E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que pourraient emporter certains voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :

  • $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique ».
  • $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
    On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On remarque que :

  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$.
  • Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous illustrant cette situation :

    $\quad$
  2. Montrer que : $P(S) = 0,021~92$.
    $\quad$
  3. On suppose qu’à chaque fois qu’un voyageur franchit le portique, la probabilité que ce portique sonne est égale à $0,021~92$, et ce de façon indépendante des éventuels déclenchements de sonnerie lors des passages des autres voyageurs.
    Deux personnes passent successivement le portique de sécurité. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le portique sonne.
    a. Justifier qu’on peut modéliser la loi de $X$ par une loi binomiale $B(n;p)$ dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
    $\quad$
    b. Reprendre et compléter le tableau donnant la loi de $X$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
    \hline
    P(X=k)&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Calculer et interpréter l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a /
    $\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right) \\
    &=\dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02\\
    &=0,021~92\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $2$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage, il n’y a que de issues $S$ et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,021~92$.
    Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0,021~92$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant (valeurs arrondies à $10^{-5}$ près) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
    \hline
    P(X=k)&0,95664&0,04288&0,00048\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)\\
    &=0,04384\end{align*}$
    En moyenne le portique sonne $4~384$ fois lorsque $100~000$ “couples” passent successivement ce portique.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parfumeur propose l’un de ses parfums, appelé « Fleur Rose », et cela uniquement avec deux contenances de flacons : un de 30 ml ou un de 50 ml. Pour l’achat d’un flacon « Fleur Rose », il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appelé « Bois d’ébène ». On dispose des données suivantes :

  • $58 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 30 ml et, parmi ceux-là, $24 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène » ;
  • $42 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 50 ml et, parmi ceux-là, $13 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène ».

On admet qu’un client donné n’achète qu’un seul flacon de parfum « Fleur de Rose » (soit en 30 ml soit en 50 ml), et que s’il achète un flacon du parfum « Bois d’ébène », il n’en achète
aussi qu’un seul flacon.
On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum « Fleur Rose ». On considère les événements suivants :

  • $F$ : « le client a acheté un flacon « Fleur Rose » de 30 ml » ;
  • $B$ : « le client a acheté un flacon « Bois d’ébène ».
  1. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(F\cap B)$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène ».
    $\quad$
  4. Un flacon « Fleur Rose » de 30 ml est vendu $40$ €, un flacon « Fleur Rose » de 50 ml est vendu $60$ € et un flacon « Bois d’ébène » $25$ €. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au montant total des achats par un client du parfum « Fleur Rose ».
    a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(F\cap B)&= P(F)\times P_F(B) \\
    &=0,58\times 0,24\\
    &=0,139~2\end{align*}$
    $\quad$
  3. $F$ et $\conj{F}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(B)&=P(F\cap B)+P\left(\conj{F}\cap B\right) \\
    &=0,139~2+0,42\times 0,13\\
    &=0,193~8\end{align*}$
    La probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène » est égale à $0,193~8$
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} P(X=40)&=P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,58\times 0,76 \\
    &=0,440~8\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=65)&=P\left(F\cap B\right) \\
    &=0,139~2\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(\conj{F}\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,42\times 0,87 \\
    &=0,365~4\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=85)&=P\left(\conj{F}\cap B\right) \\
    &=0,42\times 0,13 \\
    &=0,054~6\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{40\times P(X=40)+65\times P(X=65)+60\times P(X=60)+85\times P(X=85)}\\
    &=53,245\end{align*}$
    En moyenne, un client ayant acheté un flacon du parfum « Fleur Rose » dépense $53,245$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une équipe de participants est enfermée à l’intérieur d’une salle à thème et doit réussir à en sortir en moins d’une heure (on parle alors de partie réussie). Au-delà d’une heure, les participants sont libérés et la partie est perdue.

Un exploitant d’Escape Game propose à ses participants de faire deux parties à la suite : la première partie se déroule dans la salle à thème « Espion », la seconde partie dans la salle à thème « Musée ». Il dispose des données suivantes :

  • lorsqu’une équipe joue dans la salle à thème « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Espion » est égale à $0,5$ ;
  • lorsqu’une équipe a réussi la partie « Espion», la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,6$ ;
  • lorsqu’une équipe n’a pas réussi la partie « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,45$.

Une équipe est choisie au hasard. On note les événements suivants :

  • $E$ : « l’équipe réussit la partie « Espion » ;
  • $M$ : « l’équipe réussit la partie « Musée ».
  1. Sur la copie, recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :

    $\quad$

  2. Déterminer la probabilité que l’équipe réussisse les deux parties.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’une équipe échoue à la partie « Espion » sachant qu’elle a réussi la partie « Musée » ? On donnera la réponse arrondie à $10^{-2}$.
    $\quad$
  5. Pour chacune des deux parties qui sont gagnées, une équipe reçoit $2$ € de réduction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir $0$, $2$ ou $4$ € de réduction.
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties ? Expliquer la démarche.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :


    $\quad$

  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p(E\cap M)&=p(E)\times p_E(M)\\
    &=0,5\times 0,6\\
    &=0,3\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse les deux parties est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(E\cap M)+p\left(\conj{E}\cap M\right)\\
    &=0,5\times 0,6+0,5\times 0,45\\
    &=0,525\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M\left(\conj{E}\right)&=\dfrac{p\left(M\cap \conj{E}\right)}{p(M)}\\
    &=\dfrac{0,5\times 0,45}{0,525}\\
    &\approx 0,43\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le montant de la réduction obtenue.
    $X$ suit donc la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&~~0~~&~~2~~&~~4~~\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,275&0,425&0,3\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    $P(X=4)=p(E\cap M)$
    $\begin{align*} P(X=0)&=p\left(\conj{E}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,5\times 0,55\\
    &=0,275\end{align*}$
    $ \begin{align*} P(X=2)&=P\left(\left(E\cap \conj{M}\right)\cup\left(\conj{E}\cap M\right)\right) \\
    &=P\left(E\cap \conj{M}\right)+P\left(\conj{E}\cap M\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
    &=P(E)\times P_E\left(\conj{M}\right)+P\left(\conj{E}\right)\times P_{\conj{E}}(M)\\
    &=0,5\times 0,4+0,5\times 0,45 \\
    &=0,425
    \end{align*}$
    Remarque : on vérifie que $0,275+0,425+0,3=1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+2\times P(X=2)+4\times P(X=4)\\
    &=2\times 0,425+4\times 0,3\\
    &=2,05\end{align*}$
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties est égal à $2,05$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une résidence de vacances propose uniquement deux formules :

  • la formule « pension complète » dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
  • la formule « demi-pension » dans laquelle sont fournis uniquement le petit
    déjeuner et le dîner.

Pour l’année 2018, $65 \%$ des clients ont choisi la pension complète ; les autres ont choisi la formule « demi-pension ».
Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, $30 \%$ ont réservé l’option « ménage » en fin de semaine. De plus, $70 \%$ des clients qui ont choisi la pension complète ont réservé l’option ménage.
On choisit un client au hasard parmi ceux de l’année 2018 et l’on considère les évènements suivants :
$C$ : le client a choisi la formule « pension complète » ;
$M$: le client a choisi l’option « ménage ».

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer $P(C\cap M)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage.
    $\quad$
  5. Voici la grille de tarifs de la résidence de vacances pour l’année 2018:
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{Une semaine de pension complète}&800\text{€}\\
    \text{Une semaine de demi-pension}&650\text{€}\\
    \text{Option ménage}&50\text{€}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On note $X$ la variable aléatoire égale au montant payé par un client de 2018.
    Calculer $P(X=850)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap M)&=P(C)\times P_C(M)\\
    &=0,65\times 0,7\\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(C\cap M)+P\left(\conj{C}\cap M\right) \\
    &=0,455+0,35\times 0,3\\
    &=0,56\end{align*}$
    La probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(C)&=\dfrac{P(M\cap C)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{0,455}{0,56}\\
    &=0,812~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage est égale à $0,812~5$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(X=850)&=P(C\cap M) \\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale, arrondie au millième.

Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de les revendre à prix réduit.

