E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte.

Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

$\quad$

Question 1

On lance deux fois une pièce équilibrée, de manières identiques et indépendantes.

Si le joueur obtient $2$ Faces, il perd $5$ €, s’il obtient exactement une Face, il gagne $2$ €, s’il obtient $2$ Piles il gagne $4$€. On note $G$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur, en euros.

a. $E(G)=0,75$
b. $E(G)=\dfrac{1}{3}$
c. $E(G)=1$
d. $E(G)=\dfrac{1}{4}$

$\quad$

Correction Question 1

Voici la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $G$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
g&-5&2&4\\
\hline
P(G=g)&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\
\hline
\end{array}$$
Il y a en effet $4$ tirages équiprobables possibles : $FF$, $PF$, $FP$ et $PP$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(G)&=-5\times \dfrac{1}{4}+2\times \dfrac{1}{2}+4\times \dfrac{1}{4} \\
&=-\dfrac{5}{4}+1+1 \\
&=0,75\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$A$ et $B$ sont deux événements, et on donne $P(A)=\dfrac{3}{7}$, $P(B)=\dfrac{3}{20}$, $P(A\cup B)=\dfrac{4}{7}$.

a. $A$ et $B$ sont indépendants
b. $P_A(B)=\dfrac{3}{980}$
c. $P(A\cap B)=\dfrac{1}{140}$
d. $P_A(B)=\dfrac{1}{60}$

$\quad$

Correction Question 2

On a
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ $\ssi P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$
Par conséquent
$\begin{align*} P(A\cap B)&=\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{20}-\dfrac{4}{7} \\
&=\dfrac{3}{20}-\dfrac{1}{7} \\
&=\dfrac{21-20}{140}\\
&=\dfrac{1}{140}\end{align*}$

Réponse c

Remarque : La réponse d est également valable

$\begin{align*}
P_A(B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\\
&=\dfrac{~\dfrac{1}{140}~}{\dfrac{3}{7}}\\
&=\dfrac{1}{140}\times \dfrac{7}{3} \\
&=\dfrac{1}{60}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On donne l’arbre de probabilités ci-dessous, ainsi que la probabilité $P(C) = 0,48$.

a. $x=0,6$
b. $x=0,36$
c. $x=0,45$
d. $x=\dfrac{0,48}{0,12}$

$\quad$

Correction Question 3

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(C)=P(C\cap A)+P\left(C\cap \conj{A}\right) \\
\ssi~&0,48=0,2\times 0,6+0,8x \\
\ssi~&0,48=0,12+0,8x \\
\ssi~&0,36=0,8x \\
\ssi~&x=\dfrac{0,36}{0,8}\\
\ssi~&x=0,45\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On a tracé la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ dans un repère orthonormé, ainsi que deux de ses tangentes, au point $E$ d’abscisse $2$ et au point $G$ d’abscisse $4$.

Les coordonnées des points $E$, $F$, $G$, $H$ placés dans le repère ci-dessous peuvent être lues graphiquement, ce sont des entiers.

La tangente à $C_f$ au point $E$ est la droite $(EF)$.
La tangente à $C_f$ au point $G$ est la droite $(GH)$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f'(2)=4$
b. $f'(2)=3$
c. $f'(4)=3$
d. $f'(4)=-3$

$\quad$

Correction Question 4

$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $E$ et $f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $G$

Par conséquent :
$\begin{align*}f'(2)&=\dfrac{y_E-y_F}{x_E-x_F}\\
&=\dfrac{3-(-1)}{2-0} \\
&=2\end{align*}$

$\begin{align*}f'(4)&=\dfrac{y_G-y_H}{x_G-x_H}\\
&=\dfrac{3-0}{4-5} \\
&=-3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python suivante :

$$\begin{array}{l}
\text{def }{evolu}(k) :\\
\hspace{1cm} i = 200\\
\hspace{1cm} n = 0\\
\hspace{1cm} \text{while } i<k:\\
\hspace{2cm} i = 1.2 * i + 10\\
\hspace{2cm} n = n + 1\\
\hspace{1cm} \text{return } n\end{array}$$

a. ${evolu}(500)=4$
b. ${evolu}(600)=4$
c. ${evolu}(300)=3$
d. ${evolu}(400)=4$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les premières valeurs prises par $i$ et $n$ pour $k=600$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i&200&250&310&382&468,4&472,08&696,496\\
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\end{array}$
Par conséquent :
${evolu}(500)=5$
${evolu}(600)=6$
${evolu}(300)=2$
${evolu}(400)=4$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande
pièce.

