Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2023

Amérique du Sud – 26 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to 0^+} 1+x^2=1$ et, par croissances comparées , $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln(x)=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$.
    Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x-4x\ln(x)-2x \\
    &=-4x\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x>0$ on a $-4x<0$.
    $\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
    On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    De plus $f(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
    $f(\e)=1-\e^2<0$
    Ainsi $f(\e)<0<f(1)$ soit $f(\e)<f(\alpha)<f(1)$
    La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ par conséquent $1<\alpha<\e$.
    $\quad$
  5. L’appel $\text{dichotomie(1)}$ fournit un encadrement de $\alpha$ à, au plus, $10^{-1}$ près.
    D’après la question 4., $1<\alpha<\e$ et $\e\approx 2,72$.
    Par conséquent les propositions C et D sont fausses.
    $f(1,85)\approx 0,2>0$ : par conséquent, lors du premier tour de la boucle $\text{while}$, la variable $\text{a}$ prend la valeur $1,85$. et ne pourra plus prendre de valeur inférieur.
    La proposition B : $ \text{(1.85, 1.9031250000000002)}$ est la bonne.
    $\quad$
    Autre méthode : On veut un encadrement à $10^{-1}$ près. La différence entre les deux bornes de l’intervalle doit donc être inférieure à $10^{-1}$. On exclut donc les propositions A et C.
    L’intervalle  obtenu à l’aide de l’algorithme de dichotomie est inclus dans l’intervalle fourni initialement. On exclut donc également la proposition D.
    Il ne reste donc que la proposition B.
    $\quad$

 Partie B

  1. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times \left(1+x^2\right)-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{x}+x-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \\
    &=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g'(x)$ est donc du signe de $f(x)$.
    D’après la partie A :
    $\bullet ~f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
    $\bullet ~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet ~f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0;+\alpha[$ et strictement décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.
    Elle admet donc un maximum en $\alpha$.
    $\quad$
  3. On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $g(1)=0$
    Une équation de $T_1$ est donc $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$
    On a $g'(\alpha)=0$ et $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
    Une équation de $T_{\alpha}$ est donc $y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
    L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites est solution de l’équation $\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\ssi x-1=\dfrac{1}{\alpha^2} \ssi x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}$.
    Ainsi le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{1}{\alpha^2};\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La fréquence des accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020 est :
    $$\begin{align*} \dfrac{293~898}{18~221~965} &\approx 0,0161\\
    &\approx 1,6\%\end{align*}$$
    $\quad$
    b. La fréquence des accouchements donnant naissance à au moins trois enfants sur la période 1998-2020 est :
    $$\begin{align*} \dfrac{4~921}{18~221~965} &\approx 0,000~27\\
    &\approx 0,027\% \\
    &<0,1\%\end{align*}$$
    $\quad$
  2. a. On effectue $20$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,016$.
    $\begin{align*}P(X=1)&=\dbinom{20}{1} 0,016\times (1-0,016)^{19} \\
    &\approx 0,236\end{align*}$
    La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double est environ égale à $0,236$.
    $\quad$
    b. On effectue $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,016$.
    $\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,99& \ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
    &\ssi 0,984^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,984) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)} \approx 285,5$
    La plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1)\pg 0,99$ est $286$.
    Cela signifie qu’il faut que la maternité réalise $286$ accouchements en une journée pour que la probabilité qu’il y ait au moins un accouchement double soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P\left(F_1\cap F_2\right)&=P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)+P\left(\conj{M}\cap F_1\cap F_2\right) \\
    &=0,3\times 0,49\times 1+0,7\times 0,49\times 0,49 \\
    &=0,315~07\end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{F_1\cap F_2}(M)&=\dfrac{P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)}{P\left(F_1\cap F_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,49\times 1}{0,315~07} \\
    &\approx 0,467\end{align*}$
    La probabilité que les nouveaux nés soient monozygotes sachant que ce sont des jumelles est environ égale à $0,467$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix}-4\\12\\3\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} CK&=\sqrt{(-4)^2+12^2+3^2} \\
    &=\sqrt{169} \\
    &=13\end{align*}$
    Le point $C$ appartient bien à la sphère $S$.
    $\quad$
    b. $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}=16+144-160=0$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$ et $\vec{n}.\vect{BC}=12-12+0$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+y+d=0$.
    Le point $A(0;4;16)$ appartient au plan $(ABC)$ donc $4+d=0\ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+y-4=0$.
    $\quad$
  3. a. On note $D’$ le point de coordonnées $(12;0;0)$
    $\vect{D’K}\begin{pmatrix}-12\\4\\3\end{pmatrix}$ donc
    $\begin{align*} D’K&=\sqrt{(-12)^2+4^2+3^2} \\
    &=\sqrt{169} \\
    &=13\end{align*}$
    Le point $D'(12;0;0)$ appartient donc à la fois à l’axe des abscisses et à la sphère $S$ et $12>0$
    Ainsi $D$ a pour coordonnées $(12;0;0)$.
    $\quad$
    b. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
    $$\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    c. On recherche les coordonnées du point d’intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$. On résout pour cela le système suivant :
    $\begin{align*}\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\3x+y-4=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\36+9t+t-4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\t=-3,2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2,4\\y=-3,2\\z=0\end{cases}\end{align*}$
    On note $H(2,4;-3,2;0)$.
    On a alors $\vect{HD}\begin{pmatrix}9,6\\3,2\\0\end{pmatrix}$.
    Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à :
    $\begin{align*} DH&=\sqrt{9,6^2+3,2^2} \\
    &=\sqrt{102,4} \\
    &=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-16)^2}\\
    &=\sqrt{416}\\
    &=4\sqrt{26}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+10^2}\\
    &=\sqrt{260}\\
    &=2\sqrt{65}\end{align*}$
    $\quad$
    L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=52\sqrt{10} \end{align*}$
    $\quad$
    Le volume du tétraèdre est alors égal à :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\
    &=\dfrac{1~664}{3} \\
    &\approx 555 \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x^2+2x$
    $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-2<0$.
    Le maximum est alors atteint en $\dfrac{-2}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{2}$.
    $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et par conséquent, en particulier sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. $u_1=0,6\times 0,7=0,42$.
    Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1}$.
    Initialisation : $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$ donc $u_0\pp u_1$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    Donc $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \dfrac{1}{2}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pp u_{n+1}$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc. vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 2x-2x^2=x \\
    &\ssi x-2x^2=0 \\
    &\ssi x(1-2x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,3$. Par conséquent $\ell\pg 0,3$.
    Ainsi $\ell=\dfrac{1}{2}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Si $b=0$ alors, pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}-P_n=P_n\ssi P_{n+1}=2P_n$
    La suite $\left(P_n\right)$ est alors géométrique de raison $2$.
    $\quad$
    b. $2>1$ et $P_0=3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. $v_0=0,1\times 3=0,3$.
    Pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}=P_n+P_n\left(1-0,2P_n\right)$. Ainsi :
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=0,1P_{n+1} \\
    &=0,1P_n+0,1P_n\left(1-0,2P_n\right) \\
    &=0,1P_n\left(1+1-0,2P_n\right) \\
    &=0,1P_n\left(2-0,2P_n\right) \\
    &=2\times 0,1P_n\left(1-0,1P_n\right) \\
    &=2v_n\left(1-v_n\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $\left(v_n\right)$ est égale à la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0,5$. Or, pour tout $n\in \N$, $P_n=10v_n$.
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=5$.
    La population se stabilisera donc autour de $5~000$ individus.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1     5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x) = 1+x^2-2x^2\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Justifier que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$, justifier $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x)=-4x\ln(x)$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et que $a\in [1 ; \e]$.

On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation $f(x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

  1. On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction $\text{from lycee import *}$ permet d’accéder à la fonction $\ln$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{from lycee import *}\\
    \\
    \text{def f(x) :}\\
    \quad \text{return 1 + x**2 – 2 * x**2 * ln(x)} \\
    \\
    \text{def dichotomie(p) :} \\
    \quad \text{a = 1}\\
    \quad \text{b = 2.7}\\
    \quad \text{while b – a > 10**(-p) :}\\
    \qquad \text{if f(a) * f((a + b) / 2) < 0 :}\\
    \quad \qquad \text{b = (a + b) / 2 }\\
    \qquad \text{else :} \\
    \quad \qquad \text{a = (a + b) / 2}\\
    \quad \text{return (a,b)} \end{array}$$On écrit dans la console d’exécution :
    $\text{>>> dichotomie(1)}$
    $\quad$
    Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
    Proposition A : $\quad(1.75, 1.9031250000000002)$
    Proposition B : $\quad(1.85, 1.9031250000000002)$
    Proposition C : $\quad(2.75, 2.9031250000000002)$
    Proposition D : $\quad(2.85, 2.9031250000000002)$
    $\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$, par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Oij$.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty$[, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.
    $\quad$

On admet que $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$.

  1. On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $1$ et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
    Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

  1. Entre 1998 et 2020, en France, $18~221~965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293~898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4~ 921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.
    a. Avec une précision de $0,1\%$, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
    $\quad$
    b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à $0,1\%$. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
    $\quad$

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d’un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

  1. On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
    On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
    a. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
    $\quad$
    b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1) \pg 0,99$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu’il y a $30\%$ de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc $70\%$ de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
    Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.
    Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
    $\quad$
    On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
    $\bullet \quad M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
    $\bullet \quad F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
    $\bullet \quad F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
    $\quad$
    On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.
    a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est $0,315~07$.
    $\quad$
    c. Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
    $\quad$


$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(0 ; 4 ; 16)$, $B(0 ; 4 ;-10)$, $C(4 ;-8 ; 0)$ et $K(0 ; 4 ; 3)$.

On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

  1. a. Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
    $\quad$
    b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  3. On admet que la sphère $S$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
    a. Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12 ; 0 ; 0 )$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
    On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre :
    $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

PARTIE A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2u_n\left(1-u_n\right)$$
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ , où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x(1-x)$$

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp \dfrac{1}{2}$
    Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1}$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  4. Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

PARTIE B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte $3~000$ individus.

On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année 2022 $+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$ P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-b\times P_n\right)~, \text{où $b$ est un réel strictement positif}$$
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

  1. Dans cette question $b=0$.
    a. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $P_n$.
    $\quad$
  2. Dans cette question $b = 0,2$.
    a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=0,1\times P_n$.
    Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.
    $\quad$
    b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 2 – 29 août 2023

Nouvelle Calédonie – 29 août 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Les points $F$ et $K$ appartiennent au plan $(EHG)$, ne sont pas confondus et le point $C$ n’appartient pas à ce plan.
    Ainsi $C$, $F$ et $K$ définissent bien un plan.
    $\quad$
  2. a. $K$ est le milieu de $[HG]$ et $HG=1$ donc $KG=0,5$.
    $[GF]$ et $[GC]$ sont des arêtes du cube. Donc $GF=GC=1$.
    $\quad$
    b. Le triangle $FGC$ est rectangle en $G$.
    L’aire du triangle $FGC$ est donc :
    $\begin{align*} A_{FGC}&=\dfrac{GF\times GC}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le volume du tétraèdre $FGCK$ est
    $\begin{align*} V_{FGCK}&=\dfrac{A_{FGC}\times KG}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a $C(1;1;0)$, $F(0;1;1)$ et $K(1;0,5;1)$.
    Donc $\vect{CF}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CK}\begin{pmatrix}0\\-0,5\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle (ou car, d’après la question 1, ils définissent un plan).
    $\vec{n}.\vect{CF}=-1+0+1=0$ et $\vec{n}.\vect{CK}=0-1+1=0$.
    $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFK)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est donc de la forme $x+2y+z+d=0$.
    $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+2+0+d=0\ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est par conséquent $x+2y+z-3=0$.
    $\quad$
  4. La droite $\Delta$ passe par $G(1;1;1)$ et admet comme vecteur directeur le vecteur $\vec{n}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in \R)$.
    $\quad$
  5. a. On note $L(x;y;z)$.
    Les coordonnées de $L$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+2+4t+1+t-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 6t+1=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{6}\\[3mm]x=\dfrac{5}{6}\\[3mm]y=\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{5}{6}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{5}{6};\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{6}\right)$.
    $\quad$
    b. On a alors $\vect{LG}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} LG&=\sqrt{\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{6^2}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  6. On a
    $\begin{align*}V_{FGCK}=\dfrac{1}{12}&\ssi \dfrac{A_{CFK}\times LG}{3}=\dfrac{1}{12} \\
    &\ssi A_{CFK}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi A_{CFK}=\dfrac{\sqrt{6}}{4} \text{u.a.}\end{align*}$.
    L’aire du triangle $CFK$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4} $ u.a.

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=x\e^{-x} \\
    &=x\times \dfrac{1}{\e^x} \\
    &=\dfrac{x}{\e^x}\end{align*}$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est par conséquent une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R_+$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
    &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]0;1[$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]1;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $[0;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
  6. a. Une équation de la droite $T_a$ est :
    $\begin{align*}y=f'(a)(x-a)+f(a)&\ssi y=(1-a)\e^{-a}(x-a)+a\e^{-a} \\
    &\ssi y=(1-a)\e^{-a}x-a\e^{-a}+a^2\e^{-a}+a\e^{-a} \\
    &\ssi y=(1-a)\e^{-a}x+a^2\e^{-a}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’ordonnée à l’origine de $T_a$  est $a^2\e^{-a}$.
    Donc $g(a)=a^2\e^{-a}$.
    $\quad$
    c. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x^2\e^{-x}$.
    La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
    &=x(2-x)\e^{-x} \\
    &=-xf\dsec(x)\end{align*}$
    Ainsi, sur $[0;+\infty[$ $g'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de signes contraires.
    D’après la question 5., $g(a)$ est maximale quand $x=2$ c’est-à-dire quand $A$ est un point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\
    &=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\
    &=-\dfrac{8}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def terme(n):}
    \quad \text{u = 0} \\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{u = (-u – 4)/(u + 3)}\\
    \quad \text{return(u)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>-3$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(x+3)-(-x-4)}{(x+3)^2} \\
    &=\dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} \\
    &=\dfrac{1}{(x+3)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-2<u_{n+1} \pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=-\dfrac{4}{3}$ donc $-2<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
    Par conséquent $f(-2)<f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
    Donc $-2<u_{n+2}\pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $-2$.
    Elle converge donc.
    $\quad$
  6. a. On a $v_0=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{u_{n+1}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4+2u_n+6}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{u_n+2}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}\\
    &=1\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$.
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{1}{2}+n$.
    Or $v_n=\dfrac{1}{u_n+2}\ssi u_n+2=\dfrac{1}{v_n} \ssi u_n=\dfrac{1}{0,5+n}-2$.
    $\quad$
    d. $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+0,5}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $P_A(F)=\dfrac{25}{75}$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(A\cup F)&=\dfrac{75+80}{200} \\
    &=\dfrac{155}{200}  \\
    &=\dfrac{31}{40}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On appelle $B$ l’événement “le bus est en panne” et $T$ l’événement ‘le train est en panne”.
    On veut calculer :
    $\begin{align*}p_1&=P(B\cup T)\\
    &=P(B)+P(T)-P(B\cap T)\\
    &=b+t-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
    &=b+t-bt\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. Albert peut se rendre à son travail si le train et le bus ne sont pas en panne. Donc
    $\begin{align*} p_2&=P\left(\conj{B\cap T}\right) \\
    &=1-P(B\cap T) \\
    &=1-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
    &=1-bt\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de FACE.
    On effectue $n$ expériences identiques de Bernoulli de paramètre $x$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-x)^n\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$ représenté ci-dessous.

On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$.

  1. Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. a. Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle $FGC$.
    $\quad$
    c. Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par :
    $$V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  3. a. On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
    Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(CFK)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :
    $$x +2y + z-3 = 0$$
    $\quad$
  4. On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$.
    Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
    $$\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\quad (t\in \R)$$
    $\quad$
  5. Soit $L$ le point d’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $(CFK)$.
    a. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
    b. En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
    $\quad$
  6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle $CFK$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ , définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $$f(x) = x\e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

  1. En remarquant que pour tout x dans $[0 ;+\infty[$, on a $f(x) =\dfrac{x}{\e^x}$ , démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f'(x) = (1-x)\e^{-x}$$
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ;+\infty[$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.
    $\quad$
  4. Déterminer, sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$, le nombre de solutions de l’équation : $$f(x) = \dfrac{367}{1~000}$$
    $\quad$
  5. On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f\dsec(x) = \e^{-x}(x-2)$$
    Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
    $\quad$
  6. Soit $a$ un réel appartenant à $[0 ;+\infty[$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$.
    On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
    On note $H_a$ le point d’intersection de la droite $T_a$ et de l’axe des ordonnées.
    On note $g(a)$ l’ordonnée de $H_a$.
    La situation est représentée sur la figure ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est :
    $$y=\left((1-a)\e^{-a}\right).x+a^2\e^{-a}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $g(a)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} =\dfrac{-u_n-4}{u_n +3}$$
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière  incomplète en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def terme(n):}\\
    \quad \text{u = …}\\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{u = …}\\
    \quad \text{return(u)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On rappelle qu’en langage Python, « $\text{i in range(n)}$ » signifie que $\text{i}$ varie de $\text{0}$ à $\text{n-1}$.
    Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l’instruction $\text{terme(n)}$ renvoie la valeur de $u_n$.
    $\quad$
  3. Soit la fonction $f$ définie sur $]-3 ;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{-x-4}{x+3}$$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3 ;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
    $$−2 < u_{n+1} \pp u_n$$
    $\quad$
  5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$vn = \dfrac{1}{u_n+2}$$
    a. Donner $v_0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $1$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n =\dfrac{1}{n+0,5}-2$$
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les $200$ adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Aviron}&\text{Basket}&\text{Total}\\
\hline
\text{Filles}& 25& 80& 105\\
\hline
\text{Garçon}& 50&45&95\\
\hline
\text{Total}& 75& 125& 200\\
\hline
\end{array}$$
On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :
$F$ : l’adhérent est une fille.  $\qquad A$ : l’adhérent pratique l’aviron.

  1. La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
    a. $\dfrac{25}{100_{\phantom{1}}}$
    b. $\dfrac{25}{75_{\phantom{1}}}$
    c. $\dfrac{25}{105_{\phantom{1}}}$
    d. $\dfrac{75}{105_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $A\cup F$ est égale à :
    a. $\dfrac{9}{10_{\phantom{1}}}$
    b. $\dfrac{1}{8_{\phantom{1}}}$
    c. $\dfrac{31}{40_{\phantom{1}}}$
    d. $\dfrac{5}{36_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

  1. La probabilité $p_1$, que le bus ou le train soient en panne est égale à :
    a. $p_1 = bt$
    b. $p_1 = 1-bt$
    c. $p_1 = b+t$
    d. $p_1 = b + t-bt$
    $\quad$
  2. La probabilité p2 que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
    a. $p_1 = bt$
    b. $p_1 = 1-bt$
    c. $p_1 = b+t$
    d. $p_1 = b + t-bt$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

 

  1. On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.
    La probabilité $p$ d’obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à :
    a. $p = x^n$
    b. $p = (1- x)^n$
    c. $p = 1-x^n$
    d. $p = 1-(1-x)^n$
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 2 – 29 mars 2023

La Réunion – 29 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(S)=P(S\cap R)+P\left(S\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,82=P(R)P_R(S)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(S) \\
    &\ssi 0,82=0,2\times 0,9+0,8x \\
    &\ssi 0,64=0,8x \\
    &\ssi x=0,8\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(R)&=\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{P(R)P_R(S)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 0,9}{0,82} \\
    &=\dfrac{9}{41} \\
    &\approx 0,22\end{align*}$
    La probabilité que le client ait acheté un matelas RESSORTS sachant qu’il a été satisfait de son achat est environ égal à $0,22$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,82$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat est $$P(X\pp 3)\approx 0,222$$
    $\quad$
  2. a. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,82$.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $n$ clients.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,82$.
    Ainsi,
    $\begin{align*} p_n&=P(Y=n) \\
    &=0,82^n\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p_n<0,01 &\ssi 0,82^n <0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,82) < \ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\qquad \text{(car $\ln(0,82)<0$)}\end{align*} $
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\approx 23,2$.
    Ainsi $p_n<0,01$ si, et seulement si, $n\pg 24$.
    La probabilité que tous les clients soient satisfaits de leur achat est inférieure à $1\%$ dès qu’il y a au moins $24$ clients.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{6u_0+2}{u_0+5} \\
    &=\dfrac{48+2}{13 }\\
    &=\dfrac{50}{13}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} \\
    &=\dfrac{28}{(x+5)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    $f(2)=\dfrac{14}{7}=2$.
    La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, pour tout $x>2$ on a $f(x)>f(2)$ soit $f(x)>2$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a $P(n):~u_n>2$.
    Initialisation : $u_0=8>2$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    Donc $u_n>2$. D’après la question 2.a, $f\left(u_n\right) > 2$ soit $u_{n+1}>2$.
    Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+5}$.
    D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
    Ainsi $2-u_n<0$, $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n<0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$; elle converge donc .
  4. a. $v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\
    &=\dfrac{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}+1} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{6u_n+2-2u_n-10}{u_n+5}~}{\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}} \\
    &=\dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\
    &=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{u_n-2}{u_n+1}\\
    &=\dfrac{4}{7}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{4}{7}\right)^n$.
    $-1<\dfrac{4}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
    $\quad$
    Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}&\ssi v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2 \\
    &\ssi u_nv_n+v_n=u_n-2\\
    &\ssi u_nv_n-u_n=-2-v_n\\
    &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-2-v_n \\
    &\ssi u_n=\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}\end{align*}$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}=2$.
    $\quad$
  5. On a $u_{13}\approx 2,0014>2,001$ et $u_{14}\approx 2,000~8<2,001$.
    La commande $\texttt{seuil(2.001)}$ renverra donc la valeur $14$.
    Il s’agit du rang à partir duquel tous les termes de la suite prendront des valeurs inférieures ou égales à $2,001$.

Ex 3

Exercice 3

  1. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est $$\begin{cases} x=1\\y=1+2t\\z=-t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
  2. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$.
    $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi $(d)$ et $\mathscr{P}$ sont sécants.
    $1-4+2+1=4-4=0$ : le point de coordonnées $(1;-1;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
    En prenant $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on obtient le point de coordonnées $(1;-1;1)$.
    Ainsi la droite $(d)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants en un point $B$ de coordonnées $(1;-1;1)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{AC}\begin{pmatrix} 0\\-2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{-2}{-2}=1$ et $\dfrac{-1}{1}=-1$ donc $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. $\vec{n}.\vect{AC}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
    $A(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-1=0$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. $H$ est le milieu de $[BC]$. Il a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{-1-1}{2};\dfrac{1-1}{2}\right)$ soit $(1;-1;0)$.
    Donc $\vect{AH}\begin{pmatrix} 0\\-2\\0\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{0^2+(-2)^1+0} \\
    &=2\end{align*}$
    $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}$
    On a donc également $BC=2$.
    Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc $[AH]$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice du triangle.
    L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times BC}{2} \\
    &=2\text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. $\vect{BD}\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vec{n}=-\vect{BD}$.
    $\vect{BD}$ est donc normal au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*} BD&=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\\
    &=1\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times BD\\
    &=\dfrac{2}{3} \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+2x\e^x \\
    &=2(x+1)\e^x\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
    Or $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
    De plus $f(-1)=-2\e^{-1} \approx -0,736$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0>-\dfrac{73}{100}$ et $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$
    D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $]-\infty;-1]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$
    $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ (produit de deux fonctions tendant vers $+\infty$).
    D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0^+$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$.
    Réponse a
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=4\e^{2x}+2(4x-16)\e^{2x} \\
    &=(4+8x-32)\e^{2x} \\
    &=(8x-28)\e^{2x} \\
    &=4(2x-7)\e^{2x}\end{align*}$
    La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(2\e^{2x}+2(2x-7)\e^{2x}\right) \\
    &=8(1+2x-7)\e^{2x} \\
    &=8(2x-6)\e^{2x}\end{align*}$
    $h\dsec(x)>0 \ssi 2x-6>0 \ssi x>3$ et $\dsec(x)=0 \ssi 2x-6=0\ssi x=3$.
    La fonction $h\dsec$ s’annule en changeant de signe en $3$.
    Le point d’abscisse $3$ est donc un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr{C}_h$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. La fonction $k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a $k'(x)=\dfrac{3}{x}-1$
    Une équation de $T$ est $y=k'(\e)(x-\e)+k(\e)$.
    Par conséquent $k'(\e)=\dfrac{3-\e}{\e}$ et $k(\e)=3-\e$.
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{3-\e}{\e}(x-\e)+3-\e$
    Soit $y=\dfrac{3-\e}{\e}x$
    Réponse b
    $\quad$
  5. $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0 \ssi \begin{cases} X^2+10X+21=0 \\X=\ln(x)\end{cases}$
    Le discriminant de l’équation $X^2+10X+21=0$ est $\Delta=16$.
    Elle possède donc deux solutions $\dfrac{-10-\sqrt{16}}{2}=-7$ et $\dfrac{-10+\sqrt{16}}{2}=-3$.
    $\ln(x)=-7 \ssi x=\e^{-7}$
    $\ln(x)=-3\ssi x=\e^{-3}$.
    Par conséquent $\e^{-7}$ et $\e^{-3}$ sont les solutions de l’équation $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

  • $20\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, $90\%$ sont satisfaits de leur achat.
  • $82\%$ des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

  • $R$ : : « le client achète un matelas RESSORTS »,
  • $S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\conj{R}}(S)$, où $P_{\conj{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n’est pas réalisé.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
    $\quad$
    $\quad$
  2. Démontrer que $x = 0,8$.
    $\quad$
  3. On choisit un client satisfait de son achat.
    Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
    On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B

  1. On choisit $5$ clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $5$ clients.
    a. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
    On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
  2. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
    a. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
    Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
    $\quad$
    b. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.
    Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n +1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n +5}$$

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{6x+2 }{x+5}$$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    a. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_{n+1}-u_n = \dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n +5}$$
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  4. On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par: $$v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1}$$
    a. Calculer $v_0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    c. Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
    En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction Python $\text{seuil}$ ci-dessous, où $\text{A}$ est un nombre réel strictement plus grand que $2$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil (A) :}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{u = 8}\\
    \quad \text{while u > A :}\\
    \qquad \text{u = (6*u + 2) / (u + 5)}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande $\text{seuil (2.001)}$ puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère le point $A(1;1;0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation : $x+4y+2z+1 = 0$.

  1. On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vec{u}$.
    Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
    $\quad$
  2. Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1;-1;1)$.
    $\quad$
  3. On considère le point $C(1;-1;-1)$.
    a. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur  $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
    Calculer la longueur $AH$ puis l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  5. Soit $D$ le point de coordonnées $(0;-1;1)$.
    a. Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
    $\quad$
    b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
    $\quad$
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par: $$V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.
    Le nombre de solutions sur $\R$ de l’équation $f(x) = -\dfrac{73}{100}$ est égal à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. une infinité.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}$$
    La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
    a. $-\infty$
    b. $+\infty$
    c. $0$
    d. elle n’existe pas.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par: $$h(x) = (4x-16)\e^{2x}$$
    On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
    On peut affirmer que:
    a. $h$ est convexe sur $\R$.
    b. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3$.
    c. $h$ est concave sur $\R$.
    d. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3,5$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $k$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $$k(x) = 3 \ln (x)-x$$
    On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.
    On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $x = \e$.
    Une équation de $T$ est:
    a. $y = (3-\e)x$
    b. $y = \left(\dfrac{3-\e}{\e}\right)x$
    c. $y = \left(\dfrac{3}{\e}- 1\right)x + 1$
    d. $y = (\e-1)x + 1$
    $\quad$
  5. On considère l’équation $\left(\ln (x)\right)^2+10\ln(x)+21 = 0$, avec $x \in ]0;+\infty[$.
    Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. une infinité.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 1 – 28 mars 2023

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=P\left(\left(D_1\cap A\right)\cup\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right)\right) \\
    &=P\left(D_1\cap A\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
    &=P\left(D_1\right) P_{D_1}(A)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right)P_{\conj{D_1}\cap D_2}(A) \\
    &=0,4\times 0,3+0,6\times 0,7\times 0,2 \\
    &=0,204\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_A\left(D_1\right) &=\dfrac{P\left(A\cap D_1\right)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{P\left(D_1\right)P_{D_1}(A)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,3}{0,204} \\
    &=\dfrac{10}{17} \\
    &\approx 0,588\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait décroché au premier appel sachant qu’elle a acheté le produit est environ égale à$0,588$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,204$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=6)&=\dbinom{30}{6}0,204^6\times (1-0,204)^{24} \\
    &\approx 0,179\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit est environ égale à $0,179$.
    $\quad$
    c. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=30\times 0,204 \\
    &=6,12\end{align*}$
    Cela signifie donc, qu’en moyenne, sur un échantillon de $30$ personnes  $6,12$ achètent le produit.
    $\quad$
  2. On effectue $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,204$.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,204$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(Y=0) \pp 0,01 \\
    &\ssi (1-0,204)^n \pp 0,01\\
    &\ssi 0,796^n\pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,796) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \qquad \text{(car $\ln(0,796)<0$)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \approx 20,2$
    Il faut donc l’échantillon contienne au moins $21$ personnes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x\to 0} 3x+1=1$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$
    Par conséquent, $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    $\quad$
    Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)\right)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est derivable sur $\R_+^*$ par hypothèse. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-2\ln(x)-2 \\
    &=1-2\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    $1-2\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\begin{align*} m&=f\left(\e^{1/2}\right) \\
    &=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=2\e^{1/2}+1\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right]$ et $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    Ainsi, pour tout $x\in \left]0;\e^{1/2}\right]$ on a $f(x)>1$.
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $f\left(\e^{1/2}\right)=2\e^{1/2}+1>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ et la question précédente :
    $\bullet~f(x)>0$ si $x\in ]0;\alpha[$ ;
    $\bullet~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet~f(x)<0$ si $x\in ]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $f$ est donc la dérivée de $F$ sur cet intervalle.
    Or $f(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};\alpha\right[$.
    La fonction $F$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=-\dfrac{2}{x}<0$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc située sous ses tangentes.
    $\quad$
    b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(1)=1$ et $f(1)=4$.
    Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=x-1+4$ soit $y=x+3$.
    $\quad$
    c. D’après la question 5.a. on a donc en particulier :
    $\begin{align*} f(x)\pp x+3 &\ssi 3x+1-2x\ln(x) \pp x+3 \\
    &\ssi -2x\ln(x) \pp -2x+2 \\
    &\ssi \ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}\end{align*}$

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Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
    Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
    Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
    De plus son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
    $\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
    $\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
    $\quad$
  4. Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
    Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
    Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
    $\quad$
  5. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
    $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
    La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
    Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
    &=1~575\end{align*}$
    $\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
    &=1~425\end{align*}$
    En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
    $\quad$
  2. Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+300-0,1a_n \\
    &=0,75a_n+300\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
    donc
    $900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
    Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
    Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
    &=0,75a_n+300-1~200\\
    &=0,75a_n-900 \\
    &=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
    &=0,75v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
    &=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
    $\quad$
  6. a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
    $\quad$
    b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
    $\quad$
  7. a. On peut écrire
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \texttt{def seuil() :}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
    &\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
    &\ssi 0,75^n < 0,16\\
    &\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
    Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
    b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    $4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
    De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
    Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
    $H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{32} \\
    &=4\sqrt{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{18} \\
    &=3\sqrt{2}\end{align*}$
    L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
    &=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
    $\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
    Il est donc normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
    $E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
    $\quad$
    d. On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
    &=\sqrt{25} \\
    &=5 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
    &=20\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
    D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
    $h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
    Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
    $P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
    $P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
    $P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
    &\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
    &\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

  1. Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

  1. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

  • durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
  • chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
  • chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.
  1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
    $\quad$
  5. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{def }\text{seuil() :}\\
    \quad\text{n = 0}\\
    \quad \text{A = 1700}\\
    \quad \textbf{while} \text{ … :}\\
    \qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
    \qquad \text{A = …}\\
    \quad \textbf{return}\text{ …}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

  1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
    $\quad$
    b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
    $\quad$
    b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
    Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
    $\quad$
    c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à  $12$ cm$^{2}$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
    À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
    La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
    a. $+\infty$
    b. $0,05$
    c. $-\infty$
    d. $0$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
    On peut affirmer que :
    a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
    d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
  3. On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
    b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
    c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
    d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
    $\quad$
  4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
    Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
    $\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
    $\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
    $\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
    En moyenne, le joueur :
    a. gagne $3,50$ €.
    b. perd $3$ €.
    c. perd $1,50$ €.
    d. perd $0,50$ €.
    $\quad$
  5. On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
    On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
    a. $p = \dfrac{1}{5}$
    b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
    c. $p = \dfrac{4}{5}$
    d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
    $\quad$

$\quad$