E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $\e^{-2x}>0$ d’inconnue $x$ a pour ensemble de solutions :

a. $\R$
b. $]0;+\infty[$
c. $]-\infty;0[$
d. $\emptyset$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Pour tout réel $x$, $\left(\e^x-1\right)^2$ est égal à :

a. $\e^{2x}-1$
b. $\e^{2x}+1$
c. $\e^{2x}-2\e^x+1$
d. $\e^{\left(x^2\right)}-1$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \left(\e^x-1\right)^2&=\left(\e^x\right)^2-2\times 1 \times \e^x +1^2\\
&=\e^{2x}-2\e^x+1\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{5x-1}$. Pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :

a. $\e^{5x-1}$
b. $5\e^{5x}$
c. $5\e^{5x-1}$
d. $5x\e^{5x-1}$

$\quad$

Correction Question 3

$f(x)$ est de la forme $e^{ax+b}$.
$f$ est donc dérivable sur $\R$ et $f'(x)=a\e^{ax+b}$
Or $a=5$ et $b=-1$.
Par conséquent $f'(x)=5\e^{5x-1}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la droite passant par $A(4;7)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$ a pour équation

a. $3x+y-19=0$
b. $3x+y+19=0$
c. $-x+3y+17=0$
d. $-x+3y-17=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation cartésienne de la droite est de la forme $-x+3y+c=0$
Le point $A(4;7)$ appartient à la droite.
Donc $-4+3\times 7+c=0 \ssi c=-17$
Une équation cartésienne de la droite est $-x+3y-17=0$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère l’équation de cercle $x^2-4x+(y+3)^2=3$. Son centre a pour coordonnées :

a. $(-2;-3)$
b. $(2;-3)$
c. $(-4;3)$
d. $(4;-3)$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-4x+(y+3)^2=3 \\
\ssi~&x^2-4x+4-4+(y+3)^2=3 \\
\ssi~&(x-2)^2+(y+3)^2=7 \\
\ssi~&(x-2)^2+\left(y-(-3)\right)^2=7\end{align*}$
Le centre du cercle a pour coordonnées $(2;-3)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses clients qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $40 \%$ des clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $30 \%$ des clients demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $24 \%$ des clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On interroge un client au hasard.

On notera $C$ l’évènement « Le client souhaite une “couleur-soin.” ».
On notera $E$ l’évènement « Le client souhaite un “effet coup de soleil.” ».

  1. Donner les valeurs de $P(C)$, $P( C \cap E)$ et $P_{\conj{C}}(E)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’évènement $E$ est égale à $0,42$.
    $\quad$
  4. Les évènements $C$ et $E$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après l’énoncé :
    $P(C)=0,4$
    $P(C\cap E)=0,24$
    $P_{\conj{C}}(E)=0,3$
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\right)&=1-P(C)\\
    &=0,6\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P_{\conj{C}}\left(\conj{E}\right)&=1-P_{\conj{C}}(E) \\
    &=0,7\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right)&=P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}\left(\conj{E}\right) \\
    &=0,6\times 0,7 \\
    &=0,42\end{align*}$
    La probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un «effet coup de soleil » est égale à $0,42$.
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(C\cap E)+P\left(\conj{C}\cap E\right) \\
    &=0,24+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(E) \\
    &=0,24+0,6\times 0,3 \\
    &=0,42\end{align*}$
    La probabilité de l’évènement $E$ est égale à 0,42.
    $\quad$
  4. D’une part on a $P(E)=0,42$
    D’autre part :
    $\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,24}{0,4} \\
    &=0,6\end{align*}$
    Par conséquent $P(E)\neq P_C(E)$.
    Les événements $C$ et $E$ ne sont pas indémendants.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A

Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de raison $2$ de premier terme $u_0 = 0,2$ .

  1. Calculer $u_{18}$ puis $u_{50}$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_{18}$, c’est-à-dire la somme des $19$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter les trois parties en pointillé de l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $u$ dépasse $100~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 0,2 \\
    S\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \\
    \text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
    \qquad U\leftarrow \ldots\ldots\ldots \\
    \qquad S\leftarrow \ldots\ldots\ldots \\
    \qquad N\leftarrow N + 1 \hspace{4cm} \\
    \\
    \text{Fin tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Claude a donné $20$ centimes d’euros (soit $0,20$ €) à son petit-enfant Camille pour sa naissance. Ensuite, Claude a doublé le montant offert d’une année sur l’autre pour chaque anniversaire jusqu’aux $18$ ans de Camille.

La somme totale versée par Claude à Camille permet-elle de payer un appartement à Angers d’une valeur de $100~000$ € ?

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=0,2$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=0,2\times 2^n$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} u_{18}&=0,2\times 2^{18} \\
    &=52~428,8\end{align*}$
    et :
    $\begin{align*} u_{50}&=0,2\times 2^{50} \\
    &\approx 2,25\times 2^{14}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_{18} \\
    &=0,2\times \dfrac{1-2^{19}}{1-2} \\
    &=0,2\left(2^{19}-1\right) \\
    &=104~857,4\end{align*}$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 0,2 \\
    S\leftarrow 0,2\\
    N\leftarrow 0\\
    \\
    \text{Tant que } S\pp 100~000\\
    \qquad U\leftarrow 2\times U \\
    \qquad S\leftarrow S + U \\
    \qquad N\leftarrow N + 1 \hspace{4cm}\\
    \\
    \text{Fin tant que}\\
    \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Chaque année Camille reçoit donc pour son $n$_ième anniversaire $u_n$ euros où $\left(u_n\right)$ est la suite définie à la partie A.

D’après la question 2. Camille aura donc cumuler $104~857,4$ euros à ses $18$ ans.
Elle pourra se payer un appartement à Angers d’une valeur de $100~000$ euros.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Produit scalaire – 2020

Produit scalaire

E3C2 – 1ère

Sur le dessin ci-dessous, la largeur du but est de : $AB = 7,32$ mètres.
Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.
On appelle $T$ le point où se trouve un ballon. Le triangle $TAD$ est rectangle en $D$.

  1. Pourquoi $\vect{TD}.\vect{DB}=0$?
    $\quad$
  2. Démontrer que $\vect{TA}.\vect{TB}=470,88$
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée, au dixième de degré près, de l’angle de tir, c’est-à-dire de l’angle $\widehat{ATB}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le triangle $TAD$ est rectangle en $D$ et le point $B$ appartient au segment $[AD]$.
    Par conséquent les vecteurs $\vect{BD}$ et $\vect{TD}$ sont orthogonaux.
    Donc $\vect{TD}.\vect{DB}=0$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} \vect{TA}.\vect{TB}&=\left(\vect{TD}+\vect{DA}\right).\left(\vect{TD}+\vect{DB}\right) \\
    &=\vect{TD}.\vect{TD}+\vect{TD}.\vect{DB}+\vect{DA}.\vect{TD}+\vect{DA}.\vect{DB}\\
    &=18^2+0+0+DA\times DB \quad (*)\\
    &=324+(9+7,32)\times 9 \\
    &=324+16,62\times 9\\
    &=470,88\end{align*}$
    $(*)$ les vecteurs $\vect{DA}$ et $\vect{DT}$ sont orthogonaux donc $\vect{DA}.\vect{TD}=0$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $BDT$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} BT^2&=BD^2+DT^2 \\
    &=9^2+18^2\\
    &=405\end{align*}$
    Donc $BT=\sqrt{405}$.
    Dans le triangle $ADT$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} AT^2&=AD^2+DT^2 \\
    &=(9+7,32)^2+18^2\\
    &=590,342~4\end{align*}$
    Donc $AT=\sqrt{590,342~4}$.
    $\quad$
    On a $\vect{TA}.\vect{TB}=470,88$ et $\vect{TA}.\vect{TB}=TA\times TB\times \cos \widehat{ATB}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} &\vect{TA}.\vect{TB}=TA\times TB\times \cos \widehat{ATB} \\
    \ssi~&\cos \widehat{ATB} =\dfrac{\vect{TA}.\vect{TB}}{TA\times TB} \\
    \ssi~&\cos \widehat{ATB}=\dfrac{470,88}{ \sqrt{405}\times \sqrt{590,342~4}}\end{align*}$
    Donc $\widehat{ATB}\approx 15,6$°.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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