E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

$\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}=$

a. $\e^{3x+2}$
b. $\e^{3x-2}$
c. $\e^{2,5x-2,5}$
d. $\e^{7x-2}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}&=\e^{5x-(2x-2)} \\
&=\e^{5x-2x+2} \\
&=\e^{3x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2.

Soit la suite définie par : $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=3u_n-2\text{ ; pour }n\in \N\end{cases}$.

a. $u_3=7$
b. $u_3=10$
c. $u_3=28$
d. $u_3=4$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} u_1&=3u_0-2\\
&=3\times 2-2\\
&=4\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=3u_1-2\\
&=3\times 4-2\\
&=10\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=3u_2-2\\
&=3\times 10-2\\
&=28\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un atelier $3\%$ des pièces produites sont défectueuses. On constate qu’au cours du contrôle qualité, si la pièce est bonne, elle est acceptée dans $95\%$ des cas, et que si elle est défectueuse, elle est refusée dans $98\%$ des cas.
La probabilité qu’une pièce soit refusée est égale à :

a. $0,077~9$
b. $0,029~4$
c. $0,048~5$
d. $0,98$

$\quad$

Correction Question 3

On considère les événements :

$D$ : « la pièce est défectueuse »
$R$ : « la pièce est refusée »

On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

$D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(D\cap R)+P\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=0,03\times 0,98+0,97\times 0,05\\
&=0,077~9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Sachant que $\cos x=\dfrac{5}{13}$ et que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$, la valeur de $\sin x$ est :

a. $\dfrac{8}{13}$
b. $-\dfrac{8}{13}$
c. $\dfrac{12}{13}$
d. $-\dfrac{12}{13}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

On sait que $\cos x=\dfrac{5}{13}$
Par conséquent :
$\begin{align*} &\ssi \cos^2 x+\sin^2 x=1 \\
\ssi ~&\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\dfrac{25}{169}+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\sin^2x=\dfrac{144}{169} \\
\ssi~&\sin x=\dfrac{12}{13} \text{ ou } \sin x=-\dfrac{12}{13}\end{align*}$

On sait que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$. Donc $\sin x<0$.

Ainsi $\sin x=-\dfrac{12}{13}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs }x_i&-2&0&5\\
\hline
p_i=P\left(X=x_i\right)&0,3&0,5&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à :

a. $3$
b. $0,9$
c. $0,4$
d. $0,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,3+0\times 0,5+5\times 0,2\\
&=0,4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2019, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un musicien était de $6~000$.
On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.
On désigne par $u_n$ le nombre d’abonnés en 2019$+n$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer le nombre d’abonnés en 2020 et 2021.
$\quad$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En quelle année le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à l’année 2019 ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2020, il y aura $6~000+750=6~750$ abonnés.
En 2021, il y aura $6~750+750=7~500$ abonnés.
$\quad$
D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+750$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc une suite arithmétique de raison $750$ e de premier terme $u_0=6~000$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
$u_n=6~000+750n$
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n \pg 3\times 6~000 &\ssi 6~000+750n\pg 18~000 \\
&\ssi 750n\pg 12~000 \\
&\ssi n \pg 16\end{align*}$
C’est donc en 2035 que le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à l’année 2019.
$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un médicament contre la douleur est administré par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est modélisé par la fonction $f$ qui, au temps écoulé $x$ en heure, $x$ étant compris entre $0$ et $6$, associe : $$f(x)=x^3-12x^2+36x \text{ où }x\in [0;6]$$
Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure ou égale à $5$ mg/L.

En exécutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste $[0, 1, 1, 1, 1, 1, 0]$.
$$\begin{array}{ll}\\
1&\text{liste=}[\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0}]\\
2&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{x }\textcolor{blue}{\text{in range }}(\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{7}):\\
3&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}-\textcolor{Green}{12}*x**\textcolor{Green}{2}+\textcolor{Green}{36}*x>=\textcolor{Green}{5}:\\
4&\hspace{1cm}\text{liste[x]=}\textcolor{Green}{1}\\
5&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(liste)}\end{array}$$À l’aide de ce résultat, indiquer l’intervalle de temps en unité d’heures sur lequel le médicament est efficace.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0 ; 6]$, calculer sa fonction dérivée.
$\quad$
Justifier que la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $4$ admet pour équation réduite $y=-12x+64$.
$\quad$
Démontrer que $f(x)-(-12x+64) = (x-4)^3$.
$\quad$
En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à la tangente $T$ au point $A$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le médicament est efficace sur l’intervalle $[1;5]$
$\quad$
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;6]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-12\times 2x+36\\
&=3x^2-24x+36\end{align*}$
$\quad$
Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(4)(x-4)+f(4)$
Or $f(4)=16$ et $f'(4)=-12$.
Une équation de $T$ est donc $y=-12(x-4)+16$ soit $y=-12x+64$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;6]$,
D’une part on a :
$\begin{align*} f(x)-(-12x+64)&=x^3-12x^2+36x+12x-64\\
&=x^3-12x^2+48x-64\end{align*}$
D’autre part on a :
$\begin{align*} (x-4)^3&=(x-4)^2(x-4) \\
&=\left(x^2-8x+16\right)(x-4) \\
&=x^3-4x^2-8x^2+32x+16x-64\\
&=x^3-12x^2+48x-64\end{align*}$
Par conséquent $f(x)-(-12x+64)=(x-4)^3$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f(x)-(-12x+64)=(x-4)^3$
Donc $f(x)-(-12x+64)$ est du signe de $x-4$.
Or $x-4>0 \ssi x>4$ et $x-4=0 \ssi x=4$.
Donc :
– Sur $]-\infty;4]$, la droite $T$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $f$.
– Sur $[4;+\infty[$, la droite $T$ est au-dessous de la courbe représentative de la fonction $f$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A$ de coordonnées $(3; 1)$ ainsi que la droite $(d)$ d’équation cartésienne $x-3y-4=0$.

Déterminer les coordonnées du point $B$ d’abscisse $7$ appartenant à la droite $(d)$.
$\quad$
Donner un vecteur normal à la droite $(d)$.
$\quad$
Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
$\quad$
Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $(d)$.
$\quad$
Calculer la distance $AH$ et en donner une interprétation.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Si $x=7$ on a alors :
$\begin{align*} 7-3y-4=0 &\ssi -3y=-3\\
&\ssi y=1\end{align*}$
Le point $B$ a donc pour coordonnées $(7;1)$.
$\quad$
Une équation cartésienne de la droite $(d)$ est $x-3y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$.
$\quad$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $(\Delta)$.
Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est par conséquent de la forme $-3x-y+c=0$.
Le point $A(3;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-9-1+c=0\ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc $-3x-y+10=0$.
$\quad$
Le point $H$ est le point d’intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$. Ses coordonnées sont donc solution du système d’équations :
$\begin{align*} \begin{cases} x-3y-4=0\\-3x-y+10=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-3(3y+4)-y+10=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-9y-12-y+10=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\-10y-2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=3y+4\\y=-0,2\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} y=-0,2\\x=3,4\end{cases}\end{align*}$
$H$ a donc pour coordonnées $(3,4\ ;\ -0,2)$.
$\quad$
Ainsi :
$\begin{align*} AH&=\sqrt{(3,4-3)^2+(-0,2-1)^2} \\
&=\sqrt{0,4^2+(-1,2)^2}\\
&=\sqrt{1,6}\end{align*}$
La distance du point $A$ à la droite $(d)$ est donc égale à $\sqrt{1,6}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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