  • $45 \%$ des smartphones qu’elle récupère ont un écran cassé ;
  • parmi les smartphones ayant un écran cassé, $30 \%$ ont également une batterie
    défectueuse ;
  • par contre, seulement $20 \%$ des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie défectueuse.
  1. Un technicien chargé de réparer et reconditionner les smartphones de l’entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. On note :
    $\bullet$ $E$ l’événement : « Le smartphone choisi a un écran cassé. »
    $\bullet$ $B$ l’événement : « Le smartphone choisi a une batterie défectueuse. »
    a. Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité qu’il ait un écran cassé ?
    $\quad$
  2. L’entreprise dépense $20$ € pour réparer et reconditionner chaque smartphone qu’elle récupère. Si l’écran est cassé, elle dépense $30$ € supplémentaires, et si la batterie est défectueuse, elle dépense $40$ € supplémentaires.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au coût total de réparation et reconditionnement d’un smartphone choisi au hasard dans le stock.
    a. Recopier et compléter sur la copie (aucune justification n’est attendue) le tableau suivant pour donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&\ldots&\ldots\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’entreprise doit réparer et reconditionner $500$ smartphones. Combien doit-elle s’attendre à dépenser ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
    &=0,45\times 0,3+0,55\times 0,2\\
    &=0,245\end{align*}$
    La probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(E)&=\dfrac{P(B\cap E)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,45\times 0,3}{0,245}\\
    &=\dfrac{27}{49}\end{align*}$
    Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, la probabilité qu’il ait un écran cassé est égale à $\dfrac{27}{49}$.
    $\quad$
  2. a. $X$ prend les valeurs $20$, $50$, $60$ et $90$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&60&90\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&0,315&0,11&0,135\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(E\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,45\times 0,7\\
    &=0,315\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(B\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,55\times 0,2\\
    &=0,11\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=90)&=P(E\cap B) \\
    &=0,45\times 0,3\\
    &=0,135\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{20\times 0,44+50\times 0,315+60\times 0,11+90\times 0,135}\\
    &=43,3\end{align*}$
    En moyenne le reconditionnement d’un smartphone coûte $43,3$ €.
    Cela coûtera $500\times 43,3=21~650$ € de réparer et reconditionner $500$ smartphones.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&-5&0&10&20&50\\
\hline
P(X=k)&0,71&0,03&0,01&0,05&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de $X$ est :

a. $15$
b. $0,2$
c. $7,55$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 1

L’espérance de $X$ est :

$\begin{align*} E(X)&=\small{-5\times 0,71+0\times 0,03+10\times 0,01+20\times 0,05+50\times 0,2} \\
&=7,55\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour équation :

a. $(x+2)^2+(y-4)^2=81$
b. $(x-2)^2+(y+4)^2=81$
c. $(x+2)^2+(y-4)^2=9$
d. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-4)^2=9^2$ soit $(x+2)^2+(y-4)^2=81$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

a. $a>0$ ou $c<0$
b. $c$ et $\Delta$ sont du même signe
c. $a<0$ et $c<0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après le graphique $a<0$ (la fonction $f$ admet un maximum) et $\Delta>0$ (il y a deux racines)
Les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents.
Or $ax_1x_2=c$ donc $c>0$
Remarque : On pouvait également lire sur le graphique le fait que $c>0$ puis $f(0)=c$ et graphiquement $f(0)>0$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$.
Un algorithme permettant de calculer la somme $S=U_0+U_1+\ldots+U_{36}$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Si la variable $\text{U}$ est transformée avant la variable $\text{S}$ alors $\text{S}$ doit être initialisée à $-2$.
Dans l’algorithme c., quand $\text{i}=1$, la variable $S$, du fait de l’initialisation $S=u_0$, prend la valeur $u_0+u_0$ au lieu de $u_0+u_1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$ est :

a. arithmétique mais pas géométrique
b. géométrique mais pas arithmétique
c. ni arithmétique, ni géométrique
d. à la fois arithmétique et géométrique

$\quad$

Correction Question 5

On $U_0=-2$
$\begin{align*} U_1&=2U_0-5\\
&=2\times (-2)-5 \\
&=-9\end{align*}$
$\begin{align*} U_2&=2U_1-5\\
&=2\times (-9)-5\\
&=-23\end{align*}$

Ainsi :

  • $U_1-U_0=-7$ et $U_2-U_1=-14$
    Ces différences ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique
  • $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{23}{9}$
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses $5~000$ clients qui viennent pour une
coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $2~000$ clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $900$ demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $650$ clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On notera $C$ l’évènement « le client souhaite une « couleur-soin ».
On notera $E$ l’évènement « le client souhaite un « effet coup de soleil ».

  1. Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&&900&\\
    \hline
    \conj{E}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&\phantom{\text{Total}}&\phantom{\text{Total}}&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On interroge un client au hasard parmi les $5~000$ clients.
    a. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » ?
    $\quad$
    b. Calculer $P_E\left(\conj{C}\right)$.
    $\quad$
  3. On a des prix différents suivant la prestation fournie. On appelle $X$ le prix payé en euros par chaque client.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&&&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après avoir recopié et complété le tableau, calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&650&900&1~550\\
    \hline
    \conj{E}&1~350&2~100&3~450\\
    \hline
    \text{Total}&2~000&3~000&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(C\cap E)&=\dfrac{650}{5000}~\\
    &=0,13\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » est $0,13$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P_E\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{900}{1~550}\\
    &=\dfrac{18}{31}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
  4. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&0,42&0.27&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=20)&=P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{2~100}{5~000}\\
    &=0,42\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(C\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{1~350}{5~000}\\
    &=0,27\end{align*}$
    $\quad$
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=20\times 0,42+50\times 0,27+65\times 0,18+80\times 0,13\\
    &=44\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2017. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,1\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,1}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,1}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,1}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 9,1$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.
Karim effectue une série de $3$ tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :

  • $M$ : « Karim marque un but » ;
  • $R$ : « Karim rate le tir au but ».

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

  1. On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l’issue de cette série de tirs par Karim.
    a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. On propose à un spectateur le jeu suivant : il mise $15$ € avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6$ €, et chaque but manqué par Karim ne
    lui rapporte rien.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c’est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
    a. Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant

    $\quad$
    b.
    La variable aléatoire $X$ ne peut prendre que les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.
    $\begin{align*}P(X=0)&=0,3^3 \\
    &=0,027\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=1)&=3\times 0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,189\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=2)&=3\times 0,7^2\times 0,3 \\
    &=0,441\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=3)&=0,7^3 \\
    &=0,343\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On dit que la variable aléatoire $X$ suit uneloi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,7$.
    $\quad$
    c. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)}\\
    &=1\times 0,189+2\times 0,441+3\times 0,343\\
    &=2,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a donc $Y=6X-15$
    $\quad$
    b. On sait que $E(aX+b)=aE(X)+b$.
    Donc, ici :
    $\begin{align*} E(Y)&=6E(X)-15\\
    &=6\times 2,1-15\\
    &=-2,4\end{align*}$
    À chaque partie, le joueur perd donc en moyenne $2,4$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Une urne contient $150$ jetons rouges et $50$ jetons bleus, tous indiscernables au toucher. $20 \%$ des jetons rouges sont gagnants et $40 \%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.

Question 1

La probabilité que le jeton soit rouge et gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,45$
c. $0,15$
d. $0,95$

$\quad$

Correction Question 1

On note les événements :

  • $R$ : le jeton est rouge;
  • $G$ : le jeton est gagnant.

On a ainsi
$\begin{align*} P(R)&=\dfrac{150}{200}\\
&=0,75\end{align*}$
et $P_R(G)=0,2$
Par conséquent :
$\begin{align*} P(R\cap G)&=P(R)\times P_R(G)\\
&=0,75\times 0,2\\
&=0,15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La probabilité que le jeton soit gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,6$
c. $0,25$
d. $0,4$

$\quad$

Correction Question 2

On utilise les notations de la correction de la question 1.
$R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(R\cap G)+P\left(\conj{R}\cap G\right) \\
&=0,15+\dfrac{50}{200}\times 0,4\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Un joueur tire successivement et avec remise deux jetons de l’urne. La probabilité qu’il tire deux jetons rouges est :

a. $0,562~5$
b. $0,75$
c. $0,30$
d. $0,15$

$\quad$

Correction Question 3

La probabilité de tirer deux jetons rouges est :
$\begin{align*} p&=0,75^2 \\
&=0,562~5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros d’un joueur. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs $a$ prises par $X$}&-5&0&10\\
\hline
P(X=a)&0,6&0,15&0,25\\
\hline
\end{array}$$

Question 4

La probabilité $P(X > 0)$ est égale à :

a. $0,15$
b. $0,6$
c. $10$
d. $0,25$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} P(X>0)&=P(X=10)\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le gain algébrique moyen en euros que peut espérer un joueur est égale à :

a. $0$
b. $-0,5$
c. $\dfrac{5}{3}$
d. $5$

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+0\times P(X=0)+10\times P(X=10)\\
&=-5\times 0,6+10\times 0,25\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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