E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
    Le nouveau prix est $20$ €.
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
    $$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
    Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
    L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Factoriser $9x^2-30x+25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
    Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
    $-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. $\quad$

    En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$

    Correction Question 9

    L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
    $\quad$

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    $\quad$
  10. Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

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