Le carrelage choisi a une forme hexagonale.

L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis
procède en étapes successives de la façon suivante :

à l’étape $1$, il entoure le carreau central, à l’aide de $6$ carreaux et obtient une première forme.
à l’étape $2$ et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.

On note $u_n$ le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la $n$-ième étape $(n\pg 1)$.

Ainsi $u_1 = 6$ et $u_2 = 12$.

Quelle est la valeur de $u_3$ ?
$\quad$
On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Combien l’artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l’étape $5$ ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu’il termine l’étape $5$ (en comptant le carreau central
initial) ?
$\quad$
On pose $S_n = u_1+u_2+\ldots+u_n$. Montrer que $S_n = 6(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$ puis que $S_n = 3n^2 + 3n.$
$\quad$
Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l’artisan depuis le début, lorsqu’il termine la $n$ − 𝑖è𝑚𝑒 étape, est donc $3n^2 + 3n + 1$.
À la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son $2~977\ieme$ carreau. Combien a-t-il fait d’étapes ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En comptant le nombre de carreaux ajoutés à l’étape $3$ on obtient $u_3=18$
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$ et de premier terme $u_1=6$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
$\begin{align*}u_n&=6+6(n-1) \\
&=6n\end{align*}$
$\quad$
On a $u_5=6\times 5$ soit $u_5=30$.
L’artisan a donc ajouté $30$ carreaux pour faire l’étape $5$.
$\quad$
Le nombre de carreaux posés est alors :
$\begin{align*} N&=1+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 \\
&=1+6+12+18+24+30 \\
&=91\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} S_n&=u_1+u_2+\ldots +u_n \\
&=6+12+\ldots +6n\\
&=6\times 1+6\times 2+\ldots+6n\\
&=\boldsymbol{6(1+2+\ldots+n)} \\
&=6\times \dfrac{n(n+1)}{2} \\
&=3n(n+1)\\
&=\boldsymbol{3n^2+3n}\end{align*}$
$\quad$
On cherche la valeur de $n$ telle que :
$\begin{align*} 3n^2+3n+1=2~977&\ssi 3n^2+3n-2~976=0\\
&\ssi n^2+n-992=0\end{align*}$
Le discriminant du polynôme $P(x)=x^2+x-992$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-992)\\
&=3~969\\
&>0\end{align*}$
Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*}x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{3~969}}{2} \\
&=-32\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*}x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{3~969}}{2} \\
&=31\end{align*}$
Or $-32<1$ donc $n=31$
Il a donc fait $31$ étapes.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.

Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation $x = 5$ et la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 5]$ par $f(x) = 4\e^{-0,5x}$.

L’enclos est représenté par le rectangle $OABC$ où $O$ est l’origine du repère et $B$ un point de $C_f$, $A$ et $C$ étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. On note $x$ l’abscisse du point $A$ et $D$ le point de coordonnées $(5 ; 0)$. Le but de l’exercice est de déterminer la position du point $A$ sur le segment $[OD]$ permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.

Justifier que la superficie de l’enclos, en m$^2$, est donnée en fonction de $x$ par $g(x)=4x\e^{-0,5x}$ pour $x$ dans l’intervalle $[0;5]$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $[0 ; 5]$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, on a $g'(x)=(4-2x)\e^{-0,5x}$.
$\quad$
En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0 ; 5]$.
$\quad$
Où doit-on placer le point $A$ sur $[OD]$ pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm$^2$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La superficie de l’enclos est $OA\times OC$.
Or $OA=x$ et $OC=f(x)$.
Par conséquent la superficie de l’enclos est :
$\begin{align*} g(x)&=xf(x)\\
&=4x\e^{-0,5x}\end{align*}$
$\quad$
$g(x)$ est de la forme $g(x)=u(x)\times f(x)$ avec $u(x)=4x$
Donc $u'(x)=4$ et $f'(x)=-0,5\e^{-0,5x}$
Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;5]$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=u'(x)\times f(x)+u(x)\times f'(x)\\
&=4\e^{-0,5x}+4x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
&=4\e^{-0,5x}-2x\e^{-0,5x} \\
&=(4-2x)\e^{-0,5x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de $4-2x$.
$4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$ et $4-2x>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
D’après le tableau de variations $g$ atteint son maximum pour $x=2$.
Le point $A$ doit donc se trouver à $2$ m de $O$ pour la superficie de l’enclos soit maximale.
On a $g(2) \approx 2,94$.
La superficie maximale est donc environ égale à $2,94$ m$^2$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le logo d’une entreprise est constitué d’un carré, d’un cercle et d’un triangle.
Il a été représenté ci-dessous dans un repère orthonormé $\Oij$.

