Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 13 mars 2023

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout $n\in \N$ on a:
$\begin{align*} u_n&=\dfrac{1+2^n}{3+5^n} \\
&=\dfrac{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}{5^n\left(\dfrac{3}{5^n}+1\right)} \\
&=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{\dfrac{3}{5^n}+1}\end{align*}$
$-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.
De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{5^n}=0$
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Réponse c
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x\ln(x)+x \\
&=x\left(2\ln(x)+1\right)\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
$h(x)\pp 0$ sur $]-\infty;1]$. Par conséquent, $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et donc sur $]-\infty;0]$.
Or $H(0)=0$.
Par conséquent, pour tout $x\pp 0$, $H(x)\pg H(0)$ soit $H(x)\pg 0$.
Réponse a
$\quad$
Il s’agit d’un algorithme de dichotomie qui est mis en place.
Dans la boucle while, il faut que l’écart soit supérieur à $0,001$ pour continuer cette boucle. On exclut donc la proposition c.
La fonction est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent si $f(m)<0$ alors $a$ prend la valeur de $m$. On exclut la proposition a.
Il faut recalculer la variable $m$ à chaque tour de boucle : on exclut la proposition b.
Réponse d
$\quad$
On choisit $2$ boules vertes parmi les $3$ boules vertes de l’urne. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{7}{10}$ et celle de tirer une boule verte est égale à $\dfrac{3}{10}$.
La probabilité de tirer exactement deux boules vertes est égale à $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$.
Réponse d
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La trottinette est en bon état lors de sa mise en service.
Ainsi
$\begin{align*} p_1&=p\left(B_1\right) \\
&=p\left(B_0\right)p_{B_0}\left(B_1\right)\\
&=1\times 0,9\\
&=0,9\end{align*}$
$\quad$
$\left(B_1,\conj{B_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
$\begin{align*} p_2&=p\left(B_1\cap B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\cap B_2\right) \\
&=p\left(B_1\right)p_{B_1}\left(B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\right)p_{\conj{B_1}}\left(B_1\right) \\
&=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
&=0,81+0,04\\
&=0,85\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(B_n,\conj{B_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
$\begin{align*} p_{n+}&=p\left(B_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\cap B_{n+1}\right) \\
&=p\left(B_n\right)p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\right)p_{\conj{B_n}}\left(B_{n+1}\right) \\
&=0,9\times p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
&=0,9p_n+0,4-0,4p_n\\
&=0,5p_n+0,4\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n$ on pose $R(n):~p_n\pg 0,8$.
Initialisation : $p_0=1\pg 0,8$ donc $R(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} p_n\pg 0,8& \ssi 0,5p_n\pg 0,4 \\
&\ssi 0,5p_n +0,4\pg 0,8 \\
&\ssi p_{n+1} \pg 0,8\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété $R$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $p_n \pg 0,8$.
$\quad$
b. L’entreprise peut annoncer qu’au moins $80\%$ du parc de trottinette est bon état à tout moment.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
&=0,5p_n+0,4-0,8 \\
&=0,5p_n-0,4 \\
&=0,5\left(p_n-0,8\right) \\
&=0,5u_n\end{align*}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $u_n=0,2\times 0,5^n$.
Ainsi $p_n=0,8+u_n=0,8+0,2\times 0,5^n$.
$\quad$
c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
$\quad$

Partie B

On répète $15$ fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=15)&=0,8^{15} \\
&\approx 0,035\end{align*}$
La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est égale à $0,8^{15} \approx 0,035$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X\pg 10)&=1-p(X\pp 9) \\
&\approx 0,939\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est environ égale à $0,939$.
$\quad$
Cela signifie qu’en moyenne, dans un lot de $15$ trottinettes, $12$ sont en bon état.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
Donc $E$ a pour coordonnées $(0,0,8)$, $F$ a pour coordonnées $(4,0,4)$
Ainsi $I$, milieu de $[EF]$ a pour coordonnées $(2,0,6)$.
$J$ est le milieu de $[AE]$ donc $J$ a pour coordonnées $(0,0,4)$.
$\quad$
a. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -2\\0\\-2\end{pmatrix}$.
$G$ a pour coordonnées $(4,4,4)$ donc $\vect{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\4\\-2\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
D’une part $\vec{n}.\vect{IJ}=2+0-2=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{IG}=-2+4-2=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$.
$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(IGJ)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est alors de la forme $-x+y+z+d=0$.
$I(2,0,6)$ appartient à ce plan. Donc $-2+0+6+d=0 \ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est donc $-x+y+z-4=0$.
$\quad$
$H$ a pour coordonnées $(0,4,8)$.
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{cases}, \quad \forall t\in \R$.
$\quad$
Montrons que le point $L’\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$ appartient à la droite et au plan.
$-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}-4= \dfrac{12}{3}-4 =0$. $L’$ appartient au plan $(IGJ)$.
Prenons $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $d$.
On obtient alors $x=\dfrac{8}{3}$, $y=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ et $z=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$.
$L’$ appartient alors également à $d$.
Ainsi $L’$ appartient à la fois à $d$ et au plan $(IGJ)$. La droite $d$ est normale au plan $(IGJ)$; elle n’est donc pas incluse dedans.
Par conséquent les coordonnées du point $L$ sont bien $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
$\quad$
La distance cherchée est $HL$.
$\vect{HL}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} HL&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{64}{3}} \\
&=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{IG}.\vect{IJ}&=-4+0+4 \\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IG}$ sont orthogonaux et le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} IJ&=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$
$\begin{align*} IG&=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{24}\end{align*}$Le volume du tétraèdre $IGJH$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{IGJ}\times HL \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{IJ\times IG}{2}\times HL \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{8}\times \sqrt{24}}{2}\times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{32}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=-(-t+1)\e^{-0,5t^2+t+2} \\
&=(t-1)\e^{-0,5t^2+t+2}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(t)$ est du signe de $t-1$.
Or $t-1<0 \ssi t<1$ et $t-1=0 \ssi t=1$.
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.
Affirmation 1 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ d’après la question précédente.
$\lim\limits_{t\to +\infty} (-0,5t^2t+2) = \lim\limits_{t\to +\infty} -0,5t^2=-\infty$ (limite des termes de plus haut degré).
Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,5t^2+t+2}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3$.
Or $\e^3 \approx 20,086$.
Ainsi, après $1$ heure, la population de bactéries va croître jusqu’à environ $20~086<21~000$ entités.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;1]$.
$f(0)=\e^3-\e^2\approx 12,7>10$
$f(1)\approx 7,9<10$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$f(1)\approx 7,9<10$
$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3>10$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
Finalement l’équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
La population de bactéries aura un effectif de $10~000$ à deux reprises au cours du temps.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM) 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1 :
On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\dfrac{1+2^n}{3+5^n}$.
Cette suite :
a. diverge vers $+\infty$
b. converge vers $\dfrac{2}{5}$
c. converge vers $0$
d. converge vers $\dfrac{1}{3}$
$\quad$
Question 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)= x^2\ln(x)$. L’expression de la fonction dérivée de $f$ est :
a. $f'(x)=2x\ln(x)$
b. $f'(x)=x\left(2\ln(x)+1\right)$
c. $f'(x)=2$
d. $f'(x)=x$
$\quad$
Question 3 :
On considère une fonction ℎ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s’annule en $0$.
Elle vérifie la propriété :
a. $H$ positive sur $]-\infty ; 0]$.
b. $H$ négative sur $]-\infty ; 1]$.
c. $H$ croissante sur $]-\infty ; 1]$.
d. $H$ croissante sur $\R$.
$\quad$
Question 4 :
Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle $[a ; b]$ et qui s’annule en un réel $\alpha$.
Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
$$\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
\textbf{a.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}
&\phantom{1234}&
\begin{array}{l}
\textbf{c.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) <= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array} \\
\begin{array}{l}
\textbf{b.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}
&\phantom{1234}&
\begin{array}{l}
\textbf{d.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}\end{array}$$
$\quad$
Question 5 :
Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
a. $\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\times \dfrac{3}{10}$
b. $\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
c. $\dbinom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
d. $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

$\quad$

Partie A

On estime que :

lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$.

Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\pg 0,8$.
$\quad$
b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
$\quad$
a. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=p_n-0,8$.
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
$\quad$
On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 6 points

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que :
$\vec{i}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$ ; $\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$ ; $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
De plus on a $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
$\quad$
Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
$\quad$
On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
$\quad$
Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
$\quad$
Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
$\quad$
En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
$$V=\dfrac{1}{3}\times (\textit{aire de la base}) \times \textit{hauteur}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 3 points

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \e^3-\e^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
$\quad$
Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera $21~000$ bactéries ».
$\quad$
Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de $10~000 $ à deux reprises au cours du temps ».
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 2 – 27 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 27 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. On a
$\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap R\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(R) \\
&=\dfrac{3}{4}\times 0,35 \\
&=0,262~5\end{align*}$
$\quad$
c. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+ p\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=p(D)\times p_D(R)+0,262~5 \\
&=\dfrac{1}{4}\times 0,6+0,262~5 \\
&=0,412~5\end{align*}$
La probabilité que Stéphanie réussisse un tir est bien égale à $0,412~5$.
$\quad$
d. On veut calculer :
$\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(R\cap \conj{D}\right)}{p(R)} \\
&=\dfrac{0,262~5}{0,262~5} \\
&\approx 0,636\end{align*}$
La probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points si Stéphanie réussit un tir est environ égale à $0,636$.
$\quad$
a. On répète $10$ fois de façon indépendantes la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,35$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,35$.
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=10\times 0,35 \\
&=3,5\end{align*}$
Sur $100$ tirs à trois points elle en réussit donc en moyenne $35$.
$\quad$
c. On veut calculer $P(X\pp 6)\approx 0,97$.
La probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus est environ égale à $0,97$.
$\quad$
d. On veut calculer $P(X\pg 6)=1-P(X\pp 5)\approx 0,09$.
La probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs est environ égale à $0,09$.
$\quad$
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
On répète $n$ fois de façon indépendantes la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,35$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,35$
On veut déterminer le plus plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0) \pp 0,01 \\
&\ssi 0,65^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,65) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,65)}\quad \text{car } \ln(0,65)>0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,65)}\approx 10,69$.
La plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$ est donc $11$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
&=\ln(x)+1-1\\
&=\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. On a $f(\e)=-2$ et $f'(\e)=1$.
Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1\times (x-\e)-2$ soit $y=x-\e-2$.
$\quad$
c. Par hypothèse la fonction $f$ est deux fois dérivables sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
d. La fonction $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes.
Ainsi $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $T$.
$\quad$
a. Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$. Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-2$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(\ln(x)-1-\dfrac{2}{x}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
$\ln(x)=0\ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a, d’après la question précédente, $f(x)<-2$. L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur l’intervalle $]0;1]$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
$f(1)=-3<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. $f(4,3)\approx -0,03<0$ et $f(4,4)\approx 0,12>0$.
Donc $f(4,3)<f(\alpha)<f(4,4)$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[4,3;4;4]$.
Par conséquent $4,3<\alpha<4,4$.
Ainsi $\alpha\in ]4,3;4,4[$.
$\quad$
c. D’après les questions précédentes :
$\bullet$ $f(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
$\bullet$ $f(\alpha)=0$;
$\bullet$ $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$\texttt{seuil(0.01)}$ renvoie la valeur $4,32$.
Il s’agit d’une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a $B(6;4;0)$, $E(0;4;4)$, $F(6;4;4)$ et $G(6;0;4)$.
$\quad$
Le volume du toit est
$\begin{align*}V_{pyramide}&=\dfrac{1}{3}\times 6\times 4\times (6-4) \\
&=16\end{align*}$
Le volume de $EFGHS$ est donc égale à $16$ u.v.
Le volume du parallélépipède est :
$\begin{align*} V_{parallélépipède}&=6\times 4\times 4\\
&=96\end{align*}$
Le volume de la maison est donc $V=16+96=112$ u.v.
$\dfrac{16}{112}=\dfrac{1}{7}$
Le volume de la pyramide $EFGHS$ représente bien le septième du volume total de la maison.
$\quad$
a. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix} 6\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{ES}\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
Ainsi $\vec{n}.\vect{EF}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{ES}=0-2+2=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFS)$. Il est, par conséquent, normal au plan $(EFS)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est donc de la forme $y+z+d=0$.
Le point $E(0;4;4)$ appartient au plan $(EFS)$.
Donc $4+4+d=0 \ssi d=-8$.
Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est donc $y+z+8=0$.
$\quad$
a. La droite $(PQ)$ est dirigée par $\vec{k}$ et passe par $Q(2;3;5,5)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc $$\begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\end{cases} \qquad t\in \R$$
$\quad$
b. Le point $P$ est le point d’intersection de la droite $(PQ)$ et du plan $(EFS)$. Déterminons les coordonnées de ce point à l’aide du système :
$\begin{align*}\begin{cases} y+z-8=0 \\x=2\\y=3\\z=5,5+t\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=2\\y=3\\z=5,5+t\\3+5,5+t-8=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\t=-0,5\\z=5\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $P$ a pour coordonnées $(2;3;5)$.
$\quad$
c. On a alors $\vect{PQ}\begin{pmatrix}0\\0\\0,5\end{pmatrix}$.
Ainsi $PQ=0,5$.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 6\\-4\\4\end{pmatrix}$
$\vec{k}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires. Les droites $(PQ)$ et $\Delta$ ne sont donc pas parallèles.
Déterminons si elles sont sécantes.
$\begin{align*} \begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\\x=-4+6s\\y=7-4s\\z=2+4s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\\-4+6s=2\\7-4s=3\\z=2+4s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\s=1\\z=2+4s\\z=5,5+t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\z=6\\s=1\\t=0,5\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(PQ)$ et $\Delta$ sont donc sécantes. Leur point d’intersection a pour coordonnées $(2;3;6)$.
L’oiseau passe donc $0,5$ unité au-dessus de l’antenne. Par conséquent, il ne la percute pas.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$ donc $-\dfrac{1}{n}\pp u_n \pp \dfrac{1}{n}$.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Réponse D
$\quad$
On a :
$\begin{align*} w_0&=\e^{-2\ln(a)}+2 \\
&=a^{-2}+2 \\
&=\dfrac{1}{a^2}+2\end{align*}$
Réponse A
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante.
Pour tout $n\in \N$
$\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} &\ssi -2v_n\pg -2v_{n+1} \\
&\ssi \e^{-2v_n}\pg \e^{-2v_{n+1}} \\
&\ssi w_n\pg w_{n+1}\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc décroissante.
La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $\e^{-2v_n}>0$ et $w_n>2$.
Réponse B
$\quad$
Montrons que la bonne réponse est la B.
Il suffisait ici de calculer les premiers termes de chacune des $5$ suites pour déterminer que seule la proposition convenait.
$-\dfrac{2}{3^0}+4=2$ ce qui correspond bien à $a_0=2$.
$\begin{align*} -\dfrac{2}{3^{n+1}}+4&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{-2}{3^n}+4 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4-4\right)+4 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4\right)-\dfrac{4}{3}+4 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4\right)+\dfrac{8}{3}\end{align*}$
On retrouve bien la relation de récurrence $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{8}{3}$.
Réponse B
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $b_{n+1}-b_n=\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)$.
Or $\left(b_n\right)^2+3>2$ donc $\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)<0$.
La suite $\left(b_n\right)$ est par conséquent décroissante.
Réponse B
$\quad$
$\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$.
La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
La courbe $\mathscr{C}_g$ ne possède pas d’asymptote horizontale.
Réponse B
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$
$F$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2+1} \\
&=f(x)\end{align*}$
Réponse D
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : probabilités

Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :

les tirs à deux points.
Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s’ils sont réussis.
les tirs à trois points.
Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s’ils sont réussis.

Stéphanie s’entraîne au tir. On dispose des données suivantes :

Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, $60 \%$ sont réussis.
Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, $35\%$ sont réussis.

Stéphanie réalise un tir.
On considère les évènements suivants :
$D$ : « Il s’agit d’un tir à deux points ».
$R$ : « le tir est réussi ».
a. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
$\quad$
b. Calculer la probabilité $p(D \cap R)$.
$\quad$
c. Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,412~5$.
$\quad$
d. Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points.
Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
d. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu’elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les n tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme.

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = x\ln(x)-x-2$$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée, $f\dsec$ sa dérivée seconde et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a $f'(x) = \ln(x)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x =\e$.
$\quad$
c. Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
d. En déduire la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de la tangente $T$.
$\quad$
a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
$\quad$
b. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
$\quad$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $]0 ; +\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.
$\quad$
b. Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l’intervalle $]4,3; 4,4[$.
$\quad$
c. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
On considère la fonction $\texttt{seuil}$ suivante écrite dans le langage Python :
On rappelle que la fonction $\texttt{log}$ du module $\texttt{math}$ (que l’on suppose importé) désigne
la fonction logarithme népérien $\ln$.$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(pas) :}\\
\quad \text{x=4.3}\\
\quad \text{while x*log (x) – x – 2 < 0:}\\
\qquad \text{x=x+pas}\\
\quad \text{return x}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la valeur renvoyée à l’appel de la fonction $\texttt{seuil(0.01)}$?
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’une pyramide $EFGHS$.
On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$.
Soit les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\vect{DI}=\dfrac{1}{6}\vect{DC}$, $\vect{DJ}=\dfrac{1}{4}\vect{DA}$, $\vect{DK}=\dfrac{1}{6}\vect{DH}$.
On note $\vec{i}=\vect{DI}$, $\vec{j}=\vect{DJ}$, $\vec{k}=\vect{DK}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(D;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3; 2; 6)$.

Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.
$\quad$
Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{(aire de la base)}\times \text{hauteur}$$
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y +z-8 = 0$.
$\quad$
On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$. On dispose des
données suivantes :
$\bullet$ le point $P$ appartient au plan $(EFS)$;
$\bullet$ le point $Q$ a pour coordonnées $(2; 3; 5,5)$;
$\bullet$ la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vec{k}$.
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est :
$$\begin{cases}x=2\\y = 3\\z = 5,5+t\end{cases} \quad (t \in \R)$$
b. En déduire les coordonnées du point $P$.
$\quad$
c. En déduire la longueur $PQ$ de l’antenne.
$\quad$
Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=-4+6s\\y=7-4s\\z=2+4s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
Déterminer la position relative des droites $(PQ)$ et $\Delta$.
L’oiseau va-t-il percuter l’antenne représentée par le segment $[PQ]$?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés : : suites, fonctions, primitives

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$$
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$.
b. la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.
c. la suite $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite.
d. la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$

Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ vérifiant la relation : $$w_n=\e^{-2v_n+2}$$

. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln(a)$.
a. $w_0=\dfrac{1}{a^2}+2$
b. $w_0=\dfrac{1}{a^2+2}$
c. $w_0=-2a+2$
d. $w_0=\dfrac{1}{-2a}+2$
$\quad$
On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :
a. décroissante et majorée par $3$.
b. décroissante et minorée par $2$.
c. croissante et majorée par $3$.
d. croissante et minorée par $2$.
$\quad$
On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie : $$a_0=2 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~~a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{8}{3}$$
Pour tout entier naturel $n$, on a :
a. $a_n=4\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-2$
b. $a_n=-\dfrac{2}{3^n}+4$
c. $a_n=4-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
d. $a_n=2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{8n}{3}$
$\quad$
On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$b_{n+1}=b_n+\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)$$
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(b_n\right)$ est croissante.
b. la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.
c. la suite $\left(b_n\right)$ n’est pas monotone.
d. le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$g(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$
On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
La courbe $\mathscr{C}_g$ admet :
a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=x\e^{x^2+1}$$
Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
a. $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2\e^{x^2+1}$
b. $F(x)=\left(1+2x^2\right)\e^{x^2+1}$
c. $F(x)=\e^{x^2+1}$
d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 1 – 26 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a.$\lim\limits_{x\to 0} x^2-6x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
La droite d’équation $x=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4\ln(x)}{x^2}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a:
$\begin{align*} f'(x)&=2x-6+\dfrac{4}{x} \\
&=\dfrac{2x^2-6x+4}{x} \\
&=\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui-ci de $x^2-3x+2$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=1>0$.
Les racines de ce polynômes sont :
$x_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$.
Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;1[$;
$\bullet$ $f'(1)=0$;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]1;2[$;
$\bullet$ $f'(2)=0$;
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]2;+\infty[$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
$f(2)=-8+4\ln(2)
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[4;5]$.
De plus $f(4)\approx -2,45<0$ et $f(5)\approx 1,44>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[4;5]$.
$\quad$
a. Pour tout $x>0$
$\begin{align*} f\dsec(x)>0 &\ssi 2x^2-4>0 \\
&\ssi x^2>2 \\
&\ssi x>\sqrt{2}\end{align*}$
La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$ et convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$.
De plus $f\dsec\left(\sqrt{2}\right)=0$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+2\ln(2)$.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right)$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de ses cordes sur cet intervalle.
La fonction $f$ est convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessous de ses cordes sur cet intervalle.
Ainsi :
– $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $[AM]$ sur $\left]0;\sqrt{2}\right[$.
– $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de $[AM]$ sur $\left]\sqrt{2};+\infty[\right[$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $u_1=-\e^{-1}\approx -0,368$ et $u_2=-\e^{-3-\e^{-1}}\approx -0,034$.
$\quad$
b. $\texttt{fonc(2)}$ renvoie la valeur de $u_2$ c’est-à-dire environ $0,034$.
$\quad$
a. Par hypothèse $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x \\
&=x^2\e^x(3+x)\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
Or $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ et strictement croissante sur $[3;+\infty[$.
De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3\e^{-x}=0$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\begin{align*} f(-3)&=(-3)^3\e^{-3} \\
&=-27\e^{-3}\end{align*}$
On a ainsi justifié chacun des éléments du tableau de variations.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
Initialisation : $u_0=-1$ et $u_1\approx -0,368$.
On a donc bien $-1\pp u_0\pp u_1 \pp 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$.
Par conséquent $f(-1) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(0)$
Or $f(-1) \approx -0,368$ et $f(0)=0$.
Ainsi $-1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2}\pp 0$.
$P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
$\quad$
d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
e. On a $f(x)=x\ssi x^3\e^x=x \ssi x\left(x^2\e^x-1\right)=0 \ssi x=0$ ou $x^2\e^x-1=0$.
Or l’équation $x^2\e^x-1=0$ possède une unique solution supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et on sait que $-1\pp \ell \pp 0$.
Ainsi $\ell=0$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Le point $G$ a pour coordonnées $(3;2;1)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est donc de la forme $2x-3z+d=0$.
Le point $E(0;0;1)$ appartient à ce plan donc $0-3+d=0\ssi d=3$.
Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est par conséquent $2x-3z+3=0$.
$\quad$
Le triangle $EIF$ est isocèle en $I$ et $\vect{EF}=\vect{AB}$. Par conséquent l’abscisse de $I$ est $\dfrac{AB}{2}=1,5$.
Sa côte, $z_I$ vérifie $2\times 1,5-3z_I+3=0 \ssi 3z_I=6 \ssi z_I=2$.
De plus $I$ appartient au plan $(ABE)$ dont une équation cartésienne est $y=0$.
Ainsi $I$ a pour coordonnées $(1,5;0;2)$.
$\quad$
On a $\vect{IE}(-1,5;0;-1)$ et $\vect{IF}(1,5;0;-1)$
Par conséquent
$\begin{align*} IE&=\sqrt{(-1,5)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{3,25}\end{align*}$
et $IF=IE=\sqrt{3,25}$.
D’une part $\vect{IE}.\vect{IF}=-1,5\times 1,5+(-1)\times (-1)=-1,25$
D’autre part $\vect{IE}.\vect{IF}=IE\times IF\times \cos\widehat{EIF}$
Ainsi $3,25 \cos\widehat{EIF}=-1,25 \ssi \cos\widehat{EIF}=-\dfrac{5}{13}$
Donc $\widehat{EIF}\approx 113$°.
$\quad$
a. La droite $\Delta$ est dirigée par $\vec{u}$ et passe par $R$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{cases}$$
$\quad$
b. Le point $K$ appartient au plan $(BFG)$ par conséquent son abscisse est $x_K=3$.
Le point $K$ appartient à la droite $\Delta$ donc $6-3t=3 \ssi t=1$.
Ainsi $K$ a pour coordonnées $(3;1;0)$.
$\quad$
c. On a $C(3;2;0)$ et $B(3;0;0)$. Donc $K$ est le milieu de $[BC]$ et appartient donc bien à l’arête $[BC]$

Ex 4

Exercice 4

On veut calculer
$\begin{align*} p\left(E_0\cap R_0\right)&=p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_0\right) \\
&=0,4\times (1-0,01) \\
&=0,4\times 0,99 \\
&=0,396\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
$\left(E_0,E_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} p\left(R_0\right)&=p\left(E_0\cap R_0\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
&=0,396+p\left(E_1\right)\times p_{E_1}\left(R_0\right) \\
&=0,396+0,6\times 0,02 \\
&=0,408\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
On a
$\begin{align*} p_{R_1}\left(E_0\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap E_0\right)}{p\left(R_1\right)} \\
&=\dfrac{p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_1\right)}{1-p\left(R_0\right)}\\
&=\dfrac{0,4\times 0,01}{1-0,408} \\
&\approx 0,006~757\end{align*}$
Réponse C$\quad$
La probabilité qu’il y ait une erreur de transmission est :
$\begin{align*} p\left(\left(E_0\cap R_1\right)\cup\left(E_1\cap R_0\right)\right)&=p\left(E_0\cap R_1\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
&=p\left(E_0\right)p_{E_0}\left(R_1\right)+p\left(E_1\right)p_{E_1}\left(R_0\right) \\
&=0,4\times 0,01+0,6\times 0,02 \\
&=0,016\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
On effectue indépendamment $10$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
Ainsi
$\begin{align*} p(X=7)&=\dbinom{10}{7}0,88^7\times 0,12^3 \\
&\approx 0,085\end{align*}$
Réponse D
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
On veut calculer
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-0,12^{10} \end{align*}$
Réponse A
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
On effectue indépendamment $N$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,88$.
On veut déterminer la plus grande valeur de $N$ telle que
$\begin{align*} P(X=N)\pg 0,1 &\ssi 0,88^N\pg 0,1 \\
&\ssi N\ln(0,88) \pg \ln(0,1) \\
&\ssi N\pp \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)} \quad \text{car } \ln(0,88)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)}\approx 18,01$.
Par conséquent $N_0=18$.
Réponse B
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x)$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
On note $f ‘$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

a. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f (x)$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
b. Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
$\quad$
a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
En déduire le tableau de variations de $f$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $[4; 5]$.
$\quad$
On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$$
a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
b. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2};f\left(\sqrt{2}\right)\right)$.
Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t ; f (t)\right)$.
En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : suites; fonctions, fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = x^3\e^x$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\texttt{fonc}$, écrite en langage Python ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def fonc(n) :}\\
\quad \text{u =- 1}\\
\quad \text{for i in range(n) :}\\
\qquad \text{u=u**3*exp(u)}\\
\quad \text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle qu’en langage Python, « $\texttt{i in range (n)}$ » signifie que $\texttt{i}$ varie de $\texttt{0}$ à $\texttt{n-1}$.
$\quad$
Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $\texttt{fonc(2)}$ arrondie à $10^{-3}$.
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x+3)$.
$\quad$
b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$$
$\quad$
d. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
e. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On rappelle que $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.
Déterminer $\ell$. $\Big($Pour cela, on admettra que l’équation $x^2\e^x-1 = 0$ possède une
seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}\Big)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a $AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$.
On définit les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$, $\vec{k}=\vect{AE}$.
On munit ainsi l’espace du repère orthonormé $\left(A;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.

Donner les coordonnées du point $G$.
$\quad$
Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(2 ; 0 ; -3)$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Déterminer une mesure au degré près de l’angle $\widehat{EIF}$.
$\quad$
Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $(6 ; -3 ; -1)$.
La tranchée est assimilée à un segment d’une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-3 ; 4 ; 1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête $[BC]$.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
$\quad$
b. On admet qu’une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.
Soit $K$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.
Déterminer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
c. Le point $K$ appartient-il bien à l’arête $[BC]$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : probabilités.

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.
Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

$E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ »;
$E_1$ : « le bit envoyé est un $1$ »;
$R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »;
$R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

On sait que : $p\left(E_0\right) = 0,4$; $p_{E_0}\left(R_1\right)=0,01$; $p_{E_1}\left(R_0\right)=0,02$.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
a. $0,99$
b. $0,396$
c. $0,01$
d. $0,4$
$\quad$
La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :
a. $0,99$
b. $0,02$
c. $0,408$
d. $0,931$
$\quad$
Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}
\left(E_0\right)$ est égale
a. $0,004$
b. $0,001$
c. $0,007$
d. $0,010$
$\quad$
La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
a. $0,03$
b. $0,016$
c. $0,16$
d. $0,015$
$\quad$

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à $0,88$.

On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu’exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est égale à :
a. $0,915$
b. $0,109$
c. $0,976$
d. $0,085$
$\quad$
On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
La probabilité qu’au moins $1$ octet soit transmis sans erreur est égale à :
a. $1-0,12^{10}$
b. $0,12^{10}
c. $0,88^{10}$
d. $1-0,88^{10}$
$\quad$
Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
On peut affirmer que :
a. $N_0 = 17$
b. $N_0 = 18$
c. $N_0 = 19$
d. $N_0 = 20$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 30 août 2022

Polynésie – 30 août 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

On peut utiliser l’arbre suivant :
$\quad$
On a alors :
$\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
&=\dfrac{1}{4}\times 0,9 \\
&=0,225\end{align*}$
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
&=0,225+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
&=0,225+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
&=0,262~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_T(A)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,225}{0,262~5} \\
&=\dfrac{6}{7}\\
&\approx 0,857~1\end{align*}$
La probabilité que le patient soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques sachant que sont test est positif est environ égale à $0,857~1$.
$\quad$
a. Les résultats erronés correspondent à :
– le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est négatif;
– le patient n’est pas atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est positif.
Il s’agit donc des événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$.
$\quad$
b. Les événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$ sont disjoints donc
$\begin{align*} P(E)&=P\left(\left(A\cap \conj{T}\right) \cup \left(\conj{A}\cap T\right)\right) \\
&=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
&=P(A)\times P_A\left(\conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
&=\dfrac{1}{4}\times 0,1+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
&=0,062~5 \end{align*}$
$\quad$

Partie 2

a. On réalise $50$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $P(E)=0,062~5$ de façon indépendantes.
Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=50$ et $p=0,062~5$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P(X=7)&=\dbinom{50}{7} \times 0,0625^7 \times (1-0,062~5)^{43} \\
&\approx 0,023~2\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,062~5)^{50} \\
&\approx 0,960~3\end{align*}$
La probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné est environ égale à $0,960~3$.
$\quad$
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,062~5$.
À l’aide de la calculatrice, on constate que pour tout entier $n$ inférieur ou égal à $247$ on a $P(X\pg 10) < 0,95$, avec en particulier $P(X\pg 10) \approx 0,948~6$ si $n=247$.
On constate également que si $n=248$ alors $P(X\pg 10) \approx 0,950~2$.
La valeur minimale de la taille de l’échantillon est donc $248$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$ on a $f(x)=-1,9x^2+1,9x$.
La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-1,9<0$ et les racines sont $0$ et $1$. Le sommet a donc pour abscisse $\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.
$\quad$
b. On a $f(0)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0,475$.
De plus $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent, pour tout réel $x \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $f(x) \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
Il semblerait que la suite soit strictement croissante et converge vers un réel $\ell \approx 0,47$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
Initialisation : On a $u_0=0,1$ et $u_1=0,171$. Donc $0\pp u_0\pp u_1 \pp \dfrac{1}{2}$.
Ainsi $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Soit $0\pp f(0) \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp f\left(\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{2}\right)$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est continue sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $0\pp u_n\pp u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
Or :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi -1,9x^2+1,9x=x\\
&\ssi -1,9x^2+0,9x=0\\
&\ssi x(-1,9x+0,9)=0\end{align*}$
Les solutions de cette équation sont donc $0$ et $\dfrac{0,9}{1,9}=\dfrac{9}{19}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,1$. Ainsi, la seule solution possible est $\dfrac{9}{19}$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{9}{19}$.
$\quad$

Partie 2

On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ car $-1<\dfrac{1}{2}<1$.
De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$. Donc pour tout réel $\alpha>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n\pg n_0$, on ait $0\pp u_n\pp x$.
C’est en particulier vrai, pour $x=10^{-p}$ où $p\in \N$.
Cela explique pourquoi la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{2}{x}\times x-2\ln(x)\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}\end{align*}$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} g(\e)&=\dfrac{2\ln(\e)}{\e} \\
&=\dfrac{2\times 1}{\e} \\
&=\dfrac{2}{\e}\end{align*}$.
$\quad$
b. $g'(x)$ est du signe de $2-2\ln(x)$.
Or $2-2\ln(x)>0 \ssi -2\ln(x)>-2 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
$\quad$
c. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
Par produit, $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;\e[$ et s’annule en $1$. Par conséquent $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;\e[$.
La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$. Par conséquent, pour tout réel $x\pg \e$ on a $g(x)>0$.
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$

Partie 2

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
On a donc, pour tout réel $x>0$ :
$\begin{align*} f'(x)&=2\times \dfrac{1}{x} \times \left(\ln(x)\right)^{2-1} \\
&=\dfrac{2\ln(x)}{x} \\
&=g(x)\end{align*}$
Ainsi $f$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. D’après la partie 1 on sait que, pour tout réel $x>0$ on a $g$ est strictement croissante sur $]0;+\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
Ainsi, $f$ est convexe sur $]0;\e]$ et concave sur $[\e;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la partie 1, $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$.
Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
a. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$ est $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
Or $f'(\e)=g(\e)=\dfrac{2}{\e}$ et $f(\e)=1$.
Ainsi, une équation de cette tangente est $y=\dfrac{2}{\e}(x-\e)+1$ soit $y=\dfrac{2}{\e}x-1$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est convexe sur $]0;\e]$. Sa courbe représentative est donc située au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle.
Ainsi, pour tout $x\in]0;\e]$ on a $\left(\ln(x)\right)^2\pg \dfrac{2}{\e}x-1$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$.
$\quad$
b. $\vect{CF}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CI}\begin{pmatrix}-1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]1\end{pmatrix}$ sont deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(CFI)$.
De plus :
$\vect{CF}.\vec{n}=0-2+2=0$ et $\vect{CI}.\vec{n}=-1-1+2=0$.
Par conséquent $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFI)$. Il est donc normal à ce plan.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Donc $1+2+0+d=0 \ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc $x+2y+2z-3=0$.
$\quad$
a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
b. Montrons que le point $K$ appartient à la fois au plan $(CFI)$ et à la droite $d$.
$\dfrac{7}{9}+2\times \dfrac{5}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-3=\dfrac{27}{9}-3=0$ : $K$ appartient au plan $(CFI)$.
En prenant $t=-\dfrac{2}{9}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\[2mm] y=\dfrac{5}{9}\\[2mm]z=\dfrac{5}{9}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à $d$.
La droite $d$ passe par le point $G$ et est orthogonale au plan $(CFI)$.
Par conséquent $K\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(CFI)$.
$\quad$
c. La distance cherchée est égale à $GK$. Or $\vect{GK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{4}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}} \\
&=\dfrac{6}{9} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
a. L’aire du triangle $CFG$ rectangle en $G$ est $\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}$ u.a.
La hauteur de la pyramide $CFGI$ relative au somme $I$ est $[IJ]$ où $J$ est le milieu de $[FG]$ et mesure donc $1$ u.
Ainsi le volume de cette pyramide est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IJ \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1\\
&=\dfrac{1}{6} \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$
b. On appelle $\mathscr{A}’$ l’aire du triangle $CFI$.
On a donc
$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}’\times GK \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{1}{2GK} \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{3}{4}$ u.a.
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Parmi les angines, un quart nécessite la prise d’antibiotiques, les autres non.
Afin d’éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d’un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :

lorsque l’angine nécessite la prise d’antibiotiques, le test est positif dans $90 \%$ des cas ;
lorsque l’angine ne nécessite pas la prise d’antibiotiques, le test est négatif dans $95 \%$ des cas.

Les probabilités demandées dans la suite de l’exercice seront arrondies à $10{-4}$ près si nécessaire.

Partie 1

Un patient atteint d’angine et ayant subi le test est choisi au hasard.
On considère les événements suivants :

$A$ : « le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques » ;
$T$ : « le test est positif » ;
$\conj{A}$et $\conj{T}$ sont respectivement les événements contraires de $A$ et $T$.

Calculer $P(A\cap T)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que $P(T) = 0,262~5$.
$\quad$
On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu’il soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques.
$\quad$
a. Parmi les événements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test : $A\cap T$, $\conj{A}\cap T$, $A\cap \conj{T}$, $\conj{A}\cap \conj{T}$.
$\quad$
b. On définit l’événement $E$ : « le test fournit un résultat erroné ».
Démontrer que $P(E) = 0,062~5$.
$\quad$

Partie 2

On sélectionne au hasard un échantillon de $n$ patients qui ont été testés.
On admet que l’on peut assimiler ce choix d’échantillon à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné.

On suppose que $n = 50$.
a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = 0,062~5$.
$\quad$
b. Calculer $P(X=7)$.
$\quad$
c. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné.
$\quad$
Quelle valeur minimale de la taille de l’échantillon faut-il choisir pour que $P(X\pg 10)$ soit supérieure à $0,95$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thème : suites, fonctions

Soit $k$ un nombre réel.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=ku_n\left(1-u_n\right)$$

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $\boldsymbol{k}$.

Partie 1

Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,9u_n\left(1-u_n\right)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 1]$ par $f(x) = 1,9x(1-x)$.
a. Etudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
$\quad$
b. En déduire que si $x\in \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $f(x)\in \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d’équation $y=x$.
Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle.
$\quad$

$\quad$
a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$
c. Déterminer sa limite.
$\quad$

Partie 2

Dans cette partie, $k=\dfrac{1}{2}$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n\left(1-u_n\right)$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ ∶ $0\pp u_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
$\quad$
On considère la fonction Python $\texttt{algo(p)}$ où $\texttt{p}$ désigne un entier naturel non nul :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo(p) :}\\
\quad \text{u = 1/4}\\
\quad \text{ n = 0}\\
\quad \text{while u > 10**(-p):}\\
\qquad \text{u = 1/2*u*(1-u)}\\
\qquad \text{n = n+1} \\
\quad \text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul $\texttt{p}$, la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande $\texttt{algo(p)}$ de renvoyer une valeur.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thème : fonctions

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$g(x) =
\dfrac{2\ln(x)}{x}$$

On note $g’$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$g'(x)=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}$$
$\quad$
On dispose de ce tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ :
$\quad$

$\quad$
Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau :
a. la valeur $\dfrac{2}{\e}$;
$\quad$
b. les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ;
$\quad$
c. les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\left(\ln(x)\right)^2$.
Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

Démontrer que sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.
$\quad$
À l’aide de la partie 1, étudier :
a. la convexité de la fonction $f$ ;
$\quad$
b. les variations de la fonction $f$.
$\quad$
a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0 ; \e]$ : $$\left(\ln(x)\right)^2 \pg \dfrac{2}{\e}x-1$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$. On note $I$ le milieu du segment $[EH]$ et on considère le triangle $CFI$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ et on admet que le point $I$ a pour coordonnées $\left(0 ;\dfrac{1}{2};1\right)$ dans ce repère.
$\quad$

$\quad$

a. Donner sans justifier les coordonnées des points $C$, $F$ et $G$.
$\quad$
b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(CFI)$.
$\quad$
c. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est : $x+2y+2z-3=0$.
$\quad$
On note $d$ la droite passant par $G$ et orthogonale au plan $(CFI)$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $K \left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le
plan $(CFI)$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes que la distance du point $G$ au plan $(CFI)$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
On considère la pyramide $GCFI$.
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times b\times h$, où $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
a. Démontrer que le volume de la pyramide $GCFI$ est égal à $\dfrac{1}{6}$, exprimé en unité de volume.
$\quad$
b. En déduire l’aire du triangle $CFI$, en unité d’aire.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$, $\vect{DC}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix} -1\\5\\-4\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vect{AB}=\vect{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.
De plus
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AD}&=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4) \\
&=-5+5+0\\
&=0\end{align*}$
$ABCD$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.
Par conséquent $ABCD$ est un rectangle.
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} AB&=\sqrt{5^2+1^2+0^2} \\
&=\sqrt{26}\end{align*}$
et
$\begin{align*} AD&=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2} \\
&=\sqrt{42}\end{align*}$
L’aire du rectangle $ABCD$ est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}&=AB\times AD \\
&=\sqrt{26}\times \sqrt{42}\\
&=2\sqrt{273}\end{align*}$
$\quad$
a. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ ne sont pas colinéaires (une des coordonnées de $\vect{AB}$ est nulle tandis que la même coordonnée de $\vect{AD}$ ne l’est pas).
Ainsi $A$, $B$ et $D$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. D’une part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=-2\times 5+10\times 1+13\times 0\\
&=-10+10+0\\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AD}&=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)\\
&=2+50-52\\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABD)$.
$\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABD)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc de la forme $-2x+10y+13z+d=0$.
Le point $A(-3;1;3)$ appartient à ce plan.
Par conséquent $6+10+39+d=0\ssi d=-55$
Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc $-2x+10y+13z-55=0$.
$\quad$
a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
b. Les coordonnées du point $I$ sont solution du système:
$\begin{align*} \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2x+10y+13z-55=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\6+4t+140+100t+182+169t-55=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\273t+273=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-1\\y=4\\z=1\end{cases}\end{align*}$
Le point $I$ a donc pour coordonnées $(-1;4;1)$.
$\quad$
c. $\vect{IK}\begin{pmatrix} -2\\10\\13\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} IK&=\sqrt{(-2)^2+10^2+13^2} \\
&=\sqrt{273}\end{align*}$
Ainsi la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut bien $\sqrt{273}$.
$\quad$
Le volume de la pyramide $KABCD$ est
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273} \\
&=182\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La courbe $\mathscr{C}_2$ représente une fonction qui semble être strictement positive et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$. La courbe de sa fonction dérivée est strictement située en dessous de l’axe des abscisses ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_1$.
En revanche la courbe $\mathscr{C}_1$ semble représenter une fonction strictement croissante. La courbe de sa fonction dérivée est donc située strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
Ainsi $f$ est représentée par $\mathscr{C}_1$ et $f’$ par $\mathscr{C}_2$.
$\quad$
Graphiquement l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution qui vaut environ $5,6$.
$\quad$
Graphiquement la fonction $f$ semble être concave sur $\R$.
$\quad$

