E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Lors d’une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a étudié l’évolution du nombre de personnes malades.
La durée, écoulée à partir du début de la période, est exprimée en jours. Elle est notée $t$.
On modélise le nombre de cas grâce à la fonction $f$, où $f(t)$ représente le nombre personnes malades, en milliers, à l’instant $t$.
Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Le nombre $f'(t)$ représente la vitesse d’évolution de la maladie, $t$ jours après l’apparition des premiers cas.

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$. La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$ et passe par le point $A$ de coordonnées $(4 ; 45)$.

  1. a. Déterminer par lecture graphique $f'(0)$.
    $\quad$
    b. En déduire l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 ; 11]$ par :
    $$f(t)=-t^3+\dfrac{21}{2}t^2+\dfrac{45}{4}t$$
    a. Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$.
    $\quad$
    b. On admet que , pour tout $t$ dans l’intervalle $[0 ; 11]$,
    $$f'(t)=-3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\left(t-\dfrac{15}{2}\right)$$
    Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0 ; 11]$.
    $\quad$
    c. Retrouver par le calcul l’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$.
    Ainsi $f'(0)=\dfrac{45-0}{4-0}=11,25$.
    $\quad$
    b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=11,25x$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $t\in[0;11]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=-3t^2+\dfrac{21}{2}\times 2t+\dfrac{45}{4}\\
    &=-3t^2+21t+\dfrac{45}{4}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur $[0;11]$ on a $t+\dfrac{1}{2}>0$
    $t-\dfrac{15}{2}=0\ssi t=\dfrac{15}{2}$ et $t-\dfrac{15}{2}>0\ssi t>\dfrac{15}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. $f'(0)=\dfrac{45}{4}$ et $f(0)=0$
    L’équation réduite de $\mathcal{T}$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit donc $y=\dfrac{45}{4}x$ ou encore $y=11,25x$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

 

E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique 𝑥 tonnes d’un certain produit, avec $x\in ∈ [0 ; 20]$. Le coût total de production de $x$ tonnes de produit, exprimé en milliers d’euros, est donné par : $$C(x)=x^3-30x^2+300x$$

  1. On suppose que toute la production est vendue. La recette totale, exprimée en milliers d’euros, est donnée par la fonction $r$ définie sur $[0 ; 20]$ par : $r(x) = 108x$. La fonction associée au bénéfice exprimé en milliers d’euros est donnée par la fonction $B$ définie pour tout $x$ de $[0 ; 20]$ par $B(x) = r(x)-C(x)$.
    Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ; 20]$, on a : $B(x) = -x^3+30x^2-192x$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout $x$ de $[0 ; 20]$, la fonction dérivée associée au bénéfice $B$ admet comme expression $B'(x)=3(4-x)(x-16)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations sur $[0 ; 20]$, de la fonction $B$.
    $\quad$
  4. En déduire la quantité que l’entreprise doit fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Donner la valeur en milliers d‘euros de ce bénéfice.
    $\quad$
  5. Le directeur commercial de cette entreprise souhaite déterminer les quantités à produire et à vendre pour obtenir un bénéfice strictement positif. Il affirme que si l’entreprise fabrique et vend entre $8$ et $20$ tonnes de produit, alors son objectif est atteint, à savoir le bénéfice est strictement positif. Le chef de production quant à lui affirme qu’il faudrait fabriquer et vendre entre $10$ et $20$ tonnes pour atteindre l’objectif.
    Pour chacune des deux affirmations, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x\in[0;20]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=108x-\left(x^3-30x^2+300x\right)\\
    &=108x-x^3+30x^2-300x\\
    &=-x^3+30x^2-192x\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $B$ est dérivable sur $[0;20]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout $x\in[0;20]$ on a d’une part :
    $\begin{align*} B'(x)&=-3x^2+30\times 2x-192\\
    &=-3x^2+60x-192\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} 3(4-x)(x-16)&=3\left(4x-64-x^2+16x\right) \\
    &=12x-192-3x^2+48x\\
    &=-3x^2+60x-192\end{align*}$
    Ainsi $B'(x)=3(4-x)(x-16)$.
    $\quad$
  3. $4-x=0 \ssi x=4$ et $4-x>0 \ssi x<4$
    $x-16=0 \ssi x=16$ et $x-16>0 \ssi x>16$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit et vend $16$ tonnes de produit. Le bénéfice maximal est alors égal à $512~000$ euros.
    $\quad$
  5. On a $B(8)=-128<0$ l’affirmation du directeur commercial est donc fausse.
    On a $B(10)=80$. Sur l’intervalle $[4;16]$ la fonction $B$ est strictement croissante. Donc sur $[10;80]$ on a bien $B(x)>0$.
    De plus sur $[16;20]$ on a $B(x)\pg 160$.
    L’affirmation du chef de production est donc vraie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x-3$.

  1. Parmi les nombres $a$, $b$ et $c$ suivants, lesquels sont des racines de $f$ ?
    $$a=1 \hspace{2cm}b=2\hspace{2cm} c=-3$$
    $\quad$
  2. Montrer que la forme factorisée de la fonction $f$ est $f(x)=(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Parmi les trois courbes A, B, et C proposées ci-dessous, déterminer celle représentant la fonction $f$.$\quad$
  5. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $1^2+2\times 1-3=0$ donc $a$ est une racine de $f$.
    $2^2+2\times 2-3=5$ donc $b$ n’est pas une racine de $f$.
    $(-3)^2+2\times (-3)-3=0$ donc $c$ est une racine de $f$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} (x-1)(x+3)&=x^2+3x-x-3\\
    &=x^2+2x-3\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les racines du polynôme du second degré $f(x)$ sont $1$ et $-3$.
    Son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet \quad f(x)<0$ sur $]-3;1[$
    $\bullet \quad f(x)=0$ si $x=-3$ ou $x=1$
    $\bullet \quad f(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  4. La courbe B est exclue car les racines ne sont pas $1$ et $-3$.
    Le coefficient principal de $f(x)$ est $1>0$. La fonction admet donc un minimum.
    La courbe A représente donc la fonction $f$.
    $\quad$
  5. L’abscisse du minimum est $-\dfrac{b}{2a}=-1$ et $f(-1)=-4$.
    On a donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit entre $1$ millier et $5$ milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d’une pièce, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné
par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in[1 ; 5]$ par : $$f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}$$

  1. Calculer le coût moyen de production d’une pièce lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièces.
    $\quad$
  2. On admet que de $f$ est dérivable sur $[1 ; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout réel $x\in [1; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}$$
    $\quad$
  3. Vérifier que, pour tout réel $x$, $$x^3-3x^2-16=(x-4)\left(x^2+x+4\right)$$
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[1 ; 5]$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d’une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(2)&=\dfrac{0,5\times 2^3-3\times 2^2+2+1}{2}\\
    &=5\end{align*}$
    Lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièce le coût moyen de production d’une pièce est de $5~000$ euros.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x \in [1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(0,5\times 3x^2-6x+1\right)x-\left(0,5x^3-3x^2+x+16\right)\times 1}{x^2}\\
    &=\dfrac{1,5x^3-6x^2+x-0,5x^3+3x^2-x-16}{x^2}\\
    &=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}&(x-4)\left(x^2+x+4\right)\\
    =~&x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
    =~&x^3-3x^2-16\end{align*}$
    $\quad$
  4. Ainsi pour tout réel $x\in[1;5]$ on a $f'(x)=\dfrac{(x-4)\left(x^2+x+4\right)}{x^2}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(x-4)\left(x^2+x+4\right)$
    $x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
    Le discriminant de $x^2+x+4$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 4\\
    &=-15\\
    &<0\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2+x+4>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=4$ et $f(4)=1$
    Le coût de production d’une pièce est minimal quand elle fabrique $4~000$ pièces. Ce coût est alors de $1~000$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0 ; 5]$ par $P(t)=100t\e^{-t}$.

  1. Calculer $P(0)$ et $P(5)$ (on arrondira à l’unité).
    $\quad$
  2. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu une expression de la dérivée de la fonction $P$ : pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, $P'(t)=100(1-t)\e^{-t}$.
    a. Utiliser cette expression pour étudier le signe de $P'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $P$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $t$ la fonction $P$ admet-elle un maximum ? Quelle est la valeur de ce maximum ? (on arrondira à l’unité).
    $\quad$
  3. Une station pompe l’eau d’une rivière pour la transformer ensuite en eau potable. Lors d’un épisode de pollution, il faut interrompre le pompage en attendant que la vague de pollution soit évacuée par le courant. On étudie ici un épisode de pollution ayant duré $5$ heures environ.
    La concentration en polluant, exprimée en milligrammes par litre (mg/L) est modélisée par la fonction $P$ définie précédemment, où $t$ est le temps écoulé depuis le début de l’alerte, exprimé en heures.
    On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $P$ dans le plan muni d’un repère orthogonal.

    Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient dangereux pour la santé si sa concentration dépasse $5$ mg/L.
    Lors d’un épisode déclaré de pollution dans la rivière et après arrêt du pompage, à partir de combien d’heures peut-on considérer que la pollution ne représente plus de danger pour la santé?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(0)=0$ et $P(5)=500\e^{-5}\approx 3$.
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $P'(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0 \ssi t<1$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $P'(t)>0$ sur $[0;1[$;
    $\bullet$ $P'(1)=0$;
    $\bullet$ $P'(t)<0$ sur $[1;5[$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableaux de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations, la fonction $P$ atteint son maximum en $1$. Ce maximum vaut $100\e^{-1}\approx 37$.
    $\quad$
  3. On constate graphiquement que $P(x)<5$ à partir d’environ $4,5$.
    On peut donc considérer que la pollution ne représente plus de danger pour la santé au bout de $4$h $30$ min.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la valeur de vente (en milliers d’euros) d’une voiture électrique en fonction du nombre $x$ d’années à partir de sa mise sur le marché par la fonction $f$ définie sur l’intervalle
$[0 ; 10]$ par $$f(x)=35\e^{-0,22x}$$

  1. Calculer $f(0)$. Quel est le prix de vente de cette voiture au moment de la mise sur le marché ?
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée du prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f’$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[0 ; 10]$, $$f'(x)=-7,7\e^{-0,22x}$$
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Un client souhaite revendre sa voiture dès que celle-ci aura un prix de vente inférieur à $10~000$ euros. Après combien de mois après avoir acheté sa voiture pourra-t-il la revendre ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=35\e^0=35$.
    Au moment de la mise sur le marché le prix de la voiture est de $35~000$ euros.
    $\quad$
  2. On a $f(5,5)=35\e^{-1,21}\approx 10,437$.
    Le prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois serait d’environ $10~437$ euros.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=35\times (-0,22)\e^{-0,22x}\\
    &=-7,7\e^{-0,22x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. On a $f(5,6)\approx 10,21$ et $f(5,7)\approx 9,99$.
    Or $5,7$ ans $=5$ ans et $8,4$ mois.
    C’est donc à partir de $5$ ans et $9$ mois qu’il pourra revendre sa voiture.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des smartphones d’un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par $N(x)=100\e^{-2x}$ où :

  • $x$ est le prix de vente en milliers d’euros d’un smartphone modèle « haut de gamme ». Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre $400$€ et $2~000$€ ; on a donc $x\in [0,4 ; 2]$.
  • $N(x)$ est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d’unités.
  1. Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ?
    On arrondira le résultat à mille unités.
    $\quad$

La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente. On obtient $R(x) = x \times N(x)$ en milliards d’euros.
Le coût de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x)= 0,4 \times N(x)$ où $x$ est le prix de vente en milliers d’euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.

  1. Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
    $\quad$
  2. Montrer que le bénéfice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d’euros par : $B(x)=(100x-40)\e^{-2x}$.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout réel $x\in [0,4 ; 2]$, $B'(x)=(180-200x)\e^{-2x}$.
    Étudier les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0,4 ; 2]$.
    $\quad$
  4. À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $N(1)=100\e^{-2} \approx 13,534$
    Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, l’entreprise vendra environ $13,534$ millions de smartphone par trimestre.
    $\quad$
  2. On a $R(x)=1\times N(1)$ et $C(1)=0,4\times N(1)$
    Le bénéfice est alors
    $\begin{align*} B&=R(1)-C(1) \\
    &=N(1)-0,4N(1)\\
    &=0,6N(1) \\
    &\approx 8,120\end{align*}$
    Le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
    $\quad$
  3. Pour  tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,4;2]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=100x\e^{-2x}-40\e^{-2x}\\
    &=(100x-40)\e^{-2x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $B'(x)$ ne dépend donc que de celui de $180-200x$.
    Or $180-200x=0 \ssi 200x=180 \ssi x=0,9$
    et $180-200x>0 \ssi -200x>-180 \ssi x<0,9$
    Par conséquent :
    $\bullet$ $B'(x)>0$ sur $[0;0,9]$
    $\bullet$ $B(0,9)=0$
    $\bullet$ $B'(x)<0$ sur $[0,9;2]$
    La fonction $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;0,9]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[0,9;2]$.
    $\quad$
  5. La fonction $B$ atteint son maximum pour $x=0,9$.
    Le bénéfice est donc maximal quand les smartphones sont vendus $900$€.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la diffusion dans le sang d’un médicament de $1$ gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $\mathcal{C}_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $\mathcal{C}_2$) pendant une durée de $10$ heures.
Plus précisément :

  • $f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
  • $f-2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 10]$, on admet que $f_1(t)=\e^{-0,57t}$ et $f_2(t)=1,75t\e^{-t}$.
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

  1. Injection par voie intraveineuse
    a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
    $\quad$
    b. Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. Interpréter la réponse dans le contexte.
    $\quad$
  2. Administration par voie orale
    On note $f_2’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
    a. Montrer que, pour tout $t$ de $[0 ; 1]$, $f_2′(t)=1,75(1-t)\e^{-t}$
    $\quad$
    b. Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
    $\quad$
    c. À quel instant 𝑡 la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;10]$ on a : $f_1′(t)=-0,57\e^{-0,57t}$
    Ainsi $f'(t)<0$ sur $[0;10]$.
    La fonction $f_1$ est donc strictement décroissante sur $[0;10]$.
    $\quad$
    b. Graphiquement $f_1(t)<0,1$ si $t$ appartient à l’intervalle $]4;10]$ (valeur approchée pour $4$).
    La proportion de médicament est inférieure à $0,1$ à partir de $4$ heures.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f_2$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel de l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f_2′(t)&=1,75\e^{-t}+1,75t\times \left(-\e^{-t}\right)\\
    &=1,75(1-t)\e^{-t}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f_2′(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
    $1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0\ssi t<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La proportion de médicament dans le sang est la plus élevée au bout d’une heure.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x$
.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    b. On admet que la tangente $\mathcal{T}$ recoupe la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d’abscisse $a$ strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de $a$ au dixième près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2,5)\e^x+\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(2x-2,5+x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-0,5x-1,5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{0,5-\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{0,5+\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1,5;+\infty[$
    $\bullet$ $f'(-1)=f'(1,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]-1;1,5[$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;1,5]$.
    $\quad$
  2. a. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$.
    Une équation de la droite $\mathcal{T}$ est donc $y=-1,5x+1$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $a\approx 1,8$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $h$ la fonction définie sur $[0 ; 26]$ par : $h(x)=-x^3+30x^2-108x-490$.

  1. Soit $h’$ la fonction dérivée de $h$. Exprimer $h'(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. On note $C$ la courbe représentative de $h$ et $C’$ celle de $h’$.
    a. Identifier $C$ et $C’$ sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ proposées.
    $\quad$
    b. Justifier le choix pour $C’$.$\quad$
  3. Soit $(T)$ la tangente à $C$ au point $A$ d’abscisse $0$. Déterminer son équation réduite.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $h'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[0; 26]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;26]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;26]$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=-3x^2+30\times 2x-108 \\
    &=-3x^2+60x-108\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. et b. On a $h(0)=490$.
    C’est par conséquent la courbe $C_2$ qui représente la fonction $h$.
    Le coefficient principal de $h'(x)$ est $a=-3<0$. $h’$ est donc représentée par la courbe $C_1$.
    $\quad$
    Remarque : La fonction $h$ est définie sur $[0;26]$ alors que les courbes laissent supposer qu’elles représentent des fonctions définies sur $\R$!
    $\quad$
  3. Une équation de la la droite $(T)$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=-490$ et $f'(0)=-108$
    Une équation de $(T)$ est donc $y=-108x-490$.
    $\quad$
  4. On étudie le signe de $-3x^2+60x-108$.
    C’est un polynôme du second degré donc le coefficient principal est $a=-3$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=60^2-4\times (-3)\times (-108)\\
    &=2~304\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-60-\sqrt{2~304}}{-6} \\
    &=18\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-60+\sqrt{2~304}}{-6} \\
    &=2\end{align*}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    Remarque : L’énoncé original demander d’étudier la fonction sur l’intervalle $[0;30]$ !
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence