E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère les points $E(3 ; −4)$ et $F(7 ; 2)$.
La droite $(EF)$ passe par le point :

a. $A(0;8)$
b. $B(5,5;0)$
c. $C(13;11)$
d. $D(-25;45)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$
On va déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EA}$, $\vect{EB}$, $\vect{EC}$ et $\vect{ED}$ et tester leur colinéarité avec le vecteur $\vect{EF}$.

$\vect{EA}\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}$ , $\vect{EB}\begin{pmatrix}2,5\\4\end{pmatrix}$ , $\vect{EC}\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}$ , $\vect{ED}\begin{pmatrix}-28\\49\end{pmatrix}$

On constate que $10\times 6-4\times 45=0$. Donc $\vect{EC}$ et $\vect{EF}$ sont colinéaires. Le point $C$ appartient à la droite $(EF)$.

Réponse C

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la droite $D$ qui a pour équation réduite $y=-2x+4$
Parmi les vecteurs suivants, déterminer celui qui est un vecteur normal de la droite $D$ :

a. $\vec{n_1}(2;1)$
b. $\vec{n_2}(-1;2)$
c. $\vec{n_3}(1;-2)$
d. $\vec{n_4}(-2;1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $2x+y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est par conséquent $\vec{n}(2;1)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3
Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Alors le produit scalaire $\vect{AD};\vect{AI}$ vaut :

a. $-18$
b. $18$
c. $36$
d. $9\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 3

On appelle $J$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AD)$. $J$ est alors le milieu du segment $[AD]$.
Ainsi $\vect{AD}.\vect{AI}=\vect{AD}.\vect{AJ}$.
Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AJ}$ sont colinéaires et de même sens.
Ainsi
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\vect{AJ} \\
&=AD\times AJ \\
&=6\times 3\\
&=18\end{align*}$

Autre méthode

$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\left(\vect{AB}+\vect{BI}\right)\\
&=\vect{AD}.\vect{AB}+\vect{AD}.\vect{BI} \\
&=0+\dfrac{1}{2}\vect{AD}.\vect{BC}\\
&=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6 \\
&=18\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point :

a. $E$
b. $F$
c. $G$
d. $H$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} \dfrac{14\pi}{3}&=\dfrac{12+2\pi}{3} \\
&=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\\
&=4\pi+\dfrac{2\pi}{3} \\
&=2\times 2\pi+\dfrac{2\pi}{3}\end{align*}$
Le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a donc pour image $F$

Autre méthode :

À l’aide de la calculatrice, on obtient :
$\cos \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L’image de $\dfrac{14\pi}{3}$ appartient donc au quadrant supérieur gauche; c’est le point $F$.

Réponse F

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Soit le réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin x=0,8$. Alors :

a. $\cos(x)=0,6$
b. $\cos(x)=-0,6$
c. $\cos(x)=0,2$
d. $\cos(x)=-0,2$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$
Ainsi
$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,8^2=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,64=1\\
\ssi~&\cos^2(x)=0,36\\
\ssi~&\cos(x)=0,6 \text{ ou }\cos(x)=-0,6\end{align*}$
On sait que $x$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Donc $\cos(x)<0$.
Par conséquent $\cos(x)=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un magasin de téléphonie mobile lance une offre sur ses smartphones de la marque Pomme vendus à $800$ € : il propose une assurance complémentaire pour $50$ € ainsi qu’une coque à $20$ €.
Ce magasin a fait les constatations suivantes concernant les acheteurs de ce smartphone :

$40\%$ des acheteurs ont souscrit à l’assurance complémentaire.
Parmi les acheteurs qui ont souscrit à l’assurance complémentaire, $20\%$ ont acheté en plus la coque.
Parmi les acheteurs qui n’ont pas souscrit à l’assurance
complémentaire, deux sur trois n’ont pas acheté la coque.

On interroge au hasard un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
On considère les évènements suivants :
$A$ : « le client a souscrit à l’assurance complémentaire » ;
$C$ : « le client a acheté la coque ».

Calculer la probabilité que le client ait souscrit à l’assurance
complémentaire et ait acheté la coque.
$\quad$
Montrer que $P(C) = 0,28$.
$\quad$
Le client interrogé a acheté la coque.
Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire ?
$\quad$
Déterminer la dépense moyenne d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
On pourra noter $X$ la variable aléatoire qui représente la dépense en euros d’un client de ce magasin ayant acheté un smartphone de la marque Pomme.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :

On veut calculer :
$\begin{align*} P(A\cap C)&=P(A)\times P_A(C)\\
&=0,4\times 0,2\\
&=0,08\end{align*}$
La probabilité que le client ait souscrit à l’assurance
complémentaire et ait acheté la coque est égale à $0,08$.
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(C)&=P(A\cap C)+P\left(\conj{A}\cap C\right) \\
&=0,08+0,6\times \dfrac{1}{3} \\
&=0,28\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_C\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap C\right)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,28} \\
&=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
La probabilité que le client n’ait pas souscrit à l’assurance complémentaire sachant qu’il a acheté la coque est égale à $\dfrac{5}{7}$.
$\quad$
La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $800$, $820$, $850$ et $870$.
$\begin{align*} P(X=800)&=P\left(\conj{A}\cap \conj{C}\right) \\
&=0,6\times \dfrac{2}{3} \\
&=0,4\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=820)&=P\left(\conj{A}\cap C\right) \\
&=0,6\times \dfrac{1}{3} \\
&=0,2\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=850)&=P\left(A\cap\conj{C}\right) \\
&=0,4\times 0,8 \\
&=0,32\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=870)&=P\left(A\cap C\right) \\
&=0,4\times 0,2 \\
&=0,08\end{align*}$
Ainsi
$\begin{align*} E(X)&=\small{800P(X=800)+820P(X=820)+850P(X=850)+870P(X=870)}\\
&=\small{800\times 0,4+820\times 0,2+850\times 0,32+870\times 0,08}\\
&=825,6\end{align*}$
Un client ayant acheté un smartphone de la marque Pomme dépensera donc en moyenne $825,6$ €.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les deux suites suivantes :

la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par : $$u_n=\dfrac{8n-4}{n+1}$$
la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0=0$ et $v_{n+1}=0,5v_n+3,5$ pour tout entier $n$.

Calculer les termes d’indice 3 des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
$\quad$
On s’intéresse aux variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{8x-4}{x+1}$$
a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
b. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère l’affirmation suivante :
$\hspace{3cm}$« pour tout entier $n$, $u_n<v_n$ ».
Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire.
Pour les départager, on réalise le programme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{u = – 4}\\
\hspace{1cm}\text{v = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{2cm}\text{u = (8*n – 4)/(n+1)}\hspace{2cm}\\
\hspace{2cm}\text{v = 0.5*v + 3.5}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Le programme renvoie la valeur $11$. Qui de Camille ou Dominique a raison ?
Expliquer.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_3&=\dfrac{8\times 3-4}{3+1} \\
&=5\end{align*}$
$\begin{align*} v_1&=0,5v_0+3,5\\
&=0,5\times 0+3,5\\
&=3,5\end{align*}$
$\begin{align*} v_2&=0,5v_1+3,5\\
&=0,5\times 3,5+3,5\\
&=5,25\end{align*}$
$\begin{align*} v_3&=0,5v_2+3,5\\
&=0,5\times 5,25+3,5\\
&=6,125\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{8\times(x+1)-1\times(8x-4)}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{8x+8-8x+4}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{12}{(x+1)^2}\end{align*}$
$(x+1)^2>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$
La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Donc $f(n)<f(n+1)$.
Or $u_n=f(n)$ et $u_{n+1}=f(n+1)$.
Par conséquent $u_n<u_{n+1}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
L’algorithme détermine le plus petit entier naturel $n$, s’il existe, tel que $u_n>v_n$.
On a donc $u_{11}>v_{11}$.
Dominique a donc raison.
$\quad$
Remarque : Si un programme de ce type ne renvoie pas de réponse au bout d’un certain temps on ne peut rien conclure mais seulement émettre une conjecture, qui n’est pas une preuve. Il se peut, en effet, que le rang cherché soit excessivement grand et que nous ne soyons pas suffisamment patient.
$\quad$

[collapse]

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
La courbe représentative $C$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$ est donnée ci-dessous :

Par lecture graphique, résoudre l’équation $f(x)=0$ d’inconnue $x$.
$\quad$
On donne $f'(x)=-x+0,5$ pour tout réel $x$.
Déterminer qu’une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d’abscisse $-1$ est $y=1,5x+3,5$
$\quad$
On considère le point $E$ de coordonnées $(1 ; 5)$.
Dans cette question, on cherche à déterminer les points de la courbe $C$ en lesquels la tangente passe par le point $E$.
a. Montrer que le point $E$ appartient à la tangente $T$.
$\quad$
b. Déterminer l’autre point de la courbe en lequel la tangente passe par le point $E$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $-2$ et $3$.
$\quad$
Une équation de la tangente $T$ est de la forme $u=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$.
On lit que $f(-1)=2$
D’après l’énoncé :
$\begin{align*} f'(-1)&=-(-1)+0,5\\
&=1,5\end{align*}$
Ainsi une équation de $T$ est $y=1,5(x+1)+2$ soit $y=1,5x+3,5$.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} 1,5x_E+3,5&=1,5\times 1+3,5\\
&=5\\
&=y_E\end{align*}$
Le point $E$ appartient à la tangente $T$.
$\quad$
b. Montrons que la tangente $T’$ au point d’abscisse $3$ passe par le point $E$.
D’après la question 1., $f(3)=0$
On a également :
$\begin{align*} f'(3)&=-3+0,5\\
&=-2,5\end{align*}$
Une équation de $T’$ est alors $y=-2,5(x-3)+0$ soit $y=-2,5x+7,5$.
On a alors :
$\begin{align*} -2,5x_E+7,5&=-2,5\times 1+7,5\\
&=5\\
&=y_E\end{align*}$
Le point $E$ appartient donc à $T’$.
Par conséquent, la tangente à la courbe au point d’abscisse $3$ passe par le point $E$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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