E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On considère deux élevages de chatons sacrés de Birmanie :

  • Dans le premier élevage $75 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $25 \%$ deviennent couleur Blue.
  • Dans le second élevage $30 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $70 \%$ deviennent couleur Blue.

Une animalerie se fournit dans ces deux élevages. Elle achète $40 \%$ de ses chatons au premier élevage et $60 \%$ au deuxième.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note $A$ l’événement « Le chaton provient du premier élevage » et $B$ l’événement « Le chaton est de couleur Blue ».
On note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$.

  1. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

    $\quad$
    b. Calculer $P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage ? On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  2. Le responsable du rayon fixe à $100$ € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et à $75$€ le prix d’un chaton couleur Chocolat.
    On choisit au hasard un chaton de l’animalerie et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix en euros du chaton acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)&=P\left(\conj{A}\right) \times P_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
    &=0,6\times 0,3\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que le chaton choisi provienne du second élevage et devienne couleur Chocolat est égale à $0,18$.
    $\quad$
    c. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,4\times 0,75+0,18\\
    &=0,48\end{align*}$
    La probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{B}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap B\right)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,7}{1-0,48}\\
    &\approx 0,81\end{align*}$
    La probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage sachant que c’est un chaton couleur Blue est environ égale à $0,81$.
    $\quad$
  2. $X$ ne peut prendre que les valeurs $100$ et $75$.
    $\begin{align*} P(X=100)&=P(B)\\
    &=1-0,48\\
    &=0,52\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=75)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=0,48\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un constructeur de véhicules fabrique deux types d’automobiles : « Citadine » ou « Routière ».
Pour ces véhicules, ce constructeur propose deux finitions :

  • « Sport » au tarif de $2~500$ euros par véhicule,
  • « Luxe » au tarif de $4~000$ euros par véhicule.

En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :

  • $80\%$ des clients ont commandé une automobile « Citadine ». Les autres clients ont commandé une automobile « Routière ».
  • Parmi les clients possédant une automobile « Citadine », $70\%$ ont pris la finition « Sport ».
  • Parmi les clients possédant une automobile « Routière », $60\%$ ont pris la finition « Luxe ».

On choisit un client au hasard et on considère les évènements suivants :

  • $C$ : « Le client a commandé une automobile « Citadine » »,
  • $L$ : « Le client a choisi la finition « Luxe » ».

D’une manière générale, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire d’un évènement $A$.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.

  1. Construire l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe », c’est-à-dire calculer $P(C\cap L)$.
    $\quad$
  3. Justifier que $P(L) = 0,36$.
    $\quad$
  4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
    a. Déterminer les probabilités $P(X = a)$ et $P(X = b)$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap L)&=P(C)\times P_C(L)\\
    &=0,8\times 0,3\\
    &=0,24\end{align*}$
    La probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe » est égale à $0,24$.
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)&=P(C\cap L)+P\left(\conj{C}\cap L\right) \\
    &=0,24+0,2\times 0,6\\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. On a donc
    $\begin{align*} P(X=2~500)&=P\left(\conj{L}\right) \\
    &=1-0,36\\
    &=0,64\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} P(X=4~000)&=P(L) \\
    &=0,36\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=2~500P(X=2~500)+4~000P(X=4~000)\\
    &=2~500\times 0,64+4~000\times 0,36\\
    &=3~040\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un dé équilibré à six faces et de deux urnes U et V contenant des boules blanches ou rouges, indiscernables au toucher.
L’urne U contient $40$ boules blanches et $60$ boules rouges.
L’urne V contient $70$ boules blanches et $30$ boules rouges.

Un jeu consiste à lancer le dé puis tirer une boule dans l’une des urnes. Si on obtient $1$ ou $6$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne U. Si on obtient $2$, $3$, $4$ ou $5$ sur le dé, le tirage s’effectue dans l’urne V.
On considère les événements :
$\hspace{1cm}U$ : « le tirage s’effectue dans l’urne U »
$\hspace{1cm}V$ : « le tirage s’effectue dans l’urne V »
$\hspace{1cm}B$ : « la boule tirée est blanche »
$\hspace{1cm}R$ : « la boule tirée est rouge ».
Sauf indication contraire, les probabilités seront arrondies au millième.

    1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
      $\quad$
    2. Déterminer la probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge ».
      $\quad$
    3. On tire une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée dans l’urne U ?
      $\quad$
    4. Pour jouer, il faut miser $1$ €. Le joueur gagne $3$ € s’il tire une boule rouge et il ne gagne rien s’il tire une boule blanche. On note $G$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur.
      a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
      On donnera le tableau de la loi de probabilité, mais aucune justification n’est demandée.
      $\quad$
      b. Calculer l’espérance mathématique de $G$. Interpréter ce résultat.
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $U$ et $V$ forment un système complet d”événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(U\cap R)+P(V\cap R)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times 0,6+\dfrac{2}{3}\times 0,3\\
    &=0,4\end{align*}$
    La probabilité de l’évènement « la boule tirée est rouge » est égale à $0,4$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(U)&=\dfrac{P(U\cap R)}{P(R)}\\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{3}}{0,4}\\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité que la boule ait été tirée dans l’urne U sachant qu’elle est rouge est égale à $0,5$.
    $\quad$
  4. a. On obtient la loi de probabilité suivante:
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    g_i&2&-1\\
    \hline
    P\left(G=g_i\right)&0,4&0,6\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de $G$ est :
    $\begin{align*} E(G)&=2\times 0,4+(-1)\times 0,6\\
    &=0,2\end{align*}$
    En moyenne, un joueur gagne $0,2$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Maxime participe à un jeu qui se déroule en deux parties :

  • La probabilité qu’il gagne la première partie est de $0,2$.
  • S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de $0,9$.
  • S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de $0,6$.

On note :

  • $G_1$ l’événement « Maxime gagne la première partie »
  • $G_2$ l’événement « Maxime gagne la seconde partie »

Partie A

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
    $\quad$

Partie B

On sait de plus que :

  • -à chaque partie gagnée, le joueur gagne $1,5$ €.
  • à chaque partie perdue, il perd $1$ €.

On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime à l’issue des deux parties.

  1. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de $X$}&&&3&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Probabilité}&\phantom{0,18}&\phantom{0,18}&0,18&\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. La probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu est :
    $\begin{align*} P\left(G_1\cap G_2\right)&=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right) \\
    &=0,2\times 0,9\\
    &=0,18\end{align*}$
    $\quad$
  3. $G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(G_2\right)&=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
    &=0,18+0,8\times 0,4\\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs de $X$}&-2&0,5&3&\text{Total}\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,48&0,34&0,18&1\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    – $P(X=-2)=0,8\times 0,6=0,48$
    – $P(X=0,5)=1-(0,48+0,18)=0,34$
    $\quad$
  2. L’espérance de la variable $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,48+0,5\times 0,34+3\times 0,18 \\
    &=-0,25\end{align*}$
    Par conséquent $E(X)\neq 0$. Le jeu n’est donc pas équitable.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une urne contient deux boules rouges et trois boules noires toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une première boule en notant sa couleur puis on la remet dans l’urne.
On tire ensuite toujours au hasard une deuxième boule en notant sa couleur.
On note $R$ l’évènement « tirer une boule rouge » et $N$ l’évènement « tirer une boule noire ».

  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous associé à cette expérience.

    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
    $\quad$
  3. Si un joueur tire une boule rouge, il gagne 20 euros. S’il tire une boule noire, il perd $10$ euros.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, à l’issue des deux tirages successifs.
    Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le joueur gagne de l’argent.
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré :

    $\quad$
  2. La probabilité de tirer deux boules rouges est :
    $\begin{align*} P(R\cap R)&=P(R)\times P_R(R)\\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5} \\
    &=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $-20$, $10$ et $40$.
    $\begin{align*} P(X=-20)&=P(N\cap N)\\
    &=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}\\
    &=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=40)&=P(R\cap R)\\
    &=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10)&=1-\left(P(X=-20)+P(X=40)\right)\\
    &=1-\dfrac{13}{25}\\
    &=\dfrac{12}{25}\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : Les 2 tirages sont aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que 2 issues : $R$, de probabilité $\dfrac{2}{5}$ et $\conj{R}$.
    La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=\dfrac{2}{5}$.
    On a alors $P(X=-20) = P(Y=0)$, $P(X=10) =P(Y=1)$ et $P(X=40)=P(Y=2)$.
    Avec $P(Y=k)=\dbinom{2}{k} \left(\dfrac{2}{5}\right)^k\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2-k}$ pour tout $k\in \{0,~1,~2\}$.
    $\quad$
  4. La probabilité qu’il gagne de l’argent est égale à $P(X=10)+P(X=40)=\dfrac{16}{25}$.
    $\quad$
  5. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-20 P(X=-20)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
    &=-20\times \dfrac{9}{25}+10\times \dfrac{12}{25}+40\times \dfrac{4}{25} \\
    &=4\end{align*}$
    Cela signifie qu’en moyenne, sur un grand nombre de parties, un joueur va gagner $4$ € par partie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parent d’élèves propose un jeu pour la fête de l’école.

Une urne opaque contient 100 billes indiscernables au toucher : $10$ billes rouges, $30$ billes blanches et $60$ billes vertes.

Pour une partie, chaque joueur doit miser $2$ jetons. Ensuite, le joueur prélève une bille au hasard dans l’urne.

  • Si la bille prélevée est rouge, le joueur récupère $8$ jetons.
  • Si la bille est blanche, le joueur récupère $4$ jetons.
  • Si la bille est verte, le joueur ne gagne rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en nombre de jetons, c’est-à-dire, le nombre de jetons gagnés diminué de la mise.

  1. a. Établir que la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeurs $a$ prise par $X$}&-2&2&6\\
    \hline
    P(X=a)&0,6&0,3&0,1\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Démontrer que le jeu est équitable, c’est-à-dire que l’espérance de $X$ est nulle.
    $\quad$
    c. Calculer la variance puis l’écart-type de $X$. On arrondira au centième.
    $\quad$
  2. Pour financer les différentes actions de l’école, les organisateurs de la fête veulent modifier le jeu pour qu’il leur devienne favorable. Ils décident alors d’ajouter des billes vertes dans l’urne.
    Combien de billes vertes doit-on ajouter dans l’urne pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La loi de probabilité de $X$ est :
    $P(X=-2)=\dfrac{60}{100}=0,6$
    $P(X=2)=\dfrac{30}{100}=0,3$
    $P(X=6)=\dfrac{10}{100}=0,1$
    $\quad$
    b.
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,6+2\times 0,3+6\times 0,1\\
    &=0\end{align*}$
    Le jeu est donc équitable.
    $\quad$
    c. La variance de $X$ est :
    $\begin{align*} V(X)&=0,6(-2-0)^2+0,3(2-0)^2+0,1(6-0)^2
    &=7,2\end{align*}$
    L’écart-type de $X$ est :
    $\begin{align*} \sigma(X)&=\sqrt{7,2} \\
    &\approx 2,68\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $n$ le nombre de billes vertes ajoutées.
    La loi de probabilité de $X$ devient alors :
    $P(X=-2)=\dfrac{60+n}{100+n}$
    $P(X=2)=\dfrac{30}{100+n}$
    $P(X=6)=\dfrac{10}{100+n}$
    $\begin{align*} E(X)=-1&\ssi \dfrac{-2(60+n)}{100+n}+ \dfrac{2\times 30}{100+n}+\dfrac{6\times 10}{100+n} =-1\\
    &\ssi -2(60+n)+60+60=-100-n\\
    &\ssi -120-2n+120=-100-n\\
    &\ssi n=100\end{align*}$
    Il faut donc ajouter $100$ billes vertes pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\cos(25\pi+x)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\cos(-x)$
a. $-1$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :

$\begin{align*} \cos(25\pi+x)&=\cos(2\times 12\pi+\pi+x) \\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 10]$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ :

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère $\Oij$
La tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ a pour coefficient directeur :

a. $0$
b. $3$
c. $4$
d. $10$

$\quad$

Correction Question 2

D’après le tableau de variations on a $f'(3)=0$.
Ainsi le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ est $0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$E$ et $F$ sont deux événements indépendants d’un même univers.
On sait que $p(E) = 0,4$ et $p(F) = 0,3$ alors :

a. $p(E\cup F)=0,7$
b. $p(E\cap F)=1,2$
c. $p(E\cap F)=0$
d. $p(E\cap F)=0,12$

$\quad$

Correction Question 3

$E$ et $F$ sont indépendants.
Par conséquent :
$\begin{align*} p(E\cap F)&=p(E)\times p(F)\\
&=0,4\times 0,3\\
&=0,12\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+1\pp -3$ est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};4\right\}$
b. $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]4;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$-3x^2+11x+1\pp -3 \ssi -3x^2+11x+4\pp 0$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=11^2-4\times (-3)\times 4\\
&=169\end{align*}$
Les deux racines réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{169}}{-6} \\
&=4\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{169}}{-6} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+4\pp 0$ est $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les mauvaises réponses.

  • $a<0$ : on exclut donc les réponses a et b
  • l’inéquation est stricte : on exclut donc la réponse d

Il ne reste plus que la réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par ce tableau :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-3&2&5&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,3&0,21&0,13&0,36\\
\hline
\end{array}$$
On peut en déduire que :

a. $P(X>2)=0,49$
b. $P(X>2)=0,51$
c. $P(X\pg 2)=0,49$
d. $P(X \pg 2)=0,51$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} P(X>2)&=P(X=5)+P(X=10)\\
&=0,13+0,36\\
&=0,49\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. $\Delta$ désigne la quantité $b^2-4ac$.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est cohérente avec la représentation graphique, ci-dessous, de cette fonction ?

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a<0$ et $\Delta<0$
c. $a>0$ et $\Delta<0$
d. $a<0$ et $\Delta>0$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ admet un minimum donc $a>0$.
La courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points donc $\Delta >0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Lors d’un jeu, on mise $1$ euro et on tire une carte au hasard parmi $30$ cartes numérotées de $1$ à $30$. On gagne $3$ euros si le nombre porté sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien. On détermine le gain algébrique en déduisant le montant de la mise de celui du gain.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique. Que vaut l’espérance $E(X)$de la variable aléatoire $X$ ?

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{1}{10}$
c. $0$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Les nombres premiers compris entre $1$ et $30$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ $23$, $29$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=2)&=\dfrac{10}{30} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-1)&=1-\dfrac{1}{3}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(X)&=-1\times P(X=-1)+2P(X=2)\\
&=-\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}$?

a. $\e^{11}$
b. $\e^{9}$
c. $\e^{7}$
d. $\e^{-7}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} \dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}&=\dfrac{\e^{6+3}}{\e^2}\\
&=\dfrac{\e^9}{\e^2}\\
&=\e^{9-2}\\
&=\e^7\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-5$ et telle que $u_1=2$. Quelle est, pour tout entier naturel $n$, l’expression du terme général $u_n$ de cette suite ?

a. $u_n=2-5n$
b. $u_n=-5+2n$
c. $u_n=7-5n$
d. $u_n=2\times (-5)^n$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} u_0&=u_1-(-5) \\
&=2+5\\
&=7\end{align*}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=7-5n$.

Réponse c

$\quad$

Autre méthode 1 : on évalue chacune des expressions fournies en prenant $n=1$. Seule la réponse c permet d’obtenir $u_1=2$

Autre méthode 2 : 
$\begin{align*} u_n&=u_1+(n-1)\times (-5) \\
&=2-5n+5 \\
&=7-5n\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Les équations cartésiennes ci-dessous sont celles de droites données du plan. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à l’une de ces droites. Quelle est l’équation de cette droite ?

a. $2x+y+5=0$
b. $x+2y+3=0$
c. $-x+0,5y+2=0$
d. $-4x+8y=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne dont $\vec{u}$ est un vecteur normal est de la forme $-x+2y+c=0$.
Donc $-4x+8y+d=0$ est également un équation cartésienne pour ce type de droite.

