Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
De plus son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
$\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
$\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
$\quad$
Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
$x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
Par conséquent
$\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
&=1~575\end{align*}$
$\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
&=1~425\end{align*}$
En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
$\quad$
Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
Par conséquent :
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
&=0,85a_n+300-0,1a_n \\
&=0,75a_n+300\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
donc
$900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
&=0,75a_n+300-1~200\\
&=0,75a_n-900 \\
&=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
&=0,75v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
&=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
$\quad$
a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
$\quad$
b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
$\quad$
a. On peut écrire
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil() :}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
&\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
&\ssi 0,75^n < 0,16\\
&\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
$4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
$H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
&=\sqrt{32} \\
&=4\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{18} \\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
&=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
&=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
$\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
Il est donc normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
$E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
d. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
&=\sqrt{25} \\
&=5 \text{ cm}\end{align*}$
$\quad$
b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
&=20\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
$h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
Réponse b
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
$P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
$P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
$P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
&\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
&\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def }\text{seuil() :}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad \text{A = 1700}\\
\quad \textbf{while} \text{ … :}\\
\qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
\qquad \text{A = …}\\
\quad \textbf{return}\text{ …}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
$\quad$
b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
$\quad$
b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
$\quad$
c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
$\quad$
d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
a. $+\infty$
b. $0,05$
c. $-\infty$
d. $0$
$\quad$
On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
On peut affirmer que :
a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
$\quad$
On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
$\quad$
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
$\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
$\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
$\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
a. gagne $3,50$ €.
b. perd $3$ €.
c. perd $1,50$ €.
d. perd $0,50$ €.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
a. $p = \dfrac{1}{5}$
b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
c. $p = \dfrac{4}{5}$
d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 24 mars 2023

Asie – 24 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

L’aire du triangle $FBG$ est égale à la moitié de l’aire du carré unité $BCGF$.
$I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=AB$ donc $FI=\dfrac{1}{2}$.
Le volume du tétraèdre $FIGB$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FBG}\times FI \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{AI}&=\vect{AE}+\vect{EI} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{EF} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\end{align*}$
Par conséquent $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$.
$\quad$
$\vect{BI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\1\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{DJ}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
$\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
$\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
Les vecteur $\vect{DJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(BIG)$.
Par conséquent $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est alors de la forme $2x-y+z+d=0$.
$B(1;0;0)$ appartient au plan $(BIG)$. Donc $2+0+0+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est par conséquent $2x-y+z-2=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$.
$\quad$
a. En prenant $t=-\dfrac{1}{6}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $x=\dfrac{2}{3}$, $y=\dfrac{1}{6}$ et $z=\dfrac{5}{6}$.
De plus $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ appartient donc à la fois à la droite $d$ et au plan $(BIG)$.
La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\[2mm]\dfrac{1}{6}\\[2mm]-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{36}}\\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
c. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $IGB$.
On a alors
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\ &\ssi \dfrac{1}{12}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
&\ssi \mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
L’aire du triangle $IGB$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ u.a.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{2x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(1-\e^{-x}+\e^{-2x}\right)$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^{2x}-\e^x \\
&=\e^{x}\left(2\e^x-1\right)\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\e^x-1$.
$2\e^x-1=0 \ssi 2\e^x=1 \ssi \e^x=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\ln(2)$
$2\e^x-1>0 \ssi 2\e^x>1 \ssi \e^x>\dfrac{1}{2} \ssi x>-\ln(2)$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $g$ admet un minimum qui vaut $\dfrac{3}{4}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $g(x)\pg \dfrac{3}{4}>0$.
La fonction $g$ est strictement positive sur $\R$.
$\quad$
On pourrait écrire $\e^{2x}-\e^x+1>0 \ssi \begin{cases} X^2-X+1>0 \\X=\e^x\end{cases}$.
Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-X+1$ est $\Delta=-3<0$.
Le coefficient principal de ce polynôme est $1>0$.
Par conséquent, pour tout réel $X$ on a $X^2-X+1>0$.
Donc $\e^{2x}-\e^x+1>0$ pour tout réel $x$.
$\quad$

Partie B

D’après la question A.5., pour tout tout réel $x$, on a $\e^{2x}-\e^x+1>0$.
La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$.
Par conséquent la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}-\e^x}{\e^{2x}-\e^x+1} \\
&=\dfrac{g'(x)}{g(x)}\end{align*}$
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.
Une équation de cette tangente est donc $y=x$.
$\quad$
$g'(x)>0 \ssi x>-\ln(2)$ d’après la question A.4
Pour tout réel $x$, on a $g(x)>0$.
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$f\left(-\ln(2)\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)<2$.
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
Or $2\in \left]\ln\left(\dfrac{3}{4}\right);+\infty\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,12$.
$\quad$

Partie C

D’après la question B.5. l’équation $f(x)=2$ admet bien au moins une solution. La conjecture 1 est vraie.

$-\ln(2)\approx -0,69<-0,5$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$. La conjecture 2 est fausse.

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=x$. La conjecture 3 est fausse.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Le premier jour on dispose de $2$ g de polonium.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_0&=2\times 3\times 10^{21} \\
&=6\times 10^{21}\end{align*}$
$\quad$
b. Chaque jour $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés. Il en reste donc $0,995u_n$.
Chaque jour, on ajoute $0,005$ g de polonium.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=0,995u_n+0,005\times 3\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
Initialisation : $v_0=6\times 10^{21}$ et $v_1=0,995v_0+1,5\times 10^{19}$ soit $v_1=5,985\times 10^{21}$.
On a bien $0\pp v_{1} \pp v_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp v_{n+1} \pp v_n&\ssi 0\pp 0,995 v_{n+1} \pp 0,995 v_n \\
&\ssi 1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_{n+1}+1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
Par conséquent $0\pp v_{n+2}\pp v_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $b\in \N$. $u_n=v_n-3\times 10^{21} \ssi v_n=u_n+3\times 10^{21}$
$\begin{align*} u_{n+1}&=v_{n+1}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n+1,5\times 10^{19}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n-2,985\times 10^{21}\\
&=0,995\left(u_n+3\times 10^{21}\right)-2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+2,985\times 10^{21} -2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,995$ et de premier terme $u_0=v_0-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 10^{21}\times 0,995^n$.
Par conséquent
$\begin{align*} v_n&=u_n+3\times 10^{21} \\
&=3\times 10^{21}\times 0,995^n+3\times 10^{21}\\
&=3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,995<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,995^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3\times 10^{21}$.
Cela signifie que sur le long terme il ne restera plus que $3\times 10^{21}$ noyaux atomiques.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n\pp 4,5\times 10^{21} &\ssi 3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\pp 4,5\times 10^{21} \\
&\ssi 0,995^n+1 \pp 1,5 \\
&\ssi 0,995^n\pp 0,5 \\
&\ssi n\ln(0,995) \pp \ln(0,5) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \qquad \text{car }\ln(0,995)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)}\approx 138,3$.
C’est donc au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5\times 10^{21}$.
$\quad$
a. On peut écrire $$\texttt{V = 0.995 * V + 1.5 * 10**19}$$ ou $$\texttt{V = 3 * 10**21 * (0.995**(k + 1))}$$
$\quad$
b. $52\times 7=364$.
Il faut donc saisir $\texttt{noyaux(364)}$ pour que la fonction renvoie les relevés quotidien du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=7$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7+3n$.
$7+3n=2023\ssi 3n=2016 \ssi n=672$.
Il y a donc $672+1=673$ termes.
Réponse B
$\quad$
La parité des deux termes consécutifs de la liste $\texttt{L}$ est différente.
Le premier et le dernier terme de cette liste sont impairs.
Il y a donc $\dfrac{673-1}{2}=336$ nombres pairs.
La probabilité de tirer un nombre pair est donc égale à $\dfrac{336}{673}$.
Réponse C
$\quad$
La probabilité cherchée est $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.
Réponse B
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ est un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{168}{673}+P\left(\conj{A}\right)P_{\conj{A}}(B) \\
&=\dfrac{34}{673}+\dfrac{673-168}{673}\times \dfrac{33}{505} \\
&=\dfrac{67}{673}\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{\dfrac{34}{673}}{~\dfrac{67}{673}~} \\
&=\dfrac{34}{67} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$
La probabilité qu’un nombre tiré de cette liste ne soit pas un multiple de $4$ est égale à $\dfrac{505}{673}$.
La probabilité qu’aucun des $10$ nombres choisis ne soit un multiple de $4$ est donc égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.
Réponse A
$\quad$
Remarque : On pouvait également également introduire une variable aléatoire $X$ égale à la quantité de nombres multiples de $4$ parmi les $10$ tirages effectués. Il faut alors prouver que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$. On demande donc de calculer $P(X=0)$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1 5 points

On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante:

Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.

Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\dfrac{1}{12}$ d’unité de volume.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2 = 0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
$\quad$
a. La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. Calculer la longueur $FL$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $IGB$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\e^{2x} – \e^x + 1\right).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

L’équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$.
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.

$\quad$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \e^{2x}-\e^x + 1.$

Déterminer $\lim\limits_{x \to – \infty} g(x)$.
$\quad$
Montrer que $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
$\quad$
Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x-1\right)$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
$\quad$
Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \e^x$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

$\quad$

Exercice 3 5 points

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de $2$ g de polonium.
On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour $n \pg 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

a. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $u_n = v_n-3 \times 10^{21}$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
$\quad$
On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1 &\text{def noyaux (n) :}\\
2 &\qquad \text{V = 6 * 10 ** 21}\\
3&\qquad \text{L = [V]}\\
4&\qquad \text{for k in range (n):}\\
5&\qquad \qquad \text{V = …}\\
6&\qquad \qquad \text{L.append(V)}\\
7&\qquad \text{return L}\\
\hline\end{array}$$
a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.
$\quad$
b. Pour quelle valeur de l’entier $\text{n}$ la commande $\text{noyaux(n) }$renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$, le dernier nombre de la liste est $2023$ soit : $L=[7,10,\ldots,2023]$.

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
2023&673&672&2016\\
\hline
\end{array}$$

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste.
La probabilité de tirer un nombre pair est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{1}{2}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{336}{673}&\dfrac{337}{673}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s’intéresse aux événements suivants :

Événements $A$ : « obtenir un multiple de $4$ »
Événement $B$ : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est $6$ »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{168}{673}\times \dfrac{34}{673}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{17}{84}&\dfrac{168}{34}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4 : $P_B(A)$ est égale à :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{36}{168}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{33}{168}&\dfrac{34}{67}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5 : On choisit , au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – 23 mars 2023

Asie – 23 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

a. $u_1=0,9\times 400+60=420$ et $u_2=0,9\times 420+60=438$.
$\quad$
b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 600$.
Initialisation : $u_0=400$ et $u_1=420$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp 600$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 600&\ssi 0\pp 0,9u_n \pp 0,9u_{n+1} \pp 540 \\
&\ssi 60 \pp 0,9u_n+60\pp 0,9u_{n+1}+60 \pp 600 \\
&\ssi 60\pp u_{n+1}\pp u_{n+2}\pp 600\end{align*}$
Par conséquent $0\pp u_{n+1}\pp u_{n+2} \pp 600$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 600$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $600$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
b. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,9x+60$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
$\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x=0,9x+60 \\
&\ssi 0,1x=60 \\
&\ssi x=600\end{align*}$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=600$.
$\quad$
La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n$ est supérieur à la valeur saisie en paramètre.
$\texttt{mystere(500)}$ renvoie donc $7$ car $u_6\approx 493,7<500$ et $u_7\approx 504,3>500$.
$\quad$

Partie B

Si on appelle, pour l’année $2023+n$, $u_n$ le nombre d’arbres plantés dans le verger on a alors, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=(1-0,1)u_n+60$ soit $u_{n+1}=0,9u_n+60$.
On retrouve ainsi la suite définie dans la partie précédente.
On a vu que cette suite est croissante et converge vers $600$.
D’après la question 4., en 2030, l’arboriculteur aura plus de $500$ arbres et sera confronté à un problème de place dans son verger.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\vect{MN}\begin{pmatrix} -1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$ et $\vect{MP}\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}$
$\quad$
On obtient la figure suivante :
$\quad$

$\quad$
Les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires et les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. $\vect{MP}.\vect{MN}=0+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$. Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent, le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} MN&=\sqrt{(-1)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2} \\
&=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}} \\
&=\sqrt{\dfrac{21}{16}} \\
&=\dfrac{\sqrt{21}}{4}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} MP&=\sqrt{(0+(-1)^2+(-2)^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi l’aire du triangle $MNP$ rectangle en $M$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{MN\times MP}{2} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{4}\times \sqrt{5}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{105}}{8}\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{MN}=-5+4+1=0$ et $\vect{MP}.\vec{n}=0+8-8=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNP)$.
Par conséquent $\vec{n}$ est normal au plan $(MNP)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc de la forme $5x-8y+4z+d=0$.
Le point $N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right)$ appartient à ce plan.
Ainsi $0-4+4+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc $5x-8y+4z=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\5x-8y+4z=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\5+25t+64t+4+16t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\9+105t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{9}{105}\\[2mm]x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\end{cases}
&\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{3}{35}\\[2mm]x=\dfrac{4}{7}\\[2mm]y=\dfrac{24}{35}\\[2mm]z=\dfrac{23}{35}\end{cases}\end{align*}$
Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
$\quad$
On a $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{7}\\[2mm]\dfrac{24}{35}\\[2mm]-\dfrac{12}{35}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{24}{35}\right)^2+\left(-\dfrac{12}{35}\right)^2 } \\
&=\sqrt{\dfrac{9}{49}+\dfrac{576}{1~225}+\dfrac{144}{1~225}}\\
&=\sqrt{\dfrac{27}{35}}\\
&=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{105}}{8}\times \dfrac{3\sqrt{105}}{35} \\
&=\dfrac{3}{8}\end{align*}$

Ex 3

Exercice 3

Graphiquement, l’équation $\ln(x)=x$ ne semble pas admettre de solution et l’équation $f(x)=0,2x$ semble admettre deux solutions.
$\quad$
a. Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-1 \\
&=\dfrac{1-x}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
c. La fonction $f$ admet donc en $1$ un maximum qui vaut $-1$.
Par conséquent, pour tout réel $x>0$, on a $f(x)\pp -1<0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a $\ln(x)<x$.
L’équation $\ln(x)=x$ n’admet, par conséquent, aucune solution.
$\quad$
a.
$\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)<0$ alors, pour tout réel $x>0$ on a $g(x)<0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet aucune solution.
$\quad$
$\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)=0$. La fonction est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif différent de $\dfrac{1}{k}$, on a $g(x)<g\left(\dfrac{1}{k}\right)$ soit $g(x)<0$.
L’équation $g(x)=0$ admet alors une unique solution $\dfrac{1}{k}$.
$\quad$
$\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$. La fonction $g$ est continue (en tant que somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right]$.
$\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$.
D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right]$.
La fonction $g$ est continue (en tant que somme de fonctions continues) et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ et $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$.
D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
Finalement, l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions.
$\quad$
b.
$\begin{align*} g\left(\dfrac{1}{k}\right)&=\ln\left(\dfrac{1}{k}\right)-k\times \dfrac{1}{k} \\
&=-\ln(k)-1\end{align*}$
$\quad$
c.
$\begin{align*} g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0 &\ssi-\ln(k)-1>0 \\
&\ssi -\ln(k)>1 \\
&\ssi \ln(k)<-1\end{align*}$
$\quad$
d. $\ln(k)<-1 \ssi k<\e^{-1}$.
D’après les questions 3.a. et 3.c. l’équation $\ln(x)=kx$ admet exactement deux solutions si $k\in \left]0; \e^{-1}\right[$.
$\quad$
e. $g\left(\dfrac{1}{k}\right)=0 \ssi -\ln(k)-1=0 \ssi \ln(k)=-1\ssi k=\e^{-1}$.
D’après les question 3.a. et 3.c :
– $\ln(x)=kx$ n’admet aucune solution si $k>\e^{-1}$
– $\ln(x)=kx$ admet une unique solution si $k=e^{-1}$
– $\ln(x)=kx$ admet exactement deux solutions si $k\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Il y a $4$ billes bleues et $5$ billes vertes numérotées d’un nombre pair.
Ainsi la probabilité cherchée est $\dfrac{5+4}{15}=\dfrac{9}{15}$
Réponse B
$\quad$
Il y a $10$ billes vertes et, parmi elles, une seule porte le numéro $7$.
La probabilité cherchée est $\dfrac{1}{10}$.
Réponse C
$\quad$
L’événement $[G=5]$ ne se produit que si le joueur tire la bille bleue numérotée $5$ ou si le joueur tire la bille verte numérotée $15$. En effet, son gain algébrique est alors $3\times 5-10=5$ ou $10-15=5$.
$P(G=5)=\dfrac{2}{15}$.
Réponse B
$\quad$
Si le joueur tire une bille rouge alors il ne remporte rien. Son gain algébrique est alors égal à $-10$.
Donc $P_R(G=0)=0$.
Réponse A
$\quad$
Si $G=-4$ cela signifie que le joueur a soit tiré la bille verte numérotée $6$ soit tiré la bille bleue numérotée $2$.
Ainsi $P_{(G=-4)}(V)=\dfrac{1}{2}$
Réponse C
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0=400$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0,9u_n+60$.

a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
$\quad$
Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l’inégalité $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 600$.
$\quad$
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$. Justifier.
$\quad$
On donne une fonction écrite en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def } \text{mystere(seuil):}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{u = 400}\\
\quad \textbf{while } \text{u <= seuil :}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\qquad \text{u = 0.9 * u + 60}\\
\quad \textbf{return }\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : $\text{mystere(500)}$ ?
$\quad$

Partie B

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum $500$ arbres. Chaque année il vend $10\%$ des arbres de son verger et puis il replante $60$ nouveaux arbres. Le verger compte $400$ arbres en 2023.

L’arboriculteur pense qu’il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger? Expliquer votre réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$, on considère les points $M$, $N$ et $P$ de coordonnées : $$M\left(1;1;\dfrac{3}{4}\right)~,~N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right)~,~P\left(1;0;-\dfrac{5}{4}\right)$$

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.

Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$.
$\quad$
Placer les points $M$, $N$ et $P$ sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
$\quad$
Justifier que les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
Dès lors les trois points définissent le plan $(MNP)$.
$\quad$
a. Calculer le produit scalaire $\vect{MN}.\vect{MP}$, puis en déduire la nature du triangle $MNP$.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $MNP$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}(5;-8;4)$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est $5x-8y+4z=0$.
$\quad$
On rappelle que le point $F$ a pour coordonnées $F(1;0;1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan $(MNP)$ et passant par le point $F$.
$\quad$
On note $L$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(MNP)$.
Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $L\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
$\quad$
Montrer que $FL=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$$
$\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 3 5 points

Soit $k$ un réel strictement positif. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$ de paramètre $k$.

Conjectures graphiques :
On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d’équation $y=\ln(x)$, la droite d’équation $y=x$ ainsi que la droite d’équation $y=0,2x$ :
$\quad$

$\quad$
À partie du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$ pour $k=1$ puis pour $k=0,2$.
$\quad$
Étude du cas $\boldsymbol{k=1}$ :
On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\ln(x)-x$.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
a. Calculer $f'(x)$.
$\quad$
b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extrema s’il y en a. Les limites aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
$\quad$
c. En déduire le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=x$.
$\quad$
Étude du cas général :
$k$ est un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)-kx$.
On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac{1}{k}\right)$, le nombre de solutions de l’équation $g(x)=0$.
$\quad$
b. Calculer $g\left(\dfrac{1}{k}\right)$ en fonction du réel $k$.
$\quad$
c. Montrer que $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$ équivaut à $\ln(k)<-1$.
$\quad$
d. Déterminer l’ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l’équation $\ln(x)=kx$ possède exactement deux solutions.
$\quad$
e. Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte, ni n’enlève de point.

Une urne contient $15$ billes indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $15$.
La bille numérotée $1$ est rouge.
Les billes numérotées $2$ à $5$ sont bleues.
Les autres billes sont vertes.

On choisit une bille au hasard dans l’urne.
On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l’événement : « La bille tirée est rouge » (respectivement bleue et verte).

Question 1 :

Quelle est la probabilité que la bille tirée soir bleue ou numérotée d’un nombre pair ?

Réponse A : $\dfrac{7}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{9}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{11}{10}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 2 :

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu’elle soit numérotée $7$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{7}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{10}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Un jeu est mis en place. Pour pouvoir joueur, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.
Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l’urne.

Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille.
Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.

On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il remporte et sa mise de départ.
Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée $3$, alors son gain algébrique est $-1$ euro.

Question 3 :

Que vaut $P(G=5)$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{2}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{3}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 4 :

Quelle est la valeur de $P_R(G=0)$ ?

Réponse A : $0\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $1\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 5 :

Que vaut $P_{[G=-4)}(V)$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15} \phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{4}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Europe – sujet 1 – 21 mars 2023

Centres étrangers (Europe) – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln\left(x^2\right)=-\infty$
De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2x}{x^2}+1 \\
&=\dfrac{2}{x}+1 \end{align*}$
Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2}{x}>0$ et donc $g'(x)>0$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty [$.
D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,370~2$. Par conséquent $1,37<\alpha<1,38$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
On en déduit le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$

Partie B

a. $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x-2}{x}=-\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln(x)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{2}{x}=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant l’expression de $f(x)$ obtenue à la question précédente :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2}{x^2}\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{2\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)x}{x^2} \\
&=\dfrac{\ln\left(x^2\right)+x-2}{x^2} \\
&=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
D’après la question A.4. $f'(x)>0 \ssi x>\alpha$ et $f'(\alpha)=0$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
$\quad$

Partie C

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)-\ln(x)&=\dfrac{(x-2)}{x}\ln(x)-\ln(x) \\
&=\dfrac{(x-2)\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{x\ln(x)-2\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{-2\ln(x)}{x}\end{align*}$
Or $\ln(x)>0 \ssi x>1$.

La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur $]0;1]$ et en dessous sur $[1;+\infty[$.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(T_2,V_2\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_3&=p\left(T_3\right) \\
&=p\left(T_2\cap T_3\right)+p\left(V_2\cap T_3\right) \\
&=p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(T_3\right)+p\left(V_2\right)p_{V_2}\left(T_3\right) \\
&=0,8\times 0,8+0,2\times 0,6 \\
&=0,76\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{V_3}\left(T_2\right)&=\dfrac{p\left(V_3\cap T_2\right)}{p\left(V_3\right) } \\
&=\dfrac{p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(V_3\right)}{1-p\left(T_3\right)} \\
&=\dfrac{0,8\times 0,2}{0,24} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
Pour tout $n\in \N$, $\left(T_n,V_n\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(T_{n+1}\right) \\
&=p\left(T_n\cap T_{n+1}\right)+p\left(V_n\cap T_{n+1}\right) \\
&=p\left(T_n\right)p_{T_n}\left(T_{n+1}\right)+p\left(V_n\right)p_{V_n}\left(T_{n+1}\right) \\
&=0,8\times p_n+0,6\times \left(1-p_n\right) \\
&=0,8p_n+0,6-0,6p_n \\
&=0,2p_n+0,6\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $n\in \N^*$, on pose $R(n):~p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$
Initialisation : $p_1=1$ et $0,7+0,25\times 0,2^0=0,75+0,25=1$.
Donc $R(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
$\begin{align*} p_{n+1}&=0,2p_n+0,6 \\
&=0,2\left(0,75+0,25\times 0,2^{n-1}\right) +0,6 \\
&=0,15+0,25\times 0,2^n+0,6 \\
&=0,75+0,25\times 0,2p^n\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, on a $p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$.
$\quad$
$-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
Sur le long terme, la probabilité que M Durand utilise les transports en commun est égale à $0,75$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=\e^x+(x-1)\e^x \\
&=(1+x-1)\e^x \\
&=x\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
Réponse b
$\quad$
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
$2x+4=0\ssi 2x=-4\ssi x=-2$ et $2x+4>0\ssi 2x>-4\ssi x>-2$.
(À cette étape-là on peut faire un tableau de signes au brouillon)
Par conséquent $\dfrac{x-1}{2x+4}>0 \ssi x\in ]-\infty;-2[\cup ]1;+\infty[$.
La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
Réponse c
$\quad$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} h'(x)&=\e^x+(x+1)\e^x \\
&= (1+x+1)\e^x \\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$
$\quad$
La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x+(x+2)\e^x \\
&= (1+x+2)\e^x \\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$
$h\dsec(x)=0\ssi x+3=0 \ssi x=-3$ et $h\dsec(x)>0\ssi x+3>0 \ssi x>-3$
La fonction $h$ est donc concave sur $] -\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$.
Réponse d
$\quad$
Pour tout $n$ on a donc $u_n\pg 3$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n =\ell$.
Par conséquent $\ell \pg 3$.
Réponse b
$\quad$
On constate à l’aide de la calculatrice que la suite $\left(w_n\right)$ semble converger vers $0$.
Réponse d
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\vect{AB}\begin{pmatrix} 4\\1\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}$.
$\dfrac{4}{2}=2$ et $\dfrac{1}{5}=0,2$.
Par conséquent $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{AB}=52+16+36=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=26-80+54=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
$\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $13x-16y-9z+d=0$.
$A(-1;-3;2)$ appartient à ce plan.
Par conséquent $-13+48-18+d=0\ssi d=-17$.
Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $13x-16y-9z-17=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $$\begin{cases} x=15+13t\\y=-16-16t\\z=-8-9t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
On considère le point $E’$ de coordonnées $(2;0;1)$.
Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient $x=2$, $y=0$ et $z=1$. Donc $E’$ appartient à $\mathscr{D}$.
$13\times 2+0-9\times 1-17=26-26=0$ : $E’$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
$13\times 15-16\times (-16)-9\times (-8)-17=506\neq 0$ : le point $F$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
La droite $\mathscr{D}$ n’est, par conséquent, pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
Ainsi les coordonnées du point $E$ sont bien $(2;0;1)$.
$\quad$
On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}-13\\16\\9\end{pmatrix}$La distance du point $E$ au plan $\mathscr{P}$ est :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{(-13)^2+16^2+9^2}\\
&=\sqrt{169+256+81} \\
&=\sqrt{506}\end{align*}$
$\quad$
On veut déterminer les points $M(15+13t,-16-16t,-8-9t)$ de $\mathscr{D}$ tels que $EM=\dfrac{EF}{2}$
$\vect{EM}\begin{pmatrix} 13+13t\\-16-16t\\-9-9t\end{pmatrix}$. Ainsi $\vect{EM}\begin{pmatrix}13(1+t)\\-16(1+t)\\-9(1+t)\end{pmatrix}$
On en déduit donc que :
$\begin{align*} EM&=\sqrt{169(1+t)^2+256(1+t)^2+81(1+t)^2} \\
&=\sqrt{506(1+t)^2}\end{align*}$
$\begin{align*} EM=\dfrac{EF}{2}&\ssi \sqrt{506(1+t)^2}=\dfrac{\sqrt{506}}{2} \\
&\ssi 506(1+t)^2=\dfrac{506}{4} \\
&\ssi (1+t)^2=\dfrac{1}{4} \\
&\ssi 1+t=\dfrac{1}{2} \text{ ou } 1+t=-\dfrac{1}{2} \\
&\ssi t=-\dfrac{1}{2} \text{ ou } t=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
Les coordonnées des points de la droite $\mathscr{D}$ dont la distance au plan $\mathscr{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathscr{P}$ sont donc $\left(\dfrac{17}{2};-8;-\dfrac{7}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{9}{2};8;\dfrac{11}{2}\right)$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[EF]$ puis celle du symétrique de $M$ par rapport à $E$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par

$$g(x) = \ln\left(x^2\right)+x−2$$

Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
$\quad$
b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par :

$$f(x) =\dfrac{(x−2)}{x}\ln(x)$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
$\quad$
b. Interpréter graphiquement le résultat.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2}$.
$\quad$
En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

Partie C

Étudier la position relative de la courbe $C_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$.
S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

$T_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour » ;
$V_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour » ;
On note $p_n$ la probabilité de l’événement $T_n$.

Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’événement $T_1$ est $p_1 = 1$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $2\ieme$ et $3\ieme$ jours.
$\quad$$\quad$
Calculer $p_3$.
$\quad$
Le $3\ieme$ jour, M. Durand utilise son vélo.
Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième jours.
$\quad$
$\quad$
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.
$\quad$
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_n = 0,75 + 0,25 × 0,2^{n-1}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, $\R$ désigne l’ensemble des nombres réels.

Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$, est la fonction $F$, définie sur $\R$ par :
a. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
b. $F(x)=(x-1)\e^x$
c. $F(x)=(x+1)\e^x$
d. $F(x)=x^2\e^{x^2}$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{2x+4}\right)$.
La fonction $g$ est définie sur :
a. $\R$
b. $]-2;+\infty[$
c. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
d. $]-2;1[$
$\quad$
La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(x+1)\e^x$ est :
a. concave sur $\R$
b. convexe sur $\R$
c. convexe sur $]-\infty;-3]$ et concave sur $[-3;+\infty[$
d. concave sur $]-\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$
$\quad$
Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $3$ et converge vers un réel $\ell$.
On peut affirmer que :
a. $\ell=3$
b. $\ell\pg 3$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
d. La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d’un certain rang.
$\quad$
La suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_1=2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $w_{n+1}=\dfrac{1}{n}w_n$.
a. La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique.
b. La suite $\left(w_n\right)$ n’admet pas de limite.
c. $w_5=\dfrac{1}{15}$
d. La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $0$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les
points $A(-1; -3; 2)$, $B(3;-2; 6)$ et $C(1; 2;-4)$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $13x-16y-9z-17 = 0$.

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $F(15;-16;-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
$\quad$
On appelle $E$ le point d’intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2; 0; 1)$.
$\quad$
Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 21 mars 2023

Métropole – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
$\begin{align*} p(A\cap G)&=p(A)\times p_A(G) \\
&=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10} \\
&=\dfrac{7}{25}\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
$(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &p(G)=p(A\cap G)+p(B\cap G) \\
&\ssi \dfrac{12}{25}=\dfrac{7}{25}+p(B)p_B(G) \\
&\ssi \dfrac{5}{25}=\dfrac{3}{5}p_B(G) \\
&\ssi p_B(G)=\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{3}{5}} \\
&\ssi p_B(G)=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{12}{25}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$.
Par conséquent
$\begin{align*} p(X=6)&=\dbinom{10}{6}\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times \left(\dfrac{13}{25}\right)^4 \\
&\approx 0,188\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
D’après l’énoncé $p(X\pp n) \approx 0,207$.
En faisant des essais à la calculatrice avec les différentes valeurs proposées on trouve $n=3$.
Réponse B
$\quad$
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

Chaque mois le nombre d’insecte augmente de $60\%$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=1,6u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,6$ et de premier terme $u_0=0,1$.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,1\times 1,6^n$.
$\quad$
$1,6>1$ et $0,1>0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
On veut résoudre :
$\begin{align*} u_n>0,4&\ssi 0,1\times 1,6^n >0,4 \\
&\ssi 1,6^n >4 \\
&\ssi n\ln(1,6)>\ln(4) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \qquad \text{car }\ln(1,6)>0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \approx 2,95$
Le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est donc $3$.
$\quad$
D’après la question précédente, au bout de $3$ mois la population d’insecte a dépassé $400~000$.
L’équilibre du milieu naturel ne sera donc pas préservé.
$\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

On a
$\begin{align*} v_1&=1,6v_0-1,6v_0^2 \\
&=0,144\end{align*}$
Il y a donc $144~000$ insectes au bout d’un mois.
$\quad$
a.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 1,6x-1,6x^2=x \\
&\ssi 0,6x-1,6x^2=0 \\
&\ssi x(0,6-1,6x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-1,6x=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=0,375\end{align*}$
$0$ et $0,375$ appartiennent bien à l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ sont donc $0$ et $0,375$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-1,6$.
Son maximum est atteint en $\dfrac{-1,6}{2\times (-1,6)}=\dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est donc croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
Initialisation : $v_0=0,1$ et $v_1=0,144$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp \dfrac{1}{2}$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0\pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Donc $f(0) \pp f\left(v_n\right) \pp f\left(v_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
Soit $0\pp v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 0,4$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$ on a $0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée ; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
c. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
Par conséquent $\ell=0$ ou $\ell=0,375$ d’après la question 2.a.
La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et $v_0=0,1$. Donc $\ell\pg 0,1$.
Ainsi $\ell=0,375$.
Il y aura donc, au plus, $375~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$.
L’équilibre du milieu naturel serait donc préservé.
$\quad$
a. La fonction $\texttt{seuil}$ renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $v_n\pg 0,4$.
D’après la question précédente, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée par $\ell$. Or $\ell<0,4$.
Si on saisit $\texttt{seuil(0.4)}$ la boucle $\texttt{while}$ ne s’arrête jamais.
$\quad$
b. On a $v_5\approx 0,338$ et $b_6\approx 0,358$.
Par conséquent $\texttt{seuil(0.35)}$ renvoie $6$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vec{n_1}.\vec{n_2}=2-1-1=0$.
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$.
Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
$\quad$
a. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$ est de la forme $x-y+z+d=0$.
Le point $B$ appartient à ce plan. Par conséquent $1-1+2+d=0\ssi d=-2$.
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-y+z-2=0$.
$\quad$
b. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
Soit $t\in \R$.
$2\times 0+(-2+t)-t+2=-2+t-t+2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_1$.
$0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_2$.
Ainsi $\Delta$ est incluse dans deux plans perpendiculaires.
La droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. Soit $t\in \R$.
$\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-2+t-1\\t-1\end{pmatrix}$ soit $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} AM_t&=\sqrt{(-1)^2+(-3+t)^2+(t-1)^2} \\
&=\sqrt{1+9-6t+t^2+t^2-2t+1} \\
&=\sqrt{2t^2-8t+11}\end{align*}$
$\quad$
b. La distance $AM_t$ est minimale si, et seulement si, $2t^2-8t+11$ est minimale (car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$).
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2t^2-8t+11$.
Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $2>0$.
Elle admet donc un minimum en $\dfrac{-(-8)}{2\times 2}=2$.
Or $f(2)=3$
$H$ est le point de $\Delta$ tel que $AM_t$ est minimale.
Ainsi $AH=\sqrt{3}$.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ est $$\begin{cases} x=1+2k\\y=1+k\\z=1-k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
b. On note $H’$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
En prenant $k=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on retrouve les coordonnées du point $H’$. Donc $H’$ appartient à $\mathcal{D}_1$.
De plus $-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}+2=-\dfrac{6}{3}+2=0$. Le point $H’$ appartient également à $\mathcal{P}_1$.
Ainsi $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
Montrons dans un premier temps que $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
$\vect{AH_1}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{H_2H}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{AH_1}=\vect{H_2H}$ et $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
Par construction $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\mathcal{P}_1$. Donc $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\vect{H_1H}$ car les points $H_1$ et $H$ appartiennent au plan $\mathcal{P}_1$.
$AH_1HH_2$ est donc un rectangle.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a.$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} 1 +\e^{-x}=+\infty$.
Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} 1 +\e^{-x}=1$.
Or $\lim\limits_{X\to 1} \ln(X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
$\quad$
c. Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^x}{\e^x}\times \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
&=\dfrac{-1}{\e^x+1}\end{align*}$
$\quad$
d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, par conséquent, pour tout $x\in \R$ on a $f'(x)<0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Une équation de $T_0$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$
Or $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(0)=\ln(2)$
Une équation de $T_0$ est donc $y=-\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f\dsec(x)>0$.
La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est convexe sur $\R$. La courbe représentative de la fonction $f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de $T_0$.
Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
a. Soit $x\in \R$
$\begin{align*} f(x)-f(-x)&=\ln\left(1+\e^{-x}\right)-\ln\left(1+\e^{x}\right) \\
&=\ln\left(\dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^x}\right) \\
&=\ln\left(\e^{-x}\times \dfrac{\e^x+1}{1+\e^x}\right) \\
&=\ln\left(\e^{-x}\right) \\
&=-x\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient directeur de la droite $\left(M_aN_a\right)$ est
$\begin{align*} m&=\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} \\
&=\dfrac{-a}{2a} \\
&=-\dfrac{1}{2} \\
&=f'(0)\end{align*}$
Par conséquent les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
$\quad$

Énoncé

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac{2}{5}$ ;
si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « Le joueur choisit le monde $\mathrm{A}$ » ;
$B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
$G$ : « Le joueur gagne la partie ».

La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
a. $\dfrac{7}{10}$
b. $\dfrac{3}{25}$
c. $\dfrac{7}{25}$
d. $\dfrac{24}{125}$
$\quad$
La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
a. $\dfrac{1}{5}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{7}{15}$
d. $\dfrac{5}{12}$
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.

La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à:
a. $0,859$
b. $0,671$
c. $0,188$
d. $0,187$
$\quad$
On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :
a. $n=2$
b. $n=3$
c. $n=4$
d. $n=5$
$\quad$
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
a. $1-\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
b. $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
c. $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
d. $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude la population est de $100~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$ .

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60 \%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0=0,1$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n=0,1 \times 1,6^n$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$.
$\quad$
Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
$\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6 v_n-1,6 v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ par $f(x)=1,6 x-1,6 x^2$.
a. Résoudre l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 0 \pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
$\quad$
On donne ci-dessous la fonction $\text{seuil}$, écrite en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(a) :} \\
\quad \text{v = 0.1} \\
\quad \text{n = 0} \\
\qquad \text{while v < a :} \\
\qquad \text{v = 1.6 * v – 1.6 * v * v} \\
\qquad \text{n = n + 1} \\
\quad \text{return n} \\
\hline
\end{array}$$
a. Qu’observe-t-on si on saisit $\text{seuil(0.4)}$ ?
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\text{seuil(0.35)}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2 x+y-z+2=0$,
le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1 ; 1 ; 2)$ et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$.

a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
$\quad$
a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=-2+t,\quad t \in \mathbb{R} \text {. } \\ z=t\end{cases}$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$

On considère le point $A(1 ; 1 ; 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0 ;-2+t ; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
a. Montrer que, pour tout réel $t, A M_t=\sqrt{2 t^2-8 t+11}$.
$\quad$
b. En déduire que $AH=\sqrt{3}$.
$\quad$
On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
$\quad$
b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.
On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$. et que $H$ a pour coordonnées $(0;0;2)$.
Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.
Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(1 + \e^{-x}\right)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^x}$.
$\quad$
d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d’abscisse $0$.
a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
$\quad$
b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a\left(-a;f(-a)\right)$ et $N_a\left(a;f(a)\right)$.
a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)-f(-x)=-x$.
$\quad$
b. En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 20 mars 2023

Métropole – 20 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $p(G\cap D)=0,2\%$ et $p(G)=20\%$
Donc
$\begin{align*} p_G(D)&=\dfrac{p(G\cap D)}{p(G)} \\
&=\dfrac{0,002}{0,2} \\
&=0,0,1\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
$\left(G,\conj{G}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} &p(D)=p(G\cap D)+p\left(\conj{G}\cap D\right) \\
&\ssi 0,082=0,002+p\left(\conj{G}\cap D\right)\\
&\ssi p\left(\conj{G}\cap D\right)=0,08\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_D(G)&=\dfrac{p(D\cap G)}{p(D)} \\
&=\dfrac{0,002}{0,082} \\
&\approx 0,024\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On a
$\begin{align*}
p(X>2)&=1-p(X\pp 2) \\
&=1-\left(p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\right) \\
&=1-(1-0,082)^{50}-\dbinom{50}{1}(1-0,082)^{49}\times 0,082-\dbinom{50}{2}(1-0,082)^{48}\times 0,082^2\\
&\approx 0,789\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On a
$\begin{align*} p(X=0)\pg 0,4&\ssi (1-0,082)^n\pg 0,4 \\
&\ssi 0,918^n\pg 0,4\\
&\ssi n\ln(0,918)\pg \ln(0,4) \\
&\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,4)}{\ln(0,918)} \qquad \text{car }\ln(0,918)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(918)}\approx 10,7$
Donc $n\pp 10$
Réponse C
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.
$\quad$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x-\dfrac{8}{x} \\
&=\dfrac{2x^2-8}{x} \\
&=\dfrac{2\left(x^2-4\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
$x^2-4=(x-2)(x+2)$
Sur $]0;+\infty[$, $x+4>0$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$f(2)=4-8\ln(2)$
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;2]$.
$\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$ et $f(2)\approx -1,5<0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;2]$.
$\quad$
La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;2]$ et s’annule en $\alpha$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2;+\infty[$ et s’annule en $\beta$.
Par conséquent :
$\bullet f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$
$\bullet f(\alpha)=0$
$\bullet f(x)<0$ sur $]\alpha;\beta[$
$\bullet f(\beta)=0$
$\bullet f(x)>0$ sur $]\beta;+\infty[$
$\quad$
Pour tout réel $k$ et tout réel $x>0$ on a $g_k(x)=f(x)+k$.
$g_k$ et $f$ ont donc les mêmes variations.
Ainsi $g_k$ atteint son minimum en $2$ et $g_k(2)=4-8\ln(2)+k$
$g_k(2)\pg 0 \ssi k\pg 8\ln(2)-4$.
La plus petite valeur de $k$ telle que $g_k$ est positive sur $]0;+\infty[$ est donc $8\ln(2)-4$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Première modélisation

$u_2=0,9\times 3+1,3=4$
$u_3=0,9\times 4+1,3=4,9$
Au cours du deuxième mois, $400$ questions ont été posées et $490$ questions ont été posées au cours du troisième mois.
$\quad$
Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n$
Initialisation : On a $u_1=3$ et $13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^1=3$.
La propriété $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n+1,3 \\
&=0,9\left(13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n\right)+1,3\\
&=11,7-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}+1,3\\
&=13–\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, $u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n$.
$\quad$
Soit $n\in \N^*$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}+\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} \\
&=\dfrac{100}{9}\times 0,9^n(-0,9+1) \\
&=0,1\times \dfrac{100}{9}\times 0,9^n \\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
Ce programme renvoie le plus entier naturel $n$ tel que $u_n>8,5$.
On a $u_8 \approx 8,22$ et $u_9\approx 8,70$.
Le programme renvoie donc la valeur $9$.
C’est au cours du $9\ieme$ mois que le nombre de questions dépassera les $850$.
$\quad$

Partie B : Une autre modélisation

$v_1=9-6\e^0=3$ et $v_2=9-6\e^{-0,19}\approx 4,04$.
$\quad$
On veut résoudre :
$\begin{align*} v_n>8,5&\ssi 9-6\e^{-0,19(n-1)}>8,5 \\
&\ssi -6\e^{-0,19(n-1)}>-0,5 \\
&\ssi \e^{-0,19(n-1)}<\dfrac{1}{12} \\
&\ssi -0,19(n-1)<\ln\left(\dfrac{1}{12}\right) \\
&\ssi -0,19(n-1)<-\ln(12) \\
&\ssi n-1>\dfrac{\ln(12)}{0,19} \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(12)}{0,19} +1\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(12)}{0,19} +1\approx 14,08$.
Le plus petit entier $n$ tel que $v_n>8,5$ est donc $15$.
$\quad$

Partie C : Comparaison des deux modèles

La barre des $850$ questions est franchie durant le $9\ieme$ mois selon le premier modèle et durant le $15\ieme$ mois selon le second modèle.
C’est donc le premier modèle qui conduit à procéder le plus tôt à cette modification.
$\quad$
$-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=13$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} -0,19(n-1)=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-0,19(n-1)}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=9$
C’est pour la première modélisation qu’il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a $E(0;0;1)$, $C(1;1;0)$ et $G(1;1;1)$.
$\quad$
Par conséquent $\vect{EC}\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(EC)$ est donc $$\begin{cases}x=t\\y=t\\z=1-t\end{cases} \qquad t\in \R$$
$\quad$
$\vect{GB}\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{GD}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent :
$\vect{EC}.\vect{GB}=0-1+1=0$
$\vect{EC}.\vect{GC}=-1+0+1=0$
$\vect{EC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GBD)$.
La droite $(EC)$ est par conséquent orthogonale au plan $(GBD)$.
$\quad$
a. Une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est donc de la forme : $x+y-z+d=0$.
Or $B(1;0;0)$ appartient à ce plan.
Ainsi $1+0-0+d=0 \ssi d=-1$.
Une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est donc $x+y-z-1=0$.
$\quad$
b. On considère le point $I’$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
En prenant $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(EC)$ on obtient les coordonnées du point $I’$. Ainsi $I’$ appartient à la droite $(EC)$.
$\quad$
$\dfrac{2}{3} +\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}=0$ : Le point $I’$ appartient également au plan $(GBD)$.
$\quad$
La droite $(EC)$ n’est pas incluse dans le plan $(GBD)$. Par conséquent le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
c. La distance cherchée est égale $EI$. Or $\vect{EI}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[2mm]\dfrac{2}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} EI&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}} \\
&=\sqrt{\dfrac{4}{3}} \\
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\end{align*}$
$\quad$
a. $[BD]$, $[BG]$ et $[DG]$ sont trois diagonales de carrés de longueur $1$. Elles ont donc toutes les trois la même longueur et le triangle $BDG$ est équilatéral.
$\quad$
b. On a $AB=AD=1$ donc d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle $ABD$ rectangle en $A$ on a $BD=\sqrt{2}$.
Le point $J$, milieu de $[BD]$ a pour coordonnées $(0,5;0,5;0)$.
Ainsi $\vect{GJ}\begin{pmatrix} -0,5\\-0,5\\-1\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} GJ&=\sqrt{(-0,5)^2+(-0,5)^2+(-1)^2}+1 \\
&=\sqrt{1,5}\end{align*}$.
Dans un triangle équilatéral, la hauteur et la médiane issue d’un même sommet sont confondues.
L’aire du triangle $BDG$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{BD\times GJ}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{1,5}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
Le volume du tétraèdre $EGBD$ est
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times EI}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}}{3}\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes..

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

$20\%$ des machines sont sous garantie ;
$0,2\%$ des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
$8,2\%$ des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les événements suivants :

$G$ : « la machine est sous garantie » ;
$D$ : « la machine est défectueuse » ;
$\conj{G}$ et $\conj{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $G$ et $D$.

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s’aider de l’arbre proposé ci-dessous.

La probabilité $p_G(D)$ de l’événement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :
a. $0,002$
b. $0,01$
c. $0,024$
d. $0,2$
$\quad$
La probabilité $p\left(\conj{G}\cap D\right)$ est égale à :
a. $0,01$
b. $0,08$
c. $0,1$
d. $0,21$
$\quad$
La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{-3}$ près, à :
a. $0,01$
b. $0,024$
c. $0,082$
d. $0,1$
$\quad$

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l’entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.

Dans cette question, on prend $n = 50$.
La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de :
a. $0,136$
b. $0,789$
c. $0,864$
d. $0,924$
$\quad$
On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :
a. $5$
b. $6$
c. $10$
d. $11$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2-8\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f’$ sa fonction dérivée.

Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$.
$\quad$
On admet que, pour tout $x>0$, $f(x)=x^2\left(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)$
En déduire la limite : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-4\right)}{x}$.
$\quad$
Étudier les variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.
On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
Démontrer que, sur l’intervalle $]0 ; 2]$, l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
$\quad$
On admet que, sur l’intervalle $[2 ; +\infty[$, l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
En déduire le signe de $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k$$
En s’aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

$90\%$ des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
$130$ nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.
Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$$u_1=3 \text{ et, pour tout entier naturel } n\pg 1, u_{n+1} = 0,9 u_n + 1,3.$$

Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\pg 1$
$$u_n=13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^n$$
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
On considère le programme ci-dessous, écrit en
langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil(p) :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{n=1}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{u=3}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{while u<=p :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{n=n+1}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{u=0.9*u+1.3}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\texttt{seuil(8.5)}$ et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n\pg 1$ par : $$v_n=9-6\times \e^{-0,19\times (n-1)}$$
Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.

Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
$\quad$
Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n>8,5$.
$\quad$

Partie C : Comparaison des deux modèles

L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de $850$ questions sont présentes sur la FAQ. Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
Justifier votre réponse.
$\quad$
En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$.

On appelle $I$ le point d’intersection du plan $(GBD)$ avec la droite $(EC)$.

L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.
$\quad$
Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.
$\quad$
a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x+y-z-1=0$.
$\quad$
b. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
c. En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
$\quad$
a. Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $BDG$. On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$.
$\quad$
Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\dfrac{1}{3}$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}h$ où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 14 mars 2023

Polynésie – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(R_{n+1}\right)\\
&=p\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
&=p\left(R_n\right)p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\right)p_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
&=0,9p_n+0,3\left(1-p_n\right) \\
&=0,9p_n+0,3-0,3p_n \\
&=0,6p_n+0,3\end{align*}$
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $u_n=p_n-0,75 \ssi p_n=u_n+0,75$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,75 \\
&=0,6p_n+0,3-0,75 \\
&=0,6p_n-0,45 \\
&=0,6\left(u_n+0,75\right)-0,45 \\
&=0,6u_n+0,45-0,45 \\
&=0,6u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $u_0=p_0-0,75=-0,15$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_n=-0,15\times 0,6^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p_n&=u_n+0,75 \\
&=0,75-0,15\times 0,6^n\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
La suite $\left(p_n\right)$ converge vers $0,75$.
$\quad$
d. Sur le long terme, l’athlète franchira la haie trois fois sur quatre.
$\quad$

Partie B

On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,75$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,75$.
$\quad$
$P(X=10)=0,75^{10} \approx 0,056$
La probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies est environ égale à $0,056$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X\pg 9)&=P(X=9)+P(X=10) \\
&=\dbinom{10}{9}0,75^9\times 0,25+0,75^{10} \\
&\approx 0,244\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Un vecteur normal de $\mathcal{P}_1$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal de $\mathcal{P}_2$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix}$.
$\dfrac{10}{5}=2$ et $\dfrac{14}{2}=7$.
Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
Soit $t\in \R$
$\begin{align*} &5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t) \\
&=5+10t-2t+12-8t\\
&=17\end{align*}$
La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
$\begin{align*}&10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t) \\
&=10+20t-14t+9-6t\\
&=19\end{align*}$
La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
Les deux plans ne sont pas parallèles et contiennent tous les deux la droite $\mathcal{D}$.
$\mathcal{D}$ est donc la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. $5\times 1+2\times (-1)+4\times (-1)=-1\neq 17$ : $A$ n’apparient pas à $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} A\in \mathcal{D} &\ssi \begin{cases} 1+2t=1\\-t=-1\\3-2t=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2t=0\\t=1\\-2t=-4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} t=0\\t=1\\t=2\end{cases} \end{align*}$
$t$ ne peut pas prendre plusieurs valeurs en même temps.
Donc $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
$\quad$
a. On a $\vect{AM}\begin{pmatrix} 2t\\-t+1\\4-2t\end{pmatrix}$
Par conséquent, pour tout $t\in \R$ on a :
$\begin{align*} f(t)&=AM^2& \\
&=(2t)^2+(-t+1)^2+(4-2t)^2 \\
&=4t^2+t^2-2t+1+16-16t+4t^2 \\
&=9t^2-18t+17\end{align*}$
$\quad$
b. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $9$. Elle atteint son minimum en $\dfrac{-(-18)}{2\times 9}=1$.
Les coordonnées du point $M$ quand $t=1$ sont $(3;-1;1)$.
$\quad$
On a $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{u}.\vect{AH}=4+0-4=0$.
Les deux vecteurs sont orthogonaux. Les droites $(AH)$ et $\mathcal{D}$ sont orthogonale.
Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées du point $H$.
Ainsi $H$ appartient à la fois à $\mathcal{D}$ et à $(AH)$.
Les droites $\mathcal{D}$ et $(AH)$ sont perpendiculaires en $H$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

La fonction représentée par la courbe $C_1$ semble être strictement positive sur $]-\infty;4[$ et strictement négative sur $]4;+\infty[$.
La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement croissante sur $]-\infty;4[$ et strictement décroissante sur $]4;+\infty[$. La fonction précédente semble être sa dérivée.
La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement positive et la fonction représentée par la courbe $C_2$ semble être strictement croissante.
Par conséquent $f$ est représentée par $C_2$, $f’$ est représentée par $C_3$ et $f\dsec$ est représentée par $C_1$.
$\quad$
D’après la question précédente, le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)$ et correspond donc à l’ordonnée du point de $C_3$ d’abscisse $4$.
Ainsi le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)=3$.
$\quad$
Les points d’inflexion de courbe $C_1$ semble avoir comme abscisse $3$, $4$ et $5$.
$\quad$

Partie B

$\lim\limits_{x\to +\infty} -kx=-\infty$ car $k>0$.
Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-kx}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=4$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to -\infty} -kx=+\infty$ car $k>0$.
Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-kx}=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=0$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{-4\times (-k)\e^{-kx}}{\left(1+\e^{-kx}\right)^2}$.
Par conséquent $g'(0)=\dfrac{4k}{4}=4$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $R$.
D’après le logiciel de calcul formel, le signe de $g\dsec(x)$ ne dépend donc que de $-\left(\e^{kx}-1\right)$
Or $\e^{kx}-1=0 \ssi \e^{kx}=1 \ssi kx=0 \ssi x=0$
Et $\e^{kx}-1>0 \ssi \e^{kx}>1 \ssi kx>0 \ssi x>0$
La fonction $g\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$.
La courbe représentative de $g$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
Par conséquent $-\dfrac{1}{n+1} \pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$.
Or, pour tout $n\in \N$, $\dfrac{1}{n+1}\pp 1$.
Par conséquent $-1\pp u_n \pp 1$.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=(-1)^n$ est bornée (d’après la question précédente) et pourtant ne converge pas puisque les termes prennent comme valeur $-1$ et $1$ de façon alternée.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
Considérons la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=-\dfrac{1}{n+1}$.
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{-1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1} \\
&=\dfrac{-n-1+n+2}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
Remarque : On pouvait prendre également comme contre-exemple n’importe quelle suite constante puisque l’énoncé ne spécifie pas que la suite doit être strictement croissante.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout $x\in \R$ :
$ f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2+2x+2\right)-(2x+2)^2}{\left(x^2+2x+2\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\\
&=\dfrac{-2x^2-4x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\end{align*}$
$-2x^2-4x=-2x(x+2)$
$-2x>0\ssi x<0$ et $x+2>0\ssi x>-2$.
Ainsi $f\dsec(-2,5)<0$ : la fonction $f$ n’est pas convexe sur $[-3;1]$.
Affirmation 4 fausse
$\quad$
Remarque : On pouvait également faire un tableau de signes pour déterminer le signe de $f\dsec(x)$.
$\quad$
La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le maximum de la liste $\texttt{L}$.
$7$ est bien le maximum de la liste passée en argument.
Affirmation 5 vraie
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Thèmes : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90 \%$ des cas le jour suivant ;
si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70 \%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

$R_n$ l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
$p_n$ la probabilité de l’événement $R_n$. On considère que $p_0= 0,6$.

Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
$\quad$

$\quad$
Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$p_{n+1}=0,6p_n+0,3$$
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=p_n-0,75$.
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n=0,75-0,15\times 0,6^n$.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
$\quad$
d. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l’exercice.
$\quad$

Partie B

Après de nombreuses séances d’entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies.

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies.
$\quad$
Calculer $P(X\pg 9)$, à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

le point $A(1 ; -1 ; -1)$ ;
le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t\end{cases} \qquad \text{où $t$ décrit $\R$}$$

Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b. Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
$\quad$
Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 + 2t ; -t ; 3-2t)$.
On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t) = AM^2$.
a. Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
$\quad$
b. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour
coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$.
$\quad$
On note $H$ le point de coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A.

Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, ainsi que celle de sa dérivée $f’$ et de sa dérivée seconde $f\dsec$.

Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
$\quad$
Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$.
$\quad$
Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe $C_1$.
$\quad$

Partie B.

Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\dfrac{4}{1+\e^{-kx}}$$.

Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
$\quad$
Prouver que $g'(0)=k$.
$\quad$
En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$ est bornée.
$\quad$
Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
$\quad$
Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right)$.
Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[−3 ; 1]$.
$\quad$
On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre. On rappelle que $\texttt{len(L)}$ renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste $\texttt{L}$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def mystere(L) :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{M = L[0]}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{#On initialise M avec le premier élément de la liste L}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{for i in range(len(L)) :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{if L[i] > M :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{M = L[i]}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return M}\\
\hline
\end{array}$$
Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5]) }$ renvoie $\texttt{7}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 13 mars 2023

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout $n\in \N$ on a:
$\begin{align*} u_n&=\dfrac{1+2^n}{3+5^n} \\
&=\dfrac{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}{5^n\left(\dfrac{3}{5^n}+1\right)} \\
&=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{\dfrac{3}{5^n}+1}\end{align*}$
$-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.
De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{5^n}=0$
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Réponse c
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x\ln(x)+x \\
&=x\left(2\ln(x)+1\right)\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
$h(x)\pp 0$ sur $]-\infty;1]$. Par conséquent, $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et donc sur $]-\infty;0]$.
Or $H(0)=0$.
Par conséquent, pour tout $x\pp 0$, $H(x)\pg H(0)$ soit $H(x)\pg 0$.
Réponse a
$\quad$
Il s’agit d’un algorithme de dichotomie qui est mis en place.
Dans la boucle while, il faut que l’écart soit supérieur à $0,001$ pour continuer cette boucle. On exclut donc la proposition c.
La fonction est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent si $f(m)<0$ alors $a$ prend la valeur de $m$. On exclut la proposition a.
Il faut recalculer la variable $m$ à chaque tour de boucle : on exclut la proposition b.
Réponse d
$\quad$
On choisit $2$ boules vertes parmi les $3$ boules vertes de l’urne. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{7}{10}$ et celle de tirer une boule verte est égale à $\dfrac{3}{10}$.
On répète $3$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{7}{10}$.
La variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{7}{10}$.
La probabilité de tirer exactement deux boules vertes est égale à $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$.
Réponse d
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La trottinette est en bon état lors de sa mise en service.
Ainsi
$\begin{align*} p_1&=p\left(B_1\right) \\
&=p\left(B_0\right)p_{B_0}\left(B_1\right)\\
&=1\times 0,9\\
&=0,9\end{align*}$
$\quad$
$\left(B_1,\conj{B_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
$\begin{align*} p_2&=p\left(B_1\cap B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\cap B_2\right) \\
&=p\left(B_1\right)p_{B_1}\left(B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\right)p_{\conj{B_1}}\left(B_1\right) \\
&=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
&=0,81+0,04\\
&=0,85\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(B_n,\conj{B_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(B_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\cap B_{n+1}\right) \\
&=p\left(B_n\right)p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\right)p_{\conj{B_n}}\left(B_{n+1}\right) \\
&=0,9\times p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
&=0,9p_n+0,4-0,4p_n\\
&=0,5p_n+0,4\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n$ on pose $R(n):~p_n\pg 0,8$.
Initialisation : $p_0=1\pg 0,8$ donc $R(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} p_n\pg 0,8& \ssi 0,5p_n\pg 0,4 \\
&\ssi 0,5p_n +0,4\pg 0,8 \\
&\ssi p_{n+1} \pg 0,8\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété $R$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $p_n \pg 0,8$.
$\quad$
b. L’entreprise peut annoncer qu’au moins $80\%$ du parc de trottinette est bon état à tout moment.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
&=0,5p_n+0,4-0,8 \\
&=0,5p_n-0,4 \\
&=0,5\left(p_n-0,8\right) \\
&=0,5u_n\end{align*}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $u_n=0,2\times 0,5^n$.
Ainsi $p_n=0,8+u_n=0,8+0,2\times 0,5^n$.
$\quad$
c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
$\quad$

Partie B

On répète $15$ fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=15)&=0,8^{15} \\
&\approx 0,035\end{align*}$
La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est égale à $0,8^{15} \approx 0,035$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X\pg 10)&=1-p(X\pp 9) \\
&\approx 0,939\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est environ égale à $0,939$.
$\quad$
Cela signifie qu’en moyenne, dans un lot de $15$ trottinettes, $12$ sont en bon état.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
Donc $E$ a pour coordonnées $(0,0,8)$, $F$ a pour coordonnées $(4,0,4)$
Ainsi $I$, milieu de $[EF]$ a pour coordonnées $(2,0,6)$.
$J$ est le milieu de $[AE]$ donc $J$ a pour coordonnées $(0,0,4)$.
$\quad$
a. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -2\\0\\-2\end{pmatrix}$.
$G$ a pour coordonnées $(4,4,4)$ donc $\vect{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\4\\-2\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
D’une part $\vec{n}.\vect{IJ}=2+0-2=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{IG}=-2+4-2=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$.
$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(IGJ)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est alors de la forme $-x+y+z+d=0$.
$I(2,0,6)$ appartient à ce plan. Donc $-2+0+6+d=0 \ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est donc $-x+y+z-4=0$.
$\quad$
$H$ a pour coordonnées $(0,4,8)$.
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{cases}, \quad \forall t\in \R$.
$\quad$
Montrons que le point $L’\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$ appartient à la droite et au plan.
$-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}-4= \dfrac{12}{3}-4 =0$. $L’$ appartient au plan $(IGJ)$.
Prenons $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $d$.
On obtient alors $x=\dfrac{8}{3}$, $y=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ et $z=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$.
$L’$ appartient alors également à $d$.
Ainsi $L’$ appartient à la fois à $d$ et au plan $(IGJ)$. La droite $d$ est normale au plan $(IGJ)$; elle n’est donc pas incluse dedans.
Par conséquent les coordonnées du point $L$ sont bien $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
$\quad$
La distance cherchée est $HL$.
$\vect{HL}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} HL&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{64}{3}} \\
&=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{IG}.\vect{IJ}&=-4+0+4 \\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IG}$ sont orthogonaux et le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} IJ&=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$
$\begin{align*} IG&=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{24}\end{align*}$Le volume du tétraèdre $IGJH$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{IGJ}\times HL \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{IJ\times IG}{2}\times HL \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{8}\times \sqrt{24}}{2}\times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{32}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=-(-t+1)\e^{-0,5t^2+t+2} \\
&=(t-1)\e^{-0,5t^2+t+2}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(t)$ est du signe de $t-1$.
Or $t-1<0 \ssi t<1$ et $t-1=0 \ssi t=1$.
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.
Affirmation 1 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ d’après la question précédente.
$\lim\limits_{t\to +\infty} (-0,5t^2t+2) = \lim\limits_{t\to +\infty} -0,5t^2=-\infty$ (limite des termes de plus haut degré).
Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,5t^2+t+2}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3$.
Or $\e^3 \approx 20,086$.
Ainsi, après $1$ heure, la population de bactéries va croître jusqu’à environ $20~086<21~000$ entités.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;1]$.
$f(0)=\e^3-\e^2\approx 12,7>10$
$f(1)\approx 7,9<10$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$f(1)\approx 7,9<10$
$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3>10$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
Finalement l’équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
La population de bactéries aura un effectif de $10~000$ à deux reprises au cours du temps.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM) 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1 :
On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\dfrac{1+2^n}{3+5^n}$.
Cette suite :
a. diverge vers $+\infty$
b. converge vers $\dfrac{2}{5}$
c. converge vers $0$
d. converge vers $\dfrac{1}{3}$
$\quad$
Question 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)= x^2\ln(x)$. L’expression de la fonction dérivée de $f$ est :
a. $f'(x)=2x\ln(x)$
b. $f'(x)=x\left(2\ln(x)+1\right)$
c. $f'(x)=2$
d. $f'(x)=x$
$\quad$
Question 3 :
On considère une fonction ℎ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s’annule en $0$.
Elle vérifie la propriété :
a. $H$ positive sur $]-\infty ; 0]$.
b. $H$ négative sur $]-\infty ; 1]$.
c. $H$ croissante sur $]-\infty ; 1]$.
d. $H$ croissante sur $\R$.
$\quad$
Question 4 :
Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle $[a ; b]$ et qui s’annule en un réel $\alpha$.
Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
$$\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
\textbf{a.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}
&\phantom{1234}&
\begin{array}{l}
\textbf{c.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) <= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array} \\
\begin{array}{l}
\textbf{b.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}
&\phantom{1234}&
\begin{array}{l}
\textbf{d.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}\end{array}$$
$\quad$
Question 5 :
Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
a. $\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\times \dfrac{3}{10}$
b. $\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
c. $\dbinom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
d. $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

$\quad$

Partie A

On estime que :

lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$.

Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\pg 0,8$.
$\quad$
b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
$\quad$
a. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=p_n-0,8$.
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
$\quad$
On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 6 points

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que :
$\vec{i}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$ ; $\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$ ; $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
De plus on a $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
$\quad$
Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
$\quad$
On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
$\quad$
Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
$\quad$
Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
$\quad$
En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
$$V=\dfrac{1}{3}\times (\textit{aire de la base}) \times \textit{hauteur}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 3 points

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \e^3-\e^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
$\quad$
Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera $21~000$ bactéries ».
$\quad$
Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de $10~000 $ à deux reprises au cours du temps ».
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 2 – 27 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 27 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. On a
$\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap R\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(R) \\
&=\dfrac{3}{4}\times 0,35 \\
&=0,262~5\end{align*}$
$\quad$
c. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(R)&=p(R\cap D)+ p\left(\conj{D}\cap R\right) \\
&=p(D)\times p_D(R)+0,262~5 \\
&=\dfrac{1}{4}\times 0,6+0,262~5 \\
&=0,412~5\end{align*}$
La probabilité que Stéphanie réussisse un tir est bien égale à $0,412~5$.
$\quad$
d. On veut calculer :
$\begin{align*} p_R\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(R\cap \conj{D}\right)}{p(R)} \\
&=\dfrac{0,262~5}{0,412~5} \\
&\approx 0,64\end{align*}$
La probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points si Stéphanie réussit un tir est environ égale à $0,64$.
$\quad$
a. On répète $10$ fois de façon indépendantes la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,35$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,35$.
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=10\times 0,35 \\
&=3,5\end{align*}$
Sur $100$ tirs à trois points elle en réussit donc en moyenne $35$.
$\quad$
c. On veut calculer $P(X\pp 6)\approx 0,97$.
La probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus est environ égale à $0,97$.
$\quad$
d. On veut calculer $P(X\pg 6)=1-P(X\pp 5)\approx 0,09$.
La probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs est environ égale à $0,09$.
$\quad$
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
On répète $n$ fois de façon indépendantes la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,35$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,35$
On veut déterminer le plus plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0) \pp 0,01 \\
&\ssi 0,65^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,65) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,65)}\quad \text{car } \ln(0,65)>0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,65)}\approx 10,69$.
La plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$ est donc $11$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
&=\ln(x)+1-1\\
&=\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. On a $f(\e)=-2$ et $f'(\e)=1$.
Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1\times (x-\e)-2$ soit $y=x-\e-2$.
$\quad$
c. Par hypothèse la fonction $f$ est deux fois dérivables sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
d. La fonction $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes.
Ainsi $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $T$.
$\quad$
a. Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$. Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-2$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(\ln(x)-1-\dfrac{2}{x}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
$\ln(x)=0\ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a, d’après la question précédente, $f(x)<-2$. L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur l’intervalle $]0;1]$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
$f(1)=-3<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. $f(4,3)\approx -0,03<0$ et $f(4,4)\approx 0,12>0$.
Donc $f(4,3)<f(\alpha)<f(4,4)$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[4,3;4;4]$.
Par conséquent $4,3<\alpha<4,4$.
Ainsi $\alpha\in ]4,3;4,4[$.
$\quad$
c. D’après les questions précédentes :
$\bullet$ $f(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
$\bullet$ $f(\alpha)=0$;
$\bullet$ $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$\texttt{seuil(0.01)}$ renvoie la valeur $4,32$.
Il s’agit d’une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a $B(6;4;0)$, $E(0;4;4)$, $F(6;4;4)$ et $G(6;0;4)$.
$\quad$
Le volume du toit est
$\begin{align*}V_{pyramide}&=\dfrac{1}{3}\times 6\times 4\times (6-4) \\
&=16\end{align*}$
Le volume de $EFGHS$ est donc égale à $16$ u.v.
Le volume du parallélépipède est :
$\begin{align*} V_{parallélépipède}&=6\times 4\times 4\\
&=96\end{align*}$
Le volume de la maison est donc $V=16+96=112$ u.v.
$\dfrac{16}{112}=\dfrac{1}{7}$
Le volume de la pyramide $EFGHS$ représente bien le septième du volume total de la maison.
$\quad$
a. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix} 6\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{ES}\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
Ainsi $\vec{n}.\vect{EF}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{ES}=0-2+2=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFS)$. Il est, par conséquent, normal au plan $(EFS)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est donc de la forme $y+z+d=0$.
Le point $E(0;4;4)$ appartient au plan $(EFS)$.
Donc $4+4+d=0 \ssi d=-8$.
Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est donc $y+z-8=0$.
$\quad$
a. La droite $(PQ)$ est dirigée par $\vec{k}$ et passe par $Q(2;3;5,5)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc $$\begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\end{cases} \qquad t\in \R$$
$\quad$
b. Le point $P$ est le point d’intersection de la droite $(PQ)$ et du plan $(EFS)$. Déterminons les coordonnées de ce point à l’aide du système :
$\begin{align*}\begin{cases} y+z-8=0 \\x=2\\y=3\\z=5,5+t\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=2\\y=3\\z=5,5+t\\3+5,5+t-8=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\t=-0,5\\z=5\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $P$ a pour coordonnées $(2;3;5)$.
$\quad$
c. On a alors $\vect{PQ}\begin{pmatrix}0\\0\\0,5\end{pmatrix}$.
Ainsi $PQ=0,5$.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 6\\-4\\4\end{pmatrix}$
$\vec{k}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires. Les droites $(PQ)$ et $\Delta$ ne sont donc pas parallèles.
Déterminons si elles sont sécantes.
$\begin{align*} \begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\\x=-4+6s\\y=7-4s\\z=2+4s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\z=5,5+t\\-4+6s=2\\7-4s=3\\z=2+4s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\s=1\\z=2+4s\\z=5,5+t \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=3\\z=6\\s=1\\t=0,5\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(PQ)$ et $\Delta$ sont donc sécantes. Leur point d’intersection a pour coordonnées $(2;3;6)$.
L’oiseau passe donc $0,5$ unité au-dessus de l’antenne. Par conséquent, il ne la percute pas.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$ donc $-\dfrac{1}{n+1}\pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Réponse D
$\quad$
On a :
$\begin{align*} w_0&=\e^{-2\ln(a)}+2 \\
&=a^{-2}+2 \\
&=\dfrac{1}{a^2}+2\end{align*}$
Réponse A
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante.
Pour tout $n\in \N$
$\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} &\ssi -2v_n\pg -2v_{n+1} \\
&\ssi \e^{-2v_n}\pg \e^{-2v_{n+1}} \\
&\ssi w_n\pg w_{n+1}\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc décroissante.
La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $\e^{-2v_n}>0$ et $w_n>2$.
Réponse B
$\quad$
Montrons que la bonne réponse est la B.
Il suffisait ici de calculer les premiers termes de chacune des $5$ suites pour déterminer que seule la proposition convenait.
$-\dfrac{2}{3^0}+4=2$ ce qui correspond bien à $a_0=2$.
$\begin{align*} -\dfrac{2}{3^{n+1}}+4&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{-2}{3^n}+4 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4-4\right)+4 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4\right)-\dfrac{4}{3}+4 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3^n}+4\right)+\dfrac{8}{3}\end{align*}$
On retrouve bien la relation de récurrence $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{8}{3}$.
Réponse B
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $b_{n+1}-b_n=\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)$.
Or $\left(b_n\right)^2+3>2$ donc $\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)<0$.
La suite $\left(b_n\right)$ est par conséquent décroissante.
Réponse B
$\quad$
$\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$.
La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
La courbe $\mathscr{C}_g$ ne possède pas d’asymptote horizontale.
Réponse B
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$
$F$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2+1} \\
&=f(x)\end{align*}$
Réponse D
$\quad$
Remarque : On pouvait également déterminer, à vue, une primitive de $f$. En effet, pour tout réel $x$, on a
$\begin{align*}f(x)&=x\e^{x^2+1} \\
&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2+1}\end{align*}$
Ainsi $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ où $u(x)=x^2+1$.
Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{u(x)}$ soit $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$.
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : probabilités

Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :

les tirs à deux points.
Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s’ils sont réussis.
les tirs à trois points.
Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s’ils sont réussis.

Stéphanie s’entraîne au tir. On dispose des données suivantes :

Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, $60 \%$ sont réussis.
Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, $35\%$ sont réussis.

Stéphanie réalise un tir.
On considère les évènements suivants :
$D$ : « Il s’agit d’un tir à deux points ».
$R$ : « le tir est réussi ».
a. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
$\quad$
b. Calculer la probabilité $p\left(\conj{D} \cap R\right)$.
$\quad$
c. Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,412~5$.
$\quad$
d. Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points.
Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
d. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.
On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu’elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les n tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme.

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par :
$$f(x) = x\ln(x)-x-2$$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée, $f\dsec$ sa dérivée seconde et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a $f'(x) = \ln(x)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $x =\e$.
$\quad$
c. Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
d. En déduire la position relative de la courbe $\mathscr{C}_f$ et de la tangente $T$.
$\quad$
a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
$\quad$
b. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
$\quad$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $]0 ; +\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.
$\quad$
b. Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l’intervalle $]4,3; 4,4[$.
$\quad$
c. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
On considère la fonction $\texttt{seuil}$ suivante écrite dans le langage Python :
On rappelle que la fonction $\texttt{log}$ du module $\texttt{math}$ (que l’on suppose importé) désigne
la fonction logarithme népérien $\ln$.$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(pas) :}\\
\quad \text{x=4.3}\\
\quad \text{while x*log (x) – x – 2 < 0:}\\
\qquad \text{x=x+pas}\\
\quad \text{return x}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la valeur renvoyée à l’appel de la fonction $\texttt{seuil(0.01)}$?
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’une pyramide $EFGHS$.
On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$.
Soit les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\vect{DI}=\dfrac{1}{6}\vect{DC}$, $\vect{DJ}=\dfrac{1}{4}\vect{DA}$, $\vect{DK}=\dfrac{1}{4}\vect{DH}$.
On note $\vec{i}=\vect{DI}$, $\vec{j}=\vect{DJ}$, $\vec{k}=\vect{DK}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(D;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3; 2; 6)$.

Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.
$\quad$
Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{(aire de la base)}\times \text{hauteur}$$
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y +z-8 = 0$.
$\quad$
On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$. On dispose des
données suivantes :
$\bullet$ le point $P$ appartient au plan $(EFS)$;
$\bullet$ le point $Q$ a pour coordonnées $(2; 3; 5,5)$;
$\bullet$ la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vec{k}$.
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est :
$$\begin{cases}x=2\\y = 3\\z = 5,5+t\end{cases} \quad (t \in \R)$$
b. En déduire les coordonnées du point $P$.
$\quad$
c. En déduire la longueur $PQ$ de l’antenne.
$\quad$
Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=-4+6s\\y=7-4s\\z=2+4s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
Déterminer la position relative des droites $(PQ)$ et $\Delta$.
L’oiseau va-t-il percuter l’antenne représentée par le segment $[PQ]$?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés : : suites, fonctions, primitives

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$$
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$.
b. la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.
c. la suite $\left(u_n\right)$ n’a pas de limite.
d. la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$

Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ vérifiant la relation : $$w_n=\e^{-2v_n}+2$$

. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln(a)$.
a. $w_0=\dfrac{1}{a^2}+2$
b. $w_0=\dfrac{1}{a^2+2}$
c. $w_0=-2a+2$
d. $w_0=\dfrac{1}{-2a}+2$
$\quad$
On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :
a. décroissante et majorée par $3$.
b. décroissante et minorée par $2$.
c. croissante et majorée par $3$.
d. croissante et minorée par $2$.
$\quad$
On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie : $$a_0=2 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~~a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{8}{3}$$
Pour tout entier naturel $n$, on a :
a. $a_n=4\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-2$
b. $a_n=-\dfrac{2}{3^n}+4$
c. $a_n=4-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
d. $a_n=2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{8n}{3}$
$\quad$
On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$b_{n+1}=b_n+\ln\left(\dfrac{2}{\left(b_n\right)^2+3}\right)$$
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(b_n\right)$ est croissante.
b. la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.
c. la suite $\left(b_n\right)$ n’est pas monotone.
d. le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$g(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$
On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
La courbe $\mathscr{C}_g$ admet :
a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=x\e^{x^2+1}$$
Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
a. $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2\e^{x^2+1}$
b. $F(x)=\left(1+2x^2\right)\e^{x^2+1}$
c. $F(x)=\e^{x^2+1}$
d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+1}$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 1 – 26 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a.$\lim\limits_{x\to 0} x^2-6x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
La droite d’équation $x=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4\ln(x)}{x^2}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a:
$\begin{align*} f'(x)&=2x-6+\dfrac{4}{x} \\
&=\dfrac{2x^2-6x+4}{x} \\
&=\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui-ci de $x^2-3x+2$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=1>0$.
Les racines de ce polynômes sont :
$x_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$.
Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;1[$;
$\bullet$ $f'(1)=0$;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]1;2[$;
$\bullet$ $f'(2)=0$;
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]2;+\infty[$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f(2)=-8+4\ln(2)$
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[4;5]$.
De plus $f(4)\approx -2,45<0$ et $f(5)\approx 1,44>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[4;5]$.
$\quad$
a. Pour tout $x>0$
$\begin{align*} f\dsec(x)>0 &\ssi 2x^2-4>0 \\
&\ssi x^2>2 \\
&\ssi x>\sqrt{2}\end{align*}$
La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$ et convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$.
De plus $f\dsec\left(\sqrt{2}\right)=0$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+2\ln(2)$.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right)$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de ses cordes sur cet intervalle.
La fonction $f$ est convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessous de ses cordes sur cet intervalle.
Ainsi :
– $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $[AM]$ sur $\left]0;\sqrt{2}\right[$.
– $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de $[AM]$ sur $\left]\sqrt{2};+\infty[\right[$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $u_1=-\e^{-1}\approx -0,368$ et $u_2=-\e^{-3-\e^{-1}}\approx -0,034$.
$\quad$
b. $\texttt{fonc(2)}$ renvoie la valeur de $u_2$ c’est-à-dire environ $0,034$.
$\quad$
a. Par hypothèse $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x \\
&=x^2\e^x(3+x)\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
Or $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ et strictement croissante sur $[-3;+\infty[$.
De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3\e^{-x}=0$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\begin{align*} f(-3)&=(-3)^3\e^{-3} \\
&=-27\e^{-3}\end{align*}$
On a ainsi justifié chacun des éléments du tableau de variations.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
Initialisation : $u_0=-1$ et $u_1\approx -0,368$.
On a donc bien $-1\pp u_0\pp u_1 \pp 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$.
Par conséquent $f(-1) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(0)$
Or $f(-1) \approx -0,368$ et $f(0)=0$.
Ainsi $-1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2}\pp 0$.
$P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
$\quad$
d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
e. On a $f(x)=x\ssi x^3\e^x=x \ssi x\left(x^2\e^x-1\right)=0 \ssi x=0$ ou $x^2\e^x-1=0$.
Or l’équation $x^2\e^x-1=0$ possède une unique solution supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et on sait que $-1\pp \ell \pp 0$.
Ainsi $\ell=0$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Le point $G$ a pour coordonnées $(3;2;1)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est donc de la forme $2x-3z+d=0$.
Le point $E(0;0;1)$ appartient à ce plan donc $0-3+d=0\ssi d=3$.
Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est par conséquent $2x-3z+3=0$.
$\quad$
Le triangle $EIF$ est isocèle en $I$ et $\vect{EF}=\vect{AB}$. Par conséquent l’abscisse de $I$ est $\dfrac{AB}{2}=1,5$.
Sa côte, $z_I$ vérifie $2\times 1,5-3z_I+3=0 \ssi 3z_I=6 \ssi z_I=2$.
De plus $I$ appartient au plan $(ABE)$ dont une équation cartésienne est $y=0$.
Ainsi $I$ a pour coordonnées $(1,5;0;2)$.
$\quad$
On a $\vect{IE}(-1,5;0;-1)$ et $\vect{IF}(1,5;0;-1)$
Par conséquent
$\begin{align*} IE&=\sqrt{(-1,5)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{3,25}\end{align*}$
et $IF=IE=\sqrt{3,25}$.
D’une part $\vect{IE}.\vect{IF}=-1,5\times 1,5+(-1)\times (-1)=-1,25$
D’autre part $\vect{IE}.\vect{IF}=IE\times IF\times \cos\widehat{EIF}$
Ainsi $3,25 \cos\widehat{EIF}=-1,25 \ssi \cos\widehat{EIF}=-\dfrac{5}{13}$
Donc $\widehat{EIF}\approx 113$°.
$\quad$
a. La droite $\Delta$ est dirigée par $\vec{u}$ et passe par $R$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{cases}$$
$\quad$
b. Le point $K$ appartient au plan $(BFG)$ par conséquent son abscisse est $x_K=3$.
Le point $K$ appartient à la droite $\Delta$ donc $6-3t=3 \ssi t=1$.
Ainsi $K$ a pour coordonnées $(3;1;0)$.
$\quad$
c. On a $C(3;2;0)$ et $B(3;0;0)$. Donc $K$ est le milieu de $[BC]$ et appartient donc bien à l’arête $[BC]$

Ex 4

Exercice 4

On veut calculer
$\begin{align*} p\left(E_0\cap R_0\right)&=p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_0\right) \\
&=0,4\times (1-0,01) \\
&=0,4\times 0,99 \\
&=0,396\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
$\left(E_0,E_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} p\left(R_0\right)&=p\left(E_0\cap R_0\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
&=0,396+p\left(E_1\right)\times p_{E_1}\left(R_0\right) \\
&=0,396+0,6\times 0,02 \\
&=0,408\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
On a
$\begin{align*} p_{R_1}\left(E_0\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap E_0\right)}{p\left(R_1\right)} \\
&=\dfrac{p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_1\right)}{1-p\left(R_0\right)}\\
&=\dfrac{0,4\times 0,01}{1-0,408} \\
&\approx 0,006~757\end{align*}$
Réponse C$\quad$
La probabilité qu’il y ait une erreur de transmission est :
$\begin{align*} p\left(\left(E_0\cap R_1\right)\cup\left(E_1\cap R_0\right)\right)&=p\left(E_0\cap R_1\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
&=p\left(E_0\right)p_{E_0}\left(R_1\right)+p\left(E_1\right)p_{E_1}\left(R_0\right) \\
&=0,4\times 0,01+0,6\times 0,02 \\
&=0,016\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
On effectue indépendamment $10$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
Ainsi
$\begin{align*} p(X=7)&=\dbinom{10}{7}0,88^7\times 0,12^3 \\
&\approx 0,085\end{align*}$
Réponse D
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
On veut calculer
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-0,12^{10} \end{align*}$
Réponse A
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
On effectue indépendamment $N$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,88$.
On veut déterminer la plus grande valeur de $N$ telle que
$\begin{align*} P(X=N)\pg 0,1 &\ssi 0,88^N\pg 0,1 \\
&\ssi N\ln(0,88) \pg \ln(0,1) \\
&\ssi N\pp \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)} \quad \text{car } \ln(0,88)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)}\approx 18,01$.
Par conséquent $N_0=18$.
Réponse B
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x)$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

a. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f (x)$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
b. Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
$\quad$
a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
En déduire le tableau de variations de $f$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $[4; 5]$.
$\quad$
On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$$
a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
b. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2};f\left(\sqrt{2}\right)\right)$.
Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t ; f (t)\right)$.
En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : suites; fonctions, fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = x^3\e^x$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\texttt{fonc}$, écrite en langage Python ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def fonc(n) :}\\
\quad \text{u =- 1}\\
\quad \text{for i in range(n) :}\\
\qquad \text{u=u**3*exp(u)}\\
\quad \text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle qu’en langage Python, « $\texttt{i in range (n)}$ » signifie que $\texttt{i}$ varie de $\texttt{0}$ à $\texttt{n-1}$.
$\quad$
Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $\texttt{fonc(2)}$ arrondie à $10^{-3}$.
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x+3)$.
$\quad$
b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$$
$\quad$
d. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
e. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On rappelle que $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.
Déterminer $\ell$. $\Big($Pour cela, on admettra que l’équation $x^2\e^x-1 = 0$ possède une
seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}\Big)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a $AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$.
On définit les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$, $\vec{k}=\vect{AE}$.
On munit ainsi l’espace du repère orthonormé $\left(A;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.

Donner les coordonnées du point $G$.
$\quad$
Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(2 ; 0 ; -3)$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Déterminer une mesure au degré près de l’angle $\widehat{EIF}$.
$\quad$
Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $(6 ; -3 ; -1)$.
La tranchée est assimilée à un segment d’une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-3 ; 4 ; 1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête $[BC]$.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
$\quad$
b. On admet qu’une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.
Soit $K$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.
Déterminer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
c. Le point $K$ appartient-il bien à l’arête $[BC]$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés : probabilités.

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.
Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

$E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ »;
$E_1$ : « le bit envoyé est un $1$ »;
$R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »;
$R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

On sait que : $p\left(E_0\right) = 0,4$; $p_{E_0}\left(R_1\right)=0,01$; $p_{E_1}\left(R_0\right)=0,02$.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
a. $0,99$
b. $0,396$
c. $0,01$
d. $0,4$
$\quad$
La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :
a. $0,99$
b. $0,02$
c. $0,408$
d. $0,931$
$\quad$
Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}
\left(E_0\right)$ est égale
a. $0,004$
b. $0,001$
c. $0,007$
d. $0,010$
$\quad$
La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
a. $0,03$
b. $0,016$
c. $0,16$
d. $0,015$
$\quad$

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à $0,88$.

On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu’exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est égale à :
a. $0,915$
b. $0,109$
c. $0,976$
d. $0,085$
$\quad$
On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
La probabilité qu’au moins $1$ octet soit transmis sans erreur est égale à :
a. $1-0,12^{10}$
b. $0,12^{10}$
c. $0,88^{10}$
d. $1-0,88^{10}$
$\quad$
Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
On peut affirmer que :
a. $N_0 = 17$
b. $N_0 = 18$
c. $N_0 = 19$
d. $N_0 = 20$
$\quad$

$\quad$