E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction $f(x) = 3x\left(48x-5x^2\right)$ où $x$ exprimé en années est le temps écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

a. Développer $f(x)$.
$\quad$
b. En déduire $f'(x)$.
$\quad$
c. On admet que $f'(x)=-3x(15x-96)$. Dresser le tableau de variation de $f$.
$\quad$.
d. En déduire le maximum de $f$ sur $[0;10]$.
$\quad$
Compléter la ligne $10$ du programme écrit en Python ci-dessous afin qu’en fin d’exécution la variable $\text{M}$ contienne une valeur approchée du chiffre d’affaire maximal exprimé en milliers d’euros.
$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
\hline
2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
\hline
7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} f(x)&=3x\left(48x-5x^2\right) \\
&=144x^2-15x^3\end{align*}$
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} f'(x)&=144\times 2x-15\times 3x^2 \\
&=288x-45x^2\end{align*}$
$\quad$
c. $-3x=0 \ssi x=0$ et $-3x>0 \ssi x<0$
$15x-96=0 \ssi 15x=96 \ssi x= 6,4$ et $15x-96>0 \ssi 15x>96 \ssi x>6,4$
On obtient alors le tableau de variations suivant :

$\quad$
d. D’après le tableau de variations précédent le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est $1~966,08$.
$\quad$
On peut écrire
$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
\hline
2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
\hline
7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et vend des boîtes de petits fours. La production mensuelle varie de $20$ à $150$ centaines de boîtes.
Le chiffre d’affaires en euro, obtenu pour la vente de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par $$R(x)=450x$$
Le coût total de production de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donné en euros par la fonction $C$ définie par $$C(x) = 6x^2-246x+5~184$$
On admet dans l’étude qui suit que chaque mois toute la production est vendue.

On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous deux courbes $C_1$ et $C_2$.
L’une est la représentation graphique de $R$ et l’autre celle de $C$ mais on ne sait pas dans quel ordre.a.Préciser la courbe représentant la fonction $R$ et la courbe représentant la fonction $C$.
$\quad$
b. Déterminer avec la précision permise par le graphique dans quel intervalle doit se situer le nombre de centaines de boîtes vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
$\quad$
Le résultat de l’entreprise en euro, c’est-à-dire le bénéfice ou le déficit de l’entreprise selon que le résultat est positif ou négatif, est donné par la fonction $D$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par : $$D(x)=-6x^2+696x-5~184$$
On note $D’$ la fonction dérivée de la fonction $D$.
a. Calculer $D'(x)$.
$\quad$
b. Déterminer le signe de $D'(x)$ sur l’intervalle $[20; 150]$.
$\quad$
c. En déduire le tableau de variation de la fonction $D$ et le nombre de boîtes que l’entreprise doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Le fonction $R$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite.
Ainsi la courbe $C_2$ représente la fonction $R$ et la courbe $C_1$ la fonction $C$.
$\quad$
b. L’entreprise réalise un bénéfice si $R(x)\pg C(x)$.
Graphiquement, il faut donc que l’entreprise vendent entre $2~000$ et $10~700$ (environ) boîtes.
$\quad$
a. Pour tout réel $x\in [20;150]$ on a $D'(x)=-12x+696$.
$\quad$
b. $-12x+696=0 \ssi -12x=-696 \ssi x=58$
$-12x+696>0\ssi -12x>-696 \ssi x<58$
Ainsi :
– $D'(x)>0$ sur $[20;58[$
– $D'(58)=0$
– $D'(x)<0$ sur $]58;150[$
$\quad$
c. On obtient donc le tableau de variations suivant :

Le bénéfice est donc maximal quand l’entreprise produit $5~800$ boîtes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Pour les question 1 et 2, on utilisera l’énoncé suivant :

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.
On a la relation : $T_F=1,8T_C+32$.

Si $T_C=30$, a valeur exacte de $T_F$ est :
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} T_F&=1,8T_C+32\\
&=1,8\times 30+32\\
&=54+32\\
&=86\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $T_F=50$, alors $T_C$ est égale à :
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} 50=1,8T_C+32&\ssi 18=1,8T_C\\
&\ssi T_C=10\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $45$ €. Il augmente de $30 \%$. Quel est son nouveau prix ?
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 45\times \left(1+\dfrac{30}{100}\right)&=45\times 1,3\\
&=58,5\end{align*}$
Après l’augmentation l’article coûte $58,5$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix augmente de $10\%$ puis baisse de $30 \%$.
Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} C_M&=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,1\times 0,7\\
&=0,77\\
&=1-\dfrac{23}{100}\end{align*}$
Le prix a donc baissé de $23\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x+1=4(2x-3)$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} 5x+1=4(2x-3)&\ssi 5x+1=8x-12\\
&\ssi -3x=-13\\
&\ssi x=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
La solution de l’équation est $\dfrac{13}{3}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre l’inéquation $-4x+1<3-2x$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -4x+1<3-2x&\ssi -2<2x\\
&\ssi -1<x\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Pour les questions 7 à 10, on utilisera l’énoncé suivant :
Sur le graphique suivant, on a représenté la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$

Lire sur le graphique l’image de $-1$ par $f$.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement $f(-1)=4$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre $f(x)=-2$ avec la précision que permet le graphique.
$\quad$

Correction Question 7

Graphiquement les solutions de $f(x)=-2$ sont, approximativement $-2,2$ ; $2$ et $2,2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.
$\quad$

Correction Question 9

$\quad$

[collapse]
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2 ; 3]$.

Correction Question 10

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un athlète s’entraîne au lancer de javelot. Au moment du lancer, le lanceur tient le javelot de telle manière que la pointe se trouve à la hauteur du sommet de son crâne. Pendant sa course, on considère que les frottements qui s’exercent sur la pointe du javelot sont négligeables, et que le javelot n’est soumis qu’à son poids. La trajectoire de la pointe du javelot est donc modélisée par une parabole.

Lors du premier essai de l’athlète, la trajectoire de la pointe du javelot est donnée par la fonction $f$ telle que $f(x)=-0,01x^2+0,57x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $f(x)$ l’altitude, en mètres, de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
a. Calculer $f(0)$. Quelle est la taille de l’athlète ?
$\quad$
b. Vérifier que $f(x)=-0,01(x+3)(x-60)$.
$\quad$
c. Quelle est la distance au sol totale parcourue par le javelot ?
$\quad$
d. Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$. La hauteur maximale atteinte par le javelot dépasse-t-elle $10$ m? Justifier.
$\quad$
Lors du deuxième essai, la pointe du javelot réalise une trajectoire décrite par la fonction $h$ telle que $h(x) = -0,01x^2+0,6x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $h(x)$ l’altitude en mètres de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur.
On a écrit le script suivant en Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{x=60}\\
\text{for i in range(1,6):}\\
\hspace{1cm} \text{print(” x= “,x , “h(x)=”,-0.01*x**2+0.6*x+1.8)}\\
\hspace{1cm} \text{x=60+i}\\
\hline
\end{array}$$
Lorsqu’on l’exécute, on obtient l’affichage suivant :
$\qquad \text{x= 60 h(x)= 1.8}$
$\qquad \text{x= 61 h(x)= 1.1900000000000006}$
$\qquad \text{x= 62 h(x)= 0.559999999999998}$
$\qquad \text{x= 63 h(x)= -0.09000000000000052}$
$\qquad \text{x= 64 h(x)= -0.7600000000000022}$
L’athlète a-t-il amélioré sa performance par rapport à son premier lancer ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $f(0)=-0,01\times 0^2+0,57\times 0+1,8=1,8$
L’athlète mesure donc $1,8$ m.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -0,01(x+3)(x-60)&=-0,01\left(x^2-60x+3x-180\right)\\
&=-0,01\left(x^2-57x-180\right)\\
&=-0,01x^2+0,57x+1,8\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
c. $f(x)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-60=0$ $\ssi x=-3$ ou $x=60$.
Le javelot touche donc le sol après avoir parcouru $60$ mètres.
$\quad$
d. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
Son maximum est atteint en $-\dfrac{b}{2a}=28,5$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

La hauteur maximale est donc $9,922~5$ m. Elle ne dépasse donc pas $10$ m.
$\quad$
D’après le script $h$ s’annule pour $x\in ]62;63[$.
La distance parcourue par le javelot est donc supérieure à $60$ m.
L’athlète a donc amélioré sa performance par rapport à son premier lancer.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise produit et vend des courgettes. Elle a la capacité de produire entre $0$ et $16$ tonnes.
On note $C(x)$ le coût de production, exprimé en euros, de $x$ tonnes de courgettes.
La fonction $C$ est donc définie sur $[0 ; 16]$ et elle est donnée par : $$C(x)=x^3-15x^2+78x-650$$

Chaque tonne de courgettes est vendue $150$ euros.

On rappelle que le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production.

Vérifier que le bénéfice $B(x)$ s’exprime par : $B(x)=-x^3+15x^2+72x+650$.
$\quad$
On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0; 16]$ et on note $B’$ sa dérivée.
Déterminer $B'(x)$.
$\quad$
Montrer que $B'(x)=-3(x+2)(x-12)$ pour $x$ appartenant à $[0 ; 16]$.
$\quad$
À l’aide d’un tableau de signes, étudier le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 16]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0 ; 16]$.
$\quad$
Quelle quantité de courgettes l’entreprise doit-elle produire et vendre pour avoir un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
$\begin{align*} B(x)&=150x-C(x)\\
&=150x-x^3+15x^2-78x+650\\
&=-x^3+15x^2+72x+650\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $x\in[0;16]$ on a :
$\begin{align*} B'(x)&=-3x^2+15\times 2x+72\\
&=-3x^2+30x+72\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $x\in[0;16]$
$\begin{align*} -3(x+2)(x-12)&=-3\left(x^2-12x+2x-24\right)\\
&=-3\left(x^2-10x-24\right)\\
&=-3x^2+30x+72\\
&=B'(x)\end{align*}$
$\quad$
$x+2>0$ sur $[0;16]$
$x-12=0\ssi x=12$ et $x-12>0\ssi x>12$.
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

$\quad$
D’après le tableau précédent, l’entreprise soit produire et vendre $12$ tonnes de courgettes pour réaliser un bénéfice maximal qui est $1~946$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

En 2021, une entreprise compte produire au plus $60~000$ téléphones portables pour la France et les vendre $800$ € l’unité. On suppose que tous les téléphones produits sont vendus.

Le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0 ; 60~000]$ par : $$C(x) = 0,01x^2 + 250x + 2~500~000$$
où $x$ représente le nombre de téléphones fabriqués et vendus.

a. Calculer $C(7~500)$. Interpréter le résultat obtenu.
$\quad$
b. Calculer le montant de la recette, en euros, que rapporte la vente de $7~500$ téléphones.
En déduire le montant du bénéfice, en euros, pour $7~500$ téléphones vendus.
$\quad$
Montrer que, pour tout $x\in [0 ; 60~000]$, le bénéfice, en euros, est défini par : $$B(x) = -0,01?^2 + 550?-2~ 500~000$$
où $x$ représente le nombre de téléphone fabriqués et vendus.
$\quad$
a. Étudier les variations de la fonction $B$ sur $[0 ; 60~000]$.
$\quad$
b. En déduire le nombre de téléphone que l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximal. Donner la valeur ce bénéfice en euros.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $C(7~500)=4~967~500$
Le coût de production de $7~500$ téléphones s’élèvent à $4~967~500$ €.
$\quad$
b. La recette est alors $7~500\times 800=6~000~000$ €.
$\quad$
Pour tout $x\in[0;60~0000]$ on a :
$\begin{align*} B(x)&=800x-C(x)\\
&=800x-0,01x^2-250x-2~500~000\\
&=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
$\quad$
a. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
Le maximum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=27~500$.
Ainsi la fonction $B$ est strictement croissante sur $[0;27~500]$ et strictement décroissante sur $[27~500;60~000]$.
$\quad$
b. Le bénéfice maximal est donc réalisé quand l’entreprise produit et vend $27~500$ téléphones.
Le bénéfice maximal vaut alors $B(27~500)=5~062~500$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades $t$ jours après l’apparition des premiers cas est modélisé par $f(t)=45t^2-t^3$ pour tout $t$ appartenant à
$[0 ; 45]$.

Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de $20$ jours.
$\quad$
Montrer que, pour tout ? appartenant à $[0 ; 45]$, $f'(t)=3t(30-t)$.
$\quad$
Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0 ; 45]$.
$\quad$
Dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 45]$.
$\quad$
Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de $45$ jours et préciser le nombre de personnes malades ce jour-là.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$f(20)=45\times 20^2-20^3=10~000$
Au bout de $20$ jours il y aura donc $10~000$ malades selon ce modèle.
$\quad$
Pour tout $t\in [0;45]$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=45\times 2t-3t^2\\
&=90t-3t^2\\
&=3t(30-t)\end{align*}$
$\quad$
$3t=0 \ssi t=0$ et $3t>0 \ssi t>0$
$30-t=0\ssi t=30$ et $30-t>0 \ssi t<30$.
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

$\quad$
Voir tableau précédent
$\quad$
D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son maximum pour $t=30$.
Le nombre de malades est maximal au bout de $30$ jours. Il y a alors $13~500$ malades ce jour-là.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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