En prenant $d=0$ on obtient l’équation $-4x+8y=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un jeu, Jeanne doit trouver la bonne réponse à une question posée.
Les questions sont classées en trois catégories : sport, cinéma et musique.
Jeanne, fervente supportrice de ce jeu, est consciente qu’elle a :
$1$ chance sur $2$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en sport ;
$3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en cinéma ;
$1$ chance sur $4$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en musique.
On note :
$S$ l’événement : « Jeanne est interrogée en sport » ;
$C$ l’événement : « Jeanne est interrogée en cinéma » ;
$M$ l’événement : « Jeanne est interrogée en musique » ;
$B$ l’événement : « Jeanne donne une bonne réponse ».

Rappel de notation : la probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$.

Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que $P(S)=P(C)=P(M)=\dfrac{1}{3}$.

  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Jeanne tire au hasard une question. Montrer que $P(B)=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

Pour participer à ce jeu, Jeanne doit payer $10$ € de droit d’inscription. Elle recevra :

  • $10$ € si elle est interrogée en sport et que sa réponse est bonne ;
  • $20$ € si elle est interrogée en cinéma et que sa réponse est bonne ;
  • $50$ € si elle est interrogée en musique et que sa réponse est bonne ;
  • rien si la réponse qu’elle donne est fausse.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Jeanne associe son gain algébrique, c’est-à-dire la différence en euros entre ce qu’elle reçoit et les $10$ € de droit d’inscription.

  1. Montrer que $P(X=40)=\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
  2. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance mathématique de $X$. Jeanne a-t-elle intérêt à jouer ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $S$, $C$ et $M$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(S\cap B)+P(C\cap B)+P(M\cap B)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P(X=40)&=P(M\cap B)\\
    &=P(M)\times P_M(B)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\\
    &=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(X=-10)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=1-\dfrac{1}{2}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=0)&=P(S\cap B)\\
    &=P(S)\times P_S(B)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=10)&=P(C\cap B)\\
    &=P(C)\times P_C(B)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $P(X=40)=\dfrac{1}{12}$
    $\quad$
  5. L’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=-10P(X=-10)+0P(X=0)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
    &=-10\times \dfrac{1}{2}+10\times \dfrac{1}{4}+40\times \dfrac{1}{12} \\
    &=\dfrac{5}{6}\end{align*}$
    Par conséquent $E(X)>0$. Jeanne a donc intérêt à jouer.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans tout l’exercice, on notera $P(E)$ la probabilité d’un évènement $E$.

La répartition des $150$ adhérents d’un club de sport est donnée dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Âge}&15\text{ ans}&16\text{ ans}&17\text{ ans}&18\text{ ans}\\
\hline
\text{Nombre de filles}&17&39&22&10\\
\hline
\text{Nombre de garçons}&13&36&8&5\\
\hline
\text{Total}&30&75&30&15\\
\hline
\end{array}$$

On choisit un adhérent au hasard.

  1. Quelle est la probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans ?
    $\quad$
  2. L’adhérent choisi a $18$ ans. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
    $\quad$

On note 𝑋 la variable aléatoire donnant l’âge de l’adhérent choisi.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X\pg 16)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans est :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’adhérent choisi a $18$ ans. La probabilité que ce soit une fille est
    $\begin{align*} p’&=\dfrac{10}{15}\\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La loi de probabilité de $X$ est :
    $\begin{align*} P(X=15)&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=16)&=\dfrac{75}{150} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=17)&=\dfrac{30}{150} \\
    &=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=18)&=\dfrac{15}{150} \\
    &=\dfrac{1}{10}\end{align*}$
  4. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 16)&=1-P(X=15) \\
    &=1-\dfrac{1}{5}\\
    &=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    $\dfrac{4}{5}$ des adhérents ont au moins $16$ ans.
    $\quad$
  5. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{15\times P(X=15)+16\times P(X=16)+17\times P(X=17)+18\times P(X=18)} \\
    &=16,2\end{align*}$
    L’âge moyen des adhérents est de $16,2$ ans.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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