Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 2 – 27 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 27 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap R\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(R) \\
    &=\dfrac{3}{4}\times 0,35 \\
    &=0,262~5\end{align*}$
    $\quad$
    c. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+ p\left(\conj{D}\cap R\right) \\
    &=p(D)\times p_D(R)+0,262~5 \\
    &=\dfrac{1}{4}\times 0,6+0,262~5 \\
    &=0,412~5\end{align*}$
    La probabilité que Stéphanie réussisse un tir est bien égale à $0,412~5$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(R\cap \conj{D}\right)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,262~5}{0,262~5} \\
    &\approx 0,636\end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points si Stéphanie réussit un tir est environ égale à $0,636$.
    $\quad$
  2. a. On répète $10$ fois de façon indépendantes la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,35$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,35$.
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=10\times 0,35 \\
    &=3,5\end{align*}$
    Sur $100$ tirs à trois points elle en réussit donc en moyenne $35$.
    $\quad$
    c. On veut calculer $P(X\pp 6)\approx 0,97$.
    La probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus est environ égale à $0,97$.
    $\quad$
    d. On veut calculer $P(X\pg 6)=1-P(X\pp 5)\approx 0,09$.
    La probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs est environ égale à $0,09$.
    $\quad$
  3. On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
    On répète $n$ fois de façon indépendantes la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,35$.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,35$
    On veut déterminer le plus plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(X=0) \pp 0,01 \\
    &\ssi 0,65^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,65) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,65)}\quad \text{car } \ln(0,65)>0\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,65)}\approx 10,69$.
    La plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$ est donc $11$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln(x)+1-1\\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $f(\e)=-2$ et $f'(\e)=1$.
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1\times (x-\e)-2$ soit $y=x-\e-2$.
    $\quad$
    c. Par hypothèse la fonction $f$ est deux fois dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes.
    Ainsi $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $T$.
    $\quad$
  2. a. Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$. Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-2$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(\ln(x)-1-\dfrac{2}{x}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. $\ln(x)=0\ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a, d’après la question précédente, $f(x)<-2$. L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur l’intervalle $]0;1]$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $f(1)=-3<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. $f(4,3)\approx -0,03<0$ et $f(4,4)\approx 0,12>0$.
    Donc $f(4,3)<f(\alpha)<f(4,4)$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[4,3;4;4]$.
    Par conséquent $4,3<\alpha<4,4$.
    Ainsi $\alpha\in ]4,3;4,4[$.
    $\quad$
    c. D’après les questions précédentes :
    $\bullet$ $f(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
    $\bullet$ $f(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  5. $\texttt{seuil(0.01)}$ renvoie la valeur $4,32$.
    Il s’agit d’une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $B(6;4;0)$, $E(0;4;4)$, $F(6;4;4)$ et $G(6;0;4)$.
    $\quad$
  2. Le volume du toit est
    $\begin{align*}V_{pyramide}&=\dfrac{1}{3}\times 6\times 4\times (6-4) \\
    &=16\end{align*}$
    Le volume de $EFGHS$ est donc égale à $16$ u.v.
    Le volume du parallélépipède est :
    $\begin{align*} V_{parallélépipède}&=6\times 4\times 4\\
    &=96\end{align*}$
    Le volume de la maison est donc $V=16+96=112$ u.v.
    $\dfrac{16}{112}=\dfrac{1}{7}$
    Le volume de la pyramide $EFGHS$ représente bien le septième du volume total de la maison.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix} 6\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{ES}\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    Ainsi $\vec{n}.\vect{EF}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{ES}=0-2+2=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFS)$. Il est, par conséquent, normal au plan $(EFS)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est donc de la forme $y+z+d=0$.
    Le point $E(0;4;4)$ appartient au plan $(EFS)$.
    Donc $4+4+d=0 \ssi d=-8$.
    Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est donc $y+z+8=0$.
    $\quad$
  4. a. La droite $(PQ)$ est dirigée par $\vec{k}$ et passe par $Q(2;3;5,5)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc $$\begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\end{cases} \qquad t\in \R$$
    $\quad$
    b. Le point $P$ est le point d’intersection de la droite $(PQ)$ et du plan $(EFS)$. Déterminons les coordonnées de ce point à l’aide du système :
    $\begin{align*}\begin{cases} y+z-8=0 \\x=2\\y=3\\z=5,5+t\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=2\\y=3\\z=5,5+t\\3+5,5+t-8=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\t=-0,5\\z=5\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $P$ a pour coordonnées $(2;3;5)$.
    $\quad$
    c. On a alors $\vect{PQ}\begin{pmatrix}0\\0\\0,5\end{pmatrix}$.
    Ainsi $PQ=0,5$.
    $\quad$
  5. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 6\\-4\\4\end{pmatrix}$
    $\vec{k}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires. Les droites $(PQ)$ et $\Delta$ ne sont donc pas parallèles.
    Déterminons si elles sont sécantes.
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\\x=-4+6s\\y=7-4s\\z=2+4s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\\-4+6s=2\\7-4s=3\\z=2+4s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\s=1\\z=2+4s\\z=5,5+t \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\z=6\\s=1\\t=0,5\end{cases}\end{align*}$
    Les droites $(PQ)$ et $\Delta$ sont donc sécantes. Leur point d’intersection a pour coordonnées $(2;3;6)$.
    L’oiseau passe donc $0,5$ unité au-dessus de l’antenne. Par conséquent, il ne la percute pas.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$ donc $-\dfrac{1}{n}\pp u_n \pp \dfrac{1}{n}$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} w_0&=\e^{-2\ln(a)}+2 \\
    &=a^{-2}+2 \\
    &=\dfrac{1}{a^2}+2\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  3. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante.
    Pour tout $n\in \N$
    $\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} &\ssi -2v_n\pg -2v_{n+1} \\
    &\ssi \e^{-2v_n}\pg \e^{-2v_{n+1}} \\
    &\ssi w_n\pg w_{n+1}\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc décroissante.
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $\e^{-2v_n}>0$ et $w_n>2$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. Montrons que la bonne réponse est la B.
    Il suffisait ici de calculer les premiers termes de chacune des $5$ suites pour déterminer que seule la proposition convenait.
    $-\dfrac{2}{3^0}+4=2$ ce qui correspond bien à $a_0=2$.
    $\begin{align*} -\dfrac{2}{3^{n+1}}+4&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{-2}{3^n}+4 \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4-4\right)+4 \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4\right)-\dfrac{4}{3}+4 \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4\right)+\dfrac{8}{3}\end{align*}$
    On retrouve bien la relation de récurrence $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{8}{3}$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. Pour tout $n\in \N$ on a $b_{n+1}-b_n=\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)$.
    Or $\left(b_n\right)^2+3>2$ donc $\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)<0$.
    La suite $\left(b_n\right)$ est par conséquent décroissante.
    Réponse B
    $\quad$
  6. $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$.
    La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$.
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    La courbe $\mathscr{C}_g$ ne possède pas d’asymptote horizontale.
    Réponse B
    $\quad$
  7. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$
    $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2+1} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

 

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : probabilités

Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :

  • les tirs à deux points.
    Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s’ils sont réussis.
  • les tirs à trois points.
    Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s’ils sont réussis.

Stéphanie s’entraîne au tir. On dispose des données suivantes :

  • Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, $60 \%$ sont réussis.
  • Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, $35\%$ sont réussis.
  1. Stéphanie réalise un tir.
    On considère les évènements suivants :
    $D$ : « Il s’agit d’un tir à deux points ».
    $R$ : « le tir est réussi ».
    a. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité $p(D \cap R)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,412~5$.
    $\quad$
    d. Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points.
    Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  2. Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.
    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
    On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    c. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
    d. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.
    On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu’elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
    Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les n tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme.

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = x\ln(x)-x-2$$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée, $f\dsec$ sa dérivée seconde et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a $f'(x) = \ln(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x =\e$.
    $\quad$
    c. Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. En déduire la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de la tangente $T$.
    $\quad$
  2. a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $]0 ; +\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.
    $\quad$
    b. Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l’intervalle $]4,3; 4,4[$.
    $\quad$
    c. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $\texttt{seuil}$ suivante écrite dans le langage Python :
    On rappelle que la fonction $\texttt{log}$ du module $\texttt{math}$ (que l’on suppose importé) désigne
    la fonction logarithme népérien $\ln$.$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(pas) :}\\
    \quad  \text{x=4.3}\\
    \quad  \text{while x*log (x) – x – 2 < 0:}\\
    \qquad  \text{x=x+pas}\\
    \quad  \text{return x}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la valeur renvoyée à l’appel de la fonction $\texttt{seuil(0.01)}$?
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’une pyramide $EFGHS$.
On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$.
Soit les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\vect{DI}=\dfrac{1}{6}\vect{DC}$, $\vect{DJ}=\dfrac{1}{4}\vect{DA}$, $\vect{DK}=\dfrac{1}{6}\vect{DH}$.
On note $\vec{i}=\vect{DI}$, $\vec{j}=\vect{DJ}$, $\vec{k}=\vect{DK}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(D;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3; 2; 6)$.

  1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.
    $\quad$
  2. Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{(aire de la base)}\times \text{hauteur}$$
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y +z-8 = 0$.
    $\quad$
  4. On installe une antenne sur le toit, représentée par le  segment $[PQ]$. On dispose des
    données suivantes :
    $\bullet$ le point $P$ appartient au plan $(EFS)$;
    $\bullet$ le point $Q$ a pour coordonnées $(2; 3; 5,5)$;
    $\bullet$ la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vec{k}$.
    a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est :
    $$\begin{cases}x=2\\y = 3\\z = 5,5+t\end{cases} \quad (t \in \R)$$
    b. En déduire les coordonnées du point $P$.
    $\quad$
    c. En déduire la longueur $PQ$ de l’antenne.
    $\quad$
  5. Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=-4+6s\\y=7-4s\\z=2+4s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
    Déterminer la position relative des droites $(PQ)$ et $\Delta$.
    L’oiseau va-t-il percuter l’antenne représentée par le segment $[PQ]$?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés : : suites, fonctions, primitives

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée

  1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$$
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$.
    b. la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.
    c. la suite $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite.
    d. la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$

Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ vérifiant la relation : $$w_n=\e^{-2v_n+2}$$

  1. . Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln(a)$.
    a. $w_0=\dfrac{1}{a^2}+2$
    b. $w_0=\dfrac{1}{a^2+2}$
    c. $w_0=-2a+2$
    d. $w_0=\dfrac{1}{-2a}+2$
    $\quad$
  2. On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :
    a. décroissante et majorée par $3$.
    b. décroissante et minorée par $2$.
    c. croissante et majorée par $3$.
    d. croissante et minorée par $2$.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie : $$a_0=2 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~~a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{8}{3}$$
    Pour tout entier naturel $n$, on a :
    a. $a_n=4\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-2$
    b. $a_n=-\dfrac{2}{3^n}+4$
    c. $a_n=4-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
    d. $a_n=2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{8n}{3}$
    $\quad$
  4. On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$b_{n+1}=b_n+\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)$$
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(b_n\right)$ est croissante.
    b. la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.
    c. la suite $\left(b_n\right)$ n’est pas monotone.
    d. le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$g(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$
    On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
    La courbe $\mathscr{C}_g$ admet :
    a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
    b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
    c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
    d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
    $\quad$
  6. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=x\e^{x^2+1}$$
    Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
    a. $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2\e^{x^2+1}$
    b. $F(x)=\left(1+2x^2\right)\e^{x^2+1}$
    c. $F(x)=\e^{x^2+1}$
    d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 1 – 26 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a.$\lim\limits_{x\to 0} x^2-6x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
    La droite d’équation $x=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4\ln(x)}{x^2}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=2x-6+\dfrac{4}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-6x+4}{x} \\
    &=\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui-ci de $x^2-3x+2$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=1>0$.
    Les racines de ce polynômes sont :
    $x_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$.
    Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;1[$;
    $\bullet$ $f'(1)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]1;2[$;
    $\bullet$ $f'(2)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]2;+\infty[$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $f(2)=-8+4\ln(2)
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[4;5]$.
    De plus $f(4)\approx -2,45<0$ et $f(5)\approx 1,44>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[4;5]$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x>0$
    $\begin{align*} f\dsec(x)>0 &\ssi 2x^2-4>0 \\
    &\ssi x^2>2 \\
    &\ssi x>\sqrt{2}\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$ et convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$.
    De plus $f\dsec\left(\sqrt{2}\right)=0$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+2\ln(2)$.
    Ainsi, $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right)$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de ses cordes sur cet intervalle.
    La fonction $f$ est convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessous de ses cordes sur cet intervalle.
    Ainsi :
    – $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $[AM]$ sur $\left]0;\sqrt{2}\right[$.
    – $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de $[AM]$ sur $\left]\sqrt{2};+\infty[\right[$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $u_1=-\e^{-1}\approx -0,368$ et $u_2=-\e^{-3-\e^{-1}}\approx -0,034$.
    $\quad$
    b. $\texttt{fonc(2)}$ renvoie la valeur de $u_2$ c’est-à-dire environ $0,034$.
    $\quad$
  2. a. Par hypothèse $f$ est dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x \\
    &=x^2\e^x(3+x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
    Or $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ et strictement croissante sur $[3;+\infty[$.
    De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3\e^{-x}=0$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\begin{align*} f(-3)&=(-3)^3\e^{-3} \\
    &=-27\e^{-3}\end{align*}$
    On a ainsi justifié chacun des éléments du tableau de variations.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
    Initialisation : $u_0=-1$ et $u_1\approx -0,368$.
    On a donc bien $-1\pp u_0\pp u_1 \pp 0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$.
    Par conséquent $f(-1) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(0)$
    Or $f(-1) \approx -0,368$ et $f(0)=0$.
    Ainsi $-1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2}\pp 0$.
    $P(n+1)$ est donc vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
    $\quad$
    d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    e. On a $f(x)=x\ssi x^3\e^x=x \ssi x\left(x^2\e^x-1\right)=0 \ssi x=0$ ou $x^2\e^x-1=0$.
    Or l’équation $x^2\e^x-1=0$ possède une unique solution supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et on sait que $-1\pp \ell \pp 0$.
    Ainsi $\ell=0$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $G$ a pour coordonnées $(3;2;1)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est donc de la forme $2x-3z+d=0$.
    Le point $E(0;0;1)$ appartient à ce plan donc $0-3+d=0\ssi d=3$.
    Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est par conséquent $2x-3z+3=0$.
    $\quad$
  3. Le triangle $EIF$ est isocèle en $I$ et $\vect{EF}=\vect{AB}$. Par conséquent l’abscisse de $I$ est $\dfrac{AB}{2}=1,5$.
    Sa côte, $z_I$ vérifie $2\times 1,5-3z_I+3=0 \ssi 3z_I=6 \ssi z_I=2$.
    De plus $I$ appartient au plan $(ABE)$ dont une équation cartésienne est $y=0$.
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $(1,5;0;2)$.
    $\quad$
  4. On a $\vect{IE}(-1,5;0;-1)$ et $\vect{IF}(1,5;0;-1)$
    Par conséquent
    $\begin{align*} IE&=\sqrt{(-1,5)^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{3,25}\end{align*}$
    et $IF=IE=\sqrt{3,25}$.
    D’une part $\vect{IE}.\vect{IF}=-1,5\times 1,5+(-1)\times (-1)=-1,25$
    D’autre part $\vect{IE}.\vect{IF}=IE\times IF\times \cos\widehat{EIF}$
    Ainsi $3,25 \cos\widehat{EIF}=-1,25 \ssi \cos\widehat{EIF}=-\dfrac{5}{13}$
    Donc $\widehat{EIF}\approx 113$°.
    $\quad$
  5. a. La droite $\Delta$ est dirigée par $\vec{u}$ et passe par $R$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{cases}$$
    $\quad$
    b. Le point $K$ appartient au plan $(BFG)$ par conséquent son abscisse est $x_K=3$.
    Le point $K$ appartient à la droite $\Delta$ donc $6-3t=3 \ssi t=1$.
    Ainsi $K$ a pour coordonnées $(3;1;0)$.
    $\quad$
    c. On a $C(3;2;0)$ et $B(3;0;0)$. Donc $K$ est le milieu de $[BC]$ et appartient donc bien à l’arête $[BC]$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On veut calculer
    $\begin{align*} p\left(E_0\cap R_0\right)&=p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_0\right) \\
    &=0,4\times (1-0,01) \\
    &=0,4\times 0,99 \\
    &=0,396\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\left(E_0,E_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} p\left(R_0\right)&=p\left(E_0\cap R_0\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
    &=0,396+p\left(E_1\right)\times p_{E_1}\left(R_0\right) \\
    &=0,396+0,6\times 0,02 \\
    &=0,408\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} p_{R_1}\left(E_0\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap E_0\right)}{p\left(R_1\right)} \\
    &=\dfrac{p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_1\right)}{1-p\left(R_0\right)}\\
    &=\dfrac{0,4\times 0,01}{1-0,408} \\
    &\approx 0,006~757\end{align*}$
    Réponse C$\quad$
  4. La probabilité qu’il y ait une erreur de transmission est :
    $\begin{align*} p\left(\left(E_0\cap R_1\right)\cup\left(E_1\cap R_0\right)\right)&=p\left(E_0\cap R_1\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
    &=p\left(E_0\right)p_{E_0}\left(R_1\right)+p\left(E_1\right)p_{E_1}\left(R_0\right) \\
    &=0,4\times 0,01+0,6\times 0,02 \\
    &=0,016\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
    On effectue indépendamment $10$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
    Ainsi
    $\begin{align*} p(X=7)&=\dbinom{10}{7}0,88^7\times 0,12^3 \\
    &\approx 0,085\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  6. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
    On veut calculer
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,12^{10} \end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  7. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
    On effectue indépendamment $N$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
    $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,88$.
    On veut déterminer la plus grande valeur de $N$ telle que
    $\begin{align*} P(X=N)\pg 0,1 &\ssi 0,88^N\pg 0,1 \\
    &\ssi N\ln(0,88) \pg \ln(0,1) \\
    &\ssi N\pp \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)} \quad \text{car } \ln(0,88)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)}\approx 18,01$.
    Par conséquent $N_0=18$.
    Réponse B
    $\quad$

 

 

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x)$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
On note $f ‘$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  1. a. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f (x)$.
    Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$
    b. Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    En déduire le tableau de variations de $f$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $[4; 5]$.
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$$
    a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
    b. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2};f\left(\sqrt{2}\right)\right)$.
    Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t ; f (t)\right)$.
    En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : suites; fonctions, fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = x^3\e^x$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
    On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
    $\quad$
    b. On considère la fonction $\texttt{fonc}$, écrite en langage Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def fonc(n) :}\\
    \quad \text{u =- 1}\\
    \quad \text{for i in range(n) :}\\
    \qquad \text{u=u**3*exp(u)}\\
    \quad \text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On rappelle qu’en langage Python, « $\texttt{i in range (n)}$ » signifie que $\texttt{i}$ varie de $\texttt{0}$ à $\texttt{n-1}$.
    $\quad$
    Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $\texttt{fonc(2)}$ arrondie à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x+3)$.
    $\quad$
    b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
    c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$$
    $\quad$
    d. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    e. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    On rappelle que $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.
    Déterminer $\ell$. $\Big($Pour cela, on admettra que l’équation $x^2\e^x-1 = 0$ possède une
    seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}\Big)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a $AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$.
On définit les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$, $\vec{k}=\vect{AE}$.
On munit ainsi l’espace du repère orthonormé $\left(A;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.

  1. Donner les coordonnées du point $G$.
    $\quad$
  2. Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(2 ; 0 ; -3)$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.
    Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point $I$.
    $\quad$
  4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle $\widehat{EIF}$.
    $\quad$
  5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
    Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $(6 ; -3 ; -1)$.
    La tranchée est assimilée à un segment d’une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-3 ; 4 ; 1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête $[BC]$.
    a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. On admet qu’une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.
    Soit $K$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.
    Déterminer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
    c. Le point $K$ appartient-il bien à l’arête $[BC]$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés : probabilités.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.
Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

  • $E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ »;
  • $E_1$ : « le bit envoyé est un $1$ »;
  • $R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »;
  • $R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

On sait que : $p\left(E_0\right) = 0,4$; $p_{E_0}\left(R_1\right)=0,01$; $p_{E_1}\left(R_0\right)=0,02$.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

  1. La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
    a. $0,99$
    b. $0,396$
    c. $0,01$
    d. $0,4$
    $\quad$
  2. La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :
    a. $0,99$
    b. $0,02$
    c. $0,408$
    d. $0,931$
    $\quad$
  3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}
    \left(E_0\right)$ est égale
    a. $0,004$
    b. $0,001$
    c. $0,007$
    d. $0,010$
    $\quad$
  4. La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
    a. $0,03$
    b. $0,016$
    c. $0,16$
    d. $0,015$
    $\quad$

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à $0,88$.

  1. On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
    La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu’exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est égale à :
    a. $0,915$
    b. $0,109$
    c. $0,976$
    d. $0,085$
    $\quad$
  2. On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
    La probabilité qu’au moins $1$ octet soit transmis sans erreur est égale à :
    a. $1-0,12^{10}$
    b. $0,12^{10}
    c. $0,88^{10}$
    d. $1-0,88^{10}$
    $\quad$
  3. Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
    Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
    On peut affirmer que :
    a. $N_0 = 17$
    b. $N_0 = 18$
    c. $N_0 = 19$
    d. $N_0 = 20$
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2022

Amérique du Sud – 26 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(D\cap A)&=P(D)\times P_D(A) \\
    &=0,01\times 0,97 \\
    &=0,009~7\end{align*}$
    La probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active est égale à $0,009~7$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme d’active est :
    $\begin{align*} P_A(D)&=\dfrac{P(A\cap D)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,009~7}{0,014~65} \\
    &\approx 0,662\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)=P(A\cap D)+P\left(A\cap \conj{D}\right) &\ssi 0,014~65=0,009~7+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(A) \\
    &\ssi 0,99\times P_{\conj{D}}(A)=0,004~95 \\
    &\ssi P_{\conj{D}}(A)=\dfrac{0,004~95}{0,99} \\
    &\ssi P_{\conj{D}}(A)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  4. La probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} p&=P\left(\left(\conj{A}\cap D\right)\cup\left(A\cap \conj{D}\right)\right) \\
    &=P(\left(\conj{A}\cap D\right)+P\left(A\cap \conj{D}\right) \qquad \text{(incompatibilité)} \\
    &=P(D)\times P_D\left(\conj{A}\right)+P\left(\conj{D}\right))\times P_{\conj{D}}(A) \\
    &=0,01\times 0,03+0,99\times 0,005 \\
    &=0,005~25 \\
    &<0,01\end{align*}$

Partie B

  1. On répète $5$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,005~25$.
    $\quad$
  2. La probabilité qu’un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{5}{1}\times 0,005~25\times (1-0,005~25)^4 \\
    &\approx 0,025~7\end{align*}$
    $\quad$
  3. La probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,005~2)^5 \\
    &\approx 0,026~0\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $n$ systèmes d’alarme prélevés.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0,005~25$.

$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,07&\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,07 \\
&\ssi P(Y=0)\pp 0,93 \\
&\ssi (1-0,005~25)^n \pp 0,93 \\
&\ssi n\ln(0,994~75) \pp \ln(0,93) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)}\approx 13,79$

Il faut donc prélever au moins $14$ systèmes d’alarme pour que la probabilité d’avoir au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieur à $0,07$.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. 
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{5}\times 4^2 \\
    &=\dfrac{16}{5} \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{5}\times \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 \\
    &=\dfrac{256}{125} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On peut écrire :
    $\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(p) :}\\
    \quad \text{u = 4} \\
    \quad \text{for i in range(1,p+1) :} \\
    \qquad \text{u = u**2 / 5} \\
    \quad \text{return u}\end{array}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~~ 0<u_n\pp 4$.
    Initialisation : $u_0=4$ donc $P(0)$ est vraie
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} 0<u_n\pp 4 &\Rightarrow 0<u_n^2\pp 16 \\
    &\Rightarrow 0<\dfrac{1}{5} u_n^2 \pp \dfrac{16}{5} \\
    &\Rightarrow0<u_{n+1}\pp 4\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n\pp 4$.
    $\quad$
    b. Soit $n \in \N$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{5}u_n^2-u_n \\
    &=\dfrac{u_n}{5}\left(u_n-5\right)\end{align*}$
    Or $u_n>0$ et $u_n-5<0$ car $u_n\pp 4$
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  3. a. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x^2$. Elle est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    La suite $\left(u_n\right)$ est convergente et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Ainsi $\ell =\dfrac{1}{5}\ell^2$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \ell =\dfrac{1}{5}\ell^2 &\ssi 5\ell-\ell^2=0 \\
    &\ssi \ell(5-\ell)=0 \\
    &\ssi \ell=0 \text{ ou } \ell =5 \end{align*}$
    Pour tout $n\in \N$ on a $0<u_n\pp 4$.
    Par conséquent $\ell$ ne peut pas être égale à $5$.
    Ainsi $\ell=0$.
    $\quad$
  4. a. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{5}u_n^2\right) \\
    &=\ln\left(u_n^2\right)-\ln(5) \\
    &=2\ln\left(u_n\right)-\ln(5) \\
    &=2v_n-\ln(5)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-\ln(5) \\
    &=2v_n-\ln(5)-\ln(5) \\
    &=2\left(v_n-\ln(5)\right) \\
    &=2w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme
    $\begin{align*} w_0&=v_0-\ln(5)\\
    &=ln(4)-\ln(5) \\
    &=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $w_n= \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n$.
    Donc
    $\begin{align*} v_n&=w_n+\ln(5) \\
    &=\ln(5)+\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<0$ et $1<2$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=-\infty$
    Or $v_n=\ln\left(u_n\right)$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0^+$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} g(\e)&=1+\e^2\left(1-2\ln(\e)\right) \\
    &=1+\e^2(1-2) \\
    &=1-\e^2 \\
    &\approx -6,39\end{align*}$
    Donc $g(\e)<0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Par hypothèse la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout $x>0$
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\left(1-2\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{-2}{x} \\
    &=2x-4x\ln(x)-2x \\
    &=-4x\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout $x>0$ on a $-4x<0$.
    $\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$.
    Ainsi $f'(x)=0 \ssi x=1$ et $f'(x)<0 \ssi 0<x<1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $g(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    d. D’après la calculatrice $g(1,89) \approx 0,02>0$ et $g(1,90) \approx -0,02<0$.
    Donc $1,89 <\alpha<1,90$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$.
    Ainsi:
    – pour tout $x\in [1;\alpha[$ on a $g(x)>0$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – pour tout $x\in ]\alpha;+\infty[$ on a $g(x)>0$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $\ln(x)\pg 0$ donc $g\dsec(x)\pp 0$.
    La fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. $g(1)=2$ et $g(\alpha)=0$.
    L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    Or le coefficient directeur de cette droite est
    $\begin{align*} a&=\dfrac{0-2}{\alpha-1} \\
    &=\dfrac{-2}{\alpha-1}\end{align*}$
    $\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi 0=\dfrac{-2}{\alpha-1}\times \alpha+b \\
    &\ssi b=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}\end{align*}$
    Ainsi l’équation réduite de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est concave sur $[1;\alpha]$. Ainsi la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de toutes ses cordes sur cet intervalle, en particulier de la droite $(AB)$.
    Ainsi, pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a donc $H(0;3;2)$ et $G(5;3;2)$.
    $\quad$
    b. Ainsi $\vect{HG}\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$
    Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite $(GH)$ est $\begin{cases} x=5t\\y=3\\z=2\end{cases}$.
    $\quad$
  2. a. $M$ a donc pour coordonnées $(x;3;2)$ avec $x\in [0;5]$.
    Par conséquent $\vect{HM}\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}$
    $\vect{HM}=k\vect{HG}\ssi  x=5k$.
    Donc $M$ a pour coordonnées $(5k;3;2)$.
    $\quad$
    b. $\vect{AM}\begin{pmatrix} 5k\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix} 5k-5\\0\\2\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{AM}.\vect{CM}&=5k(5k-5)+0+4\\
    &=25k^2-25k+4\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le triangle $AMC$ est rectangle en $M$
    si, et seulement si, $\vect{AM}.\vect{CM}=0$
    si, et seulement si, $25k^2-25k+4=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\delta=(-25)^2-4\times 4\times 25=225>0$
    Les solutions de cette équation sont donc $k_1=\dfrac{25-\sqrt{225}}{50}=\dfrac{1}{5}$ et $k_2=\dfrac{25+\sqrt{225}}{50}=\dfrac{4}{5}$
    Ainsi, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ est rectangle si, et seulement si, $k=\dfrac{1}{5}$ ou $k=\dfrac{4}{5}$.
    $\quad$
  3. a. On a $A(0;0;0)$, $C(5;3;0)$ et $D(0;3;0)$
    Une équation cartésienne du plan $(ACD)$ est donc $z=0$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, un vecteur normal au plan $(ACD)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
    On a $\vect{MK}\begin{pmatrix} 0\\0\\-2\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{MK}$ sont colinéaires et $\vect{MK}$ un vecteur normal au plan $(ACD)$.
    De plus, la côte du point $K$ est $0$ donc $K$ appartient au plan $(ACD)$.
    Par conséquent, $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
    $\quad$
    c. $AD=3$, $DC=5$. Donc l’aire du triangle $ACD$ est $\mathscr{A}=\dfrac{15}{2}$.
    De plus $MK=2$.
    Le volume, en unités de volume, du tétraèdre $MACD$ est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times MK\times \mathscr{A} \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 2\times \dfrac{15}{2} \\
    &=5\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le point $M$ de coordonnées $(1;3;2)$ correspond au point obtenu à l’aide $k=\dfrac{1}{5}$ à la question 2.a.
    Par conséquent, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$.
    $\begin{align*} AM^2&=1+9+4 \\
    &=14\end{align*}$
    Donc $AM=\sqrt{14}$
    $\begin{align*} MC^2&=(-4)^2+0+2 \\
    &=20\end{align*}$
    Donc $MC=\sqrt{20}$
    L’aire du triangle $AMC$ rectangle en $M$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}’&=\dfrac{AM\times MC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{14\times 20}}{2} \\
    &=\sqrt{70}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre $AMCD$ est
    $\begin{align*} V=5&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}’\times DP =5\\
    &\ssi \dfrac{1}{3}\times \sqrt{70}\times DP=5 \\
    &\ssi DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}} \end{align*}$
    Par conséquent $DP\approx 1,8$.
    $\quad$

 

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : Probabilités

PARTIE A

Le système d’alarme d’une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l’alarme s’active avec une probabilité de $0,97$.
La probabilité qu’un danger se présente est de $0,01$ et la probabilité que l’alarme s’active est de $0,014~65$.
On note $A$ l’évènement « l’alarme s’active » et $D$ l’événement « un danger se présente ».
On note $\conj{M}$ l’évènement contraire d’un évènement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l’évènement $M$.

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme s’active.
    Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’alarme s’active sachant qu’aucun danger ne s’est présenté est $0,005$.
    $\quad$
  4. On considère qu’une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu’un danger se présente et qu’elle ne s’active pas ou bien lorsqu’aucun danger ne se présente et qu’elle s’active.
    Montrer que la probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à $0,01$.
    $\quad$

PARTIE B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d’alarme. On prélève successivement et au hasard $5$ systèmes d’alarme dans la production de l’usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note $S$ l’évènement « l’alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que $P(S) = 0,005~25$.
On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $5$ systèmes d’alarme prélevés.
Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.

  1. Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
    $\quad$

PARTIE C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard $n$ systèmes d’alarme.
Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d’avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0,07$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : Suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{1}{5}u_n^2$.

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel $p$.
    Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(p) :}\\
    \quad \text{u= …}\\
    \quad \text{for i in range(1,…) :}\\
    \qquad \text{u =…}\\
    \quad \text{return u}\end{array}$$
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \pp 4$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. a. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l’égalité $\ell=\dfrac{1}{5}\ell^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln\left(u_n\right)$ et $w_n = v_n-\ln(5)$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n-\ln(5)$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $2$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $v_n = \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n+\ln(5)$
    $\quad$
  5. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$ et retrouver $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Exercice 3     7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$g(x)=1+x^2\left[1-2\ln(x)\right]$$

La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

PARTIE A

  1. Justifier que $g(\e)$ est strictement négatif.
    $\quad$
  2. Justifier que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $g'(x)=-4x\ln(x)$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
  4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$

PARTIE B

  1. On admet que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g\dsec(x)= -4\left[\ln(x)+1\right]$.
    Justifier que la fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1 ; \alpha]$.
    $\quad$
  2. Sur la figure ci-dessous, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathscr{C}$ d’abscisses respectives $1$ et $\alpha$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que
$AB = 5$, $AD = 3$ et $AE = 2$.
L’espace est muni d’un repère orthonormé d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5; 0; 0)$, $(0; 3; 0)$ et $(0; 0; 2)$.

  1. a. Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\vect{HM}=k\vect{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l’intervalle $[0; 1]$.
    a. Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k ; 3 ; 2)$.
    $\quad$
    b. En déduire que $\vect{AM}.\vect{Cm}=25k^2-25k+4$
    $\quad$
    c. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$.
    $\quad$

Dans toute la suite de l’exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 3; 2)$.
On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ .
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule  $\dfrac{1}{3}\times$ Aire de la base $\times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

  1. On considère le point $K$ de coordonnées $(1; 3; 0)$.
    a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$.
    $\quad$
    b. Justifier que le point $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
    $\quad$
    c. En déduire le volume du tétraèdre $MACD$.
    $\quad$
  2. On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$.
    Calculer la distance $DP$ en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2022

Amérique du Sud – 27 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*}P\left(C_3\cap D\right)&=P\left(C_3\right)\times P_{C_3}(D) \\
    &=0,2\times 0,04 \\
    &=0,008\end{align*}$
    La probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux est égale à $0,008$.
    $\quad$
  3. $\left(C_1,C_2,C_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(D)&=P\left(C_1\cap D\right)+P\left(C_2\cap D\right)+P\left(C_3\cap D\right) \\
    &=P\left(C_1\right)\times P_{C_1}(D) +P\left(C_2\right)\times P_{C_2}(D) +0,008 \\
    &=0,5\times 0,01+0,3\times 0,005+0,008 \\
    &=0,014~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_D\left(C_3\right)&=\dfrac{P\left(C_3\cap D\right)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,008}{0,014~5} \\
    &\approx 0,551~7\end{align*}$
    La probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3 est environ égale à $0,551~7$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{20}{3}0,014~5^3\times (1-0,014~5)^{17} \\
    &\approx 0,002~7\end{align*}$
    La probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à $0,002~7$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,014~5)^{20}\\
    &\approx 0,746~7\end{align*}$
    La probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale $0,746~7$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &\approx 0,253~3\end{align*}$
    La probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale $0,253~3$.
    $\quad$
  2. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014~5$.
    $\begin{align*} P(X=0)\pg 0,85&\ssi (1-0,014~5)^n\pg 0,85 \\
    &\ssi 0,985~5^n\pg 0,85 \\
    &\ssi n\ln(0,985~5)\pg \ln(0,85) \\
    &\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)} \approx 11,13$.
    La proposition de former des lots de $11$ composants au maximum est donc exact.
    $\quad$

Partie C

$0,5\times 15+0,3\times 12+0,2\times 9=12,9$
Le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise est égale à $12,90$ euros.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

  1. $g(1)=0$ et $g(\e)=2(\e-1)-\e$ soit $g(\e)=\e-2$.
    $\quad$
  2. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^-} x\ln(x)=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right) \\
    &=2-\ln(x)-1 \\
    &=1-\ln(x)\end{align*}$
    $g'(x)>0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    $g'(x)=0\ssi 1-\ln(x)=0 \ssi x=\e$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;\e]$.
    $\lim\limits_{x\to 0^-}  g(x)=-2<0$ et $g(\e)=\e-2>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;\e]$.
    Or $g(1)=0$. L’unique solution de l’équation appartenant à $]0;\e]$ est donc $1$.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[\e;+\infty$.
    $g(\e)=\e-2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $1$ et $\alpha$ où $\alpha\in[\e;+\infty[$.
    D’après la calculatrice, $4,92<\alpha<4,93$.
    $\quad$.
  5. D’après le tableau de variations et la question précédente on obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*}f'(x)&=3-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)-2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-\ln(x)-1-\dfrac{2}{x} \\
    &=2-\ln(x)-\dfrac{2}{x} \\
    &=2\times \dfrac{x-1}{x}-\ln(x) \\
    &=\dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} \\
    &=\dfrac{g(x)}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. $f\dsec(x)>0 \ssi 2-x>0 \ssi x<2$
    $f\dsec(x)=0 \ssi 2-x=0 \ssi x=2$
    La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;2]$ et concave sur $[2;+\infty[$.
    $f(2)=6-4\ln(2)$
    $\mathscr{C}_f$ admet donc un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(2;6-4\ln(2)\right)$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Chaque année la population diminue de $10\%$. Il reste donc $90\%$ de cette population soit $0,9u_n$.
    On réintroduit $100$ individus dans cette réserve à la fin de chaque année.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=0,9u_n+100$.
    $\quad$
  2. $u_1=1~900$ et $u_2=1~810$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n\in \N$ on pose $P(n):~1~000<u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=2~000$ et $u_1=1~900$. Donc $1~000<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*}1~000 <u_{n+1} \pp u_n &\ssi 900 <0,9u_{n+1} \pp 0,9u_n \\
    &\ssi 1~000 <0,9u_{n+1}+100\pp 0,9u_n+100 \\
    &\ssi 1~000< u_{n+2}\pp u_{n+1}\end{align*}$
    La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1~000<u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1~000$. Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  5. a. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
    &=0,9u_n+100-1~000 \\
    &=0,9u_n-900 \\
    &=0,9\left(u_n-1~000\right) \\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$.
    $\quad$
    b. $v_0=1~000$. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $v_n=1~000\times 0,9^n$.
    Or $v_n=u_n-1~000 \ssi u_n=v_n+1~000$.
    Donc
    $\begin{align*} u_n&=v_n+1~000 \\
    &=1~000\times 0,9^n+1~000 \\
    &=1~000\left(0,9^n+1\right)\end{align*}$
    $\quad$
    c. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$
    Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1~000$.
    Sur le long terme, la population de cette espèce sera de $1~000$ individus dans cette réserve.
    $\quad$
  6. a.
    $\begin{align*} u_n\pp 1~020&\ssi 1~000\left(1+0,9^n\right)\pp 1~020 \\
    &\ssi 1+0,9^n \pp 1,02 \\
    &\ssi 0,9^n \pp 0,02 \\
    &\ssi n\ln(0,9)\pp \ln(0,02) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)}\approx 37,13$.
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp 1~020$ est donc $38$.
    $\quad$
    b. On peut écrire
    $\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def population(S) :}\\
    2& \text{  n=0}\\
    3&\text{  u=2000}\\
    4&\\
    5&\text{  while u > 1020 :}\\
    6&\text{    u = 0.9 * u + 100}\\
    7&\text{    n = n + 1}\\
    8&\text{  return n}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}$
    $\dfrac{6}{2}\neq \dfrac{-2}{-6}$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
    $\quad$
    b. D’une part $\vect{AB}.\vec{n}=6-8+2=0$
    D’autre part $\vect{AC}.\vec{n}=2-8+6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+2y-z+d=0$.
    $A(0;8;6)$ appartient au plan $(ABC)$. Ainsi $0+16-6+d=0 \ssi d=-10$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+2y-z-10=0$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{DE}\begin{pmatrix}6\\6\\-6\end{pmatrix}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ est donc $\begin{cases} x=6t\\y=6t\\z=6-6t\end{cases} \quad y\in \R$.
    $\quad$
    b. $I$ a pour coordonnées $(4;4;2)$.
    En prenant $t=\dfrac{4}{6}$ dans la représentation paramétrique précédente on obtient le point de coordonnées $(4;4;2)$.
    Le point $I$ appartient bien à la droite $(DE)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{BC}\begin{pmatrix} -4\\0\\-4\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}\neq 0$, $\vect{AB}.\vect{BC}\neq 0$ et $\vect{AC}.\vect{AB}\neq 0$.
    $\begin{align*} AC^2&=2^2+(-4)^2+(-6)^2 \\
    &=4+16+36 \\
    &=56\end{align*}$
    $\begin{align*} AB^2&=6^2+(-4)^2+(-2)^2 \\
    &=36+16+4 \\
    &=56\end{align*}$
    $\begin{align*} BC^2&=(-4)^2+0^2+(-4)^2 \\
    &=32\end{align*}$.
    Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. $\vect{AI}\begin{pmatrix} 4\\-4\\-4\end{pmatrix}$.
    Donc
    $\begin{align*} AI^2&=4^2+(-4)^2+(-4)^2 \\
    &=16+16+16 \\
    &=48\end{align*}$
    L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{48}\times \sqrt{32}}{2} \\
    &=8\sqrt{6} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=12+16+12 \\
    &=40\end{align*}$
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*}
    \vect{AB}.\vect{AC}=40&\ssi AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40 \\
    &\ssi 56\cos \widehat{BAC}=40 \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 44,4$°.
    $\quad$
  4. $\vect{OH}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{3}\\\dfrac{10}{3}\\-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{OH}=\dfrac{5}{3}\vec{n}$.
    $\vect{OH}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\begin{align*} \dfrac{5}{3}+2\times \dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}-10&=\dfrac{30}{3}-10 \\
    &=0\end{align*}$
    Le point $H$ appartient donc au plan $(ABC)$.
    Ainsi $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
    La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est
    $\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{150}{9}}\\
    &=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}\end{align*}$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

  • • La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1;
  • $30 \%$ des composants sont conçus sur la chaîne n°2;
  • les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.

À l’issue du processus de fabrication, il apparaît que $1 \%$ des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que $0,5 \%$ des pièces issues de la chaîne n°2 et $4 \%$ des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

  • $C_1$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°1 »;
  • $C_2$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°2 »;
  • $C_3$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 »;
  • $D$ l’évènement « le composant est défectueux » et $\conj{D}$ son évènement contraire.

Dans tout l’exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

  1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’évènement $D$ est $P(D) = 0,014~5$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

PARTIE B

L’entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,014~5$.

  1. Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n = 20$.
    a. Calculer la probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux.
    En déduire la probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux.
    $\quad$
  2. Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$.
    Il propose de former des lots de $11$ composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
    $\quad$

PARTIE C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°1, $12$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et $9$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$, par : $$f(x)=3x-x\ln(x)-2\ln(x)$$

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g(x) = 2(x-1)-x \ln(x)$$
On note $g’$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

  1. Calculer $g(1)$ et $g(\e)$.
    $\quad$
  2. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.
    $\quad$
  3. Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1-\ln(x)$.
    En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 ; +\infty[$ : $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l’intervalle $[\e ; +\infty[$.
    On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
    $\quad$
  5. En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

On considère dans cette partie la fonction $f$ , définie sur $]0 ; +\infty[$,par
$$f(x) = 3x-x \ln(x)-2\ln(x)$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\Oij$ ci-dessous. On admet que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.

  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.
    $\quad$
  2. a. Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=\dfrac{2-x}{x^2}$.
    Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thème : Suites

La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de $10 \%$ chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l’effectif de la population au début de l’année 2020$+n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Au début de l’année 2020, la population étudiée compte $2~000$ individus, ainsi $u_0 = 2~000$.

  1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence :
    $u_{n+1} = 0,9u_n +100$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1~000 < u_{n+1}\pp u_n$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1~000$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1~000(1+0,9n
    )$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.
    $\quad$
  6. On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil $S$ (avec $S > 1~000$).
    a. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \pp 1~020$.
    Justifier la réponse par un calcul.
    $\quad$
    b. Dans le programme Python ci-dessous, la variable $n$ désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l’effectif de la population.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{def population(S) :}\\
    2&\quad \text{n=0}\\
    3&\quad \text{u=2000}\\
    4&\\5&\quad \text{while …… :}\\
    6& \qquad \text{u= …}\\
    7& \qquad \text{n = …}\\
    8& \quad \text{return …}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $$
A(0 ; 8 ; 6), B(6 ; 4 ; 4) \text{ et } C(2 ; 4 ; 0)$$

  1. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1 ; 2 ; -1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0; 0; 6)$ et $(6; 6; 0)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.
    $\quad$
  3. On considère le triangle $ABC$.
    a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle $ABC$ en unité d’aire.
    $\quad$
    c. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
    $\quad$
    d. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0,1$ degré.
    $\quad$
  4. On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
    Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
    En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 1 – 8 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 8 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$
    $\begin{align*} g(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right) }\\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=2$.
    La droite d’équation $y=2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$ en $+\infty$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $f\dsec$ semble positive sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+1-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-1 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. $0<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=1$.
    $\begin{align*}\dfrac{n}{n+1}&=\dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n+1}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 2-\dfrac{n}{n+1}=1$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
    Réponse b
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$.
    La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}x^3\times \dfrac{1}{x}\\
    &=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2 \\
    &=x^2\ln(x)\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    Réponse a
    $\quad$
  6. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} 2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}&=\dfrac{2\e^{-x}+2+3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{5\e^{-x}-3}{\e^{-x}+1} \\
    &=\dfrac{\e^{-x}\left(5-3\e^x\right)}{\e^{-x}\left(1+\e^x\right)} \\
    &=\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)=0,06$ et $p\left(\conj{M}\right)=1-0,7$ c’est-à-dire $p\left(\conj{M}\right)=0,3$.
    Or
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,06}{0,3} \\
    &=0,2\end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre suivant :
    $\quad$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} p\left(G\cap \conj{M}\right)&=p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(G) \\
    &=0,3\times 0,8\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » est égale à $0,24$.
    $\quad$
    d. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(G)&=p(G\cap M)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=p(M)\times p_M(G)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
    &=0,7\times 0,6+0,24 \\
    &=0,66\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p_G(M)&=\dfrac{p(G\cap M)}{p(G)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{7}{11} \\
    &>\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc exacte.
    $\quad$
  3. a. On a $T(\Omega)=\acco{0,~5,~12,~17}$
    $\begin{align*} p(T=0)&=p\left(\conj{G}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,06\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=5)&=p\left(G\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,24\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=12)&=p\left(\conj{G}\cap M\right) \\
    &=0,28\end{align*}$
    $\begin{align*} p(T=17)&=p\left(G\cap M\right) \\
    &=0,42\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&5&12&17\\
    \hline
    p(T=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $T$ est donc
    $\begin{align*} E(T)&=0\times 0,06+5\times 0,24+12\times 0,28+17\times 0,42 \\
    &=11,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. Un client dépense donc en moyenne $11,70$ €.
    On appelle $N$ le nombre moyen de clients par journée.
    $11,7N\pg 700 \ssi x\pg \dfrac{700}{11,7}$
    Or $\dfrac{700}{11,7}\approx 59,83$.
    Il faut donc, en moyenne, au moins $60$ clients par journée pour atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. On appelle $p$ le prix de la visite de la grotte. On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites. On obtient alors la loi de probabilité suivante
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    t&0&x&12&12+x\\
    \hline
    p(T’=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
    \hline
    \end{array}$
    Son espérance est donc
    $\begin{align*} E(T’)&=0,24x+12\times 0,28+0,42(12+x) \\
    &=0,24x+3,36+5,04+0,42x \\
    &=8,4+0,66x\end{align*}$
    $\begin{align*} E(T’)=15&\ssi 8,4+0,66x=15 \\
    &\ssi 0,66x=6,6 \\
    &\ssi x=10\end{align*}$
    Le prix de la visite de la grotte devrait donc être de $10$ euros pour atteindre l’objectif.
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant visité la grotte. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,66$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,66$.
    D’après la calculatrice :
    $\begin{align*} P(X\pg 75)&=1-P(X\pp 74) \\
    &\approx 0,034\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins les trois quarts des clients de l’hôtel aient visité la grotte est environ égale à $0,034$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Par croissances comparées,$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 1$ on a $x^2\pg 1$
    $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi=\e$ donc $f'(x)=0 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [1;\e]$
    $1-\ln(x)<0 \ssi \ln(x)>1 \ssi x>\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [\e;+\infty[$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. a. Soit $k$ un réel, $0\pp k \pp \e^{-1}$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;\e]$.
    $f(0)=0\pp k$ et $f(\e)=\e^{-1}\pg k$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
    b. Soit $k$ strictement supérieur à $\dfrac{1}{\e}$.
    Pour tout réel $x\pg 1$ on a $fx)\pp \e^{-1}$.
    Par conséquent l’équation $f(x)=k$ n’admet aucune solution sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{4}\e^{\frac{x}{4}}>0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp \e$.
    Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\e^{\frac{1}{4}}\approx 1,28$
    Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp \e$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $u_n \pp u_{n+1} \pp \e$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $[1;\e]$. Par conséquent :
    $g\left(u_{n+1}\right) \pp g\left(u_{n+1}\right) \pp g(\e)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \e^{-1}\pp \e$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e$.
    Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. $\e^{\frac{x}{4}}=x \ssi \dfrac{x}{4}=\ln(x) \ssi \dfrac{1}{4}=\dfrac{\ln(x)}{x} \ssi f(x)=\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  5. D’après la calculatrice une solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ est environ égale à $1,43$ qui appartient bien à $[1;\e]$.
    Ainsi $\ell \approx 1,43$.

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $\vect{DE}\begin{pmatrix} 12\\-15\\-6\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\dfrac{1}{3}\vect{DE}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Ainsi, une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles. Un vecteur directeur de de $\Delta$ est donc également un vecteur directeur de $\Delta’$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta’$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    $\quad$
    c. $4t=1,36 \ssi t=0,34$
    De plus $-5\times 0,34=-1,7$ et $-2\times 0,34=-0,68 \neq -0,7$.
    Donc $F$ n’appartient pas à la droite $\Delta’$.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (aucune coordonnée nulle pour le vecteur $\vect{AB}$). Les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc bien un plan.
    $\quad$
    b. On note $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vect{AB}=8-10+2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=8+0-8=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $4x-5y-2z+d=0$.
    Le point $A(-1;-1;3)$ appartient au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $-4+5-6+d=0 \ssi d=5$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Prenons $t=2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$.
    Le point de coordonnées $(7;-4;5)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Donc $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} 4x-5y-2z+5=0\\x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\-4+16t-30+25t-16+4t+5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\45t=45\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=1\\z=6\end{cases} \end{align*}$.
    Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;1;6)$.
    $\quad$
    c. La distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est par conséquent $HG$.
    Or $\vect{HG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -4\\5\\2\end{pmatrix}$
    Ainsi
    $\begin{align*} HG&=\sqrt{(-4)^2+5^2+2^2} \\
    &=\sqrt{16+25+4} \\
    &=\sqrt{45} \\
    &=\sqrt{9\times 5}\\
    &=3\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. $AB=\sqrt{9}=3$ et $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
    Le volume du tétraèdre $ABCG$ est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{AB\times AC}{2}\times HG}{3} \\
    &=\dfrac{3\times \sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{3} \\
    &=15\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}$.
    La courbe représentative de la fonction $g$ admet pour asymptote en $+\infty$ la droite d’équation :
    a. $x=2$;
    b. $y=2$;
    c. $y=0$
    d. $x=-1$.
    $\quad$
  2. On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
    On appelle $C$ sa représentation graphique.
    $\quad$
    On désigne par $d\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
    $\quad$
    On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f\dsec$, notée $C\dsec$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. $C$ admet un unique point d’inflexion;
    b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;2]$;
    c. $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$;
    d. $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
  3. On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0= 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.
    La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-2$, est :
    a. arithmétique de raison $-2$;
    b. géométrique de raison $-2$;
    c. arithmétique de raison $1$;
    d. géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \pp u_n \pp 2-\dfrac{n}{n+1}$$
    On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
    a. converge vers $2$;
    b. converge vers $1$;
    c. diverge vers $+\infty$;
    d. n’a pas de limite.
    $\quad$
  5. Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
    Une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ est définie par :
    a. $F(𝑥) =\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$;
    b. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-1\right)$;
    c. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2$;
    d. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2\left(\ln(x)-1\right)$.
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x$ , l’expression $2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}$ est égale à :
    a. $\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}$;
    b. $\dfrac{5+3\e^x}{1-\e^x}$;
    c. $\dfrac{5+3\e^x}{1+\e^x}$;
    d. $\dfrac{5-3\e^x}{1-\e^x}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que $70\%$ des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, $60\%$ visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que $6\%$ des clients de l’hôtel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

  • $M$ l’événement : « le client visite le musée » ;
  • $G$ l’événement : « le client visite la grotte ».

On note $\conj{M}$ l’événement contraire de $M$, 𝐺$\conj{G}$ l’événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)= 0,06$

  1. a. Vérifier que $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right) = 0,2$, où $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.
    $\quad$
    b. L’arbre pondéré ci-dessous modélise la situation. Recopier et
    compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité
    associée.
    $\quad$
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
    $\quad$
    d. Montrer que $p(G) = 0,66$.
    $\quad$
  2. Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :
    $\bullet$ visite du musée : $12$ euros ;
    $\bullet$ visite de la grotte : $5$ euros.
    On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.
    a. Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance mathématique de $T$.
    $\quad$
    c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.
    $\quad$
  4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à $15$ euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du
    prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
    $\quad$
  5.  On choisit au hasard $100$ clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ? On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thèmes : fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x\pg 1$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

    $\quad$
    c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
    a. Montrer que, si $0\pp k\pp \dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1 ;\e]$.
    $\quad$
    b. Si $k>\dfrac{1}{\e}$, l’équation $𝑓(𝑥) = k$ admet-elle des solutions sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ ?
    Justifier.
    $\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^{\frac{x}{4}}$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\e^{\frac{u_n}{4}} \text{  c’est à dire : } u_{n+1}=g\left(u_n\right)$$

  1. Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$, et on admet que $\ell$ est solution de l’équation : $$\e^{\frac{x}{4}}=x$$

  1. En déduire que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points
$A(-1 ; -1 ; 3)$, $B(1 ; 1 ; 2)$, $C(1 ; -1 ; 7)$.
On considère également la droite ∆ passant par les points $D(-1 ; 6 ; 8)$ et $E(11 ; -9 ; 2)$.

  1. a. Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique :
    $$\begin{cases}x = -1 + 4t\\y = 6-5t,z = 8-2t\end{cases} \quad \text{avec }t\in \R$$
    $\quad$
    b. Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ et passant par l’origine $O$ du repère.
    $\quad$
    c. Le point $F(1,36 ; -1,7 ; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta’$ ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $4x-5y-2z+5=0$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que le point $G(7; -4; 4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$, $\vect{DC}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix} -1\\5\\-4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vect{AB}=\vect{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.
    De plus
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AD}&=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4) \\
    &=-5+5+0\\
    &=0\end{align*}$
    $ABCD$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.
    Par conséquent $ABCD$ est un rectangle.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{5^2+1^2+0^2} \\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} AD&=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{42}\end{align*}$
    L’aire du rectangle $ABCD$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=AB\times AD \\
    &=\sqrt{26}\times \sqrt{42}\\
    &=2\sqrt{273}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ ne sont pas colinéaires (une des coordonnées de $\vect{AB}$ est nulle tandis que la même coordonnée de $\vect{AD}$ ne l’est pas).
    Ainsi $A$, $B$ et $D$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. D’une part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=-2\times 5+10\times 1+13\times 0\\
    &=-10+10+0\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AD}&=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)\\
    &=2+50-52\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABD)$.
    $\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc de la forme $-2x+10y+13z+d=0$.
    Le point $A(-3;1;3)$ appartient à ce plan.
    Par conséquent $6+10+39+d=0\ssi d=-55$
    Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc $-2x+10y+13z-55=0$.
    $\quad$
  3. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $I$ sont solution du système:
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2x+10y+13z-55=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\6+4t+140+100t+182+169t-55=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\273t+273=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-1\\y=4\\z=1\end{cases}\end{align*}$
    Le point $I$ a donc pour coordonnées $(-1;4;1)$.
    $\quad$
    c. $\vect{IK}\begin{align*} -2\\10\\-13\end{align*}$
    Donc
    $\begin{align*} IK&=\sqrt{(-2)^2+10^2+(-13)^2} \\
    &=\sqrt{273}\end{align*}$
    Ainsi la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut bien $\sqrt{273}$.
    $\quad$
  4. Le volume de la pyramide $KABCD$ est
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273} \\
    &=182\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_2$ représente une fonction qui semble être strictement positive et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$. La courbe de sa fonction dérivée est  strictement située en dessous de l’axe des abscisses ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_1$.
    En revanche la courbe $\mathscr{C}_1$ semble représenter une fonction strictement croissante. La courbe de sa fonction dérivée est donc située strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
    Ainsi $f$ est représentée par $\mathscr{C}_1$ et $f’$ par $\mathscr{C}_2$.
    $\quad$
  2. Graphiquement l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution qui vaut environ $5,6$.
    $\quad$
  3. Graphiquement la fonction $f$ semble être concave sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. On étudie le signe de la fonction $g$ définie sur $]3;+\infty[$ par $g(x)=x^2-x-6$.
    Le discriminant est $\Delta =25>0$.
    Les racines de $x^2-x-6$ sont donc $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=3$.
    Le coefficient principale de $x^2-x-6$ est $a=1>0$.
    Ainsi $g(x)>0$ sur $]3;+\infty[$.
    Par conséquent $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie sur $]3;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to 3^+} x^2-x-6=0$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=-\infty$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-x-6=0$ (fonction du second degré dont le coefficient principal est positif) et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    La droite d’équation $x=3$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in I$ on a $f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\in I$ on a $x^2-x-6>0$. Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x-1$.
    $2x-1=0\ssi 2x=1\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
    Or $\dfrac{1}{2}<3$. Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $f'(x)>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]3;+\infty[$ et donc sur $]5;6[$.
    De plus $f(5)\approx 2,64<3$ et $f(6)\approx 3,18>3$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur l’intervalle $]5;6[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $5,63<\alpha<5,64$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $f’$ est dérivable sur $]3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi, pour tout réel $x\in I$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2-x-6\right)-(2x-1)^2}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-2x-12-\left(4x^2-4x+1\right)}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
    &=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. Un carré étant toujours positif, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+2x-13$.
    Son discriminant est $\Delta=-100<0$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-2<0$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $-2x^2+2x-13<0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\in I$, $f\dsec(x)<0$ et la fonction $f$ est concave sur $I$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’heure à l’aéroport à temps pour son vol. Donc $P_B(V)=1$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. $\left(B,\conj{B}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(V)&=P(B\cap V)+P\left(\conj{B}\cap V\right) \\
    &=P(B)\times P_B(V)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(V) \\
    &=0,2\times 1+0,8\times 0,5 \\
    &=0,6\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 1}{0,6}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    La probabilité que Julien soit arrivé à l’aéroport en bus sachant qu’il est à l’heure à l’aéroport pour son vol est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. On répète, de façon indépendante, $206$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=206$ et $p=0,95$.
    $\quad$
  2. L’espérance mathématique de $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=206\times 0,95 \\
    &=195,7\end{align*}$
    En moyenne, $195,7$ (soit environ $196$) passagers vont se présenter à l’embarquement.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} P(X=201)&=\dbinom{206}{201} \times 0,95^{201}\times 0,05^5 \\
    &\approx 0,031\end{align*}$
    La probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,031$.
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice, $P(X\pp 200)\approx 0,948$.
    La probabilité que le nombre de passagers se présentant à l’embarquement soit inférieur à la capacité de l’avion est environ égale à $0,948$.
    $\quad$
  5. a. On a :
    $\begin{align*} P(Y=6)&=1-\left(P(Y=0)+P(Y=1)+\ldots+P(Y=5)\right) \\
    &=0,000~03\end{align*}$
    $\quad$
    b. $206$ billets ont été vendus. La compagnie a donc encaissé $206\times 250=51~500$ euros.
    Pour chaque passager lésé la compagnie doit payer $250+600=850$ euros.
    Il y a $Y$ passagers lésés.
    Ainsi $C=51~500-850Y$.
    $\quad$
    c. La loi de probabilité de $C$ est donc donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    c_i&51~500&50~650&49~800&48~950&48100&47~250&46~400 \\
    \hline
    P\left(C=c_i\right)&0,947~75&0,030~63&0,014~41&0,005~39&0,001~51&0,000~28&0,000~03\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’espérance mathématique de $C$ est
    $\begin{align*} E(C)&=51~500\times P(C=51~500)+49~800\times P(C=50~650)+\ldots+46~400\times P(C=46~400) \\
    &=51~429,25\end{align*}$
    $\quad$
    d. En vendant $200$ billets le chiffre d’affaires est $200\times 250=50~000$ euros.
    Ainsi le chiffre d’affaires moyen en pratiquant le surbooking est supérieur à celui obtenu en vendant exactement $200$ billets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a
    $\begin{align*} p_1&=0,3+0,7p_0^2 \\
    &=0,3+0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,363\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} p_2&=0,3+0,7p_1^2 \\
    &=0,3+0,7\times 0,363^2 \\
    &=0,392~238~3\end{align*}$
    La probabilité que la bactérie ait au plus une seule descendance est égale à $0,363$ et la probabilité qu’elle ait au plus deux descendance est égale à $0,392~238~3$.
    $\quad$
    b. La probabilité d’obtenir au moins $11$ générations de bactérie est $1-p_{10}\approx 0,572$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et converger vers un réel sont la valeur est environ égale à $0,428~5$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $R(n):~0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
    Initialisation : $p_0=0,3$ et $p_1=0,363$ donc $0\pp p_0\pp p_1 \pp 0,5$.
    Par conséquent $R(0)$ est vraie.
    $\quad$Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} 0\pp p_n\pp p_{n+1}\pp 0,5&\Rightarrow 0 \pp p_n^2\pp p_{n+1}^2 \pp 0,25 \\
    &\Rightarrow 0 \pp 0,7p_n^2\pp 0,7p_{n+1}^2 \pp 0,175 \\
    &\Rightarrow 0,3 \pp 0,3+0,7p_n^2\pp 0,3+0,7p_{n+1}^2 \pp 0,475 \end{align*}$
    Par conséquent $0\pp 0,3\pp p_{n+1}\pp p_{n+2} \pp 0,475\pp 0,5$ et $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par $0,5$; elle converge donc vers un réel $L$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f:~x\mapsto 0,3+0,7x^2$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, $p_{n+1}=f\left(p_n\right)$.
    Ainsi $L$ est solution de l’équation $x=f(x)$ soit $0,7x^2-x+0,3=0$.
    $\quad$
    b. Le discriminant de $0,7x^2-x+0,3$ est $\Delta =0,16>0$.
    Ce polynôme du second degré admet donc deux racines : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,16}}{1,4}=\dfrac{3}{7}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,16}}{1,4}=1$.
    Seule $x_1$ appartient à l’intervalle $[0;0,5]$.
    Donc $L=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
  4. On obtient la fonction suivante :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite(n) :}\\
    \quad \text{p = 0.3}\\
    \quad \text{s= [p]}\\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{p = 0.3 + 0.7 * p ** 2}\\
    \qquad \text{s.append(p)}\\
    \quad \text{return (s)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $$A(-3 ; 1 ; 3),~B(2 ; 2 ; 3),~C(1 ; 7 ; -1),~D(-4 ; 6 ; -1) \text{ et } K(-3 ; 14 ; 14)$$

  1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{DC}$ et $\vect{AD}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
    $\quad$
    c. Calculer l’aire du rectangle $ABCD$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2 ; 10 ; 13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
    $\quad$
  3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite ∆$\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.
    $\quad$
  4. Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

 

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f’$
, toutes deux définies sur $]3 ; +\infty[$.

  1. Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation $f (x) = 3$.
    $\quad$
  3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que la quantité $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l’intervalle $]3 ; +\infty[$, que l’on nommera $I$ dans la suite.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x)\ln\left(x^2-x-6\right)$ sur $I$.
    Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l’intervalle $I$.
    En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
    $\quad$
  3. a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
    Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]5; 6[.$
    $\quad$
    b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. a. Justifier que $f\dsec(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2}$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie 1
Julien doit prendre l’avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.
S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de $0,8$.
S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d’être à l’heure à l’aéroport.
On notera :

  • $B$ l’évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
  • $V$ l’évènement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».
  1. Donner la valeur de $P_B (V )$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(V) = 0,6$.
    $\quad$
  4. Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à l’aéroport en bus ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5 \%$ de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. Calculer $P(X \pp 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
    Si plus de $200$ passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
    On appelle :
    $\bullet~~Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet;
    $\bullet~~C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
    $\quad$
    On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    y_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
    \hline
    P\left(Y = y_i\right)&0,947~75& 0,030~63 &0,014~41 &0,005 ~39 &0,001~51& 0,000~28&\phantom{0,000~28}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
    $\quad$
    b. Justifier que : $C = 51500−850Y$.
    $\quad$
    c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d’un tableau.
    Calculer l’espérance de la variable aléatoire $C$ à l’euro près.
    $\quad$
    d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés: Suites numériques. Algorithmique et programmation.

On s’intéresse au développement d’une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu’elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d’obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie.
On admet que, d’après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :
$p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $$p_{n+1} = 0,3+0,7p_n^2$$

  1. La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$.

    a. Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d’obtenir au moins $11$ générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ?
    $\quad$
    c. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$

  2. a. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n \pp p_{n+1}\pp 0,5$.
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    a. Justifier que $L$ est solution de l’équation $0,7x
    2- x+0,3 = 0$
    $\quad$
    b. Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
  4. La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.
    $$\begin{array}{ll}
    \begin{array}{l} 1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\end{array}&\begin{array}{|l|}\hline\text{def suite(n) :}\\
    \quad \text{p = …}\\
    \quad \text{s = [p]}\\
    \quad \text{for i in range (…):}\\
    \quad \text{p = …}\\
    \quad \text{s.append(p)}\\
    \quad \text{return (s)}\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction $\texttt{suite(n)}$ retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.
    $\quad$

$\quad$

 

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – septembre 2021

Métropole – septembre 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (4 points)

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(S\cap I)&=p(S)\times p_S(I) \\
    &=0,08\times 0,9\\
    &=0,072\end{align*}$
    La probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu’il soit classé indésirable est égale à $0,072$.
    $\quad$
    b. $\left(S,\conj{S}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(I)&=p(S)p_S(I)+p\left(\conj{S}\right)p_{\conj{S}}(I) \\
    &=0,08\times 0,9+0,92\times 0,01 \\
    &=0,0812\end{align*}$
    La probabilité que le message soit classé indésirable est $0,0812$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_I(S)&=\dfrac{p(S)\times p_S(I)}{p(I)} \\
    &=\dfrac{0,08\times 0,9}{0,0812} \\
    &\approx 0,89\end{align*}$
    La probabilité que le message soit du spam sachant qu’il est classé comme indésirable est environ égale à $0,89$.
    $\quad$
  3. a. On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ et $\conj{S}$.
    Ainsi $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,08$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} p(Z\pg 2)&=1-p(Z=0)-p(Z=1) \\
    &=1-0,92^{50}-\dbinom{50}{1}0,08\times 0,92^{49} \\
    &=1-0,92^{50}-50\times 0,08\times 0,92^{49} \\
    &\approx 0,92\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins deux courriels choisis soient du spam est environ égale à $0,92$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. Si $t=-2$ on obtient alors $\begin{cases} x=-3\\y=-4\\z=6\end{cases}$
    Le point $N(-3;-4;6)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\vect{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2-1\\1-0\\0-2\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix} 1\\1\\-2\end{pmatrix}$
    Réponse C
    $\quad$
  3. La droite $(AB)$ passe par le point $B(2;1;0)$ et a pour vecteur directeur $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\1\\-2\end{pmatrix}$ mais également le vecteur $-\vect{AB}\begin{pmatrix} -1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Ainsi, une représentation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x=2-t\\y=1-t\\z=2t\end{cases}\quad, t\in \R$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
    Ainsi une équation cartésienne de ce plan est de la forme $2x+y-z+d=0$.
    Le point $C(0;1;2)$ appartient à ce plan.
    Donc $0+1-2+d=0 \ssi d=1$.
    Une équation cartésienne du plan est $2x+y-z+1=0$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} \vect{AD}&=\vect{AO}+\vect{OD} \\
    &=\vect{AO}+3\vect{OA}-\vect{OB}-\vect{OC} \\
    &=2\vect{OA}-\vect{OB}-\vect{OC} \\
    &=\vect{BO}+\vect{OA}+\vect{CO}+\vect{OA} \\
    &=\vect{BA}+\vect{CA}\end{align*}$
    Ainsi les vecteurs $\vect{AD}$, $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires.
    Réponse A
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3 (6 points)

Partie 1

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} -2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} -\e^{-2x}=-\infty$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -\e^{-2x}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-(-2)\e^{-2x} \\
    &=1+2\e^{-2x}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    On obtient le tableau de variation suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,43$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ et s’annule en $\alpha$.
    Donc :
    – $f(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $f(\alpha)=0$;
    – $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II

  1. a. La fonction $t\mapsto t^2+\e^{-2t}$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$. Cette fonction est de plus positive en tant que somme de fonctions positives.
    La fonction $h$ est donc dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} h'(t)&=\dfrac{2t-2\e^{-2t}}{2\sqrt{t^2+\e^{-2t}}} \\
    &=\dfrac{t-\e^{-t}}{\sqrt{t^2+\e^{-2t}}} \\
    &=\dfrac{h(t)}{\sqrt{t^2+\e^{-2t}}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $h'(x)$ a donc le même signe que $f(x)$ pour tout réel $x$.
    D’après la question I.4. on a donc :
    – $h'(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $h'(\alpha)=0$;
    – $h(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    Ainsi $h$ admet un minimum en $\alpha$.
    Le point $A\left(\alpha,g(\alpha)\right)$, c’est-à-dire $A\left(\alpha,\e^{-\alpha}\right)$, est le point de la courbe $\mathscr{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $g'(\alpha)=-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$
    b. Le produit des deux coefficients directeurs est :
    $\begin{align*} -\e^{-\alpha}\times \dfrac{\e^{-\alpha}}{\alpha}&=-\dfrac{\e^{-2\alpha}}{\alpha} \\
    &=-\dfrac{\alpha}{\alpha} \quad \text{car }f(\alpha)=0 \ssi \e^{-2\alpha}=\alpha  \\
    &=-1\end{align*}$
    Les droites $(OA)$ et $T$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$

$\quad$

Ex A

Exercice A (5 points)

  1. On a $u_1=\dfrac{3\times 16+2\times 5}{5}=11,6$.
    et $v_1=\dfrac{16+5}{2}=10,5$
    $\quad$
  2. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=u_{n+1}-v_{n+1} \\
    &=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}-\dfrac{u_n+v_n}{2} \\
    &=\dfrac{6u_n+4v_n-5u_n-5v_n}{10} \\
    &=\dfrac{u_n-v_n}{10} \\
    &=0,1 w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,1$ et de premier terme $w_0=u_0-v_0=11$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $w_n=11\times 0,1^n$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a $w_n\pg 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
    De plus $-1<0,1<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=0$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n\in \N$. On a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}-u_n \\
    &=\dfrac{3u_n+2v_n-5u_n}{5} \\
    &=\dfrac{-2u_n+2v_n}{5} \\
    &=-\dfrac{2}{5} \times \left(u_n-v_n\right) \\
    &=-0,4w_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. $w_n\pg 0$ et $u_{n+1}-u_n=-0,4w_n$ pour tout $n\in \N$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$ pour tout $n\in \N$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et on sait que $v_0=5$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n\pg v_0$ soit $v_n\pg 5$.
    $\quad$
    c. Initialisation : On a $u_0=16$ donc $u_0\pg 5$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{3u_n+2v_n}{5} \\
    &\pg \dfrac{3\times 5+2\times 5}{5} \\
    &\pg 5\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_n \pg 5$.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $5$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on a $w_n=u_n-v_n$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=0$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n-v_n=\ell-\ell’$
    Ainsi $\ell-\ell’=0 \ssi \ell=\ell’$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} c_{n+1}&=5u_{n+1}+4v_{n+1} \\
    &=3u_n+2v_n+2\left(u_n+v_n\right) \\
    &=3u_n+2v_n+2u_n+2v_n\\
    &=5u_n+4v_n\\
    &=w_n\end{align*}$
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc constante.
    Or $c_0=5u_0+4v_0=100$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $c_n=100$.
    $\quad$
    c. Or $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=5\ell+4\ell’$ soit $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=9\ell$ puisque $\ell=\ell’$.
    Par conséquent $9\ell=100 \ssi \ell=\dfrac{100}{9}$.
    $\quad$

Remarque : On dit que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont adjacentes.

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie 1

  1. $f(x)=0\ssi 2\ln(x)-1=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2}\ssi x=\e^{1/2}$.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha=\e^{1/2}\approx 1,65$.
    $\quad$
  2. Graphiquement :
    – $f(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
    – $f(\alpha)=0$;
    – $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$
    $\quad$

Partie II

  1. a. Pour tout $x>0$ on a $g(x)=\ln(x)\left(\ln(x)-1\right)$
    Or $\lim\limits_{x\to 0^-} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^-} \ln(x)-1=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)-1=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2\dfrac{1}{x}\times \ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)-1}{x} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    On a en effet $\alpha=\e^{1/2}$ donc $g(\alpha)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]0;\alpha[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$ et $f(\alpha)=-0,25<m$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=m$ possède une unique solution sur $]0;\alpha[$.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]\alpha;+\infty[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $f(\alpha)=-0,25<m$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=m$ possède une unique solution sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
    De plus $g(\alpha)\neq m$.
    L’équation $g(x)=m$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$ pour tout $m>-0,25$.
    $\quad$
  5. $g(x)=0 \ssi \ln(x)\left(\ln(x)-1\right)=0 \ssi \ln(x)=0$ ou $\ln(x)=1$
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x=1$ ou $x=\e$
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $1$ et $\e$.
    $\quad$

 

 

 

 

Énoncé

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1     4 points

Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).
Parmi ces courriels, $8 \%$ sont du « spam », c’est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu’il est souhaitable de ne pas ouvrir.
On choisit au hasard un courriel reçu par l’entreprise.
Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l’entreprise permettent d’affirmer que :

  • La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que c’est un spam est égale à $0,9$.
    • La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que ce n’est pas un spam est égale à $0,01$.

On note :

  • $S$ l’évènement « le courriel choisi est un spam »;
  • $I$ l’évènement « le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie ».
  • $\conj{S}$ et $\conj{I}$ les évènements contraires de $S$ et $I$ respectivement.
  1. Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu’il soit classé indésirable est égale à $0,072$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.
    $\quad$
    c. Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard $50$ courriels parmi ceux reçus par l’entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de $50$ courriels parmi l’ensemble des courriels reçus par l’entreprise.
    On appelle $Z$ la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les $50$ choisis.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$, et quels sont ses paramètres ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que, parmi les $50$ courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(1; 0; 2)$, $B(2; 1; 0)$, $C(0; 1; 2)$ et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=1+2t\\y=-2+t\\z=4-t\end{cases} \quad,t\in \R$.

  1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$?
    Réponse A : $M(2 ; 1 ; -1)$;
    Réponse B : $N(-3 ; -4 ; 6)$;
    Réponse C : $P(-3 ; -4 ; 2)$;
    Réponse D : $Q(-5 ; -5 ; 1)$.
    $\quad$
  2. Le vecteur $\vect{AB}$ admet pour coordonnées :
    Réponse A : $\begin{pmatrix} 1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$
    Réponse B : $\begin{pmatrix} -1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Réponse C : $\begin{pmatrix} 1\\1\\-2\end{pmatrix}$
    Réponse D : $\begin{pmatrix} 3\\1\\2\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
    Réponse A : $\begin{cases} x=1+2t\\y=t\\z=2\end{cases} \quad,t\in\R$
    Réponse B : $\begin{cases} x=2-t\\y=1-t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in\R$
    Réponse C : $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in\R$
    Réponse D : $\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2-2t\end{cases} \quad,t\in\R$
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne du plan passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $\Delta$ est :
    Réponse A : $x-2y +4z -6 = 0$;
    Réponse B : $2x + y – z +1 = 0$;
    Réponse C : $2x + y – z -1 = 0$;
    Réponse D : $y +2z -5 = 0$.
    $\quad$
  5. On considère le point $D$ défini par la relation vectorielle $\vect{OD}=3\vect{OA}-\vect{OB}-\vect{OC}$.
    Réponse A : $\vect{AD}$, $\vect{AB}$, $\vect{AC}$ sont coplanaires;
    Réponse B : $\vect{AD} =\vect{BC}$;
    Réponse C : $D$ a pour coordonnées $(3 ; -1 ; -1)$;
    Réponse D : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Partie I

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f (x) = x -\e^{-2x}$$
On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$.

  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

 

Partie II

Dans le repère orthonormé $\Oij$, on appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \e^{-x}$$
La courbe $\mathscr{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathscr{C}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère et d’étudier la tangente à $\mathscr{C}$ en ce point.

  1. Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t,\e^{-t}\right)$ de la courbe $\mathscr{C}$.
    On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance $OM$.
    On a donc : $h(t) = OM$, c’est-à-dire : $$h(t) =\sqrt{t^2+\e^{-2t}}$$
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $t$, $$h'(t) =\dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+\e^{-2t}}}$$
    où $f$ désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $A$ de coordonnées $\left(\alpha ; \e^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathscr{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale.
    Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. On appelle $T$ la tangente en $A$ à la courbe $\mathscr{C}$.
    a. Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.
    On rappelle que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal à $\dfrac{\e^{-\alpha}}{\alpha}$.
    On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :
    Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D’$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m’$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm’$ est égal à $-1$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la droite $(OA)$ et la tangente $T$ sont perpendiculaires.
    Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$

ANNNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques; raisonnement par récurrence.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ définies par : $$u_0 = 16 ; v_0 = 5 ;$$
et pour tout entier naturel $n$ : $$\begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}\\v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\end{cases}$$

  1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n-v_n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,1$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $w_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Préciser le signe de la suite $\left(w_n\right)$ et la limite de cette suite.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-u_n = -0,4w_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On admet ce
    résultat, et on remarque qu’on a alors : pour tout entier naturel $n$, $vn \pg v_0 = 5$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \pg 5$.
    En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. On admet ce
    résultat, et on appelle $\ell’$ la limite de $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que $\ell=\ell’$.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n +4v_n$.
    Démontrer que la suite $\left(c_n\right)$ est constante, c’est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $c_n = 100$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur commune des limites $\ell$ et $\ell’$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme, limites, dérivation.

Partie 1

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$f (x) =\dfrac{2\ln(x)-1}{x}$$

 

  1. Déterminer par le calcul l’unique solution $\alpha$ de l’équation $f(x) = 0$.
    On donnera la valeur exacte de $\alpha$ ainsi que la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Préciser, par lecture graphique, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

Partie II

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$g(x) = \left[\ln(x)\right]^2-\ln(x)$$

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On note $g’$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $g'(x)=f(x)$, où $f$ désigne la fonction définie dans la partie I.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$, ainsi que la valeur du minimum de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout nombre réel $m > -0,25$, l’équation $g(x) = m$ admet exactement deux solutions.
    $\quad$
  5. Déterminer par le calcul les deux solutions de l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – septembre 2021

Métropole – septembre 2021

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (4 points)

  1. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$.
    Ainsi,
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{20-5}{1-0} \\
    &=15\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. $A(0;5)$ appartient à $\mathscr{C}_f$. Donc $f(0)=5 \ssi b=5$.
    Donc $f(x)=(ax+5)\e^x$.
    Le point de coordonnées $(-0,5;0)$ appartient à $\mathscr{C}_f$.
    Donc $f(-0,5)=0 \ssi (-0,5a+5)\e^{-0,5}=0 \ssi -0,5a+5=0 \ssi a=10$
    (La fonction exponentielle est, en effet, strictement positive.)
    Réponse a
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est, en effet, strictement positive. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $10x+25$.
    Or $10x+25>0 \ssi 10x>-25 \ssi x>-2,5$
    Et $10x+25=0 \ssi 10x=-25\ssi x=-2,5$
    Ainsi $f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant en $-2,5$.
    Le point $C$ est l’unique point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Si on prend $U_n=-n$ et $V_n=2$ pour tout $n\in \N$ alors, pour tout $n\in \N$ on a bien $U_n \pp V_n$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$. Mais $\lim\limits_{n\to +\infty} U_n=-\infty$. La réponse a est donc fausse.
    Si on prend $V_n=2+\dfrac{1}{n}$ et $U_n=V_n-1$ pour tout $n\in \N$. alors, pour tout $n\in \N$ on a bien $U_n \pp V_n$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$ mais $V_n >2$ pour tout $n\in \N$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} U_n=1$. Les reponses b et c sont fausses.
    Réponse d
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également montrer que la réponse c était la bonne directement de la façon suivante :
    $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$. Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout $n\pg n_0$, $\abs{V_n-2}<1$ (On peut remplacer $1$ par n’importe quel réel strictement positif).
    Ainsi, pour tout $n\pg n_0$ on a $-1< V_n-2<1$ soit $1<V_n<3$.
    Or, pour tout $n\in N$, on a $U_n\pp V_n$ donc, pour tout $n\pg n_0$, $U_n<3$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$, $U_n \pp \max\left(U_0,U_1,\ldots, U_{n_0},3\right)$ et la suite $\left(U_n\right)$ est majorée (mais on ne connaît pas le majorant).
    $\quad$

 

 

 

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=f\left(u_0\right) \\
    &=f\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=\dfrac{2}{1+\dfrac{3}{2}} \\
    &=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : On a $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{4}{5}$ donc $\dfrac{1}{2} \pp u_0 \pp u_1 \pp 2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que la propriété est vraie au rang $n$, c’est-à-dire $\dfrac{1}{2} \pp u_n\pp u_{n+1} \pp 2$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    Ainsi $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(2)$
    Soit $\dfrac{4}{5} \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \dfrac{8}{7}$
    Donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 2$.
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout $n\in \N$, on a $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $2$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue sur $\left[\dfrac{1}{2};2\right]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation, définie sur $\left[\dfrac{1}{2};2\right]$ :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{4x}{1+3x}=x \\
    &\ssi 4x=x+3x^2\\
    &\ssi 3x^2-3x=0\\
    &\ssi 3x(x-1)=0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont $0$ et $1$.
    $1$ est la seule valeur appartenant à $\left[\dfrac{1}{2};2\right]$.
    Par conséquent $\ell=1$.
    $\quad
  3. a. On peut écrire
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(E):} \\
    \quad \text{u = 0.5} \\
    \quad \text{n = 0} \\
    \quad \text{while 1 – u >= E :} \\
    \qquad \text{u = 4 * u / (1 + 3 * u)} \\
    \qquad \text{n = n + 1} \\
    \quad \text{return n} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Si $E = 10^{-4}$
    Voici les premières valeurs (approchées pour certaines) de $u_n$ et de $1-u_n$
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    n& u_n &1-u_n \\ \hline
    0& 0,5& 0,5\\ \hline
    1& 0,8& 0,2\\ \hline
    2& 0,9411764706& 0,05882352941\\ \hline
    3& 0,9846153846& 0,01538461538\\ \hline
    4& 0,9961089494& 0,003891050584\\ \hline
    5& 0,9990243902& 0,0009756097561\\ \hline
    6& 0,999755919& 0,0002440810349\\ \hline
    7& 0,9999389686& 0,00006103143119\\ \hline
    \end{array}$
    Le programme renvoie donc $7$.
    $\quad$
  4. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\
    &=\dfrac{\dfrac{4u_n}{1+3u_n}}{1-\dfrac{4u_n}{1+3u_n}} \\
    &=\dfrac{4u_n}{1+3u_n-4u_n} \\
    &=\dfrac{4u_n}{1-u_n} \\
    &=4v_n\end{align*}$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $4$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0}{1-u_0}=1$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=4^n$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    \begin{align*} v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n} &\ssi v_n\left(1-u_n\right)=u_n \text{  et } u_n\neq 1\\
    &\ssi v_n-u_nv_n=u_n \text{  et } u_n\neq 1\\
    &\ssi v_n=u_n+u_nv_n \text{  et } u_n\neq 1\\
    &\ssi v_n=u_n\left(1+v_n\right) \text{  et } u_n\neq 1\end{align*}$
    Ainsi $u_n=\dfrac{v_n}{1+v_n}$.
    $\quad$
    c. Soit $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{v_n}{1+v_n} \\
    &=\dfrac{4^n}{1+4^n} \\
    &=\dfrac{4^n}{4^n\left(0,25^n+1\right)} \\
    &=\dfrac{1}{1+0,25^n}\end{align*}$
    On a $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,25^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.

 

 

Ex 3

Exercice 3 (6 points)

Partie I : Effet de l’introduction d’une nouvelle espèce

  1. On a $f(0)=440$.
    Il y avait donc $440$ crapauds dans le lac lors de l’introduction des truites.
    $\quad$
  2. Pour tout $t\in [0;120]$ on a
    $\begin{align*} f'(t)&=(0,08t-8)\e^{\frac{t}{50}}+\left(0,04t^2-8t+400\right)\times \dfrac{1}{50}\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=\left(0,08t-8+0,0008t^2-0,16t+8\right)\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=\left(0,0008t^2-0,08t\right)\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=0,0008t(t-100)\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=8\times 10^{-4}t(t-100)\e^{\frac{t}{50}} \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Sur $[0;120]$ on a $t\pg 0$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $t-100$.
    Or $t-100=0 \ssi t=100$ et $t-100>0 \ssi t>100$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. a. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son minimum pour $t=100$.
    Ainsi, le nombre de crapauds atteint son minimum au bout de $100$ jours. Il y a alors $40$ crapauds dans le lac.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[100;120]$ et $f(120)\approx 216,37 > 140$.
    Ainsi, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus après avoir atteint son minimum.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice, $f(t)=140$ pour $t\approx 115,72$.
    C’est donc à partir du $116$ ième jour que le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
    $\quad$

 

Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$$\quad$
  2. $\left(L,\conj{L}\right)$ est un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(T)&=P(L)\times P_L(T)+P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(T) \\
    &=0,25 \times 0,74+0\\
    &=0,185\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{T}}(L)&=\dfrac{P(L)\times P_L\left(\conj{T}\right)}{1-P(T)} \\
    &=\dfrac{0,25 \times 0,26}{1-0,185} \\
    &\approx 0,080\end{align*}$
    La probabilité que le lac soit infecté sachant que le tétard n’est pas contaminé est environ égale à $0,08$.
    $\quad$

 

Ex A

Exercice A (5 points)

  1. On a $I\left(\dfrac{1}{4};0;1\right)$, $J\left(0;\dfrac{1}{4};1\right)$ et $K\left(1;0;\dfrac{1}{4}\right)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{4}\\[2mm] \dfrac{1}{4}\\[2mm]\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{IK}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\[2mm]0\\-\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vect{AG}.\vect{IJ}=-\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{1}{4}=0$ et $\vect{AG}.\vect{IK}=\dfrac{3}{4}+0-\dfrac{3}{4}=0$
    Le vecteur $\vect{AG}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est par conséquent normal à celui-ci.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc de la forme $x+y+z+d=0$.
    Le point $I\left(\dfrac{1}{4};0;1\right)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $\dfrac{1}{4}+0+1+d=0 \ssi d=-\dfrac{5}{4}$
    Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $x+y+z-\dfrac{5}{4}=0$ soit $4x+4y+4z-5=0$.
    $\quad$
  4. On a $\vect{BC}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de $(BC)$ est donc $\begin{cases} x=1\\y=t\\z=0\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
  5. On résout le système
    $\begin{align*} \begin{cases} x=1\\y=t\\z=0\\4x+4y+4z-5=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1\\y=t\\z=0\\4+4t-5=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=1\\y=t\\z=0\\t=\dfrac{1}{4}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(1;\dfrac{1}{4};0\right)$.
    $\quad$
  6. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
  7. On a $\vect{LM}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{4} \\[2mm]\dfrac{3}{4}\\[2mm]0\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vect{LM}=3\vect{IJ}$
    Les vecteurs $\vect{LM}$ et $\vect{IJ}$ sont colinéaires. Les points $I,J,L$ et $M$ sont donc coplanaires.
    $\quad$

 

 

 

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. On a $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=1$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times 1}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $1-\ln(x)$.
    Or $1-\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$ et $1-\ln(x)>0 \ssi -\ln(x)>-1 \ssi \ln(x)<1 \ssi x< \e$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $[\e;+\infty[$ on a $h(x)>1$. L’équation $h(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $]0;\e[$, la fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    De plus, $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$ et $h(\e)=\dfrac{1+\e}{\e}>0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\e[$.
    Ainsi, l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    De plus $h(0,5) \approx -0,39<0$ et $h(0,6)\approx 0,15>0$
    La fonction $h$ est strictement croissante sur $]0;\e[$ donc $0,5<\alpha<0,6$.
    $\quad$

Partie II

  1. Le coefficient directeur de $D_a$ au point d’abscisse $a$ est $g'(a)=\dfrac{1}{a}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=x\times \dfrac{1}{x}+1\times \ln(x)-1 \\
    &=1+\ln(x)-1\\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Ainsi, le coefficient directeur de $T_a$ est $f'(a)=\ln(a)$.
    $\quad$
  3. $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires
    $\ssi \dfrac{1}{a}\ln(a)=-1 $
    $\ssi 1+\dfrac{\ln(a)}{a}=0$
    $\ssi h(a)=0$
    $\ssi a=\alpha$
    Il existe donc une unique valeur de $a$ pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires. Il s’agit de $a=\alpha$.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique $\mathscr{C}_f$ dans un repère orthogonal d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
On notera $f’$ la fonction dérivée de $f$ .
On donne les points $A$ de coordonnées $(0; 5)$ et $B$ de coordonnées $(1; 20)$. Le point $C$ est le point de la courbe $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse $-2,5$. La droite $(AB)$ est la
tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.
Les questions 1 à 3 se rapportent à cette même fonction $f$.

  1. On peut affirmer que :
    a. $f'(-0,5)=0$
    b. si $x\in]-\infty ; -0,5[$, alors $f'(x)< 0$
    c. $f'(0) = 15$
    d. la fonction dérivée $f’$ ne change pas de signe sur $\R$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $\R$ par $f(x) = (ax +b)\e^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l’axe des abscisses en son point de coordonnées $(-0,5 ; 0)$.
    On peut affirmer que :
    a. $a = 10$ et $b = 5$
    b. $a = 2,5$ et $b = -0,5$
    c. $a = -1,5$ et $b = 5$
    d. $a=0$ et $b=5$
    $\quad$
  3. . On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f\dsec(x)= (10x +25)\e^x$.
    On peut affirmer que :
    a. La fonction $f$ est convexe sur $\R$
    b. La fonction $f$ est concave sur $\R$
    c. Le point $C$ est l’unique point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$
    d. $\mathscr{C}_f$ n’admet pas de point d’inflexion
    $\quad$
  4. On considère deux suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ définies sur $\N$ telles que :
    $\bullet$ pour tout entier naturel $n$, $U_n \pp V_n$ ;
    $\bullet$  $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$.
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(U_n\right)$ converge
    b. pour tout entier naturel $n$, $V_n \pp 2$
    c. la suite $\left(U_n\right)$ diverge
    d. la suite $\left(U_n\right)$ est majorée
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ par $$f(x)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction f est croissante sur l’intervalle ¸$\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp u_{n+1}\pp 2$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $P$ tel que : $1-u_P < E$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(E) :}\\
    \quad \text{u = 0.5}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}\\
    \qquad \text{u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-4}$.
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $$v_n =\dfrac{u_n}{1-u_n}$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $4$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{v_n}{v_n+1}$.
    $\quad$
    c. Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$ , on a :
    $$u_n =\dfrac{1}{1+0,25^n}$$
    Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d’une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le «crapaud accoucheur».
Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.

Partie I : Effet de l’introduction d’une nouvelle espèce.

Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l’homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l’impact de cette introduction sur la population de crapauds accoucheurs d’un lac.
Ses études précédentes l’amènent à modéliser l’évolution de cette population en fonction du temps par la fonction f suivante : $$f(t)=\left(0,04t^2-8t+400\right)\e^{\frac{t}{50}}+40 \text{ pour } t\in [0;120]$$

La variable $t$ représente le temps écoulé, en jour, à partir de l’introduction à l’instant $t = 0$ des truites dans le lac, et $f(t)$ modélise le nombre de crapauds à l’instant $t$.

  1. Déterminer le nombre de crapauds présents dans le lac lors de l’introduction des truites.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 120]$ et on note $f′$ sa fonction dérivée.
    Montrer, en faisant apparaitre les étapes du calcul, que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l’intervalle $[0; 120]$ on a : $$f'(t)=t(t-100)\e^{\frac{t}{50}}\times 8\times 10^{-4}$$
    $\quad$
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 120]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle (on donnera des valeurs approchées au centième).
    $\quad$
  4. Selon cette modélisation :
    a. Déterminer le nombre de jours $J$ nécessaires afin que le nombre de crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?
    $\quad$
    b. Justifier que, après avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus.
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, déterminer la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
    $\quad$

Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards

Une des principales causes du déclin de cette espèce de crapaud en haute montagne est une maladie, la « Chytridiomycose », provoquée par un champignon.
Le chercheur considère que :

  • Les trois quarts des lacs de montagne des Pyrénées ne sont pas infectés par le champignon, c’est-à-dire qu’ils ne contiennent aucun têtard (larve du crapaud) contaminé.
  • Dans les lacs restants, la probabilité qu’un têtard soit contaminé est de $0,74$.

Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyrénées, et y procède à des prélèvements.
Pour la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième lorsque cela est nécessaire.
Le chercheur prélève au hasard un têtard du lac choisi afin d’effectuer un test avant de le relâcher.
On notera $T$ l’évènement « Le têtard est contaminé par la maladie » et $L$ l’évènement « Le lac est infecté par le champignon ».
On notera $\conj{L}$ l’évènement contraire de $L$ et $\conj{T}$ l’évènement contraire de $T$.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’énoncé :$\quad$
  2. Montrer que la probabilité $P(T )$ que le têtard prélevé soit contaminé est de $0,185$.
    $\quad$
  3. Le têtard n’est pas contaminé. Quelle est la probabilité que le lac soit infecté ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé.

On considère le cube $ABCDEFGH$ donné en annexe.
On donne trois points $I$, $J$ et $K$ vérifiant : $$\vect{EI}=\dfrac{1}{4}\vect{EH}, \quad \vect{EJ}=\dfrac{1}{4}\vect{EF},\quad \vect{BK}=\dfrac{1}{4}\vect{BF}$$
Les points $I$, $J$ et $K$ sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

  1. Donner sans justification les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
    $\quad$
  2. Démontrer que le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(IJK)$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est $4x +4y +4z -5 = 0$.
    $\quad$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
    $\quad$
  5. En déduire les coordonnées du point $L$, point d’intersection de la droite $(BC)$ avec le plan $(IJK)$.
    $\quad$
  6. Sur la figure en annexe, placer le point $L$ et construire  l’intersection du plan $(IJK)$ avec la face $(BCGF)$.
    $\quad$
  7. Soit $M\left(\dfrac{1}{4};1;0\right)$. Montrer que les points $I$, $J$, $L$ et $M$ sont coplanaires.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme.

Partie I

On considère la fonction h définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$h(x) = 1+\dfrac{\ln(x)}{x}$$

  1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. On note $h’$ la fonction dérivée de $h$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$h'(x) =\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0 ; +\infty[$.
    Justifier que l’on a : $0,5 < \alpha < 0,6$.$\quad$

Partie II

Dans cette partie, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0 ; +\infty[$ par : $$f (x) = x \ln(x)− x;\quad g(x) = \ln(x)$$
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C_g}$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\Oij$.
Pout tout nombre réel $a$ strictement positif, on appelle :

  • $T_a$ la tangente à $\mathscr{C}_f$ en son point d’abscisse $a$ ;
  • $D_a$ la tangente à $\mathscr{C}_g$ en son point d’abscisse $a$.

Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}g$ ainsi que deux tangentes $T_a$ et $D_a$ sont représentées ci-dessous.

On recherche d’éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

  1. Justifier que la droite $D_a$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{a}$.
    $\quad$
  2. Justifier que la droite $T_a$ a pour coefficient directeur $\ln(a)$.

On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m’$ sont perpendiculaires si et seulement si $mm’ = -1$.

  1. Démontrer qu’il existe une unique valeur de $a$, que l’on identifiera, pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – mars 2021

Asie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (5 points)

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times u_0+250 \\
    &=0,9\times 1~000+250 \\
    &= 1~150\end{align*}$
    $\quad$
  2. Chaque année elle ne conserve que $90\%$ de ses abonnés soit $0,9u_n$. De plus $250$ nouveaux abonnés s’ajoutent chaque année à ceux conservés.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,9u_n+250$.
    $\quad$
  3. L’instruction suite(10) renvoie la valeur de $u_{10}$ c’est-à-dire le nombre d’abonnés à son profil en 2030.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : $u_0=1~000 \pp 2~500$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n+250 \\
    &\pp 0,9\times 2~500+250 \\
    &\pp 2~250+250\\
    &\pp 2~500\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp 2~500$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,9u_n+250-u_n \\
    &=-0,1u_n+250 \\
    &=-0,1\left(u_n-2~500\right) \end{align*}$
    Or $u_n-2~500    \pp 0$ d’après la question précédente.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n\pg 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $2~500$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$. On a $v_n=u_n-2~500$ donc $u_n=v_n+2~500$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2~500 \\
    &=0,9u_n+250-2~500 \\
    &=0,9\left(v_n+2~500\right)-2~250 \\
    &=0,9v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-2~500=-1~500$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=-1~500\times 0,9^n$
    Donc $u_n=v_n+2~500=-1~500\times 0,9^n+2~500$.
    $\quad$
  6. On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u} = 1000 \\
    \text{n} = 2020 \\
    \text{while u} <= 2200 \\
    \quad \text{u} = 0,9 * \text{u} + 250 \\
    \quad \text{n} = \text{n} + 1\\
    \text{disp(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que:
    $\begin{align*} u_n > 2~200&\ssi -1~500 \times 0,9^n + 2~500>2~200 \\
    &\ssi -1~500\times 0,9^n > -300 \\
    &\ssi 0,9^n < 0,2 \\
    &\ssi n\ln(0,9) < \ln(0,2) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,9)} \approx 15,3$
    C’est donc en 2036 que le nombre d’abonnés dépassera $2~200$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

Partie I

  1. On a $P(6;0;0)$ et $Q(0;0;6)$.
    $\quad$
  2. $\vect{PQ}(-6;0;6)$ et $\vect{PR}(2;2;8)$.
    Donc $\vect{PQ}.\vec{n}=-6+0+6=0$ et $\vect{PR}.\vec{n}=2-10+8=0$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$.
    C’est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est alors de la forme $x-5y+z+d=0$.
    Le point $P(6;0;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $6+d=0 \ssi d=-6$.
    Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est donc $x-5y+z-6=0$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\Omega$ est le milieu de $[EC]$
    Or $E(0;0;8)$ et $C(8;8;0)$
    Ainsi $\Omega\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+8}{2};\dfrac{0+8}{2}\right)$ soit $\Omega(4;4;4)$.
    $\quad$
  2. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est $$\begin{cases} x=4+t\\y=4-5t\\z=4+t\end{cases} \quad, t\in \R$$
    $\quad$
  3. Si on prend $t=\dfrac{2}{3}$ on a $4+t=\dfrac{14}{3}$, $4-5t=\dfrac{2}{3}$ donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$ appartient à $d$.
    De plus $\dfrac{14}{3}-\dfrac{5\times 2}{3}+\dfrac{14}{3}-6=\dfrac{18}{3}-6=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$ appartient au plan $(PQR)$.
    Par conséquent $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. Cette distance est
    $\begin{align*} L\Omega&=\sqrt{\left(4-\dfrac{14}{3}\right)^2+\left(4-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(4-\dfrac{14}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{12}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3 (5 points)

  1. a. Il y a $\dbinom{8}{2}=28$ tirages possibles .
    $\quad$
    b. Il y a $\dbinom{6}{1}\times \dbinom{2}{1}=12$ tirages permettant de gagner.
    La probabilités de gagner à ce jeu est donc $\dfrac{12}{28}=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $G$ ne peut prendre que deux valeurs : $10-k$ et $-k$.
    $P(G=10-k)=\dfrac{3}{7}$ et $P(G=-k)=\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    b. Le jeu est favorable au joueur si son espérance est positive.
    $\begin{align*} E(G)>0&\ssi \dfrac{3}{7}(10-k)-\dfrac{4}{7}k>0 \\
    &\ssi \dfrac{30}{7}-k>0 \\
    &\ssi k<\dfrac{30}{7}\end{align*}$
    Or $\dfrac{30}{7}\approx 4,2857$
    La somme maximale à payer est donc $4,28$ € pour que le jeu reste favorable au joueur.
    $\quad$
  3. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues : le joueur gagne ou le joueur perd.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*}P(X=4)&=\dbinom{10}{4}\left(\dfrac{3}{7}\right)^4\left(\dfrac{4}{7}\right)^6\\
    &\approx 0,247\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants est environ égale à $0,247$.
    $\quad$
    c. $P(X\pp5)=1-P(X\pp 4) \approx 0,440$
    La probabilité qu’il y ait au moins $5$ gagnants est environ égale à $0,440$.
    $\quad$
    d. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 5) \approx 0,78$ et $P(X\pp 6) \approx 0,92$.
    Ainsi le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X\pp n) \pg 0,9$ est $6$.
    $\quad$

 

Ex A

Exercice A (5 points)

Partie I – lectures graphiques

  1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$ est $f'(0)$.
    Graphiquement $f'(0)=0,4$.
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $0$ est graphiquement égal à $0,4$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f’$ semble décroissante sur $]-\infty;-2[$ et sur $[1;+\infty[$ et croissante sur $[-2;1]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ semble donc convexe sur $[-2;1]$.
    $\quad$

 

Partie II : étude de fonction

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+x+\dfrac{5}{2}=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+x+\dfrac{5}{2}=\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$
    Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+\dfrac{5}{2}}$.
    $\quad$
  3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x+1$.
    Or $2x+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $2x+1>0 \ssi x>-\dfrac{1}{2}$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    De plus $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{9}{4}\right)\approx 0,81<2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution dans $\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,8$.
    $\quad$
  5. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2-2x+4$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=36>0$ et les racines sont $1$ et $-2$.
    Ainsi $f\dsec(x)$ s’annule en changeant de signe en $-2$ et $1$.
    La courbe représentative de $f$ possède donc deux points d’inflexion d’abscisse $-2$ et $1$.
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. a. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=1$ est solution de cette équation.
    En effet $f'(t)=0$ pour tout réel $t$ et $-0,4\times 1+0,4=0$.
    Donc $f'(t)=-0,4f(t)+0,4$ pour tout réel $t$.
    $\quad$
    b. Soit $f$ une autre solution de cette équation différentielle.
    Ainsi, la fonction $g$ définie pour tout réel $t$ par $g(t)=f(t)+1$ est également solution de cette équation différentielle.
    Par conséquent :
    $f'(t)=-0,4\left(f(t)+1\right)+0,4 \ssi f'(t)=-0,4f(t)$
    Les solutions de l’équation différentielle $y=-0,4y$ sont les fonctions définies par $t\mapsto C\e^{-0,4t}$ où $C\in \R$.
    Les solutions de l’équation différentielle initiale sont donc les fonctions définies par $t\mapsto C\e^{-0,4t}+1$ pour tout $C\in \R$
    $\quad$
    c. $g(0)=10 \ssi C+1=10 \ssi C=9$
    Ainsi $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $t\mapsto 9\e^{-0,4t}+1$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,4t=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^{X}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{t\to +\infty} p(t)=1$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $t\pg 0$ on a
    $\begin{align*} p'(t)&=\dfrac{9\times -0,4\e^{-0,4t}}{\left(1+9\e^{-0,4t}\right)^2} \\
    &=\dfrac{-3,6\e^{-0,4}}{\left(1+9\e^{-0,4t}\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} p(t)=\dfrac{1}{2} &\ssi \dfrac{1}{1+9\e^{-0,4t}}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 2=1+9\e^{-0,4t} \\
    &\ssi \e^{-0,4t}=\dfrac{1}{9} \\
    &\ssi -0,4t=-\ln(9) \qquad \text{car } \ln\left(\dfrac{1}{9}\right)=-\ln(9)\\
    &\ssi t=\dfrac{\ln(9)}{0,4}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(9)}{0,4}>0$ car $9>1$
    L’équation $p(t)=\dfrac{1}{2}$ admet donc une unique solution solution sur $[0;+\infty[$.
    Remarque : On pouvait également utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection)
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $\alpha=\dfrac{\ln(9)}{0,4}\approx 5,5$.
    $\quad$

Partie III

  1. Soit $t\pg 0$
    $\begin{align*} 0,4p(t)\left(1-p(t)\right)&=\dfrac{0,4}{1+9\e^{-0,4t}}\left(1-\dfrac{1}{1+9\e^{-0,4t}}\right) \\
    &=\dfrac{0,4}{1+9\e^{-0,4t}}\times \dfrac{-9\e^{-0,4t}}{1+9\e^{-0,4t}} \\
    &=\dfrac{-3,6\e^{-0,4t}}{1+9\e^{-0,4t}} \\
    &=p'(t)\end{align*}$
    Par conséquent $p$ est solution de l’équation différentielle $y’=0,4y(1-y)$.
    De plus $p(0)=\dfrac{1}{1+9}=\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{t\to +\infty} p(t)=1$ signifie que sur le long terme toutes les écoles auront accès à internet.
    $p(\alpha)=\dfrac{1}{2}$ avec $\alpha\approx 5,5$ signifie qu’au milieu de l’année 2026, la moitié des écoles auront accès à internet.
    $p(0)=\dfrac{1}{10}$ signifie qu’en 2020 seulement $10\%$ des écoles ont accès à internet.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte $1~000$ abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi: chaque année, elle perd $10\%$ de ses abonnés auxquels s’ajoutent $250$ nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’abonnés à son profil en l’année (2020 $+n$), suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = 1~000$.

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.
    $\quad$
  3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite( n) }:\\
    \quad \text{u} = 1000\\
    \quad \text{for i in range(n)} :\\
    \qquad \text{u} = 0,9*\text{u} + 250\\
    \quad \text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp 2~500$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  5. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n – 2~500$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = -1~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : $$u_n = – 1~500 \times 0,9^n + 2~500$$
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera $2~200$.
    Déterminer cette année.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête $8$ cm et de centre $\Omega$.
Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par $\vect{AP} = \dfrac{3}{4}\vect{AB}$, $ \vect{AQ} = \dfrac{3}{4}\vect{AE}$ et $\vect{FR} = \dfrac{1}{4}\vect{FG}$.
On se place dans le repère orthonormé  $\left(\text{A};\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec : $\vec{i} = \dfrac{1}{8}\vect{AB}$, $\vec{j}= \dfrac{1}{8}\vect{AD}$ et $\vec{k} = \dfrac{1}{8}\vect{AE}$.

 

 

Partie I

  1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8;2;8)$.
    Donner les coordonnées des points $P$ et $Q$.
    $\quad$
  2. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1;-5;1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
    $\quad$
  3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x-5y+z-6 = 0$.
    $\quad$

Partie II

On note $L$ le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$.

  1. Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4;4;4)$.
    $\quad$
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$.
    $\quad$
  3. Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{14}{3}; \dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$
    $\quad$
  4. Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H ($2$ voyelles et $6$ consonnes).
Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.
On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.

  1. Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.
    a. Déterminer le nombre de tirages possibles.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
    $\quad$

Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.
Pour la suite de l’exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$.

  1. Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul.
    Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.
    On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
    a. Déterminer la loi de probabilité de $G$.
    $\quad$
    b. Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ?
    $\quad$
  2. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants.
    $\quad$
    c. Calculer $P(X \pg 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu.
    $\quad$
    d. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \pp  n) \pg 0,9$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi: exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • convexité
  • fonction logarithme

Partie I : lectures graphiques

$f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

 

 

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes

  1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $O$.
    $\quad$
  2. a. Donner les variations de la fonction dérivée $f’$.
    $\quad$
    b. En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.
    $\quad$

Partie II : étude de fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $$f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)$$

  1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[$.
    $\quad$
    b. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
  5. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f”(x) = \dfrac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+x+\dfrac{5}{2}\right)^2}$.
    Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe représentative de $f$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Étude de fonction, fonction exponentielle
  • Équations différentielles

Partie I

Considérons l’équation différentielle $$y’= -0,4y + 0,4$$ où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.

  1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
    $\quad$
    b. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.
    $\quad$
    c. Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$.
    $\quad$

$\quad$

Partie II

Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par $$p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\e^{-0,4t}}$$

  1. Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\e^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in [0;+ \infty[$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+ \infty[$.
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l’aide d’une calculatrice.
    $\quad$

Partie III

  1. $p$ désigne la fonction de la partie II.
    Vérifier que $p$ est solution de l’équation différentielle $y’ = 0,4y(1-y)$ avec la condition initiale $y(0) = \dfrac{1}{10}$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.
    $\quad$
  2. Dans un pays en voie de développement, en l’année 2020, $10\%$ des écoles ont accès à internet.
    Une politique volontariste d’équipement est mise en œuvre et on s’intéresse à l’évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.
    On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année 2020.
    La proportion des écoles ayant accès à internet à l’instant $t$ est modélisée par $p(t)$.
    Interpréter dans ce contexte la limite de la question II.1 puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question II 3. b. ainsi que la valeur $p(0)$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – mars 2021

Polynésie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=0,95\times 10~000+200 \\
    &=9~700\end{align*}$
    $\quad$
    et
    $\begin{align*} u_2&=0,95\times 9~700+200 \\
    &=9~415\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10~000>4~000$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*}
    u_{n+1}&=0,95u_n+200 \\
    &>0,95 \times 4~000+200\\
    &>3~800+200\\
    &>4~000\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n>4~000$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $4~000$. Elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. $v_0=10~000-4~000=6~000$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$. $v_n=u_n-4~000 \ssi u_n=v_n+4~000$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-4~000\\
    &=0,95u_n+200-4~000\\
    &=0,95u_n-3~800 \\
    &=0,95\left(v_n+4~000\right)-3~800\\
    &=0,95v_n+3~800-3~800\\
    &=0,95v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=6~000$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=6~000\times 0,95^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_n&=v_n+4~000 \\
    &=6~000\times 0,95^n+4~000\end{align*}$
    $\quad$
    d. $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 6~000\times 0,95^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4~000$.
    $\quad$
  4. La population de cette espèce baisse de $5\%$ chaque année. Il reste donc $95\%$ de la population d’une année sur l’autre.
    $200$ individus sont réintroduit chaque année.
    En 2020, il y avait $10~000$ individus.
    Par conséquent, la population de cette espèce peut être modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans les questions précédentes.
    Sur le long terme, il restera $4~000$ individus.
    Or $4~000<\dfrac{10~000}{2}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer
    $\begin{align*} p(M\cap T)&=p(M)\times p_M(T) \\
    &=0,07\times 0,8\\
    &=0,056\end{align*}$
    La probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif est $0,056$.
    $\quad$
    b. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*}
    p(T)&=p(M\cap T)+p\left(\conj{M}\cap T\right)\\
    &=0,056+0,93\times 0,01 \\
    &=0,0653\end{align*}$
    La probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,056}{0,0653} \\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    La probabilité que la personne soit infectée sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
    $\quad$
  4. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues  : $T$ et $\conj{T}$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,0653$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} p(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,0653^2 \times (1-0,653)^8 \\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  5. On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage, il n’y a que deux issues  : $T$ et $\conj{T}$.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les $n$ personnes.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,0653$.
    On veut
    $\begin{align*} p(Y\pg 1)> 0,99 &\ssi 1-p(Y=0)>0,99 \\
    &\ssi p(Y=0)<0,01 \\
    &\ssi (1-0,0653)^n<0,01 \\
    &\ssi 0,9347^n<0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,9347)<\ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)} \approx 63,2$.
    Il faut donc tester au minimum $64$ personnes pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif soit supérieure à $99\%$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On a $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $H(0;1;1)$.
    $\quad$
  2. a. $[EG]$, $[ED]$ et $[GD]$ sont des diagonales de carrés dont les côtés ont la même longueur.
    Par conséquent $EG=ED=GD$.
    Le triangle $EGD$ est donc équilatéral.
    $\quad$
    b. Dans le triangle $EGH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} EG^2&=EH^2+GH^2 \\
    &=1+1\\
    &=2\end{align*}$
    Par conséquent l’aire du triangle $EGD$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}EG^2 \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2\\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix} -1\\1\\1\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} \vect{BM}=\dfrac{1}{3}BH&\ssi \begin{cases} x_M-1=\dfrac{1}{3}\times (-1) \\
    y_M=\dfrac{1}{3}\times 1\\
    z_M=\dfrac{1}{3}\times 1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_M=\dfrac{2}{3} \\y_M=\dfrac{1}{3}\\z_M=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées de $M$ sont bien $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. On a $\vect{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{EG}&=-1+1+0\\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{ED}&=0+1-1\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EGD)$.
    Ainsi $\vec{n}$ est normal au plan $(EGD)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est de la forme $-x+y+z+d=0$.
    Le point $E$ appartient au plan $(EGD)$ donc
    $0+0+1+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est donc $-x+y+z-1=0$.
    $\quad$
    c. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
    $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}-t\\y=\dfrac{1}{3}+t\\z=\dfrac{1}{3}+t\end{cases}\quad, t\in \R$.
    $\quad$
  5. a. Si on prend $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
    $-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0$
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$ appartient donc au plan $(EGD)$ et à la droite $\mathcal{D}$.
    Il s’agit par conséquent du point $K$.
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} MK^2&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
    &=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
    Le volume de la pyramide $GEDM$ est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{A}\times MK}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$

Ex A

Exercice A

Partie 1

  1. $A(0;2)$ appartient à $\mathcal{C}$ donc $f(0)=2$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    Donc $f'(0)=\dfrac{0-2}{2-0}=-1$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble convexe sur l’intervalle $[0;3]$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Les solutions de l’équation $(H)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=k\e^{-x}$ où $k\in \R$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ une solution de l’équation $(E)$.
    On a donc $f’=-f+\e^{-x}$ et $g’=-g+\e^{-x}$.
    Ainsi, par différence $(f-g)’=-(f-g)$
    Il existe donc $k\in \R$ tel que, pour tout réel $x$ on ait $(f-g)(x)=k\e^{-x}$ soit $f(x)=g(x)+k\e^{-x}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-x}+k\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. $f(0)=2 \ssi k=2$
    Ainsi $f(x)=(x+2)\e^{-x}$ pour tout réel $x$.
    $\quad$

Partie 3

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}+(x+2)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
    &=(1-x-2)\e^{-x} \\
    &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
    Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0 \ssi -x>1\ssi x<-1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}+(-x-1)\left(-\e^{-x}\right) \\
    &=(-1+x+1)\e^{-x} \\
    &=x\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi x\pg 0$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Ex B

Exercice B

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;4]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x\in [1;4]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-30+\dfrac{35}{x} \\
    &=\dfrac{-30x+35}{x} \\
    &=\dfrac{35-30x}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $35-30x=0 \ssi 30x=35 \ssi x=\dfrac{7}{6}$
    $35-30x>0 \ssi -30x>-35 \ssi x<\dfrac{7}{6}$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$$\quad$
    c. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left[1;\dfrac{7}{6}\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $\left[1;\dfrac{7}{6}\right]$ on a $f(x)\pg 20$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
    De plus $f\left(\dfrac{7}{6}\right) \approx 20,4 >0$ et $f(4)\approx -21,5<0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;4]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,915$.
    $\quad$
  3. D’après les questions précédentes on a donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$

 

Partie 2 : Optimisation

  1. On a $B(2,5) \approx 23,925$
    Lorsque l’entreprise vend $2~500$ litres de jus de fruits son bénéfice est environ égal à $23~925$ euros.
    $\quad$
  2. La fonction $B$ est dérivable sur $[1;4]$ en  tant que somme et produits de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 2x+15+35\ln(x)+35x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=-30x+15+35\ln(x)+35 \\
    &=-30x+50+35\ln(x)\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. D’après la question 1.3. $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;4]$.
    $\quad$
    b. La fonction $B$ atteint donc son maximum en $\alpha$.
    L’entreprise doit donc vendre environ $2~915$ litres de jus de fruits pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=10~000$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1}=0,95 u_{n}+200$$

  1. Calculer $u_{1}$ et vérifier que $u_{2}=9415$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :
    $$u_{n}>4000$$
    $\quad$
    b. On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Justifier qu’elle converge.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par : $v_{n}=u_{n}-4~000$.
    a. Calculer $v_{0}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
    $$u_{n}=4~000+6~000 \times 0,95^{n} $$
    $\quad$
    d. Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. En 2020, une espèce animale comptait 10000 individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de $5 \%$ chaque début d’année.
    Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
    Une responsable d’une association soutenant cette stratégie affirme que : « l’espèce ne devrait pas s’éteindre, mais malheureusement, nous n’empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ». Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, $7 \%$ des habitants sont infectés par cette maladie. Parmi les individus infectés, $20 \%$ sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, $1 \%$ sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :

  • $M$ l’évènement: « la personne est infectée par la maladie » ;
  • $T$ l’évènement : « le test est positif ».
  1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif?
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
    $\quad$
  3. On sait que le test de la personne choisie est positif.
    Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ?
    On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif.
    On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à $99 \%$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur égale à $1$
On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$. On considère le point $M$ tel que $\vect{BM}=\dfrac{1}{3} \vect{BH}$.

 

  1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $G$ et $H$.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4} c^{2}$.
    Montrer que l’aire du triangle $EGD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que les coordonnées de M sont $\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}(-1 ; 1 ; 1)$ est normal au plan $(EGD)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est : $-x+y+z-1=0$.
    $\quad$
    c. Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$.
    Montrer qu’une représentation paramétrique de cette droite est :
    $$\mathcal{D}:\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}-t\\y=\dfrac{1}{3}+t\\z=\dfrac{1}{3}+t\end{cases}, \quad t\in \R$$
    $\quad$
  5. Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure :Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.
    a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$.
    Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{b \times h}{3}$ $b$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Fonction exponentielle,
  • convexité,
  • dérivation,
  • équations différentielles.

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$ :

On considère les points $A(0 ; 2)$ et $B(2 ; 0)$.

Partie 1

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par $A$ et que la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, donner par lecture graphique :

  1. La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
    $\quad$
  2. Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
    $\quad$

Partie 2

On note $(E)$ l’équation différentielle $y’=-y+\e^{-x}$.
On admet que $g: x \mapsto 𝑥x\e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.

  1. Donner toutes les solutions sur $\R$ de l’équation différentielle $(H) ∶ y’ = -y$.
    $\quad$
  2. En déduire toutes les solutions sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  3. Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2) \e^{-𝑥}$.

  1. On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Montrer que pour tout $x\in \R$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in \R$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\R$.
    On ne précisera ni la limite de $f$ en $-\infty$ ni la limite de $f$ en $+\infty$.
    On calculera la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On rappelle que $d\dsec$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
    a. Calculer pour tout $x\in \R$, $f\dsec(x)$.
    $\quad$
    b. Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Fonction logarithme népérien,
  • dérivation.

Cet exercice est composé de deux parties.
Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; 4]$ par $: f(x)=-30 x+50+35 \ln (x)$.

  1. On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1 ; 4]$, montrer que :
    $$f'(x)=\frac{35-30 x}{x}$$
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[1 ; 4]$.
    $\quad$
    c. En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
  2. Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; 4]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in[1 ; 4]$.
    $\quad$

$\quad$

Partie 2: Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l’intervalle $[1;4]$, l’analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l’expression donnée en milliers d’euros par :
$$B(x)=-15 x^{2}+15 x+35 x \ln (x) $$

  1. D’après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend $2~500$ litres de jus de fruits.
    On donnera une valeur approchée à l’euro près de ce bénéfice.
    $\quad$
  2. Pour tout 𝑥 de l’intervalle $[1 ; 4]$, montrer que $B'(x)=f(x)$ où $B’$ désigne la fonction dérivée de $B$.
    $\quad$
  3. a. À l’aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1 ; 4]$.
    $\quad$
    b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l’entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$

$\quad$