Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 11 mai 2022

Métropole – 11 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Étude du premier protocole

a. Pour tout $t\in[0;10]$ on a
$\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-0,5t+1}+3t\times (-0,5)\e^{-0,5t+1} \\
&=3(-0,5t+1)\e^{-0,5t+1}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $-0,5t+1$.
Or $-0,5t+1=0 \ssi -0,5t=-1 \ssi t=2$
et $-0,5t+1>0 \ssi -0,5t>-1 \ssi t<2$
On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
c. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum pour $t=2$ et celui-ci vaut $f(2)=6$.
La quantité de médicament présente dans le sang est donc maximale au bout de $2$ h et elle vaut alors $6$ mg.
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;2]$.
De plus, $f(0)=0<5$ et $f(2)=6>5$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=5$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;2]$.
D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,02$.
$\quad$
b. $\beta-\alpha \approx 2,44$. Le médicament est donc efficace environ $2,44$ heures soit $2$ heures et $26$ minutes.
$\quad$

Partie B : Étude du deuxième protocole

La quantité de médicament baisse de $30\%$ au bout d’une heure. Il en reste donc $70\%$ soit $0,7u_0=1,4$.
On réinjecte $1,8$ mg
Donc $u_1=1,4+1,8=3,2$.
Après l’injection de la première heure, il y a donc $3,2$ mg de médicament dans le sang.
$\quad$
La quantité de médicament baisse de $30\%$ en une heure. Il est donc $70\%$ soit $0,7u_n$.
On réinjecte $1,8$ mg.
Donc, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~u_b \pp u_{n+1} <6$.
Initialisation : $u_0=2$ et $u_1=3,2$. Donc $u_0\pp u_1<6$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} <6 &\ssi 0,7u_n \pp 0,7u_{n+1} < 4,2 \\
&\ssi 0,7u_n+1,8 \pp 0,7u_{n+1}+1,8<6 \\
&\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}<6\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1} <6$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $6$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
c. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=0,7x+1,8$.
La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine et, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $g(x)=x$
$\begin{align*} 0,7x+1,8=x&\ssi 0,3x=1,8 \\
&\ssi x=6\end{align*}$
Donc $\ell=6$.
Sur le long terme, le patient aura $6$ mg de médicament dans le sang.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}&=6-u_{n+1} \\
&=6-0,7u_n-1,8 \\
&=4,2-0,7u_n \\
&=0,7\left(6-u_n\right)\\
&=0,7v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=6-u_0=4$.
$\quad$
b. On a donc, pour tout $n\in \N$, $v_n=4\times 0,7^n$.
Par conséquent $u_n=6-v_n=6-4\times 0,7^n$.
$\quad$
c. $\quad$
$\begin{align*} u_n\pg 5,5&\ssi 6-4\times 0,7^n \pg 5,5 \\
&\ssi -4\times 0,7^n \pg 0,5 \\
&\ssi 0,7^n \pp 0,125 \\
&\ssi n\ln(0,7) \pp \ln(0,125) \\
&\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)} \qquad \text{car } \ln(0,7)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\approx 5,8$. Par conséquent $n\pg 6$.
Il faudra donc réaliser $7$ injections (l’injection initiale plus les $6$ autres).
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. On a $\vec{u}(2;-1;2)$.
$\quad$
b. Si $t=-1$ alors $x=-1$, $y=3$ et $z=0$ donc $B(-1;3;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
$\quad$
c. $\vect{AB}(0;2;-3)$.
Donc
$\begin{align*} \vect{AB}.\vec{u}&=0\times 2+2\times (-1)+2\times (-3) \\
&=-8\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{u}$ est donc un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
Une équation cartésienne de ce plan est par conséquent de la forme : $2x-y+2z+d=0$.
Or $A(-1;1;3)$ appartient à $\mathscr{P}$.
Donc $-2-1+6+d=0\ssi d=-3$.
Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est $2x-y+2z-3=0$.
$\quad$
b. $2\times \dfrac{7}{9}-\dfrac{19}{9}+2\times \dfrac{16}{9}-3=\dfrac{27}{9}-3=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient à $\mathscr{P}$.
$1+2t=\dfrac{7}{9}\ssi 2t=\dfrac{-2}{9}\ssi t=\dfrac{-1}{9}$.
En prenant $t=-\dfrac{1}{9}$ dans l’équation de $\mathscr{D}$ on obtient $\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\y=\dfrac{19}{9}\\z=\dfrac{16}{9}\end{cases}$ donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient à $\mathscr{D}$.
Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
$\quad$
le point de coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$
c. $\vect{AH}\left(\dfrac{16}{9};\dfrac{10}{9};-\dfrac{11}{9}\right)$
Donc
$\begin{align*} AH&=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(\dfrac{-11}{9}\right)^2} \\
&=\dfrac{\sqrt{477}}{9} \\
&=\dfrac{\sqrt{53}}{3}\end{align*}$
$\quad$
a. $(HB)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$. Par conséquent $\vect{HB}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
Il existe donc un réel $k$ tel que $\vect{HB}=k\vec{u}$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vec{u}&=\left(\vect{AH}+\vect{HB}\right).\vec{u} \\
&= \vect{AH}.\vec{u}+ \vect{HB}.\vec{u} \\
&=0+k\vec{u}.\vec{u} \\
&=k\left\|\vec{u}\right\|^2\end{align*}$
Ainsi $k=\dfrac{\vect{AB}.\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
$\quad$
c. On a $\left\|\vec{u}\right\|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9$.
Ainsi $k=-\dfrac{8}{9}$
$\quad$
Soit $H(x;y;z)$
$\vect{HB}(-1-x;3-x;-z)$.
$\begin{align*} \vect{HB}=-\dfrac{8}{9}\vec{u}&\ssi \begin{cases} 1-x=-\dfrac{8}{9}\times 2\\3-y=-\dfrac{8}{9}\times (-1)\\-z=-\dfrac{8}{9}\times 2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\y=\dfrac{19}{9}\\z=\dfrac{16}{9}\end{cases}\end{align*}$
On retrouve donc les coordonnées du point $H$ trouvées à la question 2.b.
$\quad$
$\vect{BH}\left(\dfrac{16}{9};\dfrac{-8}{9};\dfrac{16}{9}\right)$
Donc
$\begin{align*} BH&=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{-8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2} \\
&=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
On appelle $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $ACH$.
$\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times BH\times \mathscr{B} &\ssi \dfrac{8}{9}&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{8}{3}\times \mathscr{B} \\
&\ssi \mathscr{B}=1\end{align*}$
L’aire du triangle $ACH$ vaut $1$ unité d’aire.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. D’après l’énoncé $P(S)=0,25$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre suivant :
$\quad$
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} P(F\cap S)&=P(F)\times P_F(S) \\
&=0,52\times 0,4\\
&=0,208\end{align*}$
La probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$.
$\quad$
d. On veut calculer
$\begin{align*} P_F(S)&=\dfrac{P(S\cap F)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,208}{0,25} \\
&=0,832\end{align*}$
La probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant qu’elle a suivi le stage est égale à $0,832$.
$\quad$
e. $\left(F,\conj{F}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
D’après la formule des probabilités totales
$\begin{align*} P(S)=P(S\cap F)+P\left(S\cap \conj{F}\right) &\ssi P\left(S\cap \conj{F}\right)=P(S)-P(S\cap F)\\
&\ssi P\left(S\cap \conj{F}\right)=0,042\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} P_F(S)&=\dfrac{P\left(S\cap \conj{F}\right)}{P\left(\conj{F}\right)} \\
&=\dfrac{0,042}{0,48} \\
&=0,0875 \\
&<0,1\end{align*}$
$\quad$
a. On répète indépendamment $20$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de salariés ayant suivi le stage.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{10}{5}\times 0,25^5\times (1-0,25)^{10-5} \\
&\approx 0,202\end{align*}$
La probabilité que $5$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage est environ égale à $0,202$.
$\quad$
c. Ce programme calcule $P(X\pp k)$.
D’après la calculatrice $P(X\pp 5) \approx 0,617$.
Le programme renvoie donc $0,617$.
$\quad$
d. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 6)&=1-P(X<6) \\
&=1-P(X\pp 5) \\
&\approx 0,383\end{align*}$
$\quad$
$1,05\times 0,25+1,02\times 0,75=1,0275$.
Le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise est donc de $2,75\%$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

D’après la limite des termes de plus haut degré
$\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)&=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-2x^2}{x^2} \\
&=-2\end{align*}$
La droite d’équation $y=-2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
Réponse C
$\quad$
Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2}+K$
$F(0)=1 \ssi \dfrac{1}{2}+K=1 \ssi K=\dfrac{1}{2}$
Réponse D
$\quad$
$f’$ semble être strictement croissante sur $]-\infty;4[$ et strictement décroissante sur $[4;+\infty[$.
Donc $f$ est convexe sur $]-\infty;4]$ et concave sur $[4;+\infty[$.
Réponse C
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$, $f(x)>0$ sur $\R$. $f$ est la dérivée de chacune de ses primitives.
Réponse A
$\quad$
Pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3x^2}}$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3x^2}}=1$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
Réponse D
$\quad$
L’équation peut s’écrire $\left(\e^x\right)^2+\e^x-12=0 \ssi \begin{cases} X=\e^x\\X^2+X-12=0\end{cases}$
$X^2+X-12=0$ a pour discriminant $\Delta=49>0$
Ses racines sont donc $X_1=-4$ et $X_2=3$.
Or $\e^x=-4$ n’admet pas de solution et $\e^x=3$ admet une unique solution $x=\ln(3)$.
Réponse C
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thèmes : fonction exponentielle, suites

Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie.
L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 10]$ par $f(t)=3t\e^{-0,5t+1}$, où $t$ désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

a. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 10]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de $[0; 10]$, on a : $f'(t)=3(-0,5t+1)\e^{-0,5t+1}$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 10]$.
$\quad$
c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0; 2]$, notée $\alpha$, dont
on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
$\quad$
On admet que l’équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[2; 10]$, notée $\beta$, et qu’une
valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est $3,46$.
$\quad$
b. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5$ mg.
Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
$\quad$

Partie B : Étude du deuxième protocole

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.

On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé.

On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de $30 \%$ par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.

On modélise cette situation à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la $n$-ème heure. On a donc $u_0=2$.

Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$ de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.
$\quad$
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \pp u_{n+1} <6$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
$\quad$
c. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=6-u_n$.
a. Montrer que la suite $\left(v_bn\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$ on considère :

Le point $A$ de coordonnées $(-1;1;3)$;
La droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\end{cases} \quad ,t\in \R$.

On admet que le point $A$ n’appartient pas à la droite $\mathscr{D}$.

a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathscr{D}$.
$\quad$
b. Montrer que le point $B(-1; 3; 0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
$\quad$
c. Calculer le produit scalaire $\vect{AB}.\vec{u}$.
$\quad$
On note $\mathscr{P}$ le plan passant par le point $A$ et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$, et on appelle $H$ le point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$. Ainsi, $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\mathscr{D}$.
a. Montrer que le plan $\mathscr{P}$ admet pour équation cartésienne : $2x-y+2z-3=0$.
$\quad$
b. En déduire que le point $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
$\quad$
c. Calculer la longueur $AH$. On donnera une valeur exacte.
$\quad$
Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\mathscr{D}$, par une autre méthode.On rappelle que le point $B(-1; 3; 0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$.
a. Justifier qu’il existe un nombre réel $k$ tel que $\vect{HB}=k\vec{u}$.
$\quad$
b. Montrer que $k=\dfrac{\vect{AB}.\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
$\quad$
c. Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point $H$.
$\quad$
On considère un point $C$ appartenant au plan $\mathscr{P}$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ soit égal à $\dfrac{8}{9}$.
Calculer l’aire du triangle $ACH$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : probabilités

Le directeur d’une grande entreprise a proposé à l’ensemble de ses salariés un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel.

Ce stage a été suivi par $25 \%$ des salariés.

Dans cette entreprise, $52 \%$ des salariés sont des femmes, parmi lesquelles $40 \%$ ont suivi le stage.
On interroge au hasard un salarié de l’entreprise et on considère les événements :
$\bullet$ $F$ : « le salarié interrogé est une femme »,
$\bullet$ $S$ : « le salarié interrogé a suivi le stage ».
$\conj{F}$ et $\conj{S}$ désignent les événements contraires des événements $F$ et $S$.
a. Donner la probabilité de l’événement $S$.
$\quad$
b. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous sur les quatre branches indiquées.$\quad$
c. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$.
$\quad$
d. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
$\quad$
e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l’entreprise, moins de $10 \%$ ont suivi le stage.
Justifier l’affirmation du directeur.
$\quad$
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $20$ salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l’effectif des salariés de l’entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
a. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
$\quad$
b. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que $5$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
$\quad$
c. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction $\texttt{binomiale(i,n,p)}$ créée pour l’occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def proba}\text{(k):}\\
\quad \text{P = 0}\\
\quad \text{for i in range(0 , k + 1):}\\
\qquad \text{P = P + binomiale(i,20,0.25)}\\
\quad \textbf{return P}\\
\hline
\end{array}$
Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l’on saisit $\texttt{proba(5)}$ dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
d. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu’au moins $6$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
$\quad$
Cette question est indépendante des questions 1 et 2.
Pour inciter les salariés à suivre le stage, l’entreprise avait décidé d’augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de $5\%$, contre $2\%$ d’augmentation pour les salariés n’ayant pas suivi le stage.
Quel est le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : fonctions numériques

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les six questions sont indépendantes.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}$ admet pour asymptote la droite d’équation :
a. $x=-2$;
b. $y=-1$;
c. $y=-2$;
d. $y=0$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2}$.
La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0)=1$ est définie par :
a. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^{x^2}$;
b. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2}$;
c. $F(x)=\left(1+2x^2\right)\e^{x^2}$;
d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2}+\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}_{f’}$ de la fonction dérivée $f’$ d’une fonction $f$ définie sur ℝ.
On peut affirmer que la fonction $f$ est :
a. concave sur $]0; +\infty[$ ;
b. convexe sur $]0; +\infty[$ ;
c. convexe sur $[0; 2]$ ;
d. convexe sur $[2; +\infty[$.
$\quad$
Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\e^{-x^2}+2$:
a. toutes sont croissantes sur $\R$ ;
b. toutes sont décroissantes sur $\R$ ;
c. certaines sont croissantes sur $\R$ et d’autres décroissantes sur $\R$ ;
d. toutes sont croissantes sur $]−\infty; 0]$ et décroissantes sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2+1}$ est égale à :
a. $\dfrac{2}{3}$ ;
b. $+\infty$ ;
c. $-\infty$ ;
d. $0$.
$\quad$
L’équation $\e^{2x}+\e^x-12=0$ admet dans $\R$ :
a. trois solutions ;
b. deux solutions ;
c. une seule solution ;
d. aucune solution.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 5 mai 2022

Polynésie – 5 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 7 points

Thèmes : fonctions, primitives

Pour tout $x\in ]0;+\infty[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
&=\ln(x)\end{align*}$
Réponse a
$\quad$
Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $g(x)=x^2-x^2\ln(x)$
Or $\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x^2\ln(x)=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to 0} g(x)=0$.
Réponse c
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(x^2-0,9x-0,1\right)$
$f(x)=0\ssi x=0$ ou $x^2-0,9x-0,1=0$.
Le discriminant de $x^2-0,9x-0,1$ est $\Delta=(-0,9)^2-4\times \times 1\times (-0,1)=1,21>0$.
L’équation $x^2-0,9x-0,1=0$ possède donc deux solutions distinctes. $0$ n’est pas solution de cette équation.
Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions.
Réponse d
$\quad$
On considère la fonction $K$ définie sur $\R$ par $K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)$
La fonction $K$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} K'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2H'(2x)\\
&=H'(2x) \\
&=h(2x)\\
&=k(x)\end{align*}$
Réponse c
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*}f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$
Donc $f'(1)=2\e$.
De plus $f(1)=\e$.
Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ est donc $y=2\e(x-1)+\e$
Soit $y=2\e x-\e$.
Réponse b
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} (0,2)^n<0,001&\ssi n\ln(0,2)<\ln(0,001) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\qquad \text{(car $\ln(0,2)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\approx 4,29$.
L’ensemble solution de l’inéquation est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $5$.
Réponse d
$\quad$

Ex 2

Exercice 2 7 points

Thème : probabilités

Partie 1

On a $P(C)=0,2$ et $P_C(D)=0,1$
Donc
$\begin{align*} P(C\cap D)&=P(C)\times P_C(D) \\
&=0,2\times 0,1\\
&=0,02\end{align*}$
$\quad$
$\left(C,\conj{C}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P\left(\conj{C}\cap D\right) \\
&=0,02+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(D) \\
&=0,02+0,8\times 0,02 \\
&=0,036\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_D(C)&=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} \\
&=\dfrac{0,02}{0,036} \\
&=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
La probabilité que le casque soit contrefait sachant qu’il a un défaut est égale à $\dfrac{5}{9}$.
$\quad$

Partie 2

a. On répète $35$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. $X$ est égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0,036$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{35}{1}\times 0,036^1\times (1-0,036)^{35-1} \\
&=35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
&\approx 0,362\end{align*}$
La probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés exactement un casque présentant un défaut de conception est environ égale à $0,362$.
$\quad$
c.
$\begin{align*}P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
&=0,964^{35}+35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
&\approx 0,639\end{align*}$
$\quad$
On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,036$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
&\ssi P(Y=0)<0,01 \\
&\ssi 0,964^n <0,01 \\
&\ssi n\ln(0,964)<\ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \qquad \text{(car $\ln(0,964)<0$)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \approx 125,6$.
Il faut donc commander au moins $126$ casques pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3 7 points

Thème : suites, fonctions

$\quad$
$\begin{align*} u_1&=0,008u_1\left(200-u_1\right) \\
&=0,008\times 40(200-40)\\
&=51,2\end{align*}$
Selon ce modèle il y avait environ $52$ oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}
f(x)=x&\ssi 0,008x(200-x)=x \\
&\ssi 0,008x(200-x)-x=0 \\
&\ssi x\left(0,008(200-x)-1\right)=0 \\
&\ssi x(1,6-0,008x-1)=0 \\
&\ssi (0,6-0,008x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-0,008x=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{0,6}{0,008} \\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=75 \end{align*}$
Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont donc $0$ et $75$.
$\quad$
a. Il y a au moins deux méthodes pour répondre à la question :
– étudier le signe de $f'(x)$;
– utiliser les propriétés sur les variations des fonctions polynômes du second degré (ce qui va être fait ici)
Pour tout réel $x$ on a
$f(x)=-0,008x^2+1,6x$
Le coefficient principal est $a=-0,008<0$.
Ainsi $f$ admet un maximum au point d’abscisse $\dfrac{-1,6}{2\times (-0,008)} =100$.
La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;100]$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,008u_n\left(200-u_n\right)$
Donc $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1}\pp 100$.
Initialisation : $u_0=40$ et $u_1=51,2$. Or $0\pp 40\pp 51,2\pp 100$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
La fonction $f$ est croissante sur $[0;100]$.
Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(100)$
Soit $0\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 80\pp 100$. $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $100$.
Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
d. La fonction $f$ est continue sur $[0;100]$.
Donc $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution est $75$ d’après la question 2.
Ainsi $\ell=75$.
Cela signifie que sur le long terme la colonie comptera $75$ individus.
$\quad$
La fonction renvoie l’année où la population dépasse la valeur $p$ envoyée en paramètre.
La suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $75$. Elle ne peut donc pas prendre de valeurs supérieures à $100$.
Cela explique donc pourquoi $\texttt{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur.
Remarque : On se retrouve dans une boucle infinie!
$\quad$

Ex 4

Exercice 4 7 points

Thème : géométrie dans le plan et l’espace

Partie 1. Première méthode

On a $A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
$\quad$
$\vect{BK}\left(-1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
$\vect{AI}\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$ et $\vect{AG}(1;1;1)$.
Les vecteurs $\vect{AI}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas colinéaires.
$\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AI}&=-1\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AG}&=-1\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vect{BK}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AIG)$.
Par conséquent la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
$\quad$
$-2\vect{BK}(2;-1;-1)$ est normal au plan $(AIG)$.
Une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$.
Or $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
Ainsi, une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est $2x-y-z=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $(BK)$ est :
$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=-t\end{cases} \qquad ,\forall t\in \R$.
Remarque : plutôt que de prendre le vecteur $\vect{BK}$ comme vecteur directeur, on peut choisir $2\vect{BK}$ dont les coordonnées sont entières.
$\quad$
$2\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$ donc $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ appartient au plan $(AIG)$.
En prenant $t=-\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(BK)$ on retrouve les coordonnées du point $L$.
Ainsi $L$ appartient à la fois à la droite $(BK)$ et au plan $(AIG)$.
$L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $(AIG)$.
$\quad$
$\vect{BL}\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
$\begin{align*} BL&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
&=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\end{align*}$
La distance du point $B$ au plan $(AIG)$ est donc égale à $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
$\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

a. $ABCDEFGH$ est un cube. L’arête $[FG]$ est perpendiculaire au plan $(ABF)$ auquel appartient le point $I$.
Donc, dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
$\quad$
b. L’aire de $AIB$ est :
$\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AE\times AB}{2} \\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
De plus $GF=1$
Ainsi, le volume de $ABIG$ est :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times GF\times \mathscr{B} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$\quad$
Le triangle $AIG$ est donc isocèle en $I$.
La hauteur issue de $I$ coupe donc le côté $[AG]$ en son milieu $0$.
Ainsi $AO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Dans le triangle $AOI$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*}AI^2=AO^2+OI^2 &\ssi OI^2=AI^2-AO^2 \\
&\ssi OI^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4} \\
&\ssi OI^2=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Donc $OI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
L’aire du triangle $AIG$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{OI\times AG}{2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{3}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
$\quad$
On appelle $h$ la longueur de la hauteur issue de $B$ dans le tétraèdre $ABIG$
Ainsi
$\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times h\times \mathscr{A} &\ssi
\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}h\\
&\ssi h=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}} \\
&\ssi h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
On retrouve bien la valeur trouvée à la question 6. puisque :
$\begin{align*} \sqrt{\dfrac{2}{3}}&=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 7 points

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
$$
f(x)=x \ln (x)-x+1
$$
Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
a. $\ln (x)$
b. $\dfrac{1}{x}-1$
c. $\ln (x)-2$
d. $\ln (x)-1$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $g(x)=x^2\left[1-\ln (x)\right]$. Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte?
a. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=+\infty$
b. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=-\infty$
c. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$
d. La fonction $g$ n’admet pas de limite en $0$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-0,9 x^2-0,1 x$.
Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$ est :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. $3$
$\quad$
Si $H$ est une primitive d’une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
a. $K(x)=H(2 x)$
b. $K(x)=2 H(2 x)$
c. $K(x)=\dfrac{1}{2} H(2x)$
d. $K(x)=2 H(x)$
$\quad$
L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=x \e^x$ est :
a. $y=\e x+\e$
b. $y=2 \e x-\e$
c. $y=2 \e x+\e$
d. $y=\e x$
$\quad$
Les nombres entiers $n$ solutions de l’inéquation $(0,2)^n<0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que :
a. $n \pp 4$
b. $n \pp 5$
c. $n \pg 4$
d. $n \pg 5$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thèmes : probabilités

Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :

$20 \%$ des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
$2 \%$ des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
$10 \%$ des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :

$C:$ «le casque est contrefait »;
$D:$ : le casque présente un défaut de conception “;
$\conj{C}$ et $\conj{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$.

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.

Partie 1

Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que $P(D)=0,036$.
$\quad$
Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
$\quad$

Partie 2
On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

Dans cette question, $n=35$.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ où $n=35$ et $p=0,036$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
$\quad$
c. Calculer $P(X \pp 1)$.
$\quad$
Dans cette question, $n$ n’est pas fixé.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$
\left\{\begin{aligned}
u_0 & =40 \\
u_{n+1} & =0,008 u_n\left(200-u_n\right)
\end{aligned}\right.
$$
où $u_n$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $(2021+n)$.

Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $f(x)=0,008 x(200-x)$.
$\quad$
Résoudre dans l’intervalle $[0 ; 100]$ l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; 100]$ et dresser son tableau de variations.
$\quad$
b. En remarquant que, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
$$
0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100 .
$$
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
d. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(p) :}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{u = 40}\\
\quad \text{while u < p :}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\qquad \text{u = 0.008 * u * (200 – u)}\\
\quad \text{return (n+2021)}\\
\hline
\end{array}$$
L’exécution de $\text{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 1. Première méthode

Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.
On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ et $K\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
$\quad$
Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x-y-z=0$.
$\quad$
Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.
$\quad$
En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour coordonnées $L\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
$\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

a. Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.
$\quad$
On admet que $AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG=\sqrt{3}$.
Démontrer que l’aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d’aire.
$\quad$
En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 4 mai 2022

Polynésie – 4 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 7 points

Thèmes : fonctions, suites

$g$ est de la forme $\ln(u)$ dont la dérivée, quand elle existe, est $\dfrac{u’}{u}$.
Ici, pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1$.
Donc $g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$
Réponse d
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)-x$.
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
Pour tout $x\in ]0;+\infty[$,
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
&=\ln(x)+1-1\\
&=\ln(x)\end{align*}$
Réponde c
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*}a_n&=\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^{-n}}+1\right)}\\
&=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{3^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-1$
de plus $1<\dfrac{3}{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=-\infty$^.
Réponse a
$\quad$
La fonction $f’$ est strictement décroissante sur $[-2;0]$.
Donc $f$ est concave sur $[-2;0]$.
Réponse d
$\quad$
On a $f'(x)>0$ sur $[0;1[$ et $f'(x)<0$ sur $]1;2]$.
$f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;2]$.
$f$ admet donc un maximum en $1$ sur $[0;2]$.
Réponse c
$\quad$
Le programme b ne convient pas car on ne rentre jamais dans la boucle “while”.
Le programme c ne convient pas car on effectue $200$ fois la boucle “for” et la fonction renvoie la valeur de l’action après $200$ mois.
Le programme d ne convient pas il ne teste que la valeur initiale de l’action. Il s’arrête aussitôt après.
Réponse a
$\quad$
Remarque : Le programme a renvoie effectivement la bonne réponse mais il contient malgré tout une erreur. Il faudrait mettre un “<=” dans la boucle “while” pour exclure la situation (qui ne se produira pas au regard de la valeur initiale de “v”) où $v=200$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2 7 points

Thèmes : probabilités

On a $P(M)=0,07$ et $P_M(T)=0,8$
Donc
$\begin{align*} P(M\cap T)&=P(M)\times P_M(T) \\
&=0,07\times 0,8\\
&=0,056\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\left(M,\conj{M}\right)$ est un système complet d’événements.
D’après la formule des probabilités totales
$\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right) \\
&=0,056+P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
&=0,056+0,93\times 0,01 \\
&=0,065~3\end{align*}$
$\quad$
Il est plus pertinent de connaître $P_T(M)$ puisqu’on veut déterminer si la personne testée est malade.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,056}{0,065~3} \\
&\approx 0,86\end{align*}$
La probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
$\quad$
a. On répète $10$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. $X$ est égale au nombre d’individus ayant un test positif.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,065~3$.
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,065~3^2\times (1-0,065~3)^{10-2}\\
&=45\times 0,065~3^2\times 0,934~7^8\\
&\approx 0,11\end{align*}$
La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
$\quad$
On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’individus ayant un test positif.
Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065~3$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
&\ssi P(Y=0)<0,01 \\
&\ssi 0,934~7^n <0,01\\
&\ssi n\ln(0,934~7) <\ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)} \qquad \text{(car $\ln(0,934~7)<0$)}
\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)}\approx 68,2$.
Il faut donc tester au moins $69$ personnes pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif soit supérieur à $99\%$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3 7 points

Thèmes : suites

a.
$\begin{align*}u_1&=\dfrac{u_0}{1+u_0}\\
&=\dfrac{1}{1+1}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}u_2&=\dfrac{u_1}{1+u_1}\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}}\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\begin{align*}u_3&=\dfrac{u_2}{1+u_2}\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}\\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1.&\text{def liste(k):}\\
2.&\quad \text{L=[]}\\
3.&\quad \text{u = 1}\\
4.&\quad \text{for i in range(0,k+1):}\\
5.&\qquad \text{L.append(u)}\\
6.&\qquad \text{u = u / (1 + u)}\\
7.&\quad \text{return(L)}\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\
&=u_n\left(\dfrac{1}{1+u_n}-1\right) \end{align*}$
$u_n>0$ donc $1+u_n>1$ et $\dfrac{1}{1+u_n}<1$
Ainsi $u_{n+1}-u_n<0$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$.
La fonction $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
$\ell$ est donc solution de l’équation
$\begin{align*}x=\dfrac{x}{x+1} &\ssi x-\dfrac{x}{x+1}=0 \\
&\ssi x\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)=0 \\
&\ssi x\times \dfrac{x}{x+1}=0\\
&\ssi x=0\end{align*}$
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
$\quad$
a. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{1}{1+n}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
Initialisation : $u_0=1$ et $\dfrac{1}{1+0}=1$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+u_n}\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{1+\dfrac{1}{1+n}} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{\dfrac{1+n+1}{1+n}} \\
&=\dfrac{1}{1+(n+1)}\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4 7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

a. $\vect{AB}(-1;1;-3)$ et $\vect{AC}(4;7;1)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-1\times 4+1\times 7-3\times 1\\
&=-4+7-3 \\
&=0\end{align*}$
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
$\quad$
b. $\vect{BA}(1;-1;3)$ et $\vect{BC}(5;6;4)$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=1\times 5-1\times 6+3\times 4\\
&=5-6+12\\
&=11\end{align*}$
$\begin{align*} BA&=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\\
&=\sqrt{11}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{5^2+6^2+4^2} \\
&=\sqrt{25+36+16}\\
&=\sqrt{77}\end{align*}$
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}=BA\times BC\times \cos\left(\widehat{ABC}\right)&\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{77} \times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
&\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times \sqrt{7}\times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
&\ssi \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{7}}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{ABC}\approx 68$°.
$\quad$
a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;-1)$.
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires d’après la question 1.a.
De plus :
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=2\times (-1)-1\times 1-1\times (-3) \\
&=-2-1+3 \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AC}&=2\times 4-1\times 7-1\times 1 \\
&=8-7-1 \\
&=0\end{align*}$
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $ABC$.
$\vec{n}$ est donc un vecteur normal à $(ABC)$ et $\mathscr{P}$.
Par conséquent $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$
Le point $B(1;0;-3)$ appartient au plan $(ABC)$. Ses coordonnées vérifient donc son équation
$2\times 1-0-(-3)+d=0 \ssi d=-5$
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z-5=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est
$\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\end{cases} \qquad ,t\in \R$
$\quad$
d. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
$\begin{align*}\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2x-y-z-5=0\end{cases}& \ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\6t-9=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x=4\\y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{5}{2}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(4;\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2}\right)$.
$\quad$
On a $AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}$.
Ainsi l’aire du triangle $ABC$ est
$\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2} \\
&=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
$[HE]$ est la hauteur de la pyramide $ABCE$ associée à la base $ABC$
$\vect{HE}\left(-3;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
Par conséquent $HE=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$
Ainsi le volume de la pyramide $ABCE$ est :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11\sqrt{6}}{2}\times \sqrt{\dfrac{27}{2}} \\
&=16,5\end{align*}$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thèmes : fonctions, suites

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
$$
g(x)=\ln \left(x^2+x+1\right)
$$
Pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
a. $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 x+1}$
b. $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$
c. $g^{\prime}(x)=\ln (2 x+1)$
d. $g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x+1}{x^2+x+1}$.
$\quad$
La fonction $x \mapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $] 0; +\infty[$ la fonction :
a. $x \mapsto \ln (x)$
b. $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
c. $x \mapsto x \ln (x)-x$
d. $x \mapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par :
$$
a_n=\dfrac{1-3^n}{1+2^n}
$$
La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à :
a. $-\infty$
b. $-1$
c. $1$
d. $+\infty$.
$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2 ; 2]$. Le tableau de variations de la fonction $\boldsymbol{f}^{\prime}$ dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ est donné par :
$\quad$

$\quad$

La fonction $f$ est :
a. convexe sur $[-2 ;-1]$.
b. concave sur $[0 ; 1]$.
c. convexe sur $[-1 ; 2]$.
d. concave sur $[-2 ; 0]$.
$\quad$
On donne ci-dessous la courbe représentative de la dérivée $\boldsymbol{f}^{\prime}$ d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 4]$.
$\quad$

$\quad$

Par lecture graphique de la courbe de $f^{\prime}$, déterminer l’affirmation correcte pour $f$ :
a. $f$ est décroissante sur $[0 ; 2]$.
b. $f$ est décroissante sur $[-1 ; 0]$.
c. $f$ admet un maximum en $1$ sur $[0 ; 2]$.
d. $f$ admet un maximum en $3$ sur $[2 ; 4]$.
$\quad$
Une action est cotée à $57$ euros. Sa valeur augmente de $3\%$ tous les mois.
La fonction python $\text{seuil()}$ qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse $200$ euros est :
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : probabilités

Selon les autorités sanitaires d’un pays, $7 \%$ des habitants sont infectés par une certaine maladie.
Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \%$ des cas ;
pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1 \%$ des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.
On considère les événements suivants :

$M$ : «la personne est malade» ;
$T$ : le test est positif».

Calculer la probabilité de l’événement $M \cap T$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de $0,065~3$.
$\quad$
Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M) ?$
$\quad$
On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
$\quad$
On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
$\quad$
Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles ait un test positif, soit supérieure à $99 \%$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$
u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}
$$

a. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
$\quad$
b. Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que $\text{liste(k)}$ prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ à $u_k$.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1. &\text{def liste(k):} \\
2. & \quad\text{L = []} \\
3. & \quad\text{u = }\ldots \\
4. & \quad\text{for i in range (0, k+1):}\\
5.& \qquad \text{L.append(u)} \\
6. &\qquad \text{u =}\ldots \\
7. & \quad \text{return L}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$
Déterminer la valeur de sa limite.
$\quad$
a. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
$\quad$

Exercice 4 7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé où l’on considère :

les points $A(2 ;-1 ; 0)$, $B(1 ; 0 ;-3)$, $C(6 ; 6 ; 1)$ et $E(1 ; 2 ; 4)$;
le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $2 x-y-z+4=0$.

a. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
$\quad$
b. Calculer le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
$\quad$
c. En déduire la mesure en degrés de l’angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.
$\quad$
a. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $E$.
$\quad$
d. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $(ABC)$ a pour coordonnées $\left(4 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)$.
$\quad$
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$ où $\mathcal{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.
Calculer l’aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – mars 2021

Asie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (5 points)

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*}
f'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x-1\right)\e^x \\
&=\left(2x-2+x^2-2x-1\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3\right)\e^x\end{align*}$
L’affirmation A est donc fausse.
$f'(2)>0$ et $f(0)<0$ : l’affirmation B est donc fausse
Réponse C
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{3}{5}$
La droite d’équation $y=\dfrac{3}{5}$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
Réponse C
$\quad$
La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe à trois reprise.
La courbe représentant la fonction $f$ possède donc trois points d’inflexion.
Réponse B
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est une suite définie de manière explicite par un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction du second degré associée possède un minimum, d’abscisse $\dfrac{17}{2}$.
$\left(u_n\right)$ est donc minorée.
Réponse A
$\quad$
Cette fonction renvoie le plus entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 45$.
Réponse ARemarque :dans les faits cette fonction ne renvoie aucun résultat car la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $20$. Il est donc impossible que $u_n\pg 45$ !
$\quad$

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

On a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $D(0;1;0)$
Par conséquent $K\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$
Donc $\vect{AK}\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $\vect{AL}\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.
$\quad$
a. On a $\vec{n}.\vect{AK}=3-3+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AL}=0-3+3=0$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AKL)$.
C’est par conséquent un vecteur normal au plan $(AKL)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est donc de la forme $6x-3y+2z+d=0$.
Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est alors $6x-3y+2z=0$.
$\quad$
c. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Ainsi une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $$\begin{cases} x=6t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in \R$$
$\quad$
d. En prenant $t=\dfrac{3}{49}$, on constate que le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
De plus
$\begin{align*} 6\times \dfrac{18}{49}-3\dfrac{40}{49}+2\dfrac{6}{49}&=\dfrac{108}{49}-\dfrac{120}{49}+\dfrac{12}{49} \\
&=0\end{align*}$
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient donc également au plan $(AKL)$.
Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$.
$\quad$
a. L’aire de la base $ADK$ est
$\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{AD\times DK}{2} \\
&=\dfrac{1\times \dfrac{1}{2}}{2} \\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
Ainsi
$\begin{align*} \mathcal{V}&=\dfrac{\mathcal{A}\times DL}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{2}}{3} \\
&=\dfrac{1}{8}\end{align*}$
$\quad$
b. La distance du point $D$ au plan $(AKL)$ est
$\begin{align*} DN&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{40}{49}-1\right)^2+\left(\dfrac{6}{49}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{9}{49}} \\
&=\dfrac{3}{7}\end{align*}$
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} \mathcal{V}=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{\mathcal{A}_{AKL}\times DN}{3}=\dfrac{1}{8} \\
&\ssi \dfrac{3}{7}\mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{3}{8} \\
&\ssi \mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{7}{8}\end{align*}$
L’aire du triangle $AKL$ est donc $\dfrac{7}{8}$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3 (5 points)

Il y a $\dbinom{9}{3}=84$ façons différentes de positionner les trois cœurs.
$\quad$
Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une ligne pour gagner.
Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une colonne pour gagner.
Il y a $2$ façons de placer les cœurs sur une diagonale pour gagner.
La probabilité qu’un ticket soit gagnant est donc $\dfrac{3+3+2}{84}=\dfrac{2}{21}$.
$\quad$
On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joeur.
$G$ ne prend donc que $2$ valeurs $4$ et $-1$.
$p(G=4)=\dfrac{2}{21}$ et $p(G=-1)=\dfrac{19}{21}$.
L’espérance de $G$ est :
$\begin{align*} E(G)&=4\times \dfrac{2}{21}+(-1)\times \dfrac{19}{21} \\
&=-\dfrac{11}{21}\\
&<0\end{align*}$
Le jeu est donc défavorable au joueur.
$\quad$
a. On effectue $20$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : le joueur gagne ou le joueur perd.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{21}$.
$\quad$
b. $p(X=5)=\dbinom{20}{5}\left(\dfrac{2}{21}\right)^5\left(\dfrac{19}{21}\right)^{15} \approx 0,027$.
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-\left(\dfrac{19}{21}\right)^{20} \\
& \approx 0,865\end{align*}$
La probabilité qu’il y ait au moins un gagnant est environ égale à $0,865$.
$\quad$

Ex A

Exercice A (5 points)

Partie I : modèle discret

On a
$\begin{align*} u_1&=u_0+0,05\left(20-u_0\right) \\
&=1+0,05\times 19\\
&=1,95\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+0,05\left(20-u_n\right) \\
&=u_n+1-0,05u_n \\
&=0,95u_n+1\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=20-u_n$ soit $u_n=20-v_n$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=20-u_{n+1} \\
&=20-0,95u_n-1 \\
&=19-0,95u_n \\
&=19-0,95\left(20-v_n\right) \\
&=19-19+0,95v_n\\
&=0,95v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=20-1=19$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=19\times 0,95^n$.
Par conséquent $u_n=20-19\times 0,95^n$.
$\quad$
$-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,95^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=20$.
$\quad$

Partie II : modèle continu

La fonction $L$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout $t\pg 0$ on a d’une part :
$\begin{align*} L'(t)&=-19\times (-0,05)\e^{-0,05t}\\
&=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} 0,05\left(20-L(t)\right)&=0,05\left(20-20+19\e^{-0,05t}\right) \\
&=0,05 \times 19\e^{-0,05t} \\
&=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
Ainsi $L$ est solution de $(E)$.
De plus $L(0)=20-19=1$.
$\quad$
a. On a $L'(0)=0,95$ et $L'(5)=0,95\e^{-0,25} \approx 0,74$.
Ainsi $L'(0)>L'(5)$
$\quad$
b. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,05t=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} L'(t)=0$.
Ce résultat est cohérent avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice : le bambou croît de moins en moins rapidement et atteint finalement une taille de $20$ mètres. Au début de l’observation il mesure bien $1$ mètre.
$\quad$

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

On a pu saisir la formule $=B2-\ln(B2-1)$.
$\quad$
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $2$.
$\quad$

Partie II

$\lim\limits_{x\to 1} x-1=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(X)=-\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout $x>1$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{x-1} \\
&=\dfrac{x-1-1}{x-1} \\
&=\dfrac{x-2}{x-1}\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-2$.
Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$$\quad$
c. D’après la question précédente, la fonction $f$ admet $2$ pour minimum atteint pour $x=2$.
Ainsi, pour tout réel $x\pg 2, ~f(x)\pg 2$.
$\quad$

Partie III

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10\pg 2$. La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\in \N$.
Donc $u_n\pg 2$.
D’après la question précédente $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \pg 2$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 2$.
$\quad$
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= u_n-\ln\left(u_n-1\right)-u_n \\
&=-\ln\left(u_n-1\right)\end{align*}$
Or $u_n\pg 2$ donc $u_n-1\pg 1$ et $\ln\left(u_n-1\right)\pg 0$.
Donc $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$. Elle converge donc.
$\quad$
$\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
Or
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln(x-1)=x\\
&\ssi -\ln(x-1)=0\\
&\ssi x-1=1 \\
&\ssi x=2\end{align*}$
Par conséquent $\ell=2$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = \left(x^2-2x-1\right)\e^x$$
A. La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x-2)\e^x$.
B. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]-\infty;2]$.
C. $\ds\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \e^x}$.
Sa courbe représentative dans un repère admet :
A. une seule asymptote horizontale;
B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale;
C. deux asymptotes horizontales.
$\quad$
On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f”}$ représentant la fonction dérivée seconde $f”$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3,5;6]$.
$\quad$A.

La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;3]$.
B. La fonction $f$ admet trois points d’inflexion.
C. La fonction dérivée $f’$ de $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2-17n+20$.
A. La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.
B. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
C. L’un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à $2~021$.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() }:\\
\quad \text{u} = 2\\
\quad \text{n} = 0\\
\quad \text{while u} < 45 :\\
\qquad \text{u} = 0.75*u + 5\\
\qquad \text{n} = \text{n} + 1\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Cette fonction renvoie :
A. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$ ;
B. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 45$ ;
C. la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = AD = 1$ et $AE = 2$, représenté ci- dessous.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$. Le point $K$ est le milieu du segment $[DC]$.
Le point $L$ est défini par: $\vect{DL} = \dfrac{3}{2}\vect{AI}$. $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AI}\right)$.
On admet que le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AK}$ et $\vect{AL}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6;-3;2)$ est un vecteur normal au plan $(AKL)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(AKL)$.
$\quad$
c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(AKL)$.
$\quad$
d. En déduire que le point $N$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.
$\quad$

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$

a. Calculer le volume du tétraèdre $ADKL$ en utilisant le triangle $ADK$ comme base.
$\quad$
b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(AKL)$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $AKL$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

Justifier qu’il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
$\quad$
Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
$\quad$
Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève $1$ € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$ €. Le jeu est-il favorable au joueur?
$\quad$
Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
$\quad$
b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X = 5)$.
$\quad$
c. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X \pg 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés :

Suites
Équations différentielles

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale $20$ mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$ mètre.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l’observation. On a ainsi $u_0 = 1$.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité : $$u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20-u_n\right)~~ \text{pour tout entier naturel } n$$

Vérifier que $u_1 = 1,95$.
$\quad$
a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.
$\quad$
b. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = 20-u_n$.
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.
$\quad$
c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20-19 \times 0,95^n$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle $$(E) \qquad y’ = 0,05(20-y)$$ où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $y’$ désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction $L$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$L(t) = 20-19\e^{-0,05t}$$

Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu’on a également $L(0) = 1$.
$\quad$
On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L’$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant $t$.
a. Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.
$\quad$
b. Calculer la limite de la fonction dérivée $L’$ en $+\infty$.
Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

Suites, étude de fonction
Fonction logarithme

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\phantom{12345}A\phantom{12345} &B\\
\hline
1 &n&u_n\\
\hline
2 &0&10\\
\hline
3& 1&7,802~775~42\\
\hline
4& 2&5,885~444~74\\
\hline
5& 3&4,299~184~42\\
\hline
6& 4&3,105~509~13\\
\hline
7& 5&2,360~951~82\\
\hline
8& 6&2,052~767~5\\
\hline
9& 7&2,001~345~09\\
\hline
10& 8&2,000~000~9\\
\hline
\end{array}$$

Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
$\quad$
À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

Partie II :

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$

Calculer $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
$\quad$
a. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$.
$\quad$
b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$, complété par les limites.
$\quad$
c. Justifier que pour tout $x\pg 2$, $f(x) \pg 2$.
$\quad$

Partie III :

En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \pg 2$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
$\quad$
On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – mars 2021

Polynésie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a
$\begin{align*} u_1&=0,95\times 10~000+200 \\
&=9~700\end{align*}$
$\quad$
et
$\begin{align*} u_2&=0,95\times 9~700+200 \\
&=9~415\end{align*}$
$\quad$
a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10~000>4~000$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
$\begin{align*}
u_{n+1}&=0,95u_n+200 \\
&>0,95 \times 4~000+200\\
&>3~800+200\\
&>4~000\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n>4~000$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $4~000$. Elle converge donc.
$\quad$
a. $v_0=10~000-4~000=6~000$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$. $v_n=u_n-4~000 \ssi u_n=v_n+4~000$
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-4~000\\
&=0,95u_n+200-4~000\\
&=0,95u_n-3~800 \\
&=0,95\left(v_n+4~000\right)-3~800\\
&=0,95v_n+3~800-3~800\\
&=0,95v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=6~000$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=6~000\times 0,95^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} u_n&=v_n+4~000 \\
&=6~000\times 0,95^n+4~000\end{align*}$
$\quad$
d. $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 6~000\times 0,95^n=0$
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4~000$.
$\quad$
La population de cette espèce baisse de $5\%$ chaque année. Il reste donc $95\%$ de la population d’une année sur l’autre.
$200$ individus sont réintroduit chaque année.
En 2020, il y avait $10~000$ individus.
Par conséquent, la population de cette espèce peut être modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans les questions précédentes.
Sur le long terme, il restera $4~000$ individus.
Or $4~000<\dfrac{10~000}{2}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. On veut calculer
$\begin{align*} p(M\cap T)&=p(M)\times p_M(T) \\
&=0,07\times 0,8\\
&=0,056\end{align*}$
La probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif est $0,056$.
$\quad$
b. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*}
p(T)&=p(M\cap T)+p\left(\conj{M}\cap T\right)\\
&=0,056+0,93\times 0,01 \\
&=0,0653\end{align*}$
La probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,056}{0,0653} \\
&\approx 0,86\end{align*}$
La probabilité que la personne soit infectée sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
$\quad$
a. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,0653$.
$\quad$
b. On a
$\begin{align*} p(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,0653^2 \times (1-0,653)^8 \\
&\approx 0,11\end{align*}$
La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
$\quad$
On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
À chaque tirage, il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
On note $Y$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les $n$ personnes.
La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,0653$.
On veut
$\begin{align*} p(Y\pg 1)> 0,99 &\ssi 1-p(Y=0)>0,99 \\
&\ssi p(Y=0)<0,01 \\
&\ssi (1-0,0653)^n<0,01 \\
&\ssi 0,9347^n<0,01 \\
&\ssi n\ln(0,9347)<\ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)} \approx 63,2$.
Il faut donc tester au minimum $64$ personnes pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif soit supérieure à $99\%$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On a $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $H(0;1;1)$.
$\quad$
a. $[EG]$, $[ED]$ et $[GD]$ sont des diagonales de carrés dont les côtés ont la même longueur.
Par conséquent $EG=ED=GD$.
Le triangle $EGD$ est donc équilatéral.
$\quad$
b. Dans le triangle $EGH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} EG^2&=EH^2+GH^2 \\
&=1+1\\
&=2\end{align*}$
Par conséquent l’aire du triangle $EGD$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}EG^2 \\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
On a $\vect{BH}\begin{pmatrix} -1\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} \vect{BM}=\dfrac{1}{3}\vect{BH}&\ssi \begin{cases} x_M-1=\dfrac{1}{3}\times (-1) \\
y_M=\dfrac{1}{3}\times 1\\
z_M=\dfrac{1}{3}\times 1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_M=\dfrac{2}{3} \\y_M=\dfrac{1}{3}\\z_M=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
Ainsi les coordonnées de $M$ sont bien $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
a. On a $\vect{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{EG}&=-1+1+0\\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{ED}&=0+1-1\\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EGD)$.
Ainsi $\vec{n}$ est normal au plan $(EGD)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est de la forme $-x+y+z+d=0$.
Le point $E$ appartient au plan $(EGD)$ donc
$0+0+1+d=0 \ssi d=-1$.
Une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est donc $-x+y+z-1=0$.
$\quad$
c. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
$\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}-t\\y=\dfrac{1}{3}+t\\z=\dfrac{1}{3}+t\end{cases}\quad, t\in \R$.
$\quad$
a. Si on prend $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0$
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$ appartient donc au plan $(EGD)$ et à la droite $\mathcal{D}$.
Il s’agit par conséquent du point $K$.
$\quad$
b. On a
$\begin{align*} MK^2&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
Le volume de la pyramide $GEDM$ est donc
$\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{A}\times MK}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{3} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$\quad$

Ex A

Exercice A

Partie 1

$A(0;2)$ appartient à $\mathcal{C}$ donc $f(0)=2$.
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
Donc $f'(0)=\dfrac{0-2}{2-0}=-1$.
$\quad$
La fonction $f$ semble convexe sur l’intervalle $[0;3]$.
$\quad$

Partie 2

Les solutions de l’équation $(H)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=k\e^{-x}$ où $k\in \R$.
$\quad$
Soit $f$ une solution de l’équation $(E)$.
On a donc $f’=-f+\e^{-x}$ et $g’=-g+\e^{-x}$.
Ainsi, par différence $(f-g)’=-(f-g)$
Il existe donc $k\in \R$ tel que, pour tout réel $x$ on ait $(f-g)(x)=k\e^{-x}$ soit $f(x)=g(x)+k\e^{-x}$
Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-x}+k\e^{-x}$.
$\quad$
$f(0)=2 \ssi k=2$
Ainsi $f(x)=(x+2)\e^{-x}$ pour tout réel $x$.
$\quad$

Partie 3

a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}+(x+2)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
&=(1-x-2)\e^{-x} \\
&=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0 \ssi -x>1\ssi x<-1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}+(-x-1)\left(-\e^{-x}\right) \\
&=(-1+x+1)\e^{-x} \\
&=x\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi x\pg 0$.
La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$

Ex B

Exercice B

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

a. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;4]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout $x\in [1;4]$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=-30+\dfrac{35}{x} \\
&=\dfrac{-30x+35}{x} \\
&=\dfrac{35-30x}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. $35-30x=0 \ssi 30x=35 \ssi x=\dfrac{7}{6}$
$35-30x>0 \ssi -30x>-35 \ssi x<\dfrac{7}{6}$
On obtient le tableau de signes et de variations suivant :
$\quad$$\quad$
c. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left[1;\dfrac{7}{6}\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
$\quad$
Sur l’intervalle $\left[1;\dfrac{7}{6}\right]$ on a $f(x)\pg 20$.
L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
De plus $f\left(\dfrac{7}{6}\right) \approx 20,4 >0$ et $f(4)\approx -21,5<0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
$\quad$
L’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;4]$.
D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,915$.
$\quad$
D’après les questions précédentes on a donc le tableau de signes suivant :
$\quad$

Partie 2 : Optimisation

On a $B(2,5) \approx 23,925$
Lorsque l’entreprise vend $2~500$ litres de jus de fruits son bénéfice est environ égal à $23~925$ euros.
$\quad$
La fonction $B$ est dérivable sur $[1;4]$ en tant que somme et produits de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} B'(x)&=-15\times 2x+15+35\ln(x)+35x\times \dfrac{1}{x} \\
&=-30x+15+35\ln(x)+35 \\
&=-30x+50+35\ln(x)\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
a. D’après la question 1.3. $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;4]$.
$\quad$
b. La fonction $B$ atteint donc son maximum en $\alpha$.
L’entreprise doit donc vendre environ $2~915$ litres de jus de fruits pour réaliser un bénéfice maximal.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=10~000$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1}=0,95 u_{n}+200$$

Calculer $u_{1}$ et vérifier que $u_{2}=9415$.
$\quad$
a. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n}>4000$$
$\quad$
b. On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Justifier qu’elle converge.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par : $v_{n}=u_{n}-4~000$.
a. Calculer $v_{0}$.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n}=4~000+6~000 \times 0,95^{n} $$
$\quad$
d. Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier la réponse.
$\quad$
En 2020, une espèce animale comptait 10000 individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de $5 \%$ chaque début d’année.
Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
Une responsable d’une association soutenant cette stratégie affirme que : « l’espèce ne devrait pas s’éteindre, mais malheureusement, nous n’empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ». Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, $7 \%$ des habitants sont infectés par cette maladie. Parmi les individus infectés, $20 \%$ sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, $1 \%$ sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :

$M$ l’évènement: « la personne est infectée par la maladie » ;
$T$ l’évènement : « le test est positif ».

Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
$\quad$
a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif?
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
$\quad$
On sait que le test de la personne choisie est positif.
Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ?
On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
$\quad$
On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif.
On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
$\quad$
Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à $99 \%$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur égale à $1$
On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$. On considère le point $M$ tel que $\vect{BM}=\dfrac{1}{3} \vect{BH}$.

Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $G$ et $H$.
$\quad$
a. Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.
$\quad$
b. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4} c^{2}$.
Montrer que l’aire du triangle $EGD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\quad$
Démontrer que les coordonnées de M sont $\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
a. Justifier que le vecteur $\vec{n}(-1 ; 1 ; 1)$ est normal au plan $(EGD)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est : $-x+y+z-1=0$.
$\quad$
c. Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$.
Montrer qu’une représentation paramétrique de cette droite est :
$$\mathcal{D}:\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}-t\\y=\dfrac{1}{3}+t\\z=\dfrac{1}{3}+t\end{cases}, \quad t\in \R$$
$\quad$
Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure :Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.
a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$.
Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$
b. En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
$\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés :

Fonction exponentielle,
convexité,
dérivation,
équations différentielles.

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$ :

On considère les points $A(0 ; 2)$ et $B(2 ; 0)$.

Partie 1

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par $A$ et que la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, donner par lecture graphique :

La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
$\quad$
Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
$\quad$

Partie 2

On note $(E)$ l’équation différentielle $y’=-y+\e^{-x}$.
On admet que $g: x \mapsto x\e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.

Donner toutes les solutions sur $\R$ de l’équation différentielle $(H) ∶ y’ = -y$.
$\quad$
En déduire toutes les solutions sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
$\quad$

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2) \e^{-?}$.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
a. Montrer que pour tout $x\in \R$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in \R$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\R$.
On ne précisera ni la limite de $f$ en $-\infty$ ni la limite de $f$ en $+\infty$.
On calculera la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $\R$.
$\quad$
On rappelle que $f\dsec$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
a. Calculer pour tout $x\in \R$, $f\dsec(x)$.
$\quad$
b. Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

Fonction logarithme népérien,
dérivation.

Cet exercice est composé de deux parties.
Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; 4]$ par $: f(x)=-30 x+50+35 \ln (x)$.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
a. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1 ; 4]$, montrer que :
$$f'(x)=\frac{35-30 x}{x}$$
$\quad$
b. Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[1 ; 4]$.
$\quad$
c. En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.
$\quad$
Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; 4]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
$\quad$
Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in[1 ; 4]$.
$\quad$

$\quad$

Partie 2: Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l’intervalle $[1;4]$, l’analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l’expression donnée en milliers d’euros par :
$$B(x)=-15 x^{2}+15 x+35 x \ln (x) $$

D’après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend $2~500$ litres de jus de fruits.
On donnera une valeur approchée à l’euro près de ce bénéfice.
$\quad$
Pour tout ? de l’intervalle $[1 ; 4]$, montrer que $B'(x)=f(x)$ où $B’$ désigne la fonction dérivée de $B$.
$\quad$
a. À l’aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1 ; 4]$.
$\quad$
b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l’entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – juin 2021

Métropole – juin 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ puisque $f\dsec$ existe.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}\times x-\e^{2x}}{x^2} \\
&=\dfrac{(2x-1)\e^{2x}}{x^2}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-1$.
Or $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
Elle admet donc un minimum en $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Remarque : On pouvait répondre à cette question en traçant la courbe représentant la fonction sur la calculatrice.
$\quad$
Réponse c
$\quad$
Pour tout réel $x\neq 0$ on a $\dfrac{\e^{2x}}{x}=2\times \dfrac{\e^{2x}}{2x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +2\infty} 2x=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}}{x}=+\infty$
Réponse a
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-2x+1$.
Son discriminant est :
$\Delta=(-2)^2-2\times 4\times 1=-4<0$.
Le coefficient principal est $a=2>0$.
Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ et $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
Réponse b
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

PARTIE I

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T)\\
&=0,05\times 0,98\\
&=0,049\end{align*}$
La probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la
chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à $0,049$.
$\quad$
b. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
p(T)&=p(D)\times p_D(T)+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T)\\
&=0,05\times 0,98+0,95\times 0,03\\
&=0,077~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,049}{0,077~5}\\
&\approx 0,63\end{align*}$
La valeur prédictive positive de ce test est environ égale à $0,63<0,95$.
Ce test n’est donc pas efficace.
$\quad$

PARTIE II

On effectue $20$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $D$ et $\conj{D}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=20$ et $p=0,05$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-0,95^{20} \\
&\approx 0,64\end{align*}$
La probabilité pour que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ égale à $0,64$.
$\quad$
L’espérance est $E(X)=20 \times 0,05=1$.
Cela signifie qu’en moyenne il y a une pièce défectueuse par échantillon de $20$ pièces.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

I – Premier modèle

$1,3-(-19)=20,3$. Cela signifie qu’à chaque minute la température augmente de $2,03$ °C.
Au bout de $25$ minutes, selon ce modèle, la température des gâteaux serait donc de $-19+25\times 2,03=31,75$ °C.
La température ambiante est de $25$ °C. Les gâteaux ne peuvent pas avoir une température supérieure à la température ambiante.
Ce modèle n’est donc pas pertinent.
$\quad$

II – Second modèle

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} T_{n+1}&=T_n-0,06\left(T_n-25\right) \\
&=T_n-0,06T_n+1,5\\
&=0,94T_n+1,5\end{align*}$
$\quad$
On a donc $T_1=0,94\times (-19)+1,5\approx -16,4$
$T_2=0,94 \times T_1+1,5 \approx -13,9$
$\quad$
Initialisation : Si $n=0$ alors $T_0=-19 \pp 25$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
$\begin{align*} T_{n+1}&=0,94T_n+1,5\\
&\pp 0,94 \times 25+1,5 \\
&\pp 25\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\pp 25$.
$\quad$
Ce résultat était prévisible dans la mesure où, en se réchauffant à température ambiante, les gâteaux ne peuvent pas avoir une température supérieure à celle de la pièce.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n=-0,06\times \left(T_n-25\right)$
Or $T_n-25 \pp 0$. Donc $T_{n+1}-T_n\pg 0$.
La suite $\left(T_n\right)$ est par conséquent croissante.
$\quad$
La suite $\left(T_n\right)$ est croissante et majorée par $25$. Elle est donc convergente.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a
$\begin{align*} U_{n+1}&=T_{n+1}-25 \\
&=0,94T_n+1,5-25 \\
&=0,94T_n-23,5 \\
&=0,94\left(U_n+25\right)-23,5 \\
&=0,94U_n+23,5-23,5\\
&=0,94U_n\end{align*}$
La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $U_0=T_0-25=-44$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=-44 \times 0,94^n$.
Donc $T_n=U_n+25=-44\times 0,94^n+25$.
$\quad$
c. $-1<0,94<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,94^n =0$
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=25$.
Sur le long terme la température des gâteaux sera donc de $25$°C.
$\quad$
a. On a $T_{30}\approx 18$.
La température des gâteaux est donc environ égale à $18$ °C au bout d’une demi-heure.
$\quad$
b. À l’aide de la calculatrice on trouve que $T_{17} \approx 9,6$ et $T_{18} \approx 10,6$. De plus la suite $\left(T_n\right)$ est croissante.
Cécile doit donc attendre entre $17$ et $18$ minutes pour déguster son gâteau.
$\quad$
Remarque : Si on veut retrouver ce résultat par le calcul.
$\begin{align*} T_n=10&\ssi -44\times 0,94^n+25=10 \\
&\ssi -44\times 0,94^n=-15 \\
&\ssi 0,94^n =\dfrac{15}{44} \\
&\ssi n\ln(0,94)=\ln\left(\dfrac{15}{44}\right) \\
&\ssi n=\dfrac{\ln\left(\dfrac{15}{44}\right) }{\ln(0,94)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{15}{44}\right) }{\ln(0,94)}\approx 17,4$.
$\quad$
c. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
\hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
\hspace{1.5cm} \text{T = -19} \\
\hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T < 10} : \hspace{1cm} \\
\hspace{2cm} \text{T = 0.94 * T + 1.5} \\
\hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
\hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Ex A

Exercice A

La droite $d$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}$ et passe par le point $0$.
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad, t\in \R$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} AM^2&=(t-1)^2+(t-3)^2+2^2 \\
&=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4\\
&=2t^2-8t+14\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient principal de l’expression du second degré $2t^2-8t+14$ est $2>0$.
Elle admet donc un minimum atteint pour $t=\dfrac{8}{2\times 2}=2$.
Ainsi le point $M_0(2;2;0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel $AM^2$ est minimal et donc pour lequel la distance $AM$ est minimale.
$\quad$
$\vect{AM_0}\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\end{pmatrix}$
Donc $\vect{AM_0}.\vec{u}=1-1+0=0$
Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
$\quad$
Le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal au plan d’équation $z=0$. Les points $A’$ et $M_0$ appartiennent à ce plan. Par conséquent $\vec{u}.\vect{A’M_0}=0$.
Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal aux vecteurs (non colinéaires) $\vect{A’M_0}$ et $\vect{AM_0}$.
La droite $d$ est par conséquent orthogonale au plan $\left(AA’M_0\right)$.
$M_0$ appartient à la droite $d$, droite qui passe par le point $O$..
Le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$.
$\quad$
On a $AA’=2$ et $M_0A’=\sqrt{(2-1)^2+(2-3)^2+0^2}=\sqrt{2}$.
De plus $OM_0=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$
Ainsi le volume de la pyramide $OM_0A’A$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2\times \sqrt{2}}{2}\times \sqrt{8} \\
&=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex B

Exercice B

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} u'(x)&=2x\e^x+x^2\times \e^x \\
&=2x\e^x+u(x)\end{align*}$
Par conséquent $u$ est une solution particulière de $(E)$.
$\quad$
a. Si $f $est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$ et
$\begin{align*} g'(x)&=f'(x)-u'(x) \\
&=f(x)+2x\e^x-\left(u(x)+2x\e^x\right) \\
&=f(x)+2x\e^x-u(x)-2x\e^x\\
&=f(x)-u(x)\\
&=g(x) \end{align*}$
$g$ est donc solution de l’équation différentielle $y’=y$.
$\quad$
b. Une solution de l’équation $y’=y$ est la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$.
Ainsi, pour tout réel $x$,
$\begin{align*} f(x)&=g(x)+u(x) \\
&=\e^x+x^2\e^x\end{align*}$
$\quad$
Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
a. et b. Pour tout réel $x$, on a d’après les calculs faits à la question 1., $u'(x)=(2+x)x\e^x$.
Or $2+x=0 \ssi x=-2$ et $2+x>0 \ssi x>-2$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
$\quad$
c. $u’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x\e^x+x^2\e^x$ donc
$\begin{align*} u\dsec(x)&=2\e^x+2x\e^x+2x\e^x +x^2\e^x \\
&=\left(2+4x+x^2\right)\e^x \end{align*}$
Le signe de $u\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+4x+2$.
Son discriminant est $\Delta=4^2-2\times 4=8>0$.
Ses racines sont donc $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{8}}{2}=-2-\sqrt{2}$ et $x_2=-2+\sqrt{2}$.
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent $u\dsec(x)<0$ sur $\left]-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right[$.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave est $\left[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right]$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par:
$$f(x)=\dfrac{\e^{2 x}}{x}$$
On donne l’expression de la dérivée seconde $f\dsec$ de $f$, définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par:
$$f\dsec(x)=\dfrac{2 \e^{2 x}\left(2 x^{2}-2 x+1\right)}{x^{3}}$$

La fonction $f’$, dérivée de $f$, est définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par ;
a. $f'(x)=2 e^{2 x}$
b. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(x-1)}{x^{2}}$
c. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(2 x-1)}{x^{2}}$
d. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(1+2 x)}{x^{2}}$
$\quad$
La fonction $f$ :
a. est décroissante sur $] 0 ;+\infty[$
b. est monotone sur $] 0 ;+\infty[$
c. admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$
d. admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$
$\quad$
La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
a. $+\infty$
b. $0$
c. $1$
d. $\e^{2 x}$
$\quad$
La fonction $f$ :
a. est concave sur $] 0$; $+\infty[$
b. est convexe sur $] 0 ;+\infty[$
c. est concave sur $\left] 0 ; \dfrac{1}{2}\right]$
d. est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $5\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles: « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note $p(E)$ la probabilité d’un événement $E$.

On considère les événements suivants:

$D$ : « la pièce est défectueuse »;
$T$ : « la pièce présente un test positif »;
$\conj{D}$ et $\conj{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle défectueuse est égale à $0,98$ ;
La probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à $0,97$ .

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
$\quad$
b. Démontrer que : $p(T)=0,077~5$.
$\quad$
On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$ . Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.
$\quad$

PARTIE II

On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon. On rappelle que: $p(D)=0,05$.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
$\quad$
Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On donnera un résultat arrondi au centième.
$\quad$
Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 6 points

Cécile a invite des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$ °C et les apporte sur la terrasse où la température ambiante est de $25$ °C.

Au bout de $10$ minutes la température des gâteaux est de $1,3$ °C.

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c’est-à-dire que l’augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux $25$ minutes après leur sortie du congélateur.

Ce modèle semble-t-il pertinent?
$\quad$

II – Second modèle

On note $T_{n}$ la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur; ainsi $T_{0}=-19$.

On admet que pour modéliser L’évolution de la température, on doit avoir la relation suivante:
pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_{n}=-0,06 \times\left(T_{n}-25\right)$.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $T_{n+1}=0,94 T_{n}+1,5$.
$\quad$
Calculer $T_{1}$ et $T_{2}$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
$\quad$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n} \pp 25$. En revenant a la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible?
$\quad$
Etudier le sens de variation de la suite $\left(T_{n}\right)$.
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(T_{n}\right)$ est convergente.
$\quad$
On pose, pour tout entier naturel $n, U_{n}=T_{n}-25$.
a. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_{0}$.
$\quad$
b. En déduire que pour tout entier naturel $n, T_{n}=-44 \times 0,94^{n}+25$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
$\quad$
a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure a température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.
$\quad$
b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, à la température de $10$ °C. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
$\quad$
c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier $n$ pour laquelle $T_{n} \pg 10$.$$\begin{array}{|l|}
\hline
\hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
\hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
\hspace{1.5cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
\hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T }\ldots\ldots : \hspace{1cm} \\
\hspace{2cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
\hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
\hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
\hline
\end{array}$$Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.
$\quad$

$\quad$

Exercice au chois du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
II indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

Principaux domaines abordés:

Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé;
orthogonalité dans l’espace.

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ on considère :

le point $A$ de coordonnées $(1 ; 3 ; 2)$,
le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$,
la droite $d$ passant par l’origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}$.

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
$\quad$
Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t ; t ; 0)$.
a. On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que :$$AM^2=2 t^{2}-8 t+14$$
$\quad$
b. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2 ; 2 ; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
$\quad$
Démontrer que les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
$\quad$
On appelle $A’$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d’équation cartésienne $z=0$. Le point $A’$ admet donc pour coordonnées $(1 ; 3 ; 0)$.
Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$, origine du repère.
$\quad$
Calculer le volume de la pyramide $OM_0A’A$.
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par: $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés:

Équations différentielles;
fonction exponentielle.

On considère l’équation différentielle $(E): y’=y+2 x \e^{x}$.

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=x^{2} \e^{x}$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u’$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.
$\quad$
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par :$$g(x)=f(x)-u(x)$$
a. Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l’équation différentielle : $y’=y$. On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
$\quad$
b. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle $y’=y$, résoudre l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
a. Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\R$.
$\quad$
b. Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).
$\quad$
c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
$\quad$

$\quad$