Variations (graphique)

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. $0,5\%$ de $12~641$ €
    $\quad$
    Correction Question 1

    $1\%$ de $12~641$ est égale à $126,41$€
    Donc $0,5\%$ de $12~641$ est égale à $63,205$
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Développer $(2x+3)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
    &=4x^2+12x+9\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
    $\ssi x=-3$ ou $x=1$
    Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
    $\quad$

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    $\quad$
  4. Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
    $\quad$
    Correction Exercice 4

    $3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
    L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
    Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $f(-2)=4a$
    Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$

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    $\quad$

    $\quad$
  6. Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
    Donner le pourcentage de garçons internes.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
    Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
    $\quad$

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    $\quad$
  7. La population d’une ville de $1~520$ habitants baisse chaque année de $10\ %$.
    Donner l’arrondi à l’unité du nombre d’habitants au bout de $3$ ans.
    $\quad$
    Correction Question 7

    Au bout d’un an la population a baissé de $152$ habitants. Il reste donc $1~368$ habitants.
    La deuxième année la population a baissé d’environ $137$ habitants. Il reste donc $1231$ habitants
    La troisième année la population a baisse d’environ $123$ habitants. Il reste donc $1~108$ habitants
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

 

  1. $f(-5)$ est égal à :
    $\quad$
    Correction Question 8

    D’après le graphique $f(-5)=1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 9

    La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
    L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. $f$ est décroissante sur les intervalles :
    $\quad$
    Correction Question 10

    D’après le graphique, $f$ est décroissante sur les intervalles $[-5;-2]$ et $[5;9]$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2 ; 6]$ dont la
courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 6]$.

On considère les points $A(0 ; 30)$, $B(2 ; 14)$, $D(4 ; -10)$
et $E(4 ; -2)$. $A$, $B$ et $E$ sont trois points de la courbe $C_f$.

La droite $(BD)$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points $A$ et $E$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

  1. À l’aide des informations précédentes, recopier sur votre feuille le tableau ci-dessous en le complétant :
    $\quad$
  2. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  3. Lire graphiquement la valeur de $f'(2)$.
    $\quad$
  4. Parmi les courbes suivantes, une seule représente la fonction dérivée $f’$. Laquelle ? Justifier la réponse.

    $\quad$
  5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. La courbe coupe $3$ fois l’axe des abscisses.
    L’équation $f(x)=0$ possède donc $3$ solutions.
    $\quad$
  3. $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $(BD)$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} f'(2)&=\dfrac{-10-14}{4-2}\\
    &=-12\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le tableau de signe de $f'(x)$ n’est pas cohérent avec la proposition 2.
    D’après la question précédente $f'(2)=-12$.
    C’est la courbe de la proposition 1 qui représente la fonction $f’$.
    $\quad$
  5. D’après la courbe représentant la fonction $f’$ on lit $f'(5)=15$.
    D’après la courbe représentant la fonction $f$ on lit $f(5)=5$.
    Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $5$ est $y=15(x-5)+5$ soit $y=15x-70$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-6 ; 14]$.
La droite $T_A$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$.
La droite $T_B$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes.

  1. Déterminer $f(3)$ et $f'(-3)$.
    Il fallait certainement déterminer $f'(3)$ et non $f'(-3)$
    $\quad$
  2. Déterminer $f(-1)$ et $f'(-1)$.
    $\quad$
  3. Résoudre graphiquement l’équation $f(x) = 6$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-6 ; 14]$ en y faisant figurer le signe de $f'(x)$.
    $\quad$
  5. Une seule des trois courbes suivantes peut être la représentation graphique de $f’$, la fonction dérivée de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement $f(3)=7$ et $f(3)=0$ (tangente horizontale).
    $f(-3)=1$ : le coefficient directeur à la tangente à la courbe au point d’abscisse $-3$ semble être environ égal à $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement $f(-1)=3$ et $f'(-1)=2$ (le coefficient directeur de $T_A$ semble être égal à $2$).
    $\quad$
  3. Graphiquement $f(x)=6$ a pour solution $1$ et $5$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédents, c’est la courbe $C_3$ qui représente la fonction $f’$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Calculer la fraction irréductible égale à $\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{18}{25}\times \dfrac{5}{3}&=\dfrac{3\times 6\times 5}{5\times 5\times 3}\\
    &=\dfrac{6}{5}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Développer $(7-3x)(7+3x)$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*}(7-3x)(7+3x)&=7^2-(3x)^2 \\
    &=49-9x^2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Calculer l’image de $1$ par $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} f(1)&=-2\times 1^2-3\\
    &=-2\times 1-3\\
    &=-2-3\\
    &=-5\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $5x-7=3x-19$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*}
    5x-7=3x-19&\ssi 5x-3x=-19+7\\
    &\ssi 2x=-12\\
    &\ssi x=-6
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Un article vaut $44$ euros et son prix subit une diminution de $25\%$. Calculer son nouveau prix.
    $\quad$
    Correction Question 5

    Le nouveau prix est :
    $\begin{align*} 44\times \left(1-\dfrac{25}{100}\right) &=44\times \dfrac{75}{100} \\
    &=44\times \dfrac{3}{4} \\
    &=33\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$

La fonction $h$, définie sur $[-6;5]$ est représentée par la courbe ci-dessous.
Par lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes.

  1. Les antécédents de $-3$ par $h$ sont :
    $\quad$
    Correction Question 6

    Graphiquement les antécédentes de $-3$ par $h$ sont $-6$, $-2$ et $2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. L’ensemble des solutions de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est :
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement l’ensemble solution de l’inéquation $h(x)\pp 0$ est $[-6;-5]\cup[-3;3]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[-6;5]$ est :
    $\quad$
    Correction Question 8


    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Calculer le coefficient multiplicateur associé à une diminution de $20\%$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    Le coefficient multiplication est $1-\dfrac{20}{100}=0,8$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Si $30\%$ d’une quantité $Y$ vaut $60$, que vaut $Y$?
    $\quad$
    Correction Question 10

    On a :
    $\begin{align*} \dfrac{30}{100}Y=60&\ssi Y=\dfrac{60\times 100}{30} \\
    &\ssi Y=200\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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