Terminale – Cours – Graphes

Graphes

I Définitions

Définition 1 : Un graphe est un ensemble de points, appelés sommets, pouvant être reliés entre eux par des arêtes.
Il peut être :

  • non orienté : les arêtes ne possèdent pas de sens de parcours;
  • orienté : les arêtes, appelées alors arcs, possèdent un sens de parcours représenté sur chacune des arêtes par une flèche.

Exemples :

  • Un graphe non orienté :
  • Un graphe orienté
Définition 2 : L’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de celui-ci.

Exemple : Le graphe non orienté précédent est d’ordre $8$.

Définition 3 : Le dégré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité

Remarques :

  • Dans un graphe orienté, on compte pour $1$ les arêtes entrantes et pour $1$ les arêtes sortantes.
  • Dans un graphe orienté, une boucle compte alors pour $2$.
  • On recense souvent les degrés des sommets à l’aide d’un tableau.

Exemples :

  • Pour le graphe non orienté :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommets}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
    \hline
    \text{Degrés}&2&4&5&5&4&4&2&0\\
    \hline
    \end{array}$$
  • Pour le graphe orienté :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommets}&A&B&C\\
    \hline
    \text{Degrés}&3&5&4\\
    \hline
    \end{array}$$
Propriété 1 : Dans un graphe d’ordre $n\pg 1$, la somme des degrés de tous les sommets est égale au double du nombre d’arêtes.

Remarque : La somme des degrés de tous les sommets est donc paire.

Preuve Propriété 1

Pour compter le degré d’un sommet on compte le nombre d’arêtes associées à ce sommet. En faisant la somme de tous les degrés, chaque arête est alors comptées deux fois (une par extrémité).
Cette somme est donc égale au double du nombre d’arêtes.
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Propriété 2 : Dans un graphe il y a un nombre pair de sommets de degrés impairs.
Preuve Propriété 2

On appelle $p$ le somme des degrés des sommets pairs, $q$ la somme des degrés des sommets impairs et $N$ le nombre d’arêtes du graphe.
On a donc $p+q=2N\ssi q=2N-p$.
$2N$ et $p$ sont pairs donc $q$ l’est aussi.
Une somme d’entiers impair est paire si, et seulement si, il y a un nombre pair de termes.
Le nombre de sommets de degrés impairs est donc pair.
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$\quad$

Définition 4 : Un graphe est dit simple s’il ne possède pas de boucle et si deux sommets distincts sont reliés par au plus une arête.

Exemple : Le graphe non orienté donné en exemple précédemment est simple.

Propriété 3 : Dans un graphe simple d’ordre $n>1$, il existe au moins deux sommets possédant le même degré.
Preuve Propriété 3

Chaque sommet $S_i$ du graphe possède un degré $d_i$ vérifiant $0\pp d_i\pp n-1$.
Nous allons faire un raisonnement par l’absurde et supposer que tous les sommets ont des degrés différents.
Par conséquent, les degrés des $n$ sommets sont $\lbrace 0;1;\ldots;n-1\rbrace$.
Il existe donc un sommet $s_p$ de degré $0$ et un sommet $s_q$ de degré $n-1$.
Le sommet $s_p$ n’est adjacent à aucun sommet du graphe et le sommet $s_q$ est adjacent à tous les sommets du graphe, en particulier à $s_p$, ce qui est absurde.
Deux sommets du graphe, au moins, ont donc le même degré.
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Définition 5 : Deux sommets distincts sont dits adjacents s’ils sont reliés par une arête.

Exemple : Dans l’exemple du graphe non orienté, les sommets $A$ et $B$ sont adjacents et le sommet $H$ n’est adjacents à aucun sommet du graphe.

Définition 6 : Un graphe d’ordre $n\pg 1$ est dit complet si tous ses sommets sont deux à deux adjacents.

Exemples :

  • Le graphe non orienté donné précédemment en exemple n’est pas complet.
  • Le graphe suivant est complet.
Définition 7 : Dans un graphe non orienté, une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de cette liste soit adjacent au suivant.
La longueur de la chaîne est le nombre d’arêtes la composant.

Exemple : Dans le graphe précédent, $A-D-F-C$ est une chaîne de longueur $3$.

Définition 8 : Dans un graphe non orienté, une chaîne est dite fermée lorsque son premier sommet est également son dernier sommet.

Exemple : Dans le graphe précédent $A-D-F-C-A$ est une chaîne fermée.

Définition 9 : Dans un graphe non orienté, un cycle est une chaîne dont toutes les arêtes sont distinctes.

Exemples : Dans le graphe précédent :

  • $B-D-C-F-D-A-B$ est un cylce.
  • $B-D-C-F-D-B$ n’est pas un cycle car l’arête reliant les sommets $B$ et $D$ est présente deux fois.
Définition 10 : Dans un graphe orienté, un chemin est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de cette liste soit adjacent au suivant en respectant le sens de parcours.

Remarque : Dans un chemin, un sommet possédant une boucle, peut successivement plusieurs fois.

Exemple : Dans le graphe orienté donné en exemple au début de cette partie, $A-C-B-A-B$ et $A-C-C-B$ sont des chemins.

Définition 11 : Dans un graphe orienté, un circuit est un chemin dont toutes les arêtes sont distinctes.
$

Exemple : Dans le graphe orienté donné en exemple au début de cette partie, $A-C-B-A-B$ n’est pas un circuit et $A-C-C-B$ est un circuit.

Définition 12 : Un graphe est dit connexe si toute paire de sommets peut être reliée par une chaîne.

Remarque : C’est notamment le cas si le graphe possède un cycle.
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II Lien avec les matrices

Définition 13 : À tout graphe d’ordre $n$ de sommets $s_1, s_2, \ldots, s_n$ on peut associer une matrice carrée $M=\left(m_{ij}\right)$ d’ordre $n$ où $m_{ij}$ est égale au nombre d’arêtes reliant (en respectant le sens de parcours dans le cas d’un graphe orienté) le sommet $s_i$ au sommet $s_j$.
La matrice $M$ est appelée la matrice d’adjacence du graphe.

Exemples :

  • Cas d’un graphe non orienté :

    La matrice d’adjacence de ce graphe est, en respectant l’ordre alphabétique :
    $$M=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0&0&0\\
    1&0&1&1&1&0&0&0\\
    1&1&0&1&1&1&0&0\\
    0&1&1&0&1&1&1&0\\
    0&1&1&1&0&1&0&0\\
    0&0&1&1&1&0&1&0\\
    0&0&0&1&0&1&0&0\\
    0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$
  • Un graphe orienté

    La matrice d’adjacence de ce graphe est, en respectant l’ordre alphabétique :
    $$M=\begin{pmatrix}0&1&1\\
    1&1&0\\
    0&1&1\end{pmatrix}$$

Remarque : La matrice d’adjacence d’un graphe non orienté est symétrique.

Théorème 1 : On considère un graphe d’ordre $n$ de sommets $s_1, s_2, \ldots, s_n$ et sa matrice d’adjacence $M$. Pour tout entier naturel $p$ non nul, le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne de la matrice $M^p$ est égal au nombre de chaînes ou chemins de longueur $p$ partant du somme $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$.
Preuve Théorème 1

On notera dans cette preuve $m_{ij}^{(p)}$ le coefficient situé à la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne de la matrice $M^p$.

On démontre ce théorème par récurrence sur l’