E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un journal hebdomadaire est sur le point d’être créé.
Une étude de marché aboutit à deux estimations différentes concernant le nombre de journaux vendus :

$1^{\text{re}}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de $3 \%$ chaque semaine.
$2^{\e}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression régulière de $40$ journaux supplémentaires vendus chaque semaine.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $u_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la première estimation et $v_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la deuxième estimation. Ainsi, $u_1 = v_1 = 1~000$.

On considère la feuille de calcul ci-dessous :

Quelle formule, saisie en $B3$ et recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis celle de la suite $\left(v_n\right)$. Justifier.
$\quad$
b. Montrer que pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n = 960 + 40n$.
$\quad$
c. Écrire, pour tout entier naturel $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On définit, pour tout entier $n\pg 1$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=v_n-u_n$. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 1& 2&\hspace{1cm}& 19& 20& 21& 22\\
\hline
w_n& 0& 10&& 18& 6& -6& -20\\
\hline
\end{array}$$
À partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’après la première estimation devient-il supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a pu saisir $=B2*1,03$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=1,03u_n$ et $v_{n+1}=v_n+40$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$ et la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $v_1=1~000$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc :
$\begin{align*} u_n&=1~000+40(n-1) \\
&=1~000+40n-40\\
&=960+40n\end{align*}$
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=1~000\times 1,03^{n-1}$.
$\quad$
D’après le tableau, $w_n<0$ pour $n\pg 21$ et $w_n\pg 0$ sinon.
C’est donc à partir de la $21\ieme$ semaine que le nombre de journaux vendus d’après la première estimation semble devenir supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation.
Remarque : Le tableau ne fournissant pas les valeurs de $w_n$ entre $n=3$ et $n=18$, il faudrait une étude plus précise de la suite $\left(w_n\right)$ ou le calcul des termes manquants pour établir avec certitude que ce rang est effectivement le premier.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles.
Au début du parcours, ce personnage est doté de $1~000$ pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.
Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu.
Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jouée.
Chaque partie est chronométrée et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur ou égal au nombre de pions noirs du sac.

Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
On note $u_n$ le nombre de pions blancs obtenus au bout de $n$ minutes de jeu.
Ainsi $u_0 = 0$.
Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Étude de l’évolution du nombre de pions noirs
Lucas estime qu’au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de $2 \%$ par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entrainement.
On note $v_n$ le nombre de pions noirs restant à la $n$-ième minute.
Ainsi $v_0 = 1~000$.
a. Justifier que $v_1 = 980$.
$\quad$
b. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $v$ en fonction de $n$.
$\quad$
On a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous.
Les termes de la suite $\left(v_n\right)$ ont été arrondis à l’unité.
Lucas peut-il gagner la partie ?

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+10$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $10$ et de premier terme $u_0=0$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=10n$.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} v_1&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)v_0 \\
&=0,98\times 1~000\\
&=980\end{align*}$
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=1~000$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1~000\times 0,98^n$.
$\quad$
On a donc $u_{45}=450$ et $v_{45}=403$
Au bout de $45$ minutes, le nombre de pions blancs est bien supérieur au nombre de pions noirs.
Lucas peut donc gagner la partie.
$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une banque propose un placement. Le compte est rémunéré et rapporte $5 \%$ par an. La banque prend des frais de gestion qui se montent à $12$ euros par an.

Ainsi, chaque année la somme sur le compte augmente de $5 \%$ puis la banque prélève $12$ euros.

Noémie place la somme de $1~000$ euros dans cette banque.

On appelle $u_n$ la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $n$ années, où $n$ désigne un entier naturel.

On a donc $u_0 = 1~000$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 1,05 u_n-12$.

Avec un tableur on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :

a. Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule $B3$ avant de l’étirer pour obtenir ces résultats ?
$\quad$
b. En utilisant les valeurs calculées de la suite, indiquer à Noémie combien de temps elle doit attendre pour que son placement lui rapporte $20 \%$.
$\quad$

On pose $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-240$.

Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$.
$\quad$
Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
$\quad$
Calculer à partir de cette dernière formule la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $20$ ans de placement.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a pu saisir la formule $=B2*1.05-12$
$\quad$
b. $1~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=1~200$.
Elle doit donc attendre $5$ ans avant que son placement lui rapporte $20\%$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240\ssi u_n=v_n+240$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240\\
&=1,05u_n-12-240\\
&=1,05u_n-242\\
&=1,05\left(v_n+240\right)-242\\
&=1,05v_n+242-242\\
&=1,05v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
Son premier terme est :
$\begin{align*} v_0&=u_0-240\\
&=1~000-240\\
&=760\end{align*}$
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=760\times 1,05^n$ et
$\begin{align*} u_n&=v_n+240\\
&=760\times 1,05^n+240\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_{20}&=760\times 1,05^{20}+240\\
&\approx 2~256,51\end{align*}$
À partir de cette dernière formule Noémie disposera après 20 ans de placement d’environ $2~256,51$ €.
$\quad$

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$\quad$

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