E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

$\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}=$

a. $\e^{3x+2}$
b. $\e^{3x-2}$
c. $\e^{2,5x-2,5}$
d. $\e^{7x-2}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x-2}}&=\e^{5x-(2x-2)} \\
&=\e^{5x-2x+2} \\
&=\e^{3x+2}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2.

Soit la suite définie par : $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=3u_n-2\text{  ;   pour }n\in \N\end{cases}$.

a. $u_3=7$
b. $u_3=10$
c. $u_3=28$
d. $u_3=4$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} u_1&=3u_0-2\\
&=3\times 2-2\\
&=4\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=3u_1-2\\
&=3\times 4-2\\
&=10\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=3u_2-2\\
&=3\times 10-2\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un atelier $3\%$ des pièces produites sont défectueuses. On constate qu’au cours du contrôle qualité, si la pièce est bonne, elle est acceptée dans $95\%$ des cas, et que si elle est défectueuse, elle est refusée dans $98\%$ des cas.
La probabilité qu’une pièce soit refusée est égale à :

a. $0,077~9$
b. $0,029~4$
c. $0,048~5$
d. $0,98$

$\quad$

Correction Question 3

On considère les événements :

  • $D$ : « la pièce est défectueuse »
  • $R$ : « la pièce est refusée »

On obtient alors l’arbre pondéré suivant :

$D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(D\cap R)+P\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=0,03\times 0,98+0,97\times 0,05\\
&=0,077~9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Sachant que $\cos x=\dfrac{5}{13}$ et que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$, la valeur de $\sin x$ est :

a. $\dfrac{8}{13}$
b. $-\dfrac{8}{13}$
c. $\dfrac{12}{13}$
d. $-\dfrac{12}{13}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

On sait que $\cos x=\dfrac{5}{13}$
Par conséquent :
$\begin{align*} &\ssi \cos^2 x+\sin^2 x=1 \\
\ssi ~&\left(\dfrac{5}{13}\right)^2+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\dfrac{25}{169}+\sin^2x=1 \\
\ssi ~&\sin^2x=\dfrac{144}{169} \\
\ssi~&\sin x=\dfrac{12}{13} \text{ ou } \sin x=-\dfrac{12}{13}\end{align*}$

On sait que $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $0$. Donc $\sin x<0$.

Ainsi $\sin x=-\dfrac{12}{13}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs }x_i&-2&0&5\\
\hline
p_i=P\left(X=x_i\right)&0,3&0,5&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à :

a. $3$
b. $0,9$
c. $0,4$
d. $0,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,3+0\times 0,5+5\times 0,2\\
&=0,4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère les points $E(3 ; −4)$ et $F(7 ; 2)$.
La droite $(EF)$ passe par le point :

a. $A(0;8)$
b. $B(5,5;0)$
c. $C(13;11)$
d. $D(-25;45)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$
On va déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EA}$, $\vect{EB}$, $\vect{EC}$ et $\vect{ED}$ et tester leur colinéarité avec le vecteur $\vect{EF}$.

$\vect{EA}\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EB}\begin{pmatrix}2,5\\4\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EC}\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}$ ,  $\vect{ED}\begin{pmatrix}-28\\49\end{pmatrix}$

On constate que $10\times 6-4\times 45=0$. Donc $\vect{EC}$ et $\vect{EF}$ sont colinéaires. Le point $C$ appartient à la droite $(EF)$.

Réponse C

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la droite $D$ qui a pour équation réduite $y=-2x+4$
Parmi les vecteurs suivants, déterminer celui qui est un vecteur normal de la droite $D$ :

a. $\vec{n_1}(2;1)$
b. $\vec{n_2}(-1;2)$
c. $\vec{n_3}(1;-2)$
d. $\vec{n_4}(-2;1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $2x+y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est par conséquent $\vec{n}(2;1)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3
Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Alors le produit scalaire $\vect{AD};\vect{AI}$ vaut :

a. $-18$
b. $18$
c. $36$
d. $9\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 3

On appelle $J$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AD)$. $J$ est alors le milieu du segment $[AD]$.
Ainsi $\vect{AD}.\vect{AI}=\vect{AD}.\vect{AJ}$.
Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AJ}$ sont colinéaires et de même sens.
Ainsi
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\vect{AJ} \\
&=AD\times AJ \\
&=6\times 3\\
&=18\end{align*}$

Autre méthode

$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\left(\vect{AB}+\vect{BI}\right)\\
&=\vect{AD}.\vect{AB}+\vect{AD}.\vect{BI} \\
&=0+\dfrac{1}{2}\vect{AD}.\vect{BC}\\
&=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6 \\
&=18\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point :

a. $E$
b. $F$
c. $G$
d. $H$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} \dfrac{14\pi}{3}&=\dfrac{12+2\pi}{3} \\
&=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\\
&=4\pi+\dfrac{2\pi}{3} \\
&=2\times 2\pi+\dfrac{2\pi}{3}\end{align*}$
Le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a donc pour image $F$

Autre méthode :

À l’aide de la calculatrice, on obtient :
$\cos \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L’image de $\dfrac{14\pi}{3}$ appartient donc au quadrant supérieur gauche; c’est le point $F$.

Réponse F

$\quad$

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$\quad$

Soit le réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin x=0,8$. Alors :

a. $\cos(x)=0,6$
b. $\cos(x)=-0,6$
c. $\cos(x)=0,2$
d. $\cos(x)=-0,2$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$
Ainsi
$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,8^2=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,64=1\\
\ssi~&\cos^2(x)=0,36\\
\ssi~&\cos(x)=0,6 \text{ ou }\cos(x)=-0,6\end{align*}$
On sait que $x$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Donc $\cos(x)<0$.
Par conséquent $\cos(x)=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Dans cet exercice, on se place dans un repère orthonormé.

Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne $2x-5y+3=0$ a pour coordonnées :

a. $\begin{pmatrix} -5\\2\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 2\\5\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -2\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la cette droite est le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$.
Le vecteur $-\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$ est donc également normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le centre $A$ du cercle d’équation $x^2+y^2+6x-8y=0$ est :

a. $A(3;4)$
b. $A(-3;4)$
c. $A(-4;3)$
d. $A(4;-3)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} &x^2+y^2+6x-8y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+y^2-2\times 4y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+3^2-3^2+y^2-2\times 4y+4^2-4^2=0\\
\ssi~&(x+3)^2-9+(y-4)^2-16=0\\
\ssi~&(x+3)^2+(y-4)^2=25\\
\ssi~&\left((x-(-3)\right)^2+(y-4)^2=5^2\end{align*}$
Il s’agit donc de l’équation cartésienne du cercle de centre $A(-3;4)$ et de rayon $5$.

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 3$, $BC = 5$ et $AC = 6$, on a alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ égal à :

a. $-18$
b. $10$
c. $26$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après la propriété 7 on a
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(3^2+6^2-5^2\right) \\
&=10\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$


$\quad$

Question 4

Le nombre réel $\dfrac{-3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{7\pi}{4}$
c. $\dfrac{13\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 4

Deux réels $x$ et $y$ sont associés au même point du cercle si, et seulement si, $x-y=2k\pi$ où $k\in \Z$.

Or :
$\begin{array}{l}\dfrac{-3\pi}{4}-\left(\dfrac{-14\pi}{4}\right)=\dfrac{11\pi}{4}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{-5\pi}{2}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{13\pi}{4}=-4\pi=-2\times 2\pi \checkmark\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=\dfrac{-11\pi}{2}\end{array}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(4x-7)^3$ a pour fonction dérivée :

a. $g'(x)=3(4x-7)^2$
b. $g'(x)=12(4x-7)$
c. $g'(x)=12x-21$
d. $g'(x)=12(4x-7)^2$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.
Ainsi $g(x)=f(4x-7)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2$
Donc, par composition, $g$ l’est aussi.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=4f'(4x-7) \\
&=4\times 3(4x-7)^2 \\
&=12(4x-7)^2\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

Remarque : Les calculatrices savent calculer des nombres dérivés. On pouvait donc faire calculer d’un côté, par exemple, $g'(\pi)$ et de l’autre côté faire calculer les images de $\pi$ par chacune des fonctions et comparer les résultats. On peut bien évidemment remplacer $\pi$^par la valeur de son choix. S’il est impossible, pour une valeur donnée, de choisir une proposition il faut alors changer de valeur. Cette méthode peu élégante permet de trouver la bonne réponse dans des situations désespérées.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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