E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(x)-x$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

a. $f$ est paire
b. $f$ est impaire
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=-f(x)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $-x\in \R$ et
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-(-x)\\
&=-\sin(x)+x\\
&=-\left(\sin(x)-x\right)\\
&=-f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc impaire.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions :

a. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
b. $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
c. $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$
$\begin{align*} 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&\ssi x=\dfrac{\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que :
$AB+3$, $AD=4$ et $\widehat{BAD}=\dfrac{\pi}{3}$.

Alors $\vect{DA}.\vect{DC}$ est égal à :

a. $12$
b. $-12$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} \vect{DA}.\vect{DC}&=DA\times DC\times \cos \widehat{ADC} \\
&=3\times 4\times \dfrac{1}{2}\\
&=6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$


$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère la droite $\left(d_1\right)$ d’équation $3x-4y+1 = 0$. La droite $\left(d_2\right)$ perpendiculaire à $\left(d_1\right)$ et
passant par le point $A(1 ; 1)$ a pour équation :

a. $4x+3y=0$
b. $4x+3y-7=0$
c. $x+3-2=0$
d. $-4x+3y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est $3x-4y+1=0$. Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\left(d_2\right)$.
Une équation cartésienne de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-4x-3y+c=0$
Le point $A(1;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-4-3+c=0 \ssi c=7$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_2\right)$ est donc $-4x-3y+7=0$ ou également, en multipliant les deux membres par $-1$, $4x+3y-7=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$. Les droites $(d)$ et $\left(d’\right)$ d’équations respectives $2x-y+5=0$ et $-4x+2y+7=0$ sont :

a. confondues
b. sécantes
c. parallèles
d. perpendiculaires

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la droite $\left(d’\right)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$
On constate donc que $\vec{v}=-2\vec{u}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont donc parallèles.
Il reste à déterminer si elles sont confondues ou non.
Le point $A(0;5)$ appartient clairement à la droite $(d)$.
Or $-4\times 0+\times 5+7\neq 0$.
Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $\left(d’\right)$.
Les droites sont strictement parallèles.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix millième.

On étudie un test de dépistage pour une certaine maladie dans une population donnée. On sait que $1\%$ de la population est atteint de la maladie. Des études ont montré que si une personne est malade, alors le test se révèle positif dans $97\%$ des cas et si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans $98\%$ des cas.
Pour une personne à qui ont fait passer le test de dépistage on associe les événements :

  • $M$ : la personne est malade,
  • $T$ : le test est positif.
  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’exercice.
  2. Justifier que $P\left(\conj{M}\cap T\right)=0,019~8$.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(T)=0,029~5$.
    $\quad$
  4. Calculer $P_T(M)$.
    $\quad$
  5. Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie ?
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{M}\cap T\right)&=P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
    &=0,99\times 0,02\\
    &=0,019~8\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les événements $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right) \\
    &=0,01\times 0,97+0,019~8 \\
    &=0,029~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a ainsi
    $\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,01\times 0,97}{0,029~5}\\
    &\approx 0,328~8\end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la question précédente la probabilité que la personne soit malade sachant que le test est positif est $P_T(M)\approx 0,328~8$.
    La personne n’est donc pas nécessairement atteinte par cette maladie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On s’intéresse à la consommation d’essence d’un véhicule en fonction de sa vitesse.

Lecture graphique.
Le graphique ci-dessous représente la consommation d’essence en litres pour $100$ km en fonction de la vitesse en km.h$^{-1}$ du véhicule

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

  1. Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à $40$ km.h$^{-1}$ ?
    $\quad$
  2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il $8$ litres pour $100$ km ?
    $\quad$
  3. Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
    $\quad$

Modélisation.
Si on note $x$ est la vitesse du véhicule en km.h$^{-1}$, avec $30\pp x\pp 130$, la consommation d’essence en litres pour $100$ km est modélisée par la fonction $f$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2}$$
On désigne par $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[30;130]$.

  1. Montre que pour tout $x \in [30;130]$, $$f'(x)=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}$$
  2. Démontrer la conjecture de la question 3.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. À $40$ km.h$^{-1}$ la consommation semble être de $5$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
  2. Le véhicule consomme $8$ litres pour $100$ km s’il roule environ à $33$ km.h$^{-1}$ ou $100$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  3. La consommation semble être minimale quand le véhicule roule à $50$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur l’intervalle $[30;130]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[30;130]$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2} \\
    &=20-\dfrac{1~600}{x}+\dfrac{40~000}{x^2}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1~600}{x^2}-\dfrac{2\times 40~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{1~600x-80~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $[30;130]$ on a $800>0$ et $x^3>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-100$.
    Or $2x-100>0 \ssi 2x>100 \ssi x>50$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[30;50]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[50;130]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint pour $x=50$.
    Cela démontre donc la conjecture de la question 3.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\dfrac{n+2}{n+1}$.

  1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ puis $u_{99}$.
    $\quad$
  2. a. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n-1$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$$
    $\quad$
    c. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $a$ un nombre réel dans l’intervalle $]1 ; 2]$.
    Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp a$, où $a$ est un nombre de l’intervalle $]1 ; 2]$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def seuil(a) }:\\
    \hspace{1cm} \text{n = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)} \ldots \text{ a}\\
    \hspace{2cm} \text{n = }\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{return } \ldots\end{array}$$
    Attention le programme original avait des erreurs. Elle sont corrigés ici.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_0&=\dfrac{0+2}{0+1} \\
    &=2\end{align*}$
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1+2}{1+1} \\
    &=1,5\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{2+2}{2+1} \\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_{99}&=\dfrac{99+2}{99+1} \\
    &=1,01\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n-1&=\dfrac{n+2}{n+1}-1\\
    &=\dfrac{n+2-n-1}{n+1}\\
    &=\dfrac{1}{n+1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{n+1+2}{n+1+1}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
    &=\dfrac{n+3}{n+2}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
    &=\dfrac{(n+3)(n+1)-(n+2)^2}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{n^2+n+3n+3-\left(n^2+4n+4\right)}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{n^2+4n+3-n^2-4n-4}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $(n+1)(n+2)>0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
  3. On a le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{def seuil(a) }:\\
    \hspace{1cm} \text{n = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)}> \text{ a}\\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1cm} \text{return n} \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence