Applications du calcul matriciel

I Systèmes linéaires

Propriété 1 : Un système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ $$\begin{cases}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\ldots+a_{1,n}x_n=b_1\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\ldots+a_{2,n}x_n=b_2\\\ldots \\a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\ldots+a_{n,n}x_n=b_n\end{cases}$$ peut s’écrire sous la forme $AX=B$ où $A=\left(a_{ij}\right)$ est une matrice carrée d’ordre $n$ et $X=\left(x_i\right)$ et $B=\left(b_i\right)$ sont deux matrices colonnes à $n$ lignes.
De plus, si $A$ est inversible alors le système possède une unique solution donnée par $X=A^{-1}B$.

Exemple : On considère le système $\begin{cases} 2x+3y+5z=5\\4x-5y+z=-23\\-2x+4y-6z=16\end{cases}$
En considérant $A=\begin{pmatrix}2&3&5\\4&-5&1\\-2&4&-6\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}5&-23&16\end{pmatrix}$ le système s’écrit alors $AX=B$.
À l’aide de la calculatrice on constate que la matrice $A$ est inversible.
Donc $X=A^{-1}B$ soit $X=\begin{pmatrix}-2&3&0\end{pmatrix}$.
$\quad$

$\quad$

II Transformations géométriques

On munit le plan d’un repère orthonormé direct $\Oij$, c’est-à-dire que $\left(\vec{i},\vec{j}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.

Propriété 2 (translation) : On considère deux réels $a$ et $b$ et la translation $t$ de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. La translation $t$ associe à tout point $M(x;y)$ du plan le point $M’\left(x’;y’\right)$ tel que $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$

Preuve Propriété 2

En effet :
$\begin{align*} t(M)=M’&\ssi \vect{MM’}=\vec{u} \\
&\ssi \begin{cases} x’-x=a\\y’-y=b \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x’=x+a\\y’=y+b\end{cases} \\
&\ssi \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$. On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(5;4)$ par cette translation.
Ainsi :
$\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}\end{align*}$.
Le point $M’$ a donc pour coordonnées $(8;2)$.

Propriété 3 (rotation de centre $\boldsymbol{O}$) : On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(x;y)$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$.
On a alors : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta\\\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Preuve Propriété 3

On note $z=x+\ic y$ l’affixe du point $M$ et $z’=x’+\ic y’$ l’affixe du point $M’$.
$M’$ est l’image du point $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$
$\ssi z’=z\e^{\ic \theta}$
$\ssi x’+\ic y’=(x+\ic y)\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)$
$\ssi x’+\ic y’=x\cos \theta -y\sin \theta +y\ic \cos \theta +x\ic \sin \theta $
$\ssi \begin{cases} x’=x\cos \theta -y\sin \theta \\y’=x\sin \theta+y\cos \theta\end{cases}$
$\ssi \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta\\\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : Si $\theta =\dfrac{\pi}{3}$ on a alors $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
Ainsi si $M’\left(x’;y’\right)$ est l’image du point $M(-2;4)$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$ on a :
$\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}-1-2\sqrt{3}\\2-\sqrt{3}\end{pmatrix}\end{align*}$

Remarques :

Si $\theta=\pi$ (symétrie centrale de centre $O$) la matrice associée à la rotation est $M=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
Pour obtenir les coordonnées du point $M’$ image du point $M$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\theta$ on effectue une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ puis on applique une translation de vecteur $\vect{OA}$.

Propriété 4 : On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(x;y)$ par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses
On a alors : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Preuve Propriété 4

Le point $M’$ a en effet pour coordonnées $(x;-y)$ et $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Propriété 5 : On appelle $M’\left(x’;y’\right)$ l’image du point $M(x;y)$ par la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
On a alors : $$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Preuve Propriété 5

Le point $M’$ a en effet pour coordonnées $(-x;y)$ et $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

III Suites récurrentes

1. Suites récurrentes imbriquées

Exemple : On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$, $b_0=2$ et $\begin{cases} a_{n+1}=-2a_n+3b_n\\b_{n+1}=a_n-4b_n\end{cases}$.

On considère la suite de matrices colonnes $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
On a alors $U_{n+1}=AU_n$ avec $A=\begin{pmatrix}-2&3\\1&-4\end{pmatrix}$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
On constate que $A=PDP^{-1}$ où $P=\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}-5&0\\0&-1\end{pmatrix}$.
On montre alors par récurrence que $A^n=PD^nP^{-1}$.
Après calcul, on obtient $A^n=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}(-5)^n+3\times(-1)^n&-3\times (-5)^n+3\times (-1)^n\\-(-5)^n+(-1)^n&3\times (-5)^n+(-1)^n\end{pmatrix}$.
Ainsi $U_n=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{4}\times (-1)^n-\dfrac{5}{4}\times (-5)^n\\\dfrac{3}{4}\times (-1)^n+\dfrac{5}{4}\times 5^n\end{pmatrix}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$\begin{cases} a_n=\dfrac{9}{4}\times (-1)^n-\dfrac{5}{4}\times (-5)^n\\b_n=\dfrac{3}{4}\times (-1)^n+\dfrac{5}{4}\times 5^n\end{cases}$$

$\quad$

2. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Exemple (tiré du bac S métropole septembre 2018) : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$, $u_1=6$ et, pour tout entier naturel $n$ $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$.
On considère la suite de matrices colonnes $\left(U_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $U_n=\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$.
On a alors $U_{n+1}=AU_n$ où $A=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=A_nU_0$.
On montre, par récurrence, que $A^n=2^nB+4^nC$ où $B=\begin{pmatrix}2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}-1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$.
On obtient alors $U_n=\begin{pmatrix}-2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_n=-2^n+2\times 4^n$$

$\quad$