E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. $\Delta$ désigne la quantité $b^2-4ac$.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est cohérente avec la représentation graphique, ci-dessous, de cette fonction ?

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a<0$ et $\Delta<0$
c. $a>0$ et $\Delta<0$
d. $a<0$ et $\Delta>0$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ admet un minimum donc $a>0$.
La courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points donc $\Delta >0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Lors d’un jeu, on mise $1$ euro et on tire une carte au hasard parmi $30$ cartes numérotées de $1$ à $30$. On gagne $3$ euros si le nombre porté sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien. On détermine le gain algébrique en déduisant le montant de la mise de celui du gain.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique. Que vaut l’espérance $E(X)$de la variable aléatoire $X$ ?

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{1}{10}$
c. $0$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Les nombres premiers compris entre $1$ et $30$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ $23$, $29$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=2)&=\dfrac{10}{30} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-1)&=1-\dfrac{1}{3}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(X)&=-1\times P(X=-1)+2P(X=2)\\
&=-\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}$?

a. $\e^{11}$
b. $\e^{9}$
c. $\e^{7}$
d. $\e^{-7}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} \dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}&=\dfrac{\e^{6+3}}{\e^2}\\
&=\dfrac{\e^9}{\e^2}\\
&=\e^{9-2}\\
&=\e^7\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-5$ et telle que $u_1=2$. Quelle est, pour tout entier naturel $n$, l’expression du terme général $u_n$ de cette suite ?

a. $u_n=2-5n$
b. $u_n=-5+2n$
c. $u_n=7-5n$
d. $u_n=2\times (-5)^n$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} u_0&=u_1-(-5) \\
&=2+5\\
&=7\end{align*}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=7-5n$.

Réponse c

$\quad$

Autre méthode 1 : on évalue chacune des expressions fournies en prenant $n=1$. Seule la réponse c permet d’obtenir $u_1=2$

Autre méthode 2 : 
$\begin{align*} u_n&=u_1+(n-1)\times (-5) \\
&=2-5n+5 \\
&=7-5n\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Les équations cartésiennes ci-dessous sont celles de droites données du plan. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à l’une de ces droites. Quelle est l’équation de cette droite ?

a. $2x+y+5=0$
b. $x+2y+3=0$
c. $-x+0,5y+2=0$
d. $-4x+8y=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne dont $\vec{u}$ est un vecteur normal est de la forme $-x+2y+c=0$.
Donc $-4x+8y+d=0$ est également un équation cartésienne pour ce type de droite.

En prenant $d=0$ on obtient l’équation $-4x+8y=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $2x^2-9x+4\pg 0$ a pour ensemble de solutions :

a. $S=\left[\dfrac{1}{2};4\right]$
b. $S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$
c. $S=\emptyset$
d. $S=]-\infty;-4]\cup\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-9)^2-4\times 2\times 4 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{9-\sqrt{49}}{4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{9+\sqrt{49}}{4}\\
&=4\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=2>0$.
L’inéquation $2x^2-9x+4\pg 0$ a pour ensemble de solutions $S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup[4;+\infty[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des réels $\R$ par $$g(x)=-x^2+4x$$
alors

a. le minimum de la fonction $g$ sur $\R$ est $4$
b. le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est $4$
c. le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ est $2$
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[4 ; +\infty[$

$\quad$

Correction Question 2

Deux réponses sont, a priori, acceptable.

$g$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-1<0$.
Elle admet donc un maximum dont l’abscisse est $-\dfrac{b}{2a}=2$.
Ce maximum vaut $f(2)=4$

Réponse b

La fonction est donc croissante sur l’intervalle $]- \infty;2]$ et décroissante sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
Ainsi, $g$ est également décroissante sur l’intervalle $[4;+\infty[$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. La droite passant par le point $A(0 ; -7)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ a pour équation

a. $2x-5y-35=0$
b. $2x-5y+35=0$
c. $-5x-2y+14=0$
d. $5x+2y+14=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite est de la forme $2x-5y+c=0$.
Le point $A(0;-7)$ appartient à la droite. Donc $0-5\times (-7)+c=0\ssi c=-35$.
Une équation de la droite est $2x-5y-35=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que $x^2-4x+y^2+6y=12$ est :

a. le point de coordonnées $(5; 1)$
b. le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $\sqrt{12}$
c. le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $5$
d. le cercle de centre $B(-2; 3)$ et de rayon $5$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-4x+y^2+6y=12 \\
\ssi~&x^2-2\times 2x+2^2-2^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2=12 \\
\ssi~&(x-2)^2+(y+3)^2=25 \\
\ssi~& (x-2)^2+\left(y-(-3)\right)^2=5^2\end{align*}$

L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(2; -3)$ et de rayon $5$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite d d’équation $2x+3y-1=0$.

a. La droite $d$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$, où $A(-2;3)$ et $B(2;9)$
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite $d$.
c. La droite perpendiculaire à $d$ passant par le point $(-1; 2)$ admet pour équation $3x-2y+1=0$.
d. La droite parallèle à $d$ passant par le point $(2 ; 3)$ admet pour équation $2x+3y+13=0$.

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal à la droite $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$. Donc $\vect{AB}=2\vec{n}$.
La droite $d$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$, où $A(-2;3)$ et $B(2;9)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’arbre pondéré ci-dessous représente une situation où $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des évènements d’une expérience aléatoire :

La probabilité de l’événement $D$ est égale à :

a. $0,06$
b. $0,8$
c. $0,5$
d. $0,172$

$\quad$

Correction Question

On a
$\begin{align*} P(C)&=1-(0,12+0,24)\\
&=0,64\end{align*}$
$P_A(D)=0,5$
$\begin{align*} P_B(D)&=1-0,8\\
&=0,2\end{align*}$
$\begin{align*} P_C(D)&=1-0,9\\
&=0,1\end{align*}$
$A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C \cap D)\\
&=0,12\times 0,5+0,24\times 0,2+0,64\times 0,1\\
&=0,172\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est :

a. $\left]-3;\dfrac{1}{2}\right[$
b. $]-\infty;-3[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup ]3;+\infty[$
d. $\left]-\dfrac{1}{2};3\right[$

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-5)^2-4\times (-2)\times 3 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{-4}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent l’ensemble solution de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est $\left[-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]3;+\infty\right[$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère la droite $\mathcal{D}$ d’équation $2x-8y+1=0$
Les coordonnées d’un vecteur normal à $\mathcal{D}$ sont :

a. $\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 8\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} -8\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -4\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent le vecteur $\dfrac{1}{2}\vec{n}\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, l’équation du cercle de centre $A(-2 ; -4)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-4x+y^2-8y+16=0$
b. $x^2+4x+y^2+8y+16=0$
c. $x^2-4x+y^2-8y+18=0$
d. $x^2+4x+y^2+8y+18=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cercle est
$\begin{align*} &\left(x-(-2)\right)^2+\left(y-(-4)\right)^2=2^2\\
\ssi~& (x+2)^2+(y+4)^2-4=0 \\
\ssi~& x^2+4x+4+y^2+8y+16-4=0\\
\ssi~& x^2+4x+y^2+8y+16=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$u_0=1$ et pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}=u_n+2n-3$.

a. $u_1=0$
b. $\left(u_n\right)$ est arithmétique
c. $u_3=-2$
d. $\left(u_n\right)$ est décroissante

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} u_1&=u_0+2\times 0-3 \\
&=1-3\\
&=-2\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=u_1+2\times 1-3 \\
&=-2+2-3\\
&=-3\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=u_2+2\times 2-3 \\
&=-3+4-3\\
&=-2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM comportant 5 questions.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

$\quad$

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

Question 1

La droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$ passant par $A(-1;2)$ a pour équation :

a. $-3x+y-5=0$
b. $x+3y-5=0$
c. $x-3y-5=0$
d. $3x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de la droite $D$ est de la forme $x+3y+c=0$
Le point $A(-1;2)$ appartient à la droite.
Donc :
$-1+3\times 2+c=0 \ssi c=-5$.
Une équation cartésienne de $D$ est $x+3y-5=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la droite $d$ d’équation $5x-8y+9=0$. Alors :

a. $A(6; 7)$ appartient à $D$.
b. $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $d$
c. $d$ coupe l’axe des ordonnées au point $B(0; 1)$
d. $d$ est parallèle à la droite $d’$ d’équation $2,5x-4y+ 2 = 0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent, le vecteur $\vec{u}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$ est également normal à la droite $d$.
Les coordonnées de $\vec{u}$ sont $\begin{pmatrix}2,5\\-4\end{pmatrix}$
Toutes les droites parallèles à $d$ ont une équation de la forme $2,5x-4y+c=0$.
La droite $d$ est donc parallèle à la droite $d’$ d’équation $2,5x-4y+ 2 = 0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.

La droite 𝐷 est la tangente à $C_f$ au point $A(1; 1)$. Le point $B(0; -1)$ appartient à la droite $D$. Le nombre dérivé $f'(1)$ est égal à :

a. $1$
b. $\dfrac{1}{2}$
c. $2$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 3

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-1-1}{0-1}\\
&=2
\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère une fonction $f$ polynôme du second degré dont le tableau de signes est donné ci-après :

Une expression de $f(x)$ peut être :

a. $2x^2+5x-2$
b. $-x^2+1$
c. $-x^2+x+2$
d. $x^2+x-2$

$\quad$

Correction Question 4

D’après le tableau de signe, le coefficient principal de ce polynôme est négatif$. On exclut donc les réponses a. et d.
De plus $f(2)=0$ : on exclut la réponse b.
Donc $f(x)=-x^2+x+2$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
Alors la fonction dérivée de $f$, notée $f’$, est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=\e$
d. $f'(x)=x^2\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+\e^x \times x\\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}$ est égale à :

a. $\e^{x-1}$
b. $\e^{3x+1}$
c. $\dfrac{2x}{x+1}$
d. $\e$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}
\dfrac{\e^{2x}}{\e^{x+1}}&=\e^{2x-(x+1)} \\
&=\e^{x-1}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère, les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto 15x^2+10x-1$ et $x\mapsto 19x^2-22x+10$ ont :

a. aucun point d’intersection
b. un seul point d’intersection
c. deux points d’intersection
d. quatre points d’intersection

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} &15x^2+10x-1-\left(19x^2-22x+10\right) \\
&=-4x^2+32x-11\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &= 32^2-4\times (-4)\times 11 \\
&=1~200\\
&>0\end{align*}$

Les deux courbes ont donc deux points d’intersection.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Le cercle de centre $A$ de coordonnées $( 3 ; – 1)$ et de rayon $5$ a pour équation cartésienne :

a. $(x+3)^2+(y-1)^2=25$
b. $(x-3)^2+(y+1)^2=5$
c. $(x+3)^2+(y-1)^2=5$
d. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle est $(x-3)^2+\left(y-(-1)\right)^2=5^2$ soit $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $3x+2y+4=0$ admet un vecteur normal de coordonnées :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur normal à la droite d’équation $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Ici un vecteur normal à la droite d’équation $3x+2y+4=0$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5$

Le plus petit entier naturel $n$ tel que la somme $1 + 2 + 3 + 4 +\ldots + n$ soit supérieure à $5~000$ est égal à :

a. $1~000$
b. $500$
c. $200$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Si $n=100$ alors $\dfrac{n(n+1)}{2}=5~050$

$100$ est le plus petit nombre proposé ici.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ vérifiant : $(x+1)^2+(y-1)^2= 9$ est :

a. un cercle
b. une droite
c. une parabole
d. l’ensemble vide

$\quad$

Correction Question 1

$(x+1)^2+(y-1)^2= 9 \ssi \left(x-(-1)\right)^2+(y-1)^2=3^2$
Il s’agit de l’équation du cercle de centre $A(-1;1)$ et de rayon $3$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Combien y-a-t-il de fonctions polynômes du second degré qui s’annulent en $1$ et en $3$ ?

a. $0$
b. $1$ seule
c. $2$
d. une infinité

$\quad$

Correction Question 2

On considère un réel $k$ non nul. La fonction $f_k$ définie sur $\R$ par $f_k(x)=k(x-1)(x-3)$ est une fonction polynôme du second degré qui s’annule en $1$ et en $3$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Une fonction polynôme du second degré :

a. est nécessairement de signe constant sur $\R$
b. n’est jamais de signe constant sur $\R$
c. est nécessairement positive sur $\R$
d. peut être ou non de signe constant sur $\R$

$\quad$

Correction Question 3

Le polynôme $P(x)=(x-1)(x+2)$ n’est pas de signe constant.
Le polynôme $Q(x)=x^2+1$ est de signe constant.
Le polynôme $R(x)=-x^2-1$ est toujours négatif

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, $\e^{2x+1}=$

a. $\e^{2x}+\e$
b. $\e^{2x}\times\e$
c. $\left(\e{x+1}\right)^2$
d. $(2x+1)\times\e$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}\e^{2x+1}&=\e^{2x}\times \e^1 \\
&=\e^{2x}\times \e\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ d’équation cartésienne $2x-5y-4=0$

a. coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; -4)$
b. passe par le point de coordonnées $(2 ; 0,2)$
c. admet $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ pour
vecteur normal
d. admet $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ pour
vecteur directeur

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne de $d$ est $2x-5y-4=0$.
Par conséquent le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite $d$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le vecteur :

a. $\vec{v}\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$
b. $\vec{v}\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$
c. $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
d. $\vec{v}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal du point $A(7 ; 9)$ sur la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le point :

a. $H(7;0,8)$
b. $H(3;4)$
c. $H(4;3,2)$
d. $H(4,5)$

$\quad$

Correction Question 2

Le point $H$ doit appartenir à la droite. On exclut donc la réponse d. puisque les coordonnées du point de vérifient pas l’équation de la droite.
Un vecteur normal à la droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
Le vecteur $\vect{AH}$ doit être colinéaire à $\vec{n}$
Si $H(3;4)$ alors $\vect{AH}\begin{pmatrix}-4\\-5\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AH}=-\vec{n}$.
Ces deux vecteurs sont bien colinéaires.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre $A(-1 ; 3)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-1+y^2=2^2$
b. $x^2+2x+1+y^2-6y+9=2$
c. $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
d. $(x-1)^2+(y+3)^2=2^2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-1)\right)^2+(y-3)^2=2^2$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la parabole d’équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point $S$ et pour axe de symétrie la droite $\Delta$. Les coordonnées de $S$ et l’équation de $\Delta$ sont :

a. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:x=\dfrac{3}{2}$
b. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:y=-\dfrac{7}{4}$
c. $S(3;5)$ et $\Delta:x=3$
d. $S(3;5)$ et $\Delta:y=5$

$\quad$

Correction Question 4

L’abscisse du point $S$ est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-9}{6} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
La droite $\Delta$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Une équation de $Delta$ est donc $x=x_S$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère l’inéquation $-3x^2+9x-5>0$. L’ensemble $S$ des solutions de cette inéquation est ($x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $x_1<x_2$ pour les propositions b) et d)) :

a. $\emptyset$
b. de la forme $\left]-\infty;x_1\right[\cup\left]x_2;+\infty\right[$
c. $\R$
d. de la forme $\left]x_1;x_2\right[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=9^2-4\times (-3)\times (-5) \\
&=21\\
&>0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Par conséquent $S$ est de la forme $\left]x_1;x_2\right[$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé on considère le point $A(-3; 5)$ et la droite $(d)$ dont une équation cartésienne est $-x+3y+2=0$.

  1. Tracer la droite $(d)$ dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(d)$ et passant par $A$.
    $\quad$
  4. En déduire que le point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(d)$, a pour coordonnées $(-1; -1)$.
    $\quad$
  5. En déduire la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Si $y=0$ alors $x=2$. La droite passe par le point $B(2;5)$.
    Si $x=-1$ alors $y=-1$. La droite passe par le point $C(-1;-1)$.
    On obtient donc le graphique suivant :

    $\quad$
  2. Un vecteur normal à la droite $(d)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On appelle $(d’)$ la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(d’)$ est de la forme $3x+y+c=0$.
    Le point $A(-3;5)$ appartient à cette droite.
    Donc $-9+5+c=0 \ssi c=4$.
    Une équation de la droite $(d’)$ est donc $3x+y+4=0$.
    $\quad$
  4. Vérifions que le point $H(-1;-1)$ appartient au deux droites.
    D’après la réponse apportée à la question 1. le point $H$ et le point $C$ sont confondus. Donc $H$ appartient à la droite $(d)$.
    $3\times (-1)+(-1)+4=-3-1+4=0 \checkmark$.
    Le point $H$ appartient également à la droite $(d’)$.
    Ainsi $H(-1;-1)$ est bien le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$.
    $\quad$
  5. Ainsi la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$ est :
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{\left(-1-(-3)\right)^2+(-1-5)^2} \\
    &=\sqrt{2^2+(-6)^2} \\
    &=\sqrt{40}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$EFG$ est un triangle tel que $EF = 8$, $FG = 5$ et $\widehat{EFG}=\dfrac{3\pi}{4}$. Alors $\vect{FE}.\vect{FG}$ est égal à :

a. $20\sqrt{2}$
b. $-20\sqrt{2}$
c. $20\sqrt{3}$
d. $20\sqrt{3}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{FE}.\vect{FG}&=FE\times FG\times \cos \widehat{EFG}\\
&=8\times 5\times \cos \dfrac{3\pi}{4}\\
&=-20\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ et
sa tangente au point $A$ d’abscisse $0$.

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. On a :

a. $f'(0)=2$
b. $f'(0)=-1$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(-2)=0$

$\quad$

Correction Question 2

Graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ est $-1$.
Donc $f'(0)=-1$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On se place dans un repère orthonormé. Une équation du cercle de centre $B( 2 ; 3)$
et de rayon $4$ est :

a. $(x+2)^2+(y+3)^2=4$
b. $(x-2)^2+(y-3)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y-3)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y+3)^2=16$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation cartésienne de ce cercle est $(x-2)^2+(y-3)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y-3)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé du plan. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$.

L’équation $f(x) = -3$ a pour solution(s) :

a. $3$
b. $0$
c. $-3$
d. $0$ et $1$

$\quad$

Correction Question 4

Graphiquement la droite d’équation $y=-3$ semble couper la courbe en deux points d’abscisse $0$ et $1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne -3x-2y+5=0$ est :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal a une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+x=0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Donc ici, un vecteur normal à cette droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$.
$-\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ est par conséquent un vecteur normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $A(-3 ; 1)$, $B(3 ; 5)$ et $C(7 ; 1)$ dans ce repère.
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et le rayon de ce cercle.
On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  2. Vérifier que la droite $\Delta$ d’équation $3x+2y-6=0$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $I$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  5. Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$.
    C’est un vecteur normal à $\Delta$.
    Une équation cartésienne de $\Delta$ est donc de la forme $6x+4y+c=0$.
    On appelle $M(x;y)$ le milieu de $[AB]$.
    On a donc $\begin{cases} x=\dfrac{-3+3}{2}\\y=\dfrac{1+5}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x=0\\y=3\end{cases}$
    $M$ appartient à $\Delta$ donc
    $0+12+c=0\ssi c=-12$.
    Une équation cartésienne de $Delta$ est donc $6x+4y-12=0$ soit également, en divisant chaque terme par $2$, $3x+2y-6=0$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du point $B’$ sont :
    $\begin{cases} x_{B’}=\dfrac{-3+7}{2}\\y_{B’}=\dfrac{1+1}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_{B’}=2\\y_{B’}=1\end{cases}$.
    Ainsi $B'(2;1)$.
    $\quad$
  4. $A$ et $C$ ont la même ordonnée. Une équation de la médiatrice au segment $[AC]$ est donc de la forme $x=k$.
    Le point $B’$ appartient à cette médiatrice. Une équation de cette droite est donc $x=2$.
    Les coordonnées du point $I$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 3x+2y-6=0\\x=2\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2 \\6+2y-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=0\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} R&=IA\\
    &=\sqrt{(-3-2)^2+(1-0)^2} \\
    &=\sqrt{(-5)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

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