(\conj{V}\cap A\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
&=\dfrac{0,4\times (1-0,3)}{1-0,42}\\
&=\dfrac{0,4\times 0,7}{0,58}\\
&\approx 0,48\end{align*}$
La probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées » est environ égale à $0,48$.
$\quad$
On a donc l’arbre pondéré suivant :

On veut donc calculer :
$\begin{align*} P\left(\conj{V}\cap \conj{V}\right)&=0,58\times 0,58 \\
&=0,336~4\end{align*}$
La probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « visites guidées » est égale à $0,336~4$.
$\quad$

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$\quad$

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