On donne les coordonnées des sommets du carré :
$$A(-3 ; 3) , B(3 ; 3) , C(3 ; -3) ,D(-3 ; -3)$$
On considère le point $E\left(-2;3+\sqrt{5}\right)$.

On admettra que $E$ est situé sur le cercle de diamètre $[AB]$.

On note $I$ le milieu de $[AB]$.

Donner une équation cartésienne de la droite $(BD)$ et une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
$\quad$
Montrer que la hauteur du triangle $BDE$ issue de $E$ admet pour équation cartésienne $$x+y-\left(1+\sqrt{5}\right)=0$$
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur la droite $(BD)$.
$\quad$
Calculer l’aire du triangle $BDE$ (en unités d’aire).
$\quad$
Montrer que $\vect{DB}.\vect{DE}=42+6\sqrt{5}$.
On admet que $\norme{\vect{DE}}=\sqrt{42+12\sqrt{5}}$; en déduire la mesure de l’angle $\widehat{BDE}$ au degré près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Un vecteur directeur de la droite $(BD)$ est $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\-6\end{pmatrix}$.
Une équation cartésienne de la droite $(BD)$ est donc de la forme $-6x+6y+c=0$
Le point $B(3;3)$ appartient à la droite $(BD)$.
Par conséquent $-18+18+c=0\ssi c=0$.
Une équation cartésienne de la droite $(BD)$ est donc $-6x+6y=0$ ou encore $-x+y=0$.
$\quad$
On appelle $M$ le milieu de $[AB]$. $M$ a donc pour coordonnées $(0;3)$.
$A$ et $B$ ont la même ordonnée donc :
$AB=\left|x_B-x_A\right|$ soit $AB=6$.
Le rayon du cercle est $R=\dfrac{AB}{2}$ donc $R=3$.
Ainsi une équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$ est :
$(x-0)^2+(y-3)^2=3^2$ soit $x^2+(y-3)^2=9$.
$\quad$
On appelle $d$ la hauteur du triangle $BDE$ issue de $E$.
Le vecteur $\vect{BD}$ est donc normal à la droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est par conséquent de la forme $-6x-6y+c=0$
Le point $E\left(-2;3+\sqrt{5}\right)$ appartient à la droite $d$.
Par conséquent $12-6\left(3+\sqrt{5}\right)+c=0 \ssi c=6+6\sqrt{5}$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $-6x-6y+6+6\sqrt{5}$ ou encore, en divisant les deux membres par $-6$,$ x+y-\left(1+\sqrt{5}\right)$.
$\quad$
Le point $H$ appartient à la fois à la droite $(BD)$ et à la droite $d$.
Ses coordonnées sont donc solution du système :
$\begin{align*}\begin{cases}-x+y=0\\x+y-\left(1+\sqrt{5}\right)=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=y\\x+x-\left(1+\sqrt{5}\right)=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=y\\2x=1+\sqrt{5}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=y\\x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}\end{align*}$
Le point $H$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$.
$\quad$
L’aire du triangle $BDE$ est $\mathscr{A}=\dfrac{BD\times EH}{2}$
Or $BD=\sqrt{(-3-3)^2+(-3-3)^2}$ soit $BD=6\sqrt{2}$
et
$\begin{align*} EH&=\sqrt{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+2\right)^2+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-3-\sqrt{5}\right)^2}\\
&=\sqrt{\dfrac{15+5\sqrt{5}}{2}+\dfrac{15+5\sqrt{5}}{2}}\\
&=\sqrt{15+5\sqrt{5}}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{6\sqrt{2}\times \sqrt{15+5\sqrt{5}}}{2} \\
&=15+3\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
On a $\vect{DB}\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{DE}\begin{pmatrix}1\\6+\sqrt{5}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*}\vect{DB}.\vect{DE}&=6+6\left(6+\sqrt{5}\right) \\
&=42+6\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
On a également $\vect{DB}.\vect{DE}=DB\times DE\times \cos \widehat{BDE}$
Par conséquent :
$\begin{align*}\cos \widehat{BDE}&=\dfrac{\vect{DB}.\vect{DE}}{DB\times DE}\\
&=\dfrac{42+6\sqrt{5}}{6\sqrt{2}\times \sqrt{42+12\sqrt{5}}}\end{align*}$
Donc $\widehat{BDE}\approx 38$°.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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