Calcul matriciel

I Notion de matrices

Définition 1 : On considère deux entiers naturels $m$ et $n$ non nuls.
Une matrice de taille $\boldsymbol{m\times n}$ est un tableau rectangulaire de nombres réels de $m$ lignes et de $n$ colonnes.
Le coefficient d’une matrice $A$ situé sur la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne est noté $a_{ij}$.
L’ensemble des matrices à coefficients réels de taille $m\times n$ est noté $\mathscr{M}_{m,n}(\R)$.

Remarque :

On parle également de matrice de dimension $m\times n$.
On note souvent les matrices ainsi $A=\left(a_{ij}\right)$.

Exemples :

$A=\begin{pmatrix} 1&7\\-2&5\\8&0\end{pmatrix}$ est une matrice de taille $3\times 2$.
$a_{1,2}=7$ et $a_{3,1}=8$
$B=\begin{pmatrix} 1&-2&5&7\\
0&4&-1&3\end{pmatrix}$ est une matrice de taille $2\times 4$.
$b_{1,3}=5$ et $b_{2,4}=3$

Remarque : On note parfois les matrices avec des crochets. $A=\begin{bmatrix} 1&7\\-2&5\\8&0\end{bmatrix}$

Définition 2 :

Si $m=1$ on dit qu’il s’agit d’une matrice ligne;
Si $n=1$ on dit qu’il s’agit d’une matrice colonne;
Si $m=n$ on dit qu’il s’agit d’une matrice carré d’ordre $\boldsymbol{n}$.

Exemples :

$A=\begin{pmatrix} -3&5&8&1\end{pmatrix}$ est une matrice ligne.
$B=\begin{pmatrix}7\\-2\\-5\\3\end{pmatrix}$ est une matrice colonne.
$C=\begin{pmatrix}4&8&0\\3&-4&-3\\2&9&1\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d’ordre $3$.

Définition 3 :

On dit qu’une matrice $A$ d’ordre $n$ est une matrice diagonale si tous ses coefficients sont nuls à l’exception de coefficients de la diagonale principale, c’est-à-dire de coefficients de la forme $a_{ii}$.
On appelle matrice identité d’ordre $\boldsymbol{n}$ la matrice diagonale $I_n$ dont les tous coefficients diagonaux sont égaux à $1$.
La matrice nulle d’ordre $\boldsymbol{n}$ est la matrice carrée d’ordre $n$ notée $O_n$ dont tous les coefficients sont nuls.

Exemples :

Les matrices $\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&-4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ sont des matrices diagonales.
La matrice identité d’ordre $2$ est $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et la matrice identité d’ordre $3$ est $I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
La matrice nulle d’ordre $2$ est $O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et la matrice nulle d’ordre $3$ est $O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.

Définition 4 : Deux matrices $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ sont égales si :

$A$ et $B$ sont de la même taille $m\times n$;
Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $a_{ij}=b_{ij}$.

Définition 5 : Une matrice carrée $A=\left(a_{ij}\right)$ d’ordre $n$ est dite symétrique si pour tout $i\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $a_{ij}=a_{ji}$.

Exemple : La matrice $A=\begin{pmatrix}4&5&0\\5&1&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}$ est symétrique.

Définition 6 : On appelle matrice transposée d’une matrice $A$ de taille $m\times n$ la matrice notée ${}^tA$ de taille $n\times m$ où pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a ${}^ta_{ij}=a_{ji}$.

Exemples :

La matrice transposée de $A=\begin{pmatrix}1&4&7\\3&2&5\end{pmatrix}$ est ${}^tA=\begin{pmatrix}1&3\\4&2\\7&5\end{pmatrix}$.
La matrice transposée de $B=\begin{pmatrix}4&-1&9\\5&2&-3\\0&6&-7\end{pmatrix}$ est ${}^tB=\begin{pmatrix} 4&5&0\\-1&2&6\\9&-3&-7\end{pmatrix}$.

$\quad$

II Opérations sur les matrices

1. Somme de deux matrices

Définition 7 : On considère $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ deux matrices de taille $m\times n$.
La matrice somme des matrices $A$ et $B$ notée $A+B$ est la matrice $C=\left(c_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ telle que pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

Exemple : On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 1&2&5&4\\-2&3&6&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-3&2&4&1\\2&-1&7&9\end{pmatrix}$
On a alors $A+B=\begin{pmatrix}-2&4&9&5\\0&2&13&9\end{pmatrix}$.

Propriété 1 : On considère $A=\left(a_{ij}\right)$, $B=\left(b_{ij}\right)$ et $C=\left(c_{ij}\right)$ trois matrices de taille $m\times n$.

$A+B=B+A$ On dit que la somme de deux matrices est commutative.
$(A+B)+C=A+(B+C)$ On dit que la somme est associative.

Preuve Propriété 1

On note $D=A+B$ et $E=B+A$
Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a :
$$\begin{align*}d_{ij}&=a_{ij}+b_{ij} \\
&=b_{ij}+a_{ij}\\
&=e_{ij}\end{align*}$$
Donc $D=E$ c’est-à-dire $A+B=B+A$
$\quad$
On note $D=A+B$, $E=D+C$, $F=B+C$ et $G=A+F$
Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a :
$$\begin{align*}e_{ij}&=d_{ij}+c_{ij} \\
&=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)+ci{ij}\\
&=a_{ij}+\left(b_{ij}+c_{ij}\right) \\
&=a_{ij}+f_{ij} \\
&=g_{ij}\end{align*}$$
Donc $(A+B)+C=A+(B+C)$
$\quad$

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$\quad$

2. Multiplication par un réel

Définition 8 : On considère une matrice $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ et un réel $k$.
Le produit de la matrice $\boldsymbol{A}$ par le réel $\boldsymbol{k}$ noté $kA$ est la matrice $B$ de taille $m\times n$ définie par pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $b_{ij}=k\times a_{ij}$.

Exemple : On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 7&5&-3\\2&1&0\end{pmatrix}$.
Alors $3A=\begin{pmatrix}21&15&-9\\6&3&0\end{pmatrix}$.

Propriété 2 : On considère deux matrices $A=\left(a_{ij}\right)$ et $B=\left(b_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ et deux réel $k$ et $k’$.

$1\times A=A$
$k(A+B)=kA+kB$ (distributivité)
$\left(k+k’\right)A=kA+k’A$

Preuve Propriété 2

Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $1\times a_{ij}=a_{ij}$
Donc $1\times A=A$
$\quad$
On note $C=A+B$ et $D=kC$
Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a
$$\begin{align*} d_{ij}&=kc_{ij}\\
&=k\left(a_{ij}+b_{ij}\right) \\
&=ka_{ij}+kb_{ij}\end{align*}$$
Donc $k(A+B)=kA+kB$
$\quad$
On note $B=\left(k+k’\right)A$
Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a
$$\begin{align*}]B_{ij}&=\left(k+k’\right)a_{ij} \\
&=ka_{ij}+k’a_{ij}\end{align*}$$
Donc $\left(k+k’\right)A=kA+k’A$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 3 : On considère deux matrices $A=\left(a_{ij}\right)$ et $O=\left(b_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ telles que tous les coefficients de la matrice $O$ soient nuls et un réel $k$.
$$kA=O \ssi k=0 \text{ ou } A=O$$

Preuve Propriété 3

Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $k\times a_{ij}=0 \ssi k=0$ ou $a_{ij}=0$
Ainsi
$kA=O \ssi k=0$ ou pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $a_{ij}=0$
Donc $kA=0 \ssi k=0$ ou $A=O$.
$\quad$

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$\quad$

Définition 9 : On considère une matrice $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $m\times n$ .
On appelle matrice opposée de la matrice $A$ notée $-A$ la matrice de taille $m\times n$ $B$ définie par $B=-1\times A$.

Remarques :

Pour tout $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$ et pour tout $j\in\lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $b_{ij}=-a_{ij}$.
Cela permet donc de définir des calculs matriciels de la forme $2A-3B$, $A-B$, $-1,5A-2,4B$, …

$\quad$

3. Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne

Définition 10 : On considère une matrice ligne $A=\left(a_{1,j}\right)$ de taille $1\times n$ et une matrice colonne $B=\left(b_{i,1}\right)$ de taille $n\times 1$.
On définit le produit $A\times B$ par $$\begin{align*} A\times B&=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{a_{1,1}}&\textcolor{blue}{a_{1,2}}&\ldots&\textcolor{Green}{a_{1,n}}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \textcolor{red}{b_{1,1}}\\\textcolor{blue}{b_{2,1}}\\\ldots \\\textcolor{Green}{b_{n,1}}\end{pmatrix} \\
&=\textcolor{red}{a_{1,1}}\times \textcolor{red}{b_{1,1}}+\textcolor{blue}{a_{1,2}}\times \textcolor{blue}{b_{2,1}}+\ldots+\textcolor{Green}{a_{1,n}}\times \textcolor{Green}{b_{n,1}}\end{align*}$$

Remarques : En reprenant les notations de la définition

Il faut donc que le nombre de colonnes de la matrice $A$ et le nombre de lignes de la matrice $B$ soient égaux.
le produit $B\times A$ n’est pas défini. Il faut donc bien faire attention à l’ordre des matrices qu’on utilise.
On note souvent $A\times B=\ds \sum_{j=1}^n a_{1,j}b_{j,1}$.

Exemple : Si $A=\begin{pmatrix}4&5&-3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}$ alors $$\begin{align*} A\times B&=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{4}&\textcolor{blue}{5}&\textcolor{Green}{-3}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \textcolor{red}{-2}\\\textcolor{blue}{6}\\ \textcolor{Green}{1}\end{pmatrix} \\
&=\textcolor{red}{4}\times \textcolor{red}{(-2)}+\textcolor{blue}{5}\times \textcolor{blue}{6}+\textcolor{Green}{(-3)}\times \textcolor{Green}{1}\\
&=19\end{align*}$$

$\quad$

4. Produit de deux matrices

Définition 11 : On considère une matrice $A=\left(a_{ij}\right)$ de taille $m\times \textcolor{red}{n}$ et une matrice $B=\left(b_{ij}\right)$ de taille $\textcolor{red}{n}\times p$.
La matrice produit de $A$ par $B$, noté $AB$ ou $A\times B$, est une matrice de taille $m\times p$ dont le coefficient $c_{ij}$ situé à la ligne $i$, où $i\in\lbrace 1,2,\ldots,m\rbrace$, et la colonne $j$ , où $j\in\lbrace 1,2,\ldots,p\rbrace$, est le produit de la ligne $i$ de la matrice $A$ et de la colonne $j$ de la matrice $B$.
On a ainsi $c_{ij}=\ds \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$.

Exemple : Si $A=\begin{pmatrix} 1&2&5\\3&-4&6\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}7&0&6&2\\-3&4&1&9\\-1&-2&0&5\end{pmatrix}$
$$\begin{array}{rcl}
&&\begin{pmatrix}7&\textcolor{Green}{0}&6&2\\-3&\textcolor{Green}{4}&1&9\\-1&\textcolor{Green}{-2}&0&5\end{pmatrix}\\
&\times&\\
\begin{pmatrix} 1&2&5\\\textcolor{Green}{3}&\textcolor{Green}{-4}&\textcolor{Green}{6}\end{pmatrix}&&\begin{pmatrix}–4&-2&8&45\\27&\textcolor{Green}{-28}&14&0\end{pmatrix}\end{array}$$
En effet $3\times 0+(-4)\times 4+6\times (-2)=-28$.

Remarques :

Le nombre de colonne de la matrice $A$ doit être égale au nombre de ligne de la matrice $B$.
En général, $AB\neq BA$

Propriété 4 : On considère $A=\left(a_{ij}\right)$, $B=\left(b_{ij}\right)$ et $C=\left(c_{ij}\right)$ dont les tailles sont compatibles avec les opérations menées et un réel $k$

$(AB)C=A(BC)=ABC$
$A(B+C)=AB+AC$
$(A+B)C=AC+BC$
$(kA)B=A(kB)=kAB$
$I_nA=AI_n=A$

Ces propriétés sont admises

Remarque : Il est possible que tous les coefficients de la matrice $AB$ soient nuls sans que les coefficients de la matrice $A$ ou ceux de la matrice $B$ soient tous nuls.

Définition 12 : On considère une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ et un entier naturel $k$ non nul.
On définit la $\boldsymbol{k}$-ième puissance de la matrice $A$ notée $A^k$ par $A^k=\underbrace{A\times A\times \ldots\times A}_{k\text{ fois}}$.

Remarques :

Ainsi $A^2=A\times A$, $A^3=A\times A\times A$, …
Par convention, si $A\neq O_n$ alors $A^0=I_n$.

Exemples :

$\begin{pmatrix}4&2\\-1&3\end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix}42&70\\-35&7\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-4&-1\\0&5&-7\end{pmatrix}^4=\begin{pmatrix}-269&780&-370\\147&-904&1~043\\1~170&-2~875&821\end{pmatrix}$

Propriété 5 (puissance d’une matrice diagonale) : On considère une matrice diagonale $D=\begin{pmatrix}d_1&0&\ldots& 0\\0&d_2&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots &0\\0&\ldots&0 &d_n\end{pmatrix}$ d’ordre $n$ et un entier naturel $p$ non nul.
On a alors $D^p$ est une matrice diagonale et $D^p=\begin{pmatrix}{d_1}^p&0&\ldots& 0\\0&{d_2}^p&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots &0\\0&\ldots&0 &{d_n}^p\end{pmatrix}$

Preuve Propriété 5

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $p=1$ alors $D^1=D$. $D^1$ est donc une matrice diagonale et, pour tout $i\in \lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $d_i={d_i}^1$.
La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p$, c’est-à-dire que $D^p$ est une matrice diagonale et $D^p=\begin{pmatrix}{d_1}^p&0&\ldots& 0\\0&{d_2}^p&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots &0\\0&\ldots&0 &{d_n}^p\end{pmatrix}$.
Montrons que la propriété est vraie au rang suivant.
On a $D^{p+1}=D^p\times D$. Pour simplifier l’écriture on va noter $M=D^p$ et $Q=D^{p+1}$ avec $M=\left(m_{ij}\right)$ et $Q=\left(q_{ij}\right)$.
Pour tout $i\in \lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$ et $j\in \lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $q_{ij}=\ds \sum_{k=1}^nm_{ik}d_{kj}$
$D$ et $M$ sont des matrices diagonales donc tous les coefficients qui ne sont pas situés sur la diagonale sont nuls
– Si $i\neq j$ alors $q_{ij}=m_{ii}d_{ij}+m{ji}d_{jj}$
Or $d_{ij}=0$ et $m{ji}=0$
Donc $q_{ij}=0$.
La matrice $Q=D^{p+1}$ est donc diagonale
– Si $i=j$ alors
$\begin{align*} q_{ii}&=m_{ii}d_{ii}\\
&={d_{ii}}^p\times d_{ii}\\
&={d_{ii}}^{p+1}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $p+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $p$ non nul $D^p$ est une matrice diagonale et $D^p=\begin{pmatrix}{d_1}^p&0&\ldots& 0\\0&{d_2}^p&\ddots &\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots &0\\0&\ldots&0 &{d_n}^p\end{pmatrix}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $\begin{pmatrix} 5&0&0\\0&-1&0\\0&0&4\end{pmatrix}^7=\begin{pmatrix} 5^7&0&0\\0&(-1)^7&0\\0&0&4^7\end{pmatrix}$

$\quad$

III Inverse d’une matrice

Définition 13 : Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est dite inversible si, et seulement si, il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $AB=BA=I_n$.
On dit alors que la matrice $B$ est l’inverse de la matrice $A$ et on la note $A^{-1}$.

Remarque : Toutes les matrices ne sont pas inversibles.

Exemple : On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}$ et la matrice $B=\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}$
On a alors $\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-7\\-1&4\end{pmatrix}$.

Propriété 6 : Si la matrice $A$ est inversible alors son inverse est unique.

Preuve Propriété 6

On suppose que la matrice carré $A$ d’ordre $n$ est inversible et qu’il existe deux matrices carrées $B$ et $C$ d’ordre $n$ telles que $AB=BA=I_n$ et $AC=CA=I_n$.
On a donc $AB=AC$.
En multipliant à gauche par $B$ on obtient $(BA)B=(BA)C$ soit $B=C$.
Ce qui prouve l’unicité de l’inverse.

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$\quad$

Définition 14 : On considère une matrice carrée $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ d’ordre $2$.
On appelle déterminant de la matrice $A$ le nombre $\text{det}(A)=ad-bc$.

Exemple : Si $A=\begin{pmatrix}4&7\\1&2\end{pmatrix}$ alors
$\begin{align*}\text{det}{A}&=4\times 2-7\times 1\\
&=1\end{align*}$

Propriété 7 : On considère une matrice carrée $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ d’ordre $2$.
$A$ est inversible si, et seulement si, $\text{det}(A)\neq 0$.
Dans ce cas $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

Preuve Propriété 7

On note $B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

On a $AB=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}$.
Ainsi $AB =(ad-bc)I_2$.

Si $ad-bc\neq 0$ alors $A$ est inversible et son inverse est $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Si $ad-bc=0$ on a alors $AB =O_2$
Supposons que la matrice $A$ soit inversible d’inverse $A^{-1}$
On a alors $\left(A^{-1}A\right)B=A^{-1}O_2$ soit $B=O_2$.
Cela signifie donc que $a=0$, $b=0$, $c=0$ et $d=0$.
Par conséquent $A=O_2$ et cette matrice n’est pas inversible.
Il y a donc une contradiction.

Ainsi $A$ est inversible si, et seulement si, $\text{det}(A)\neq 0$.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : Pour des matrices carrées $A$ d’ordre $n$ avec $n>2$ on définit également un nombre appelé déterminant et noté $\text{det}(A)$ et la matrice $A$ est inversible si, et seulement si, $\text{det}(A)\neq 0$.

Exemples :

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 8&3\\-2&5\end{pmatrix}$
On a
$\begin{align*} \text{det}(A)&=8\times 5-(-2)\times 3\\
&=46\\
&\neq 0\end{align*}$
Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{46}\begin{pmatrix}5&-3\\2&8\end{pmatrix}$.
$\quad$
On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}2&-3\\6&-9\end{pmatrix}$
On a
$\begin{align*} \text{det}(B)&=2\times (-9)-(-3)\times 6 \\
&=-18+18\\
&=0\end{align*}$
La matrice $B$ n’est pas inversible.

Propriété 8 : On considère une matrice inversible $A$ et un réel $k$ non nul.
La matrice $kA$ est inversible d’inverse $\dfrac{1}{k}A^{-1}$.

Preuve Propriété 8

$\begin{align*}kA\times \dfrac{1}{k}A^{-1}&=k\times \dfrac{1}{k}A\times A^{-1} \\
&=1\times I_n\\
&=I_n\end{align*}$
Donc $kA$ est inversible d’inverse $\dfrac{1}{k}A^{-1}$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 9 : On considère une matrice inversible $A$ d’ordre $n$ et une matrice colonne $X$ et $B$ à $n$ lignes.
Il existe une unique matrice colonne $X$ à $n$ lignes telle que $AX=B$ et $X=A^{-1}B$.

Preuve Propriété 9

On a :
$\begin{align*}A\times A^{-1}B&=I_n\times B\\
&=B\end{align*}$
La matrice $X=A^{-1}B$ vérifie bien $AX=B$

Supposons qu’il existe deux matrices colonnes $X$ et $Y$ telles que $AX=B$ et $AY=B$
On a alors $AX=AY\ssi A^{-1}AX=A^{-1}AY\ssi I_nX=I_nY\ssi X=Y$.
La matrice colonne $X$ est donc unique.
$\quad$

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$\quad$