E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

La gestionnaire d’un cinéma s’intéresse à la catégorie des films vus par ses spectateurs, ainsi qu’à leur consommation au rayon « friandises ». Une étude sur plusieurs mois a montré que $40 \%$ des spectateurs sont allés voir un film d’action, $35 \%$ un dessin animé et les autres une comédie.
Parmi les spectateurs allant voir un film d’action, la moitié achètent des friandises, alors qu’ils sont $80 \%$ pour ceux allant voir un dessin animé et $70 \%$ pour ceux allant voir une comédie.
On interroge au hasard un spectateur sortant du cinéma et on note :
$\hspace{1.5cm} A$ l’événement : « le spectateur a vu un film d’action »,
$\hspace{1.5cm} D$ l’événement : « le spectateur a vu un dessin animé »,
$\hspace{1.5cm} C$ l’événement : « le spectateur a vu une comédie »,
$\hspace{1.5cm} F$ l’événement : « le spectateur a acheté des friandises ».

  1. Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(F) = 0,655$.
    $\quad$
  3. On interroge au hasard un spectateur ayant acheté des friandises. Quelle est la probabilité qu’il ait vu un dessin animé ? On donnera l’arrondi à $10^{-3}$.
    $\quad$
  4. Une place de cinéma coûte $10$ €. On considérera que si un spectateur achète des friandises, il dépense $18$ € pour sa place de cinéma et ses friandises.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût d’une sortie au cinéma pour un spectateur.
    a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. En déduire le coût moyen par spectateur d’une sortie dans ce cinéma.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $A$, $D$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(D\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=0,4\times 0,5+0,35\times 0,8+0,25\times 0,7\\
    &=0,655\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(D)&=\dfrac{P(D\cap F)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,35\times 0,8}{0,655}\\
    &\approx 0,427\end{align*}$
    La probabilité que le spectateur ait vu un dessin animé sachant qu’il a acheté des friandises est environ égale à $0,427$.
    $\quad$
  4. a. $X$ peut prendre les valeurs $10$ et $18$.
    $\begin{align*} P(X=18)&=P(F)\\
    &=0,655\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10)&=1-P(X=18)\\
    &=0,345\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=18\times 0,655+10\times 0,345\\
    &=15,24\end{align*}$
    En moyenne, un spectateur dépense $15,24$ € dans ce cinéma.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lors des journées classées « rouges » selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Limoges en passant par Orléans est surchargée.
Lors de ces journées classées « rouges », on a pu observer le comportement des automobilistes faisant le trajet de Paris à Limoges en passant par Orléans.

  • Pour le trajet de Paris à Orléans, $30 \%$ d’entre eux prennent la route nationale, les autres prennent l’autoroute.
  • Pour le trajet d’Orléans à Limoges :
    • parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et Orléans, $40 \%$ prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute ;
    • parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre Paris et Orléans, $45 \%$ prennent la route départementale , les autres prennent l’autoroute.

On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journée classée rouge, le trajet Paris – Limoges en passant par Orléans.

On note $N$ l’événement « l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orléans » et $D$ l’événement « l’automobiliste prend la route départementale entre Orléans et Limoges ».
Si $A$ est un évènement, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous.$\quad$
  2. Calculer $P\left(𝑁̅ \cap \conj{D}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est $0,565$.
    $\quad$
    Lors de ces journées classées « rouges », on donne les temps de parcours suivants :
    Paris – Orléans, par autoroute : $3$ heures ;
    Paris – Orléans, par nationale : $2$ heures ;
    Orléans – Limoges, par autoroute : $4$ heures ;
    Orléans – Limoges, par départementale : $3$ heures et demie.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en heure et la probabilité :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
    \hline
    \text{Temps en heure}&5,5&&&\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,12&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure et en donner une interprétation.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)&=P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}\left(\conj{D}\right) \\
    &=0,7\times 0,55\\
    &=0,385\end{align*}$
    La probabilité pour que l’automobiliste n’ait pris ni la route nationale ni la route départementale est égale à $0,385$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{D}\right)&=P\left(N\cap \conj{D}\right)+P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)\\
    &=0,3\times 0,6+0,385\\
    &=0,565\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
    \hline
    \text{Temps en heure}&5,5&6&6,5&7\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,12&0,18&0,315&0,385\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure.
    On a ainsi $P(X=5,5)=0,12$, $P(X=6)=0,18$, $P(X=6,5)=0,315$ et $P(X=7)=0,385$.
    Ainsi l’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=5,5\times 0,12+6\times 0,18+6,5\times 0,315+7\times 0,385\\
    &=6,482~5\end{align*}$
    En moyenne, la durée du trajet est d’environ $6,5$ heures.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une petite entreprise de textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties.
Un client achète au plus une nappe et au plus un lot de serviettes.
En consultant le fichier des ventes de l’entreprise, on constate que :

  • $20\%$ des clients achètent une nappe ;
  • Parmi les clients ayant acheté une nappe, $70 \%$ ont acheté un lot de serviettes ;
  • Parmi les clients n’ayant pas acheté de nappe, $10 \%$ ont tout de même acheté un lot de serviettes.

On choisit au hasard un client de cette entreprise.
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $P(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
On note les événements suivants :

  • $N$ « le client achète une nappe » ;
  • $S$ « le client achète un lot de serviettes »
  1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,22$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client achète une nappe sachant qu’il a acheté une serviette.
    $\quad$
  5. Une nappe est vendue $45$ € et un lot de serviettes $25$ €.
    On appelle $D$ la variable aléatoire donnant la dépense effectuée par un client.
    Calculer l’espérance mathématique de $D$ et donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(N\cap S)&=P(N)\times P_N(S)\\
    &=0,2\times 0,7\\
    &=0,14\end{align*}$
    La probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes est égale à $0,14$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(N\cap S)+P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1\\
    &=0,22\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,22$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(N)&=\dfrac{P(S\cap N)}{P(S)}\\
    &=\dfrac{0,14}{0,22}\\
    &=\dfrac{7}{11}\end{align*}$
    La probabilité que le client achète une nappe sachant qu’il a acheté une serviette est égale à $\dfrac{7}{11}$.
    $\quad$
  5. $D$ prend les valeurs $0$, $25$, $45$, $70$.
    $\begin{align*} P(D=0)&=P\left(\conj{N}\cap \conj{S}\right) \\
    &=0,8\times 0,9\\
    &=0,72\end{align*}$
    $\begin{align*} P(D=25)&=P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,8\times 0,1\\
    &=0,08\end{align*}$
    $\begin{align*} P(D=45)&=P\left(N\cap \conj{S}\right) \\
    &=0,2\times 0,3\\
    &=0,06\end{align*}$
    $\begin{align*} P(D=70)&=P\left(N\cap S\right) \\
    &=0,2\times 0,7\\
    &=0,14\end{align*}$
    L’espérance mathématique de $D$ est donc :
    $\begin{align*} E(D)&=\small{0\times P(D=0)+25\times P(D=25)+45\times P(D=45)+70\times P(D=70)}\\
    &=25\times 0,08+45\times 0,06+70\times 0,14\\
    &=14,5\end{align*}$
    En moyenne un client dépense $14,5$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Claire joue régulièrement à un jeu de simulation de tournois de judo en ligne. Les adversaires qu’elle combat sont générés automatiquement de manière aléatoire selon le niveau atteint dans le jeu.
Elle a atteint le niveau le plus élevé, celui de la ceinture noire. Les scores relevés par le jeu montrent qu’elle gagne dans $45\%$ des cas si son adversaire est ceinture noire et dans $70\%$ si son adversaire n’est pas ceinture noire.
Claire commence un tournoi et un premier adversaire est généré par le jeu. A ce niveau la probabilité d’affronter un adversaire ayant une ceinture noire est $0,6$.
On note :

  • $N$ l’événement : « l’adversaire est ceinture noire » ;
  • $G$ l’événement : « Claire gagne le combat ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant cette situation.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
    $\quad$
  4. Claire vient de perdre un combat. Quelle est la probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire ?
    $\quad$
  5. On considère dans cette question que la probabilité que Claire gagne est $0,55$. Elle fait deux combats successifs.
    On note $X$ la variable qui compte le nombre de victoires.
    Donner la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(N\cap G)&=P(N)\times P_N(G)\\
    &=0,6\times 0,45\\
    &=0,27\end{align*}$
    La probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi est égale à $0,27$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(G)&=P(N\cap G)+P\left(\conj{N}\cap G\right) \\
    &=0,27+0,4\times 0,7\\
    &=0,55\end{align*}$
    La probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{G}}(N)&=\dfrac{P\left(\conj{G}\cap N\right)}{P\left(\conj{G}\right)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,55}{1-0,55}\\
    &=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
    La probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire sachant qu’il a été perdu est égale à $\dfrac{11}{15}$.
    $\quad$
  5. $X$ peut prendre les valeurs $0$, $1$ et $2$.
    $\begin{align*}P(X=2)&=0,55^2\\
    &=0,302~5\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=0)&=0,45^2\\
    &=0,202~5\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=1)&=1-\left(P(X=0)+P(X=2)\right)\\
    &=0,495\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM en 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une fonction de variable réelle $x$ et d’expression $\e^{\lambda x}$ où $\lambda$ est un paramètre réel.

Quelle courbe possède le plus petit paramètre $\lambda$?

a. $\mathcal{C}_f$
b. $\mathcal{C}_g$
c. $\mathcal{C}_h$
d. $\mathcal{C}_i$

$\quad$

Correction Question 1

Le paramètre $\lambda$ est négatif pour les fonctions $f$ et $g$ et positifs pour les fonctions $h$ et $i$.
Pour une abscisse négative donnée, le point de la courbe $\mathcal{C}_g$ associé a une ordonnée supérieure à celle du point de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On choisit au hasard un couple ayant deux enfants et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles du couple. On admet que la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,5$ et qu’il y a indépendance du sexe de l’enfant entre deux naissances.
Déterminer $P(X \pg 1)$.

a. $0,25$
b. $0,5$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $0,75$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-0,5^2\\
&=0,75\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction sinus dans un repère orthogonal.

$A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ sont des points de $\mathcal{C}$ et ils tous la même ordonnée.

Parmi les segments suivants, lequel a pour longueur la période de la fonction sinus?

a. $\left[A_0;A_1\right]$
b. $\left[A_0;A_2\right]$
c. $\left[A_0;A_3\right]$
d. $\left[A_0;A_4\right]$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction sinus est une fonction périodique de période $2\pi$.
Seuls les points $A_0$ et $A_3$ ont des abscisses séparées de $2\pi$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,5x^2-2x+1$.
On considère l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x\in \R$. L’ensemble des solutions de cette équation est :

a. $\emptyset$
b. $\left\{2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right\}$
c. $\left\{2-\sqrt{6};2+\sqrt{6}\right\}$
d. $\left\{4-2\sqrt{2};4+2\sqrt{2}\right\}$

$\quad$

Correction Question 4

$f(x)$ est un polynôme du second degré dont le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,5\times 1 \\
&=2\end{align*}$
Les racines sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{2}}{1}\\
&=2-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{2}}{1}\\
&=2+\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

$ABC$ est un triangle tel que : $AB = 5$, $BC = 2$, $\widehat{ABC} = 60$°.  La longueur $AC$ est égale à

a. $\sqrt{19}$
b. $\sqrt{21}$
c. $\sqrt{28}$
d. $\sqrt{29}$

$\quad$

Correction Question 5

D’après la formule d’Al-Kashi on a :
$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\times BC\cos \widehat{ABC}\\
&=25+4-20\cos(60)\\
&=19\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors

a. $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$
b. $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$
c. $\cos(x)=\dfrac{2}{3}$
d. $\sin(x+15\pi)=\dfrac{1}{3}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$
Donc $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

$\quad$

Correction Question 2

Seule la courbe d. ne touche ou ne traverse l’axe des abscisses.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $1$
b. $3$
c. $-1$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent $f'(1)=3$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

a. une parabole
b. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(-1; 3)$ et de
rayon $8$.
c. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.
d. une droite

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+6y+2=0 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+6y+9-9+2=0\\
\ssi~& (x-1)^2+(y+3)^2=8\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\end{align*}$

Il s’agit du cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-10&6&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&~~\dfrac{1}{4}~~&~~\dfrac{3}{8}~~&~~\dfrac{3}{8}~~\\
\hline
\end{array}$$
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

a. $3,5$ euros
b. $4$ euros
c. $2$ euros
d. $6$ euros

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématiques de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10\times \dfrac{1}{4}+6\times \dfrac{3}{8}+10\times \dfrac{3}{8}\\
&=3,5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des jeux en bois. Avant sa commercialisation, chaque jeu est soumis à deux contrôles : un contrôle de peinture et un contrôle de solidité.

Après un très grand nombre de vérifications, on constate que :

  • $8 \%$ des jeux ont un défaut de peinture,
  • parmi les jeux qui n’ont pas de défaut de peinture, $5 \%$ ont un défaut de solidité,
  • $2 \%$ des jeux présentent les deux défauts.

On choisit au hasard un jeu parmi ceux fabriqués par l’entreprise. On note :

  • $T$ l’événement : « le jeu a un défaut de peinture. »
  • $S$ l’événement : « le jeu a un défaut de solidité. »
  1. Démontrer que $P_T(S) = 0,25$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.

    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale $0,934$.
    $\quad$
  4. Les jeux qui présentent un défaut de solidité sont détruits. Dans cette question, on leur attribuera un prix de vente de $0$ €.
    Les jeux ne présentant aucun défaut sont vendus $14$ € chacun.
    Les autres jeux sont vendus $9$ € chacun.
    $\quad$
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix de vente, en euros, d’un jeu.
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&9&14\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quel est le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise ?
    On arrondira le résultat au centime d’euro.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} P(T\cap S)=P(T)\times P_T(S)&\ssi 0,02=0,08P_T(S)\\
    &\ssi P_T(S)=0,25\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré :
    $\quad$
  3. $T$ et $\conj{T}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{S}\right)&=P\left(T\cap \conj{S}\right)+P\left(\conj{T}\cap \conj{S}\right) \\
    &=0,08\times 0,75+0,92\times 0,95\\
    &=0,934\end{align*}$
    La probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale $0,934$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&0&9&14\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,066&0,06&0,874\\
    \hline
    \end{array}$$
    $P(X=0)=1-0,934=0,066$
    $P(X=14)=0,92\times 0,95=0,874$
    $P(X=9)=1-(0,066+0,874)=0,06$\quad$
    b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times 0,066+9\times 0,06+14\times 0,874 \\
    &=12,776\end{align*}$
    Le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise est d’environ $12,78$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqués dans le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Bouquet de tulipes orange : }10,50 \text{ €}&\text{Bouquet de roses orange : }23,50 \text{ €}\\
\hline
\text{Bouquet de tulipes blanches : }11,60 \text{ €}&\text{Bouquet de roses blanches :} 25,50 \text{ €}\\
\hline
\end{array}$$

  • $72 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
  • Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
  • $20 \%$ des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
  • $36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.

Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

  • $R$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de roses. »
  • $B$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. »

Les événements contraires des événements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\conj{R}$ et $\conj{B}$.

  1. a. Donner, sans justifier, la probabilité $P(R\cap B)$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en traduisant uniquement les données de l’énoncé.

    $\quad$
    c. Montrer que $P(B) = 0,584$.
    $\quad$
  2. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
    a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$. Justifier.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&&&&\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. On arrondira le résultat au centième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
    Donc $P(R\cap B)=0,36$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    c. $R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(R\cap B)+P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
    &=0,36+0,28\times 0,8\\
    &=0,584\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&10,5&11,6&23,5&25,5\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,056&0,224&0,36&0,36\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=25,5)&=P(R\cap B)\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10,5)&=P\left(\conj{R}\cap \conj{B}\right)\\
    &=0,28\times 0,2 \\
    &=0,056\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=11,6)&=P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
    &=0,28\times 0,8 \\
    &=0,224\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=23,5)&=1-\left(0,056+0,224+0,36\right)\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=10,5\times 0,056+11,6\times 0,224+23,5\times 0,36+25,5\times 0,36 \\
    &\approx 20,83\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(2 ;-1)$ et de rayon $4$ a comme équation :

a. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$
b. $(x-2)^2+(y+1)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y+1)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y-1)^2=4$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation cartésienne du cercle est :
$(x-2)^2+\left(y-(-1)\right)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y+1)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit la droite $(d)$ d’équation cartésienne $2x-y+1=0$.
Sachant que la droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, une équation de $\left(d_1\right)$ peut être :

a. $x-2y+2=0$
b. $x+2y-1=0$
c. $-2x+y-1=0$
d. $x-y+2=0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
La droite $\left(d_1\right)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$ donc $\vec{u}$ est normal à la droite $(d)$.
Ainsi une équation cartésienne de $\left(d_1\right)$ est de la forme $x+2y+c=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

L’expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\sin(x)$
b. $0$
c. $2\sin(x)$
d. $\cos(x)-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=\sin(x)-\sin(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3x^2+x-5$.
Le tableau de variations de cette fonction est :

$\quad$

Correction Question 4

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-3<0$. Cette fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
L’abscisse de son sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{1}{-6}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

À un jeu, la variable aléatoire donnant le gain algébrique $G$ suit la loi de probabilité suivante (en euros) :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeur de $\boldsymbol{G}$}&-25&-3&x&100\\
\hline
\text{Probabilité}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}&0,3&0,2\\
\hline
\end{array}$$
Sachant que l’espérance de $G$ est égale à $\dfrac{38}{3}$, la valeur de $x$ est :

a. $0$
b. $5$
c. $20$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &E(G)=\dfrac{38}{3}\\
\ssi~&-25\times \dfrac{1}{3}-3\times \dfrac{1}{6}+0,3x+100\times 0,2=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~&-\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{2}+0,3x+20=\dfrac{38}{3} \\
\ssi~& 0,3x=1,5\\
\ssi~& x=5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On considère deux élevages de chatons sacrés de Birmanie :

  • Dans le premier élevage $75 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $25 \%$ deviennent couleur Blue.
  • Dans le second élevage $30 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $70 \%$ deviennent couleur Blue.

Une animalerie se fournit dans ces deux élevages. Elle achète $40 \%$ de ses chatons au premier élevage et $60 \%$ au deuxième.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note $A$ l’événement « Le chaton provient du premier élevage » et $B$ l’événement « Le chaton est de couleur Blue ».
On note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$.

  1. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

    $\quad$
    b. Calculer $P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage ? On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. Le responsable du rayon fixe à $100$ € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et à $75$€ le prix d’un chaton couleur Chocolat.
    On choisit au hasard un chaton de l’animalerie et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix en euros du chaton acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)&=P\left(\conj{A}\right) \times P_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
    &=0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que le chaton choisi provienne du second élevage et devienne couleur Chocolat est égale à $0,18$.
    $\quad$
    c. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,4\times 0,75+0,18\\
    &=0,48\end{align*}$
    La probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{B}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap B\right)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,7}{1-0,48}\\
    &\approx 0,81\end{align*}$
    La probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage sachant que c’est un chaton couleur Blue est environ égale à $0,81$.
    $\quad$
  2. $X$ ne peut prendre que les valeurs $100$ et $75$.
    $\begin{align*} P(X=100)&=P(B)\\
    &=1-0,48\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=75)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=0,48\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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