Partie B

On étudie le signe de la fonction $g$ définie sur $]3;+\infty[$ par $g(x)=x^2-x-6$.
Le discriminant est $\Delta =25>0$.
Les racines de $x^2-x-6$ sont donc $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=3$.
Le coefficient principale de $x^2-x-6$ est $a=1>0$.
Ainsi $g(x)>0$ sur $]3;+\infty[$.
Par conséquent $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie sur $]3;+\infty[$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to 3^+} x^2-x-6=0$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=-\infty$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-x-6=+\infty$ (fonction du second degré dont le coefficient principal est positif) et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
La droite d’équation $x=3$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in I$ on a $f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x\in I$ on a $x^2-x-6>0$. Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x-1$.
$2x-1=0\ssi 2x=1\ssi x=\dfrac{1}{2}$
$2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
Or $\dfrac{1}{2}<3$. Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $f'(x)>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]3;+\infty[$ et donc sur $]5;6[$.
De plus $f(5)\approx 2,64<3$ et $f(6)\approx 3,18>3$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur l’intervalle $]5;6[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $5,63<\alpha<5,64$.
$\quad$
a. La fonction $f’$ est dérivable sur $]3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Ainsi, pour tout réel $x\in I$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2-x-6\right)-(2x-1)^2}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2-2x-12-\left(4x^2-4x+1\right)}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
&=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
b. Un carré étant toujours positif, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+2x-13$.
Son discriminant est $\Delta=-100<0$
Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-2<0$.
Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $-2x^2+2x-13<0$.
Par conséquent, pour tout réel $x\in I$, $f\dsec(x)<0$ et la fonction $f$ est concave sur $I$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’heure à l’aéroport à temps pour son vol. Donc $P_B(V)=1$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(B,\conj{B}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(V)&=P(B\cap V)+P\left(\conj{B}\cap V\right) \\
&=P(B)\times P_B(V)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(V) \\
&=0,2\times 1+0,8\times 0,5 \\
&=0,6\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
&=\dfrac{0,2\times 1}{0,6}\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
La probabilité que Julien soit arrivé à l’aéroport en bus sachant qu’il est à l’heure à l’aéroport pour son vol est égale à $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

Partie 2

On répète, de façon indépendante, $206$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=206$ et $p=0,95$.
$\quad$
L’espérance mathématique de $X$ est
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=206\times 0,95 \\
&=195,7\end{align*}$
En moyenne, $195,7$ (soit environ $196$) passagers vont se présenter à l’embarquement.
$\quad$
On a
$\begin{align*} P(X=201)&=\dbinom{206}{201} \times 0,95^{201}\times 0,05^5 \\
&\approx 0,031\end{align*}$
La probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,031$.
$\quad$
D’après la calculatrice, $P(X\pp 200)\approx 0,948$.
La probabilité que le nombre de passagers se présentant à l’embarquement soit inférieur à la capacité de l’avion est environ égale à $0,948$.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} P(Y=6)&=1-\left(P(Y=0)+P(Y=1)+\ldots+P(Y=5)\right) \\
&=0,000~03\end{align*}$
$\quad$
b. $206$ billets ont été vendus. La compagnie a donc encaissé $206\times 250=51~500$ euros.
Pour chaque passager lésé la compagnie doit payer $250+600=850$ euros.
Il y a $Y$ passagers lésés.
Ainsi $C=51~500-850Y$.
$\quad$
c. La loi de probabilité de $C$ est donc donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
c_i&51~500&50~650&49~800&48~950&48100&47~250&46~400 \\
\hline
P\left(C=c_i\right)&0,947~75&0,030~63&0,014~41&0,005~39&0,001~51&0,000~28&0,000~03\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance mathématique de $C$ est
$\begin{align*} E(C)&=51~500\times P(C=51~500)+49~800\times P(C=50~650)+\ldots+46~400\times P(C=46~400) \\
&=51~429,25\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On pouvait également procéder autrement :
Par linéarité de l’espérance on a :
$\begin{align*} E(C)&=E(51~500-850Y)\\
&=51~ 500-850E(Y)\end{align*}$
On calcule maintenant l’espérance de $Y$.
$\begin{align*} E(Y)&=1\times P(Y=1)+2\times P(Y=2)+\ldots+6\times P(Y=6) \\
&= 0,083~24\end{align*}$
Donc
$\begin{align*} E(C)&=51~500-850\times 0,083~24 \\
&=51~429,25\end{align*}$
$\quad$
d. En vendant $200$ billets le chiffre d’affaires est $200\times 250=50~000$ euros.
Ainsi le chiffre d’affaires moyen en pratiquant le surbooking est supérieur à celui obtenu en vendant exactement $200$ billets.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On a
$\begin{align*} p_1&=0,3+0,7p_0^2 \\
&=0,3+0,7\times 0,3^2 \\
&=0,363\end{align*}$
et
$\begin{align*} p_2&=0,3+0,7p_1^2 \\
&=0,3+0,7\times 0,363^2 \\
&=0,392~238~3\end{align*}$
La probabilité que la bactérie ait au plus une seule descendance est égale à $0,363$ et la probabilité qu’elle ait au plus deux descendance est égale à $0,392~238~3$.
$\quad$
b. La probabilité d’obtenir au moins $11$ générations de bactérie est $1-p_{10}\approx 0,572$.
$\quad$
c. La suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et converger vers un réel sont la valeur est environ égale à $0,428~5$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $R(n):~0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
Initialisation : $p_0=0,3$ et $p_1=0,363$ donc $0\pp p_0\pp p_1 \pp 0,5$.
Par conséquent $R(0)$ est vraie.
$\quad$Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp p_n\pp p_{n+1}\pp 0,5&\Rightarrow 0 \pp p_n^2\pp p_{n+1}^2 \pp 0,25 \\
&\Rightarrow 0 \pp 0,7p_n^2\pp 0,7p_{n+1}^2 \pp 0,175 \\
&\Rightarrow 0,3 \pp 0,3+0,7p_n^2\pp 0,3+0,7p_{n+1}^2 \pp 0,475 \end{align*}$
Par conséquent $0\pp 0,3\pp p_{n+1}\pp p_{n+2} \pp 0,475\pp 0,5$ et $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
$\quad$
b. La suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par $0,5$; elle converge donc vers un réel $L$.
$\quad$
a. La fonction $f:~x\mapsto 0,3+0,7x^2$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, $p_{n+1}=f\left(p_n\right)$.
Ainsi $L$ est solution de l’équation $x=f(x)$ soit $0,7x^2-x+0,3=0$.
$\quad$
b. Le discriminant de $0,7x^2-x+0,3$ est $\Delta =0,16>0$.
Ce polynôme du second degré admet donc deux racines : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,16}}{1,4}=\dfrac{3}{7}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,16}}{1,4}=1$.
Seule $x_1$ appartient à l’intervalle $[0;0,5]$.
Donc $L=\dfrac{3}{7}$.
$\quad$
On obtient la fonction suivante :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\quad \text{p = 0.3}\\
\quad \text{s= [p]}\\
\quad \text{for i in range(n – 1):}\\
\qquad \text{p = 0.3 + 0.7 * p ** 2}\\
\qquad \text{s.append(p)}\\
\quad \text{return (s)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $$A(-3 ; 1 ; 3),~B(2 ; 2 ; 3),~C(1 ; 7 ; -1),~D(-4 ; 6 ; -1) \text{ et } K(-3 ; 14 ; 14)$$

a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{DC}$ et $\vect{AD}$.
$\quad$
b. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
$\quad$
c. Calculer l’aire du rectangle $ABCD$.
$\quad$
a. Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2 ; 10 ; 13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
$\quad$
c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
$\quad$
a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.
$\quad$
c. Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.
$\quad$
Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f’$
, toutes deux définies sur $]3 ; +\infty[$.

Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
$\quad$
Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation $f (x) = 3$.
$\quad$
Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la quantité $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l’intervalle $]3 ; +\infty[$, que l’on nommera $I$ dans la suite.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x)=\ln\left(x^2-x-6\right)$ sur $I$.
Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l’intervalle $I$.
En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
$\quad$
a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
$\quad$
b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.
$\quad$
a. Justifier que l’équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]5; 6[.$
$\quad$
b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$
a. Justifier que $f\dsec(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2}$.
$\quad$
b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie 1
Julien doit prendre l’avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.
S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de $0,8$.
S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d’être à l’heure à l’aéroport.
On notera :

$B$ l’évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
$V$ l’évènement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».

Donner la valeur de $P_B (V )$.
$\quad$
Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Montrer que $P(V) = 0,6$.
$\quad$
Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à l’aéroport en bus ? Justifier.
$\quad$

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5 \%$ de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
$\quad$
Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
$\quad$
Calculer $P(X \pp 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
Si plus de $200$ passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
On appelle :
$\bullet~~Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet;
$\bullet~~C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
$\quad$
On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
y_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
\hline
P\left(Y = y_i\right)&0,947~75& 0,030~63 &0,014~41 &0,005 ~39 &0,001~51& 0,000~28&\phantom{0,000~28}\\
\hline
\end{array}$$
a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
$\quad$
b. Justifier que : $C = 51500−850Y$.
$\quad$
c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d’un tableau.
Calculer l’espérance de la variable aléatoire $C$ à l’euro près.
$\quad$
d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés: Suites numériques. Algorithmique et programmation.

On s’intéresse au développement d’une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu’elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d’obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie.
On admet que, d’après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :
$p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $$p_{n+1} = 0,3+0,7p_n^2$$

La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$
$\quad$
a. Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d’obtenir au moins $11$ générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ?
$\quad$
c. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n \pp p_{n+1}\pp 0,5$.
$\quad$
b. Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
a. Justifier que $L$ est solution de l’équation $0,7x
2- x+0,3 = 0$
$\quad$
b. Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$
La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.
$$\begin{array}{ll}
\begin{array}{l} 1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\end{array}&\begin{array}{|l|}\hline\text{def suite(n) :}\\
\quad \text{p = …}\\
\quad \text{s = [p]}\\
\quad \text{for i in range (…):}\\
\quad \text{p = …}\\
\quad \text{s.append(p)}\\
\quad \text{return (s)}\\
\hline
\end{array}\end{array}$$
Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction $\texttt{suite(n)}$ retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – 17 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 17 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. Parmi les $5$ jetons, seuls $1$, $3$ et $5$ sont impairs.
Donc $P_B(G)=\dfrac{3}{5}$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $P(B)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
$(B,~R)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(G\cap B)+P(G\cap R)\\
&=P(B)\times P_B(G)+P(R)\times P_R(G)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}\times 0,3 \\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P_G(B)&=\dfrac{P(G\cap B)}{P(G)} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}}{0,4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La probabilité que le joueur ait obtenu une case blanche en lançant la roue sachant qu’il a gagner la partie est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
$P(G)=0,4$ et $P_B(G)=0,6$ donc $P(G)\neq P_B(G)$
Les événements $B$ et $G$ ne sont pas indépendants.
$\quad$
a. On effectue de façon indépendante $10$ expériences de Bernoulli identiques.
$X$ est égale au nombre de parties gagnées.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,4$.
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{10}{3}0,4^3\times 0,6^7 \\
&\approx 0,215\end{align*}$
La probabilité que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées est environ égale à $0,215$.
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} P(X\pg 4)&=1-P(X<4) \\
&=1-P(X\pp 3) \\
&\approx 0,618\end{align*}$
La probabilité de remporter au moins $4$ parties sur les $10$ jouées est environ égale à $0,618$.
$\quad$
a. On effectue de façon indépendante $n$ expériences de Bernoulli identiques.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.
$\begin{align*} p_n&=P(Y\pg 1) \\
&=1-P(Y=0) \\
&=1-0,6^n \end{align*}$
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} p_n\pg 0,99&\ssi 1-0,6^n \pg 0,99 \\
&\ssi -0,6^n \pg -0,01 \\
&\ssi 0,6^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,6) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \qquad \text{car } \ln(0,6)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,6)}\approx 9,02$
Le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité de gagner au moins une partie est supérieur ou égale à $0,99$ est donc $10$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

$\quad$
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\times u_0+0,25 \\
&=0,9\times 1+0,25\\
&=1,15\end{align*}$
Au bout d’une demi-heure il y avait donc $1,15$ mg de médicament dans le sang.
$\quad$
Toutes les $30$ minutes l’organisme élimine $10\%$ de la quantité de médicament présente dans le sang. Il reste donc $90\%$ de la quantité de médicament soit $0,9u_n$.
Il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
Donc $u_{n+1}=0,9u_n+0,25$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} <5$.
Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=1,15$ donc $u_0\pp u_1<5$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} <5 &\ssi 0,9u_n\pp 0,9u_{n+1} < 4,5 \\
&\ssi 0,9u_n+0,25\pp 0,9u_{n+1}+0,25<4,75\end{align*}$
Donc $u_{n+1}\pp u_{n+2} <4,75<5$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} <5$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $5$. Par conséquent elle converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. On obtient le script suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def efficace():}\\
\quad \text{u = 1}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 1.8:}\\
\qquad \text{u = 0.9 * u + 0.25}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On a $u_7 \approx 1,78$ et $u_8\approx 1,85$.
Par conséquent le script renvoie la valeur $8$.
C’est donc au bout de $4$ heures que le médicament est réellement efficace.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $v_n=2,5-u_n$ donc $u_n=2,5-v_n$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=2,5-u_{n+1} \\
&=2,5-0,9u_n-0,25 \\
&=-0,9u_n+2,25 \\
&=-0,9\left(2,5-v_n\right)+2,25 \\
&=0,9v_n-2,25+2,25 \\
&=0,9v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=1,5$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1,5\times 0,9^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} u_n&=2,5-v_n\\
&=2,5-1,5\times 0,9^n\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a $1,5\times 0,9^n>0$ donc $u_n<2,5<3$.
Le traitement de présente donc aucun risque pour le patient.
$\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

$f(3,75)\approx 1,791<1,8$.
Le médicament n’est donc pas réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(t)\pg 1,8 &\ssi 2,5-1,5\e^{-0,2t}\pg 1,8 \\
&\ssi -1,5\e^{-0,2t}\pg -0,7 \\
&\ssi \e^{-0,2t}\pp \dfrac{7}{15} \\
&\ssi -0,2t\pp \ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \\
&\ssi t\pg -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \end{align*}$
Le médicament est donc efficace au bout d’environ $3,810~7$ heures soit environ $3$ h $49$ min.
$\quad$
Selon le modèle de la partie A, le médicament était réellement efficace au bout de $4$ heures.
Le modèle continu est donc réellement efficace plus rapidement.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On obtient la figure suivante :
$\quad$
On a $\vect{RP}\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{RQ}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} RP&=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
et
$\begin{align*} RQ&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Donc $RP=RQ$.
Le triangle $RPQ$ est bien isocèle en $R$.
$\quad$
Les vecteurs $\vect{RP}$ et $\vect{RQ}$ ne sont clairement pas colinéaires (le coefficient $0$ ne se trouve à la même coordonnée). Les points $P$, $R$ et $Q$ définissent donc un plan.
$\quad$
a. D’une part
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{PR}&=2\times (-1)+1\times 0+(-1)\times (-2) \\
&=-2+0+2 \\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{PQ}&=2\times (-1)+1\times 2+(-1)\times 0 \\
&=-2+2+0 \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$.
$\vec{u}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(PQR)$.
$\quad$
b. Ainsi une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est de la forme $2x+y-z+d=0$.
Or $P(0;0;1)$ appartient au plan $(PQR)$.
Par conséquent $0+0-1+d=0\ssi d=1$.
Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $2x+y-z+1=0$.
$\quad$
c. Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc : $$\begin{cases} x=2t\\y=t\\z=3-t\end{cases} \qquad t\in \R$$
$\quad$
d. En prenant $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(d)$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
$2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}+1=-\dfrac{3}{3}+1=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient donc au plan $(PQR)$.
Le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est par conséquent le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
$\quad$
e. On a $\vect{EL}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3pt]\dfrac{1}{3}\\[3pt]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} EL&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
La distance du point $E$ au plan $(PQR)$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
$\quad$
Le triangle $EQR$ est, par construction, rectangle en $E$. Son aire est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EQ\times ER}{2} \\
&=\dfrac{2\times 1}{2} \\
&=1\end{align*}$
Ainsi, le volume du tétraèdre $EPQR$ est
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times EP \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1\times 2 \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$\quad$
On a également $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times EL$ où $\mathscr{A}_{PQR}$ est l’aire du triangle $PQR$
Ainsi
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times \dfrac{\sqrt{6}}{3} \ssi \mathscr{A}_{PQR}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}$
Ainsi l’aire du triangle $PQR$ est égale à $\sqrt{6}$ unités d’aire.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Graphiquement $f(1)=3$ et $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$. Par conséquent $f'(1)=1$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2ax}{ax^2+1}$.
$\quad$
b. $f(1)=3\ssi \ln(a+1)+b=3$.
$f'(1)=1 \ssi \dfrac{2a}{a+1}=1$
On résout donc le système
$\begin{align*} \begin{cases} \ln(a+1)+b=3\\\dfrac{2a}{a+1}=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2a=a+1 \\b=3-\ln(a+1)\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} a=1\\b=3-\ln(2)\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(-x)&=\ln\left((-x)^2+1\right)+3-\ln(2) \\
&=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2) \\
&=f(x)\end{align*}$
Par conséquent $f$ est paire.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2+1\right)=+\infty$
Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et par parité $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
D’après la question A.2. on a, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Pour tout réel $x$, on a $x^2+1>0$.
Donc $f'(x)$ est du signe de $2x$.
Par conséquent :
$\bullet~~f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
$\bullet~~f'(0)=0$;
$\bullet~~f'(x)>0$ sur $]0;\infty[$.On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
D’après le tableau de variations, l’équation $f(x)=k$ admet deux solutions si, et seulement si, $k>3-\ln(2)$.
Remarque : Pour le montrer rigoureusement, il faut utiliser le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)=3+\ln(2)&\ssi \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)=3+\ln(2) \\
&\ssi \ln\left(x^2+1\right)=2\ln(2)\\
&\ssi \ln\left(x^2+1\right)=\ln(4) \\
&\ssi x^2+1=4 \qquad \text{car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$}\\
&\ssi x^2=3 \\
&\ssi x=\sqrt{3} \text{ ou } x=-\sqrt{3}\end{align*}$
L’équation $f(x)=3+\ln(2)$ admet donc deux solutions $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.
$\quad$

Partie C

Graphiquement $\mathscr{C}_f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $-1$ et $1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f\dsec(x)&=2\times \dfrac{x^2+1-x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi 1-x^2\pg 0 \ssi x\in [-1;1]$.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est donc $[-1;1]$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires

Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les numéros $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d’être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante :

si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac;
si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac.

Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.

Un joueur fait une partie et on note $B$ l’évènement « la case obtenue est blanche », $R$ l’évènement « la case obtenue est rouge » et $G$ l’évènement « le joueur gagne la partie ».
a. Donner la valeur de la probabilité conditionnelle $P_B (G)$.
$\quad$
b. On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à $0,3$.
Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Montrer que $P(G) = 0,4$.
$\quad$
b. Un joueur gagne la partie.
Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu une case blanche en lançant la roue ?
$\quad$
Les évènements $B$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
$\quad$
Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
$\quad$
c. Calculer $P(X \pg 4)$ arrondie à $10^{-3}$ près.
Donner une interprétation du résultat obtenu.
$\quad$
Un joueur fait $n$ parties et on note $p_n$ la probabilité de l’évènement « le joueur gagne au moins une partie ».
a. Montrer que $p_n = 1-0,6n$.
$\quad$
b. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : Suites numériques. Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
On estime que, toutes les $30$ minutes, l’organisme du patient élimine $10 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang et qu’il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d’une demi-heure.
$\quad$
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n +0,25$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} < 5$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.
a. Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def efficace():}\\
\quad\text{u = 1}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad\text{while ……:}\\
\qquad\text{u = ……}\\
\qquad\text{n = n + 1}\\
\quad\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5-u_n$.
a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5-1,5×0,9^n$.
$\quad$
c. Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.
D’après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ?
Justifier.
$\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

Après une injection initiale de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.
La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$ , définie sur $[0 ; +\infty[$, par $$f (t) = 2,5-1,5\e^{-0,2t}$$
où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.

Le médicament est-il réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min ?
$\quad$
Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
$\quad$
Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l’espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont : $$B(3 ; 0 ; 0),~D(0 ; 3 ; 0) \text{ et } E(0 ; 0 ; 3)$$

On considère les points $P(0; 0; 1)$, $Q(0; 2; 3)$ et $R(1; 0; 3)$.

Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
$\quad$
Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
$\quad$
Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
$\quad$
On s’intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{u} (2 ; 1 ; -1)$ est normal au plan $(PQR)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.
$\quad$
d. Montrer que le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
$\quad$
e. Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
$\quad$
En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac{2}{3}$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base}\times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Trouver, à l’aide des deux questions précédentes, l’aire du triangle $PQR$.
$\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés : Étude de fonctions. Fonction logarithme.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points $A(1; 3)$ et $B(3; 5)$.
On donne ci-dessous $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
$\quad$
La fonction $f$ est définie par l’expression $f (x) = \ln\left(ax^2+1\right)+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
a. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
$\quad$
b. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l’aide des résultats précédents.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $$f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$$

Montrer que $f$ est une fonction paire.
$\quad$
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$\quad$
Déterminer l’expression de $f'(x)$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
$\quad$
À l’aide du tableau des variations de $f$ , donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l’équation $f (x) = k$ admet deux solutions.
$\quad$
Résoudre l’équation $f (x) = 3+\ln 2$.
$\quad$

Partie C
On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.

Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f\dsec(x)=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$.
$\quad$
En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 19 mai 2022

Amérique du nord – 19 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $\left(A_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} a_2&=P\left(A_2\right) \\
&=P\left(A_1\cap A_2\right)+P\left(B_1\cap A_2\right) \\
&=P\left(A_1\right)\times P_{A_1}\left(A_2\right)+P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(A_2\right) \\
&=0,5\times 0,84+0,5\times 0,24 \\
&=0,54\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{A_2}\left(B_1\right)&=\dfrac{P\left(A_2\cap B_1\right)}{P\left(A_2\right)} \\
&=\dfrac{0,5\times 0,24}{0,54}\\
&=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
La probabilité que le vélo se trouve au point B le premier matin sachant qu’il se trouve au point A le deuxième matin est égale à $\dfrac{2}{9}$ soit environ égale à $0,222$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre suivant :$\quad$
b. Soit $n\in \N^*$. $\left(A_n,B_n\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
&=P\left(A_n\right)\times P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)+P\left(B_n\right)\times P_{B_n}\left(A_{n+1}\right) \\
&=0,84a_n+0,24\left(1-a_n\right) \\
&=0,6a_n+0,24\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $R(n):~a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
Initialisation : $a_1=0,5$ et $0,6-0,1^1=0,5$ donc $R(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,6a_n+0,24 \\
&=0,6\left(0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\right)+0,24\\
&=0,36-0,1\times 0,6^n+0,24 \\
&=0,6-0,1\times 0,6^n\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
$\quad$
$-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
Sur le long terme, la probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est égale à $0,6$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} a_n\pg 0,599&\ssi 0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\pg 0,599 \\
&\ssi -0,1\times 0,6^{n-1} \pg -0,001 \\
&\ssi 0,6^{n-1} \pp 0,01 \\
&\ssi (n-1)\ln(0,6)\pp \ln(0,01) \\
&\ssi n-1\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \quad \text{car } \ln(0,6)<0\\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\approx 10,02$
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pg 0,599$ est donc $11$.
La probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est supérieure à $0,599$ à partir du $11$-ième jour.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La fonction $p$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $p'(x)=3x^2-6x+5$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=-24<0$
Ainsi $p'(x)$ est du signe du coefficient principal $a=3>0$.
Par conséquent $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$.
$\quad$
La fonction $p$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-3;4]$.
$p(-3)=-68<0$ et $p(4)=37>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3;4]$.
$\quad$
D’après la calculatrice $\alpha\approx -0,2$.
$\quad$
La fonction $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$ et s’annule en $\alpha$. On obtient alors le tableau de signes suivant :
$\quad$

Partie B

a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+x^2\right)-2x\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{\left(x^2-2x+1\right)\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{(x-1)^2\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
b. On a fonc $f'(1)=0$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
$\quad$
a. Il semblerait que la fonction change de convexité (et donc $\mathscr{C}_f$ possède un point d’inflexion) environ en $0$ et en $1$.
Le toboggan semble dont assurer de bonnes sensations.
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $\left(1+x^2\right)^3>0$.
Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)(x-1)$.
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
D’après le tableau de signes obtenu à la question A.4. on obtient le tableau de signes de $f\dsec(x)$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $[-3;\alpha]$ et $[1;4]$ et concave sur $[\alpha;1]$. $f\dsec(x)$ s’annule en $\alpha$ et $1$.
Donc $\mathscr{C}_f$ possède deux points d’inflexion et le toboggan assurera de bonnes sensations.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
Par conséquent
$\begin{align*} AR&=\sqrt{0^2+3^2+2^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
$\begin{align*} AT&=\sqrt{(-3)^2+0^2+2^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
Ainsi $AR=AT$. Le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
b. $\quad$
$\begin{align*} \vect{AR}.\vect{AT}&=0\times -(-3)+3\times 0+2\times 2\\
&=4\end{align*}$
$\quad$
c. On a également $\vect{AR}.\vect{AT}=AR\times AT\times \cos \widehat{RAT}$.
Par conséquent
$\begin{align*} \cos \widehat{RAT}&=\dfrac{\vect{AR}.\vect{AT}}{AR\times AT} \\
&=\dfrac{4}{13} \end{align*}$
Donc $\widehat{RAT}\approx 72,1$°
$\quad$
a. D’une part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AR}&=2\times 0+(-2)\times 3+3\times 2\\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AT}&=2\times (-3)+(-2)\times 0+3\times 2\\
&=0\end{align*}$
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (l’angle $\widehat{RAT}$ n’est ni plat ni nul) du plan $(ART)$.
$\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ART)$.
$\quad$
b. Une équation du plan $(ART)$ est par conséquent de la forme $2x-2y+3z+d=0$.
Or $A(6;0;2)$ appartient à ce plan.
Donc $12-0+6+d=0 \ssi d=-18$
Une équation cartésienne du plan $(ART)$ est $2x-2y+3z-18=0$.
$\quad$
a. $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et le point $S\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est bien $\begin{cases} x=3+2k\\y=\dfrac{5}{2}-2k\\z=3k\end{cases} \quad k\in \R$.
$\quad$
b. Prenons $k=1$ dans la représentation paramétrique précédente. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
$2\times 5-2\times \dfrac{1}{2}+3\times 3-18=10-1+9-18=0$. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient au plan $(ART)$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
$\quad$
a. On a $D(0,8,0)$ et $K(0;4;4)$ donc $\vect{DK}\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{DN}\begin{pmatrix} 0\\-4t\\4t\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{DN}=t\vect{DK}$.
Les points $D$, $N$ et $K$ sont alignés.
$T\in[0;1]$ donc $N$ appartient au segment $[DK]$.
$\quad$
b. On a $\vect{SL}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{SN}\begin{pmatrix} -3\\\dfrac{11}{2}-4t\\4t\end{pmatrix}$.$\begin{align*} &(SL) \text{ et }(SN)\text{ sont perpendiculaires}\\
&\ssi\vect{SL}.\vect{SN}=0 \\
&\ssi 2\times (-3)+(-2)\times \left(\dfrac{11}{2}-4t\right)+3\times 4t=0 \\
&\ssi -6-11+8t+12t=0 \\
&\ssi 20t=17 \\
&\ssi t=0,85\end{align*}$
Le point $N$ doit donc avoir pour coordonnées $(0;4,6;3,4)$ pour que les deux rayons lasers soient perpendiculaires.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\quad$
$\begin{align*}a&=\ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \\
&=\ln(9)+\ln\left(\sqrt{3}\right)-\ln(3)-\ln(9)\\
&=\dfrac{1}{2}\ln(3)-\ln(3) \\
&=-\dfrac{1}{2}\ln(3)\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$x-10>0\ssi x>10$ : l’équation est définie sur $]10;+\infty[$
Sur $]10;+\infty[$
$\begin{align*} &\ln(x)+\ln(x-10)=\ln(3)+\ln(7) \\
&\ssi \ln\left(x(x-10)\right)=\ln(21) \\
&\ssi x(x-10)=21 \\
&\ssi x^2-10x-21=0\end{align*}$
Le discriminant de $x^2-10x-21$ est $\Delta=184>0$.
Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{10-\sqrt{184}}{2}<0$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}>10$
Donc l’unique solution de $(E)$ est $\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}$.
Réponse c
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$,
$\begin{align*} f'(x)&=2x\left(-1+\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=-2x+2x\ln(x)+x \\
&=x\left(2\ln(x)-1\right)\end{align*}$
$\ln\left(\sqrt{e}\right)=\dfrac{1}{2}$
Par conséquent $f’\left(\sqrt{e}\right)=0$.
Une équation de la tangente au point d’abscisse $\sqrt{e}$ est donc $y=f\left(\sqrt{e}\right)$ soit $y=-\dfrac{1}{2}\e$.
Réponse d
$\quad$
On répète $5$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jetons jaunes tirés.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{2}{5}$
Ainsi
$\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{5}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\\
&\approx 0,346\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^5\\
&\approx 0,922\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question 4..
Son espérance mathématiques est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=5\times \dfrac{2}{5} \\
&=2\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités, suites

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

D’après une étude statistique :

Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$;
Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.

À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.

On considère un vélo de la société pris au hasard.

Pour tout entier naturel non nul n, on définit les évènements suivants :

$A_n$ : « le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin »
$B_n$ : « le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin ».

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l’évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 = 0,5$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :$\quad$
a. Calculer $a_2$.
$\quad$
b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
$\quad$
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n +1$-ième matins.
$\quad$
b. Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$, $a_{n+1} = 0,6a_n +0,24$.
$\quad$
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n = 0,6−0,1×0,6^{n−1}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n > 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit p la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par : $$p(x)=x^3-3x^2+5x+1$$

Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
$\quad$
Justifier que l’équation $p(x) = 0$ admet dans l’intervalle $[-3 ; 4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
$\quad$
Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près.
$\quad$
Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
$\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par :$$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x^2}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

a. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
$\quad$
b. Justifier que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
$\quad$
Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe $\mathscr{C}_f$ comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
$\quad$
a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?
Argumenter.
b. On admet que la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de la fonction $f$ , a pour expression pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-3 ; 4]$ :
$$f\dsec(x)=\dfrac{p(x)(x-1)\e^x}{\left(1+x^2\right)^3}$$
où $p$ est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l’expression précédente de $f\dsec$, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur $6$ m, de longueur $8$ m et de hauteur $4$ m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle $OBCDEFGH$ où $OB = 6$ m, $OD = 8$ m et $OE = 4$ m.
On utilise le repère orthonormé $\Oijk$ tel que $\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{OB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{8}\vect{OD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{4}\vect{OE}$.

Dans ce repère on a, en particulier $C(6; 8; 0)$, $F(6; 0; 4)$ et $G(6; 8; 4)$.
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle $ART$ qui a pour sommets $A(6; 0; 2)$, $R(6; 3; 4)$ et $T(3; 0; 4)$, Enfin, $S$ est le point de coordonnées $\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$.

a. Vérifier que le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. Calculer le produit scalaire $\vect{AR}.\vect{AT}$.
$\quad$
c. En déduire une valeur approchée à $0,1$ degré près de l’angle $\widehat{RAT}$.
$\quad$
a. Justifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ART)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ART)$.
$\quad$
Un rayon laser dirigé vers le triangle $ART$ est émis du plancher à partir du point $S$. On admet que ce rayon est orthogonal au plan $(ART)$.
a. Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan $(ART)$ et passant par le point $S$.
Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ : $$\begin{cases} x=3+2k\\[3pt]y=\dfrac{5}{2}-2k\\[3pt]z=3k\end{cases} \quad, \text{avec } k\in \R$$
$\quad$
b. Soit $L$ le point d’intersection de la droite $\Delta$, avec le plan $(ART)$.
Démontrer que $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
$\quad$
L’artiste installe un rail représenté par le segment $[DK]$ ou $K$ est le milieu du segment $[EH]$.
Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point $N$ du segment $[DK]$ et il oriente ce second rayon laser vers le point $S$.
$\quad$
$\quad$
a. Montrer que, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0; 1]$, le point $N$ de coordonnées $(0 ; 8−4t ; 4t)$ est un point du segment $[DK]$.
$\quad$
b. Calculer les coordonnées exactes du point $N$ tel que les deux rayons laser représentés par les segments $[SL]$ et $[SN]$ soient perpendiculaires.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : : fonction logarithme népérien, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

Le réel $a$ est définie par $a = \ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)$ est égal à :
a. $1-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
b. $\dfrac{1}{2}\ln(3)$
c. $3\ln(3)-\dfrac{1}{2}$
d. $-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
$\quad$

Question 2

On note $(E)$ l’équation suivante $\ln(x) +\ln(x −10) = ln (3)+ln (7)$ d’inconnue le réel $x$.
a. $3$ est solution de $(E)$.
b. $5-\sqrt{46}$ est solution de $(E)$.
c. L’équation $(E)$ admet une unique solution réelle.
d. L’équation $(E)$ admet deux solutions réelles.
$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par l’expression $f(x)=x^2\left(-1+\ln(x)\right)$.
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$.
b. La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
c. $f’\left(\sqrt{\e}\right)$ est différent de $0$.
d. La droite d’équation $y=-\dfrac{1}{2}\e$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$.
$\quad$

Question 4

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer exactement $2$ jetons jaunes, arrondie au millième, est :
a. $0,683$
b. $0,346$
c. $0,230$
d. $0,165$
$\quad$

Question 5

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
a. $0,078$
b. $0,259$
c. $0,337$
d. $0,922$
$\quad$

Question 6

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus.
On réalise l’expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à:
a. $0,4$
b. $1,2$
c. $2$
d. $2,5$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 19 mai 2022

Centres étrangers – Liban – 19 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(F\cap C)&=P(F)\times P_F(C) \\
&=0,48\times 0,165 \\
&=0,079~2\end{align*}$
La probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre est égale à $0,079~2$.
$\quad$
a. $\left(F,\conj{F}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(C)&=P(C\cap F)+P\left(C\cap\conj{F}\right) \\
&=0,079~2+P\left(\conj{F}\right)\times P_{\conj{F}}(C) \\
&=0,079~2+0,52\times 0,215 \\
&=0,191\end{align*}$
La probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.
$\quad$
b. D’une part $P(C)\times P(F)=0,091~68$
D’autre part $P(C \cap F)=0,079~2$
Donc $P(C)\times P(F)\neq P(C\cap F)$.
Les événements $F$ et $C$ ne sont pas indépendants.
$\quad$
On a
$\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,079~2}{0,191} \\
&\approx 0,414~7\end{align*}$.
La probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu’elle exerce une profession de cadre est environ égale à $0,414~7$.
$\quad$
a. On répète $15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de cadres au sein de l’échantillon de $15$ salariés.
Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,191$.
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
&=(1-0,191)^{15}+\dbinom{15}{1}0,191\times (1-0,191)^{14} \\
&\approx 0,189~0\end{align*}$
La probabilité que l’échantillon contienne au plus $1$ cadre est environ égale à $0,189~0$.
$\quad$
c. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=15\times 0,191 \\
&=2,865\end{align*}$
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de cadres au sein de l’échantillon de $n$ salariés.
Par conséquent $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,191$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,809^n \pp 0,01\\
&\ssi n\ln(0,809) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,809)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,809)} \approx 21,7$.
Il faut donc que l’échantillon contienne au moins $22$ salariés pour la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $[AH]$ et $[ED]$ sont les diagonales du carré $ADHE$.
Les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont par conséquent perpendiculaires.
$\quad$
b. $EFGH$ est un carré donc $(EH)$ et $(HG)$ sont perpendiculaires.
$CDHG$ est un carré donc $(GH)$ et $(DH)$ sont perpendiculaires.
Ainsi, $(HG)$ est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan $(EDH)$.
Par conséquent, la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
$\quad$
c. La droite $(ED)$ est incluse dans le plan $(EDH)$. D’après la question précédente, les droites $(GH)$ et $(ED)$ sont orthogonales.
D’après la question 1.a. les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
La droite $(ED)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes (le point $A$ n’appartient pas à la droite $(GH)$) du plan $(AGH)$.
La droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
$\quad$
Dans le repère fourni on a $E(0;0;1)$ et $D(0;1;0)$.
Par conséquent $\vect{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\quad$
$\vect{ED}$ est un vecteur normal au plan $(AGH)$ d’après la question précédente.
Une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est donc de la forme $y-z+d=0$.
Or $A(0;0;0)$ appartient à ce plan. Ainsi $d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est $y-z=0$.
$\quad$
a. On a $\vect{EL}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3pt]1\\-1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(EL)$ est $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}t\\[3pt]y=1+t\\z=-t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
b. On résout le système
$\begin{align*} \begin{cases} x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}t\\[3pt]y=1+t\\z=-t\\y-z=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}t\\[3pt]y=1+t\\z=-t\\ 1+t+t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}t=-\dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{1}{3}t\\[3pt]y=\dfrac{1}{2}\\[3pt]z=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
Le point d’intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
c. $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$ : le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ appartient au plan $(AGH)$.
$\vect{KL}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{2}\\[3pt]\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{KL}=-\dfrac{1}{2}\vect{ED}$.
Ainsi $\vect{KL}$ est un vecteur normal au plan $(AGH)$.
Donc $K\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ est le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$.
$\quad$
d. On a
$\begin{align*} KL&=\sqrt{0^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$.
La distance du point $L$ ai plan $(AGH)$ est donc $h=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$
e. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $AHD$ rectangle en $D$.
Donc $AH^2=AD^2+HD^2$ ainsi $AH^2=2$ et $AH=\sqrt{2}$
$(HG)$ est orthogonale au plan $(EDH)$ d’après la question 1.b.
La droite $(AH)$ est incluse dans le plan $(EDH)$.
Par conséquent les droites $(AH)$ et $(HG)$ sont perpendiculaires et le triangle $AHG$ est rectangle en $H$.
L’aire du triangle $AHG$ est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times HG}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}\times 1}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
Le volume du tétraèdre $LAGH$ est alors
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times h \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$.

Ex 3

Exercice 3

La fonction $g$ est deux fois dérivables sur $\R$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=1~000x^{999}+1$ et $g\dsec(x)=999~000x^{998}$
$998$ est pair donc, pour tout réel $x$ $g\dsec(x)\pg 0$.
La fonction $g$ est convexe sur $\R$
Réponse b
$\quad$
D’après le graphique, $f'(0)=1$.
Une équation de la droite $T$ est donc de la forme $y=x+b$.
$T$ est par conséquent parallèle à la droite d’équation $y=x$.
Réponse a
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
Donc $-\dfrac{-1}{1+n}\pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$
Or pour tout entier naturel $n$ on a $-1 \pp -\dfrac{1}{1+n}$ et $\dfrac{1}{1+n}\pp 1$.
Ainsi $-1\pp u_n \pp 1$.
Réponse c
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\times v_{n+1}<0$.
Cela signifie donc que deux termes consécutifs de la suite $\left(v_n\right)$ sont toujours de signes contraires.
Ainsi, tous les termes de rang pair sont du même signe.
Par conséquent $v_{10}$ est du même signe que $v_0$
Réponse c
$\quad$
On a $8=2w_1-4 \ssi 12=2w_1 \ssi w_1=6$
$6=2w_0-4 \ssi 2w_0=10\ssi w_0=5$.
Réponse b
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~a_n>0$
Initialisation : $a_0=1>0$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$a_n>0$ et $\e^n>0$ donc $\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n>0$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n>0$.
$\quad$
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n-a_n \\
&=\left(\dfrac{\e^n}{\e^n+1}-1\right)a_n \\
&=-\dfrac{1}{\e^n+1}a_n\\
&<0\end{align*}$
La suite $\left(a_n\right)$ est donc strictement décroissante.
Réponse b
$\quad$
Remarque : Puisqu’il s’agit d’une question d’un QCM, l’utilisation de la calculatrice est à privilégiée ici pour avoir une idée du comportement de la suite.
$\quad$
On appelle $u_n$ le nombre de cellules à la $n$-ième génération.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=2^n$.
Au bout de $4$ heures il y a environ $4~000$ cellules. Or $u_{11}=2~048$ et $u_{12}=4~096$.
Il a donc fallu $4$ heures pour obtenir à la $12$-ième génération.
$\dfrac{4\times 60}{12}=20$.
Le temps de génération est donc environ égal à $20$ minutes.
Réponse c
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On a $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^{-x}=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=-\e^{-x}+\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-x\e^{-x}+1}{x} \\
&=\dfrac{1-x\e^{-x}}{x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est convexe sur $\R$. Sa courbe représentative est donc au-dessus de toutes ses tangentes.
On a $\e^0=1$. Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est par conséquent $y=x+1$.
Ainsi, pour tout réel $x\in ]0;1]$, $\e^x\pg x+1>x$ soit $1\pg x\e^{-x}$.
Donc pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a $x\e^x<1$.
Remarque : On pouvait également déterminer le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur $]0;1]$ par $g(x)=x\e^{-x}$.
$\quad$
Ainsi sur $]0;1]$, $1-x\e^{-x}>0$
Par conséquent $f'(x)>0$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;1]$.
$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ et $f(1)=\e^{-1}>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\ell$ sur $]0;1]$.
$\quad$

Partie B

a. On a $a_1=\e^{-1}\approx 0,37$ et $b_1=\e^{-1/10}\approx 0,90$.
$\quad$
b. On peut écrire
$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def termes(n):}\\
\quad \text{a = 1 / 10} \\
\quad \text{b = 1} \\
\quad \text{for k in range(0,n):}\\
\qquad \text{c = exp(-b)}\\
\qquad \text{b = exp(-a)}\\
\qquad \text{a = c}\\
\quad \text{return(a,b)}\\
\hline
\end{array}$
Remarque : On suppose donc que la bibliothèque $\texttt{math}$ a été importée (ou au moins la fonction $\texttt{exp}$) pour que la fonction ne comporte pas d’erreur.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1}\pp b_n\pp 1$
Initialisation : On a $a_0=0,1$, $a_1 \approx 0,37$, $b_1\approx 0,90$ et $b_0=1$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1}\pp b_n\pp 1$
La fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est décroissante sur $\R$.
Par conséquent $\e^{0}>\e^{-a_n}\pg \e^{-a_{n+1}}\pg \e^{-b_{n+1}}\pg \e^{-b_n}\pg \e^{-1}$
Soit $1>b_{n+1}\pg b_{n+2}\pg a_{n+2}\pg a_{n+1}\pg \e^{-1}>0$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1} \pp b_n \pp 1$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge donc.
La suite $\left(b_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ : elle converge donc.
$\quad$
a. On a $A=\e^{-B}$ par conséquent $\ln(A)=-B$ et $B=-\ln(A)$.
Or $B=\e^{-A}$ donc $-\ln(A)=\e^{-A}$ soit $\e^{-A}+\ln(A)=0$.
Par conséquent $f(A)=0$.
$\quad$
b. D’après la question précédente et la question A.4. $A=\ell$.
On a $B=\e^{-A}$ donc $A=-\ln(B)$
Or $A=\e^{-B}$ soit $-\ln(B)=\e^{-B}$ et donc $f(B)=0$.
On a ainsi également $B=\ell$.
Donc $A-B=0$.
Remarque : On dit que les suite $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont adjacentes.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités

Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.
Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :

$48 \%$ des salariés sont des femmes. Parmi elles, $16,5 \%$ exercent une profession de cadre ;
$52 \%$ des salariés sont des hommes. Parmi eux, $21,5 \%$ exercent une profession de cadre.

On choisit une personne au hasard parmi les salariés.
On considère les événements suivants :

$F$ : « la personne choisie est une femme » ;
$C$ : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.
$\quad$
a. Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.
$\quad$
b. Les événements $F$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.
$\quad$
Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l’entreprise permet d’assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l’échantillon de $15$ salariés.
On rappelle que la probabilité qu’un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que l’échantillon contienne au plus $1$ cadre.
$\quad$
c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.
Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait au moins un cadre au sein de l’échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$ représenté ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

a. Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
b. Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
$\quad$
c. En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
$\quad$
Donner les coordonnées du vecteur $\vect{ED}$.
Déduire de la question 1.c. qu’une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est :
$$y-z=0$$
$\quad$
On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};1;0\right)$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.
$\quad$
b. Déterminer l’intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.
$\quad$
c. Démontrer que le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
d. Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$
e. Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
$$V=\dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base})\times \text{hauteur}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : Fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^{1~000}+x$.
On peut affirmer que :
a. la fonction $g$ est concave sur $\R$.
b. la fonction $g$ est convexe sur $\R$.
c. la fonction $g$ possède exactement un point d’inflexion.
d. la fonction $g$ possède exactement deux points d’inflexion.
$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
On note $C$ la courbe représentative de $f$.
On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f’$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\boldsymbol{\Gamma}$ .On note $T$ la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$.
On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d’équation :
a. $y=x$
b. $y=0$
c. $y=1$
d. $x=0$
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$.
On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est :
a. majorée et non minorée.
b. minorée et non majorée.
c. bornée.
d. non majorée et non minorée.
$\quad$
Soit $k$ un nombre réel non nul.
Soit $\left(v_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$.
On suppose que $v_0=k$ et que pour tout $n$, on a $v_n\times v_{n+1}<0$.
On peut affirmer que $v_{10}$ est :
a. positif.
b. négatif.
c. du signe de $k$.
d. du signe de $-k$.
$\quad$
On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$w_{n+1}=2w_n-4\text{ et } w_2=8$$
On peut affirmer que :
a. $w_0=0$.
b. $w_0=5$.
c. $w_0=10$.
d. Il n’est pas possible de calculer $w_0$.
$\quad$
On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$a_{n+1}=\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n \text{ et } a_0=1$$
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(a_n\right)$ est strictement croissante.
b. la suite $\left(a_n\right)$ est strictement décroissante.
c. la suite $\left(a_n\right)$ n’est pas monotone.
d. la suite $\left(a_n\right)$ est constante.
$\quad$
Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se
divisent à leur tour, et ainsi de suite. On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu’une cellule donnée se divise en deux cellules. On a mis en culture $1$ cellule. Au bout de $4$ heures, il y a environ $4~000$ cellules.
On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
a. moins d’une minute.
b. $12$ minutes.
c. $20$ minutes.
d. $1$ heure.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Thème : Fonctions, fonction exponentielle, fonction logarithme, suites

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $]0 ; 1]$ par :$$f(x)=\e^{-x}+\ln(x)$$

Calculer la limite de $f$ en $0$.
$\quad$
On admet que $f$ est dérivable sur $]0 ; 1]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0 ; 1]$, on a :
$$f'(x)=\dfrac{1-x\e^{-x}}{x}$$
$\quad$
Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0 ; 1]$, on a $x\e^{-x}<1$.
En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0 ; 1]$.
$\quad$
Démontrer qu’il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $]0 ; 1]$ tel que $f(\ell)=0$.
$\quad$

Partie B

On définit deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par :
$$\begin{cases} a_0=\dfrac{1}{10}\\[3pt]b_0=1\end{cases} \text{ et, pour tout entier naturel }n,~\begin{cases} a_{n+1}=\e^{-b_n}\\[3pt]b_{n+1}=\e^{-a_n}\end{cases}$$
a. Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
$\quad$
b. On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.
$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def termes(n):}\\
\quad\text{a = 1/10}\\
\quad\text{b = 1}\\
\quad\text{for k in range(0,n):}\\
\qquad\text{c = …}\\
\qquad\text{b = …}\\
\qquad\text{a = c}\\
\quad\text{return(a,b)}\\
\hline
\end{array}$
Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la
fonction termes calcule les termes des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.
$\quad$
On rappelle que la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est décroissante sur $\R$.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$0<a_n\pp a_{n+1}\pp b_{n+1}\pp b_n\pp 1$$
$\quad$
b. En déduire que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont convergentes.
$\quad$
On note $A$ la limite de $\left(a_n\right)$ et $B$ la limite de $\left(b_n\right)$.
On admet que $A$ et $B$ appartiennent à l’intervalle $]0 ; 1]$, et que $A = \e^{-B}$ et $B = \e^{-A}$.
a. Démontrer que $f(A)=0$.
$\quad$
b. Déterminer $A-B$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 18 mai 2022

Amérique du nord – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On obtient l’arbre pondéré suivant:
$\quad$
$\quad$
b. $\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(R\cap V)+P\left(R\cap \conj{V}\right) \\
&=P(V)\times P_V(R)+P\left(\conj{V}\right)\times P_{\conj{V}}(R)\\
&=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{10} \\
&=\dfrac{7}{150}\end{align*}$
La probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(V)&=\dfrac{P(R\cap V)}{P(R)} \\
&=\dfrac{~\dfrac{2}{150}~}{\dfrac{7}{150}} \\
&=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
La probabilité que Paul ait pris son vélo pour rejoindre la gare sachant qu’il a raté son train est égale à $\dfrac{2}{7}$.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{20}{10}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{10} \\
&\approx 0,054\end{align*}$
La probabilité que Paul prenne son vélo exactement $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,054$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X\pp 9) \\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,962$.
d. L’espérance mathématique de $X$ est
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=20\times \dfrac{2}{3}\\
&=\dfrac{40}{3}\end{align*}$
En moyenne, sur un période choisie au hasard de $20$ jours, Paul prend son vélo environ $13$ jours pour se rendre à la gare.
$\quad$
L’espérance mathématique de $T$ est :
$\begin{align*} E(T)&=10\times P(T=10)+11\times P(T=11)+\ldots+18\times P(T=18) \\
&=13,5\end{align*}$
En moyenne Paul met $13,5$ minutes pour se rendre à la gare en voiture.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~T_n\pg 20$.
Initialisation : $T_0=180\pg 20$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} T_n\pg 20&\ssi 0,955T_n \pg 19,1 \\
&\ssi 0,955T_n+0,9 \pg 20 \\
&\ssi T_{n+1} \pg 20\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$, $T_n\pg 20$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} T_{n+1}-T_n&=0,955T_n+0,9 -T_n \\
&=-0,045T_n+0,9 \\
&=-0,045\left(T_n-20\right)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $T_n\pg 20 \ssi T_n-20\pg 0$.
Ainsi $T_{n+1}-T_n\pp 0$.
Par conséquent $\left(T_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(T_n\right)$ est décroissante et minorée par $20$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $u_n=T_n-20\ssi T_n=u_n+20$
$\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-20 \\
&=0,955T_n+0,9-20 \\
&=0,955T_n-19,1\\
&=0,955\left(u_n+20\right)-19,1 \\
&=0,955u_n+19,1-19,1\\
&=0,955u_n\end{align*}$
Par conséquent, la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,955$ et de premier terme $u_0=160$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=160\times 0,955^n$.
Donc $T_n=u_n+20=20+160\times 0,955^n$.
$\quad$
c. $-1<0,955<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,955^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
$\quad$
d.
$\begin{align*} T_n\pp 120&\ssi 20+160\times 0,955^n \pp 120 \\
&\ssi 160\times 0,955^n \pp 100 \\
&\ssi 0,955^n \pp 0,625 \\
&\ssi n\ln(0,955) \pp \ln(0,625) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \approx 10,2$.
L’ensemble solution de $T_n\pp 120$ est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $11$.
$\quad$
a. La température au centre du gâteau va décroitre jusqu’à atteindre la température ambiante.
Il était donc prévisible que $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
$\quad$
b. La fonction $\texttt{temp}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $T_n\pp x$.
D’après la question 2.d. la commande $\texttt{temp(120)}$ renvoie $11$.
Cela signifie que la température au centre du gâteau devient inférieure à $120$ degré Celsius au bout de $11$ minutes.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{JK}\begin{pmatrix} -1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{JL}\begin{pmatrix} -4\\-2\\-3\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} \vect{JK}.\vect{JL}&=-1\times (-4)+2\times (-2)+0\times (-3) \\
&=4-4\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vect{JK}$ et $\vect{JL}$ sont donc orthogonaux. Le triangle $JKL$ est par conséquent rectangle en $J$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} JK&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\begin{align*} JL&=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{29}\end{align*}$
L’aire du triangle $JKL$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{JK\times JL}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{29}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{145}}{2} \text{ cm}^2\end{align*}$
c. Dans le triangle $JKL$ rectangle en $J$ on a $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{JL}{JK}$
Soit $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}$
Par conséquent $\widehat{JKL} \approx 67,5$°
$\quad$
a. D’une part :
$\begin{align*}\vect{JK}.\vec{n}&=6\times (-1)+3\times 2+0\times (-10) \\
&=-6+6\\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*}\vect{JL}.\vec{n}&=6\times (-4)+3\times (-2)+(-10)\times (-3)
&=-24-6+30\\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteur non colinéaires (puisqu’orthogonaux) du plan $(JKL)$.
$\vec{n}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(JKL)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est donc de la forme $6x+3y-10z+d=0$.
Le point $J(2;0;1)$ appartient au plan $(JKL)$.
Par conséquent $12+0-10+d=0 \ssi d=-2$
Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est $6x+3y-10z-2=0$.
$\quad$
a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\end{cases} \qquad ,t\in \R$.
$\quad$
b. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6x+3y-10z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\60+36t+27+9t+60+100t-2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\145t+145=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}t=-1\\ x=4\\y=6\\z=4\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $H$ a pour coordonnées $(4;6;4)$.
$\quad$
c. $\vect{HT}\begin{pmatrix} 6\\3\\-10\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} HT&=\sqrt{6^2+3^2+(-10)^2} \\
&=\sqrt{145}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times HT \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{145}}{2}\times \sqrt{145}\\
&=\dfrac{145}{6} \text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Soit $x\in \R$
$\begin{align*} 1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}&=\dfrac{1+\e^x-1+\e^x}{1+\e^x} \\
&=\dfrac{2\e^x}{1+\e^x} \\
&=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(\e^{-x}+1\right)} \\
&=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
Affirmation 1 vraie
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} g(x)=\dfrac{1}{2} &\ssi \dfrac{\e^x}{\e^x+1}=\dfrac{1}{2} \\
&\ssi 2\e^x=\e^x+1 \\
&\ssi \e^x=1 \\
&\ssi x=0\end{align*}$
L’équation $g(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution : $0$.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
&=\left(2x-x^2\right)\e^{-x} \\
&=x(2-x)\e^{-x}\end{align*}$
Si l’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ en $A\left(x_A;y_A\right)$ alors $f’\left(x_A\right)=0$.
Or $f'(x)=0 \ssi x(2-x)=0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
$x(2-x)=0 \ssi x=0$ ou $x=2$.
Cependant $f(0)=0$ et $f(2)=4\e^{-2}\neq 0$. Le point de coordonnées $(0;0)$ appartient à l’axe des abscisses mais le point de coordonnées $\left(2;4\e^{-2}\right)$ n’appartient pas à cet axe.
L’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ qu’en l’origine du repère.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables.
Soit $x\in \R$
$\begin{align*} h'(x)&=\e^x\left(1-x^2\right)-2x\e^x \\
&=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)\end{align*}$
$\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)+\e^{-x}(-2x-2)\\
&=\e^x\left(-x^2-2x+1-2x-2\right) \\
&=\e^x\left(-x^2-4x-1\right)\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2-4x-1$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=12>0$.
Ainsi l’équation $-x^2-4x-1=0$ admet $2$ solutions distinctes et $h\dsec(x)$ change deux fois de signe en s’annulant.
La courbe représentative de la fonction $h$ admet donc deux points d’inflexion.
Affirmation 4 fausse
$\quad$
Soit $x>0$. $\dfrac{\e^x}{\e^x+x}=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}$
Or, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}=1$
Affirmation 5 fausse
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} 1+\e^{2x}\pg 2\e^x &\ssi \left(\e^x\right)^2-2\e^x+1 \pg 0\\
&\ssi \left(\e^x-1\right)^2 \pg 0\end{align*}$
Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel $x$.
Affirmation 6 vraie
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités

Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur $50$ alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur $10$.
On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
On note :
• $V$ l’évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare »;
• $R$ l’évènement « Paul rate son train ».
a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
$\quad$
c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.
$\quad$
On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu $20$ jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.
On suppose que, pour chacun de ces $20$ jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
$\quad$
c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
$\quad$
d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de $20$ jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.
$\quad$
Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note $T$ la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de $T$ est donnée par le tableau ci-dessous :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k\text{ (en minutes)}&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\
\hline
P(T=k)&0,14&0,13&0,13&0,12&0,12&0,11&0,10&0,08&0,07\\
\hline
\end{array}$
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $T$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : suites

Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
$$T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~ T_{n+1} = 0,955T_n +0,9$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n \pg 20$.
$\quad$
b. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n = −0,045\left(T_n-20\right))$. En déduire le sens de
variation de la suite $\left(T_n\right)$.
$\quad$
c. Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n-20$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\quad$
b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20+160\times 0,955^n$.
$\quad$
c. Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
$\quad$
d. Résoudre l’inéquation $T_n\pp 120$ d’inconnue $n$ entier naturel.
$\quad$
Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180$° C et celle de l’air ambiant de $20$° C.
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
a. Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
b. On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def temp(x):}\\
\quad \text{T = 180} \\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while T > x:} \\
\qquad \text{T = 0.955 * T + 0.9}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Donner le résultat obtenu en exécutant la commande $\texttt{temp(120)}$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $1$ cm, on considère les points suivants :
$$J(2 ; 0 ; 1),~~ K(1 ; 2 ; 1) \text{ et } L(−2 ; −2 ; −2)$$

a. Montrer que le triangle $JKL$ est rectangle en $J$.
$\quad$
b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle $JKL$ en cm$^2$.
$\quad$
c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l’angle géométrique $\widehat{JKL}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées$\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(JKL)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(JKL)$.

$\quad$
Dans la suite, $T$ désigne le point de coordonnées $(10 ; 9 ; −6)$.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(JKL)$ et passant par $T$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $T$ sur le plan $(JKL)$.
$\quad$
c. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}\times h \text{où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante}$$
Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre $JKLT$ en cm$^3$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}$.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =
\dfrac{\e^x}{\e^x+1}$.
Affirmation 2 : L’équation $g(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans $\R$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\e^{-x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}$ en un seul point.
$\quad$
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\e^x\left(1-x^2\right)$.
Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n’admet pas de point d’inflexion.
$\quad$
Affirmation 5 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{\e^x+x}=0$.
$\quad$
Affirmation 6 : Pour tout réel $x$, $1+\e^{2x}\pg 2\e^x$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 12 mai 2022

Métropole – 12 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre suivant :
$\quad$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(M\cap T)&=P(M)\times P_M(T) \\
&=0,7\times 0,97 \\
&=0,679\end{align*}$
La probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est égale à $0,679$.
$\quad$
$\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right)
&=0,679+P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
&=0,679+0,3\times 0,05 \\
&=0,694\end{align*}$
La probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(T\cap M)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,679}{0,694} \\
&\approx 0,978\end{align*}$
La valeur prédictive positive du test est environ égale à $0,978$.
$\quad$
a. La valeur prédictive négative du test est la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif.
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\conj{M}\right))&=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{M}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
&=\dfrac{0,3\times 0,95}{1-0,694} \\
&\approx 0,931 \end{align*}$
La valeur prédictive négative du test est environ égale à $0,931$.
$\quad$
b. La valeur prédictive positive du test est donc supérieure à la valeur prédictive négative du test.
Il est donc plus probable que le coyote soit malade quand le test est positif qu’il ne soit pas malade quand le test est négatif.
$\quad$

Partie B

a. On répète $5$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de coyote ayant un test positif.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,694$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{5}{1}\times 0,694^1 \times (1-0,694)^{5-1} \\
&\approx 0,03\end{align*}$.
La probabilité que dans cet échantillon de cinq coyote capturés au hasard, un seul ait un test positif est environ égale à $0,03$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} P(X\pg 4)&=P(X=4)+P(X=5) \\
&=\dbinom{5}{4}\times 0,694^4 \times (1-0,694)^{1}+\dbinom{5}{5}\times 0,694^5 \\
&\approx 0,516\\
&>0,5\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. La variable aléatoire $Y$ compte le nombre de coyote ayant un test positif.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,694$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99&\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
&\ssi P(Y=0)<0,01 \\
&\ssi (1-0,694)^n<0,01 \\
&\ssi 0,306^n <0,01 \\
&\ssi n\ln(0,306)<\ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,306)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,306)} \approx 3,89$
Il faut donc capturer au moins $4$ coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieur à $0,99$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

La fonction $f’$ semble donc strictement positive sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$ et strictement négative sur $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
$f$ présente donc un maximum en $-\dfrac{1}{2}$.
Réponse B
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
Par conséquent $f$ est convexe sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right]$.
Réponse A
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[$, $f\dsec{x)}<0$ sur $\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$ et $f\dsec(x)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=0$.
Réponse C
$\quad$
Si la suite $\left(v_n\right)$ est croissante alors, pour tout entier naturel $n$, on a :
$u_0\pp v_0 \pp v_1 \pp \ldots \pp v_n$.
Ainsi, la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$.
Réponse B
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n\pp u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
Pour tout entier naturel non nul on a $\dfrac{1}{n}\pp 1$.
Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{n}\pp 1$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
Par conséquent elle converge.
Réponse B
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $n<u_n<n+1$ donc $n+1<u_{n+1}<n+2$
Par conséquent $n<u_n<n+1<u_{n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Réponse B
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
$F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
$G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$.
$K$ a pour coordonnées $\left(1;\dfrac{1}{2};0\right)$.
$\quad$
$\vect{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ donc
$\begin{align*} \vect{EG}.\vec{n}&=1\times 2+1\times (-2)+0\times 1\\
&=0\end{align*}$
$\vect{EK}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}$ donc
$\begin{align*} \vect{EG}.\vec{n}&=1\times 2+\dfrac{1}{2}\times (-2)+(-1)\times 1\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vect{EG}$ et $\vect{EK}$ ne sont pas colinéaires car une coordonnées de $\vect{EG}$ est nulle et ce n’est pas le cas pour $\vect{EK}$.
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EGK)$.
$\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(EGK)$ est donc de la forme : $2x-2y+z+d=0$
Or $E(0;0;1)$ appartient à ce plan.
Donc $0-0+1+d=0 \ssi d=-1$.
Une équation cartésienne du plan $(EGK)$ est $2x-2y+z-1=0$.
$\quad$
$\vec{n}$ est un vecteur directeur de cette droite.
Ainsi une représentation paramétrique de $(d)$ est $\begin{cases} x=1+2t\\y=-2t\\z=1+t\end{cases} \quad ,t\in \R$
$\quad$
$2\times \dfrac{5}{9}-2\times \dfrac{4}{9}+\dfrac{7}{9}-1=\dfrac{9}{9}-1=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$ appartient au plan $(EGK)$.
Prenons $t=-\dfrac{2}{9}$ dans la représentation paramétrique de $(d)$.
On obtient $x=\dfrac{5}{9}$, $y=\dfrac{4}{9}$ et $z=\dfrac{7}{9}$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$ appartient à la droite $(d)$.
Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
$\quad$
$\vect{LF}\begin{pmatrix} \dfrac{4}{9}\\-\dfrac{4}{9}\\\dfrac{2}{9} \end{pmatrix}$
$\begin{align*} LF&=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{2}{9}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}}\\
&=\sqrt{\dfrac{36}{81}}\\
&=\dfrac{6}{9} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.
Son aire est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EF\times FG}{2}\\
&=\dfrac{1\times 1}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\quad$
Le volume du tétraèdre $EFGK$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times BF\times \mathscr{A} \qquad (*)\\
&=\dfrac{1}{3} \times 1 \times \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$(*)$ : la hauteur du tétraèdre issue de $K$ a une longueur égale à $BF$.
$\quad$
On appelle $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $EGK$.
On a donc également
$\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times LF\times \mathscr{B} &\ssi \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \mathscr{B}\\
&\ssi \dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{9}\times \mathscr{B} \\
&\ssi \mathscr{B}=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
$\quad$
En appliquant le théorème des milieux (ou la réciproque du théorème de Thalès suivi du théorème de Thalès) on montre que les longueurs des côtés du triangle $PMN$ sont égales à la moitié des longueurs des côtés du triangle $EGK$.
Le triangle $PMN$ est donc une réduction du triangle $EGK$ de rapport $\dfrac{1}{2}$.
Ainsi l’aire du triangle $PMN$ est
$\begin{align*} \mathscr{B}’&=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times \mathscr{B} \\
&=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{3}{16}\end{align*}$
Le volume du tetraèdre $FPMN$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}’&=\dfrac{1}{3}\times LF\times \mathscr{B}’ \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{16} \\
&=\dfrac{1}{24}\end{align*}$
Remarque 1: Le triangle $PMN$ est inclus dans le plan $(EGK)$. La hauteur du tétraèdre $FPMN$ est donc la même que celle du tétraèdre $EFGK$.
Remarque 2 : La rédaction du théorème des milieux est un peu rapide ici. Il faudrait, en toute rigueur, proposer une démarche plus détaillée mais je ne suis pas certain que ce soit réellement un attendu du sujet.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : études de deux fonctions

a. D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} -x^2+13,7x=\lim\limits_{x\to +\infty} -x^2=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -f(x)=-\infty$
$\quad$
b. $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,06<0$.
Elle atteint donc son maximum en $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{13,7}{2}=6,85$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;6,85]$ et strictement décroissante sur $[6,85;+\infty[$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi 0,06\left(-x^2+13,7x\right)=0 \\
&\ssi -x^2+13,7x=0 \\
&\ssi x(-x+13,7)=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } -x+13,7=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=13,7\end{align*}$
Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont donc $0$ et $13,7$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} 0,2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{0,2x}=+\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} -0,15x+2,2=-\infty$
Donc par produit $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$
$\begin{align*} g'(x)&=-0,15\e^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\times 0,2\e^{0,2x} \\
&=(-0,15-0,03x+0,44)\e^{0,2x} \\
&=(-0,03x+0,29)\e^{0,2x}\end{align*}$
$\quad$
c. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,03x+0,29$.
$-0,03x+0,29=0 \ssi x=\dfrac{29}{3}$
$-0,03x+0,29>0 \ssi -0,03x>-0,29 \ssi x<\dfrac{29}{3}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
où $\alpha \approx 2,98$.
$\quad$
d. La fonction $g$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{29}{3}\right]$ et $g(0)=0$.
L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution non nulle sur cet intervalle.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable donc continue et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{29}{3};+\infty\right[$.
De plus $g\left(\dfrac{29}{3}\right)>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{29}{3};+\infty\right[$.
$\quad$
L’équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution non nulle sur $[0;+\infty[$ dont une valeur approchée est, d’après la calculatrice, $13,72$.
$\quad$

Partie B : trajectoires d’une balle de golf

a. On a $f(6,85)\approx 2,815$
La hauteur maximale atteinte par la balle est donc environ égale à $28,15$ yards.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ strictement positif on a $f'(x)=0,06(-2x+13,7)$
Donc $f'(0)=0,06\times 13,7=0,822$.
$\quad$
c. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$.
Ainsi $\tan(d)=0,822$. Donc $d\approx 39,4$°.
L’angle de décollage de la balle est donc environ égal à $39,4$°.
$\quad$
d. La courbe $C_f$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $y=6,85$. Donc les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux.
$\quad$
a. $g$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{29}{3}$ et $\alpha \approx 2,98$.
La hauteur maximale de balle est donc environ égale à $29,8$ yards.
$\quad$
b. On a $g'(0)=0,29$ donc $\tan(d)=0,29$ et $d\approx 16,2$°.
L’angle de décollage de la balle est donc environ égal à $16,2$°.
$\quad$
c. On a $g'(13,7)\approx -1,87$ donc $\tan(a)\approx 1,87$ et $a\approx 62$°
L’angle d’atterrissage de la balle est donc environ égal à $62$°.
$\quad$

Partie C

Aucun des deux modèles ne semble estimer correctement les angles de décollage.

Le second modèle semble mieux estimer la hauteur maximale.

Le second modèle semble mieux estimer l’angle d’atterrissage.

Les deux modèle estiment correctement la distance au point de chute.

Le second modèle semble par conséquent le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, $70 \%$ des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:

Si le coyote est malade, le test est positif dans $97 \%$ des cas.
Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans $95\%$ des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.
On considère les événements suivants :

$M$ : « le coyote est malade » ;
$T$ : « le test du coyote est positif ».

On note $\conj{M}$ et $\conj{T}$ respectivement les événements contraires de $M$ et $T$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
$\quad$
Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0,694$.
$\quad$
On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
$\quad$
a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test », et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
$\quad$
b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
$\quad$

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.

Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
$\quad$
c. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
$\quad$
Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thèmes : fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
La courbe de sa fonction dérivée $f’$ est donnée ci-dessous.
On admet que $f’$ admet un maximum en $-\dfrac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$.

Question 1 :
a. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac{3}{2}$;
b. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac{1}{2}$;
c. La fonction $f$ admet un minimum en $-\dfrac{1}{2}$;
d. Au point d’abscisse $-1$, la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale.
$\quad$

Question 2 :
a. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[$;
b. La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$;
c. La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ n’admet pas de point d’inflexion;
d. La fonction $f$ est concave sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$.
$\quad$

Question 3 :
La dérivée seconde $f\dsec$ de la fonction $f$ vérifie :
a. $f\dsec(x)\pg 0$ pour $x\in \left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$;
b. $f\dsec(x)\pg 0$ pour $x\in [-2;-1]$;
c. $f\dsec\left(-\dfrac{3}{2}\right)=0$;
d. $f\dsec(-3)=0$.
$\quad$

Question 4 : On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.
On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \pp v_n \pp w_n$ et de plus : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=3$.
On peut alors affirmer que :
a. La suite $\left(v_n\right)$ converge;
b. Si la suite $\left(u_n\right)$ est croissante alors la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$;
c. $1\pp v_0\pp 3$;
d. La suite $\left(v_n\right)$ diverge.
$\quad$

Question 5 :
On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{n}$.
On peut alors affirmer que :
a. La suite $\left(u_n\right)$ diverge;
b. La suite $\left(u_n\right)$ converge;
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$;
d. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$;
$\quad$

Question 6 :
On considère $\left(u_n\right)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a $n<u_n<n+1$.
On peut affirmer que :
a. Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier;
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante;
c. La suite $\left(u_n\right)$ est convergente;
d. La suite $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu su segment $[BC]$.
On se place dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $$V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$$
où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
$\quad$
Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne : $2x-2y+z-1=0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.
$\quad$
Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
$\quad$
Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
Calculer l’aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\dfrac{1}{6}$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $EGK$.
$\quad$
On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A : étude de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=0,06\left(-x^2+13,7x\right) \text{ et } g(x)=(-0,15x+2,2)\e^{0,2x}-2,2.$$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f’$ et $g’$ leurs fonctions dérivées respectives.

On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
a. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Justifier les variations de la fonction $f$.
$\quad$
c. Résoudre l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$ on a : $g'(x)=(-0,03x+0,29)\e^{0,2x}$.
$\quad$
c. Étudier les variations de la fonction ? et dresser son tableau de variations sur $[0;+\infty[$.
Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
$\quad$
d. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.
$\quad$

Partie B : trajectoires d’une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d’une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.

On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l’intervalle $[0; 13,7]$.

Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0\pp x\pp 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards ($1$ yard correspond à environ $0,914$ mètre).

On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe ($C_f$ ou $C_g$ selon le modèle) en son point d’abscisse $0$. Une mesure de l’angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan(d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe ($C_f$ ou $C_g$ selon le modèle) en son point d’abscisse $13,7$. Une mesure de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan(a)$ est égal à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.

Première modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
$\quad$
b. Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
$\quad$
c. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
$\quad$
d. Quelle propriété graphique de la courbe $C_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?
$\quad$
Seconde modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
Selon ce modèle :
a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7)\approx −1,87$.
$\quad$
b. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
$\quad$
c. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré de l’angle d’atterrissage de la balle.
$\quad$

Tableau : extrait d’une feuille de calcul donnant une mesure en degré d’un angle quand on connait sa tangente :

$\quad$

Partie C : interrogation des modèles

À partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Angle de décollage en}&\text{Hauteur maximale en}&\text{Angle d’atterrissage en}&\text{Distance horizontale}\\
\text{degré}&\text{yard}&\text{degré}&\text{en yard au point de}\\
&&&\text{chute}\\
\hline
\boldsymbol{24}&\boldsymbol{32}&\boldsymbol{52}&\boldsymbol{137}\\
\hline
\end{array}$

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel? La réponse sera justifiée.

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 (QCM) 5 points

Exercice 2 6 points

Exercice 3 6 points

Exercice 4 3 points

Nouvelle Calédonie – 27 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points

Exercice 2 7 points

Exercice 3 7 points

Exercice 4 7 points

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points

Exercice 2 7 points

Exercice 3 7 points

Exercice 3 7 points

Polynésie – 30 août 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points Thème : probabilités

Exercice 2 7 points Thème : suites, fonctions

Exercice 3 7 points Thème : fonctions

Exercice 4 7 points Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points

Exercice 2 7 points

Exercice 3 7 points

Exercice 4 7 points

Centres étrangers – Asie – 17 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Exercice 2 7 points
Thème : suites, fonctions

Exercice 3 7 points
Thème : fonctions

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace