E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On choisit au hasard un individu parmi les passagers en transit dans un aéroport.
On a représenté ci-dessous un arbre de probabilités lié à certains évènements dont certains éléments ont été effacés.

On considère les événements suivants :

  •  $A$ : « le passager parle anglais »
  • $B$ : « le passager ne parle pas anglais »
  • $E$ : « le passager est un membre de l’Union Européenne »

a. $P_B(E)=0,12$
b. $P(E)=0,42$
c. La probabilité que le passager choisi soit européen et ne parle pas anglais est $0,3$.
d. $P(A\cup B)=1,1$

$\quad$

Correction Question 1

D’après l’arbre de probabilité on a $P_A(E)=0,5$ et $P(B)=0,4$.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)\\
&=0,6\times 0,5+0,4\times 0,3\\
&=0,42\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit $D$ la droite d’équation $3x + y-2 = 0$.

a. Le point de coordonnées $(6 ; −15)$ appartient à $D$.
b. $D$ est perpendiculaire à la droite d’équation $12x + 4y = 0$.
c. Le vecteur de coordonnées $(1 ; 3)$ est un vecteur directeur de $D$.
d. Le vecteur de coordonnées $(3 ; 1)$ est un vecteur directeur des droites perpendiculaires à $D$.

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à la droite $D$ est $\vec{n}(3;1)$.
C’est donc un vecteur directeur de toutes les droites perpendiculaires à la droite $D$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère dans l’ensemble des réels l’équation trigonométrique $\sin x = 1$.

a. Cette équation admet une unique solution dans l’ensemble des réels.
b. Cette équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble  des réels.
c. $2\pi$ est une solution de cette équation.
d. $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation.

$\quad$

Correction Question 3

L’ensemble des solutions de l’équation $\sin x=1$ est l’ensemble des réels $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in \Z$.
L’équation admet une infinité de solutions dans l’ensemble  des réels.

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

a. La courbe $C$ n’admet pas de tangente au point d’abscisse $0$.
b. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=2x$.
c. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ a pour coefficient directeur $1$.
d. La tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-2x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2-4x^2 }{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{-2x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2} \end{align*}$
Ainsi $f'(0)=2$
Or $f(0)=0$
Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=2(x-0)+0$ soit $y=2x$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}$$
$f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ et pour tout réel $x$ de$]-2; +\infty[$, on a :

a. $f'(x)=1$
b. $f'(x)=\dfrac{2x-1}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2x-1$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]-2;+\infty[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times (x+2)-1\times (x-3)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{x+2-x+3}{(x+2)^2}\\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de $5~000$ euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant $18$ ans.
Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l’offre de la banque :

$$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{0.5cm}\textbf{Offre}\\
\hline
\hspace{0.5cm}\text{Intérêts composés au taux annuel constant de }3 \%.\\
\hspace{0.5cm}\text{À la fin de chaque année le capital produit 3 % d’intérêts qui sont intégrés au}\\
\hspace{0.5cm}\text{capital}\\
\hline\end{array}$$

On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.
On a ainsi $u_0 = 5~000$.

  1. Montrer que $u_1 = 5~150$ et $u_2 = 5~304,5$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ en précisant sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Calculer le capital acquis par Lisa à l’âge de $18$ ans. Arrondir au centième.
    $\quad$
  4. Si Lisa n’utilise pas le capital dès ses $18$ ans, quel âge aura-t-elle quand celui-ci dépassera $10~000$ euros ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_0 \\
    &=1,03\times 5~000\\
    &=5~150\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_1 \\
    &=1,03\times 5~150\\
    &=5~304,5\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n \\
    &=1,03\times u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=5~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=5~000\times 1,03^n$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} u_{18}&=5~000\times 1,03^{18} \\
    &\approx 8~512,17\end{align*}$
    À $18$ ans le capital de Lisa sera environ égal à $8~512,17$ euros.
    $\quad$
  4. On a $u_{23}\approx 9~867,93$ et $u_{24}\approx 10~163,97$.
    Elle aura donc $24$ ans quand son capital dépassera $10~000$ euros.
    $\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le rectangle $OABC$ ci-dessous représente une place touristique vue de dessus.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$ tel que ⃗$\vect{OC}=24\vec{i}$ et$\vect{OA}=35\vec{j}$.
Afin d’éclairer le plus grand nombre de monuments, on place au point $O$, un projecteur lumineux qui permet d’éclairer la partie du plan délimitée par les segments de droite $[OK]$ et $[OL]$ tels que $K$ est le milieu de $[AB]$ et $\vect{CL}=\dfrac{1}{5}\vect{CB}$.

  1. Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $K$ et $L$.
    $\quad$
  2. Un visiteur affirme : « Moins de $70\%$ de la surface de la place est éclairée ».
    Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{OK}$ et $\vect{OL}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le produit scalaire $\vect{Ok}.\vect{OL}$ est égal à $533$.
    $\quad$
    c. En déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{KOL}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement :
    – les coordonnées de $A$ sont $(0;35)$
    – les coordonnées de $B$ sont $(24;35)$
    – les coordonnées de $C$ sont $(24;0)$
    – les coordonnées de $K$ sont $(12;35)$
    – les coordonnées de $L$ sont $(24;7)$
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle $OABC$ est :
    $\begin{align*}\mathscr{A}_{OABC}&=24\times 35\\
    &=840\end{align*}$
    L’aire du triangle $OAK$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{OAK}&=\dfrac{12\times 35}{2}\\
    &=210\end{align*}$
    L’aire du triangle $OCL$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{OCL}&=\dfrac{24\times 7}{2}\\
    &=84\end{align*}$
    La partie non éclairée a une aire égale à $84+210=294$.
    Cela $\dfrac{294}{840}=35\%$ de la surface de la place.
    Par conséquent $65\%$ de la surface de la place est éclairée.
    L’affirmation est exacte.
    $\quad$
  3. a. Le vecteur $\vect{OK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}12\\35\end{pmatrix}$.
    Le vecteur $\vect{OL}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}24\\7\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{OK}.\vect{OL}&=12\times 24+35\times 7\\
    &=533\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} OK&=\sqrt{12^2+35^2}\\
    &=37\end{align*}$
    $\begin{align*} OL&=\sqrt{24^2+7^2}\\
    &=25\end{align*}$
    Par définition
    $\begin{align*} \vect{OK}.\vect{OL}&=OK\times OL\times \cos\widehat{KOL} \\
    &=37\times 25\times \cos\widehat{KOL}\\
    &=925 \cos\widehat{KOL}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $925\cos \widehat{KOL}=533 \ssi \cos \widehat{KOL}=\dfrac{533}{925}$
    Ainsi $\widehat{KOL}\approx 55$°
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=x^3-x^2-x-1$$

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Déterminer l’abscisse du point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$.
    $\quad$
  2. On note $x_0$ l’unique solution de l’équation $f(x)=0$. On admet que $x_0 \in [1 ; 2]$.
    On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{zero_de_f(n):}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{a=}\textcolor{Green}{1}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{b=}\textcolor{Green}{2}\\
    4&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(n):}\\
    5&\hspace{1cm}\text{x=(a+b)/}\textcolor{Green}{2}\\
    6&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}\text{-x**}\textcolor{Green}{2}\text{-x}\textcolor{Green}{-1}\text{<}\textcolor{Green}{0}\text{:}\\
    7&\hspace{1.5cm}\text{a=x}\\
    8&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{else}}\text{:}\\
    9&\hspace{1.5cm}\text{b=x}\\
    10&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return } }\text{a,b}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. On applique cette fonction pour $n=3$. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
    \hline
    k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
    \hline
    k=1&&&&&\\
    \hline
    k=2&&&&&\\
    \hline\end{array}$$
    b. En déduire un encadrement de $x_0$, d’amplitude $0,125$, par deux nombres décimaux.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f'(x)=3x^2-2x-1$
    De plus
    $\begin{align*} 3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)&=(3x+1)(x-1) \\
    &=3x^2-3x+x-1\\
    &=3x^2-2x-1\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=7&\ssi 3x^2-2x-1=7\\
    &\ssi 3x^2-2x-8=0\end{align*}$
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 3\times (-8)\\
    &=100\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{100}}{6} \\
    &=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{100}}{6} \\
    &=2\end{align*}$
    Or $-\dfrac{4}{3}<0$.
    Par conséquent le point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$ a pour abscisse $2$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
    \hline
    k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
    \hline
    k=1&1,75&OUI&1,75&2&0,25\\
    \hline
    k=2&1,875&NON&1,75&1,875&0,125\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a donc $f(1,75)<0$ et $f(1,875)>0$.
    Un encadrement de $x_0$ d’amplitude $0,125$ est donc $0,175<x_0<1,875$.
    $\quad$
    Remarque : Il s’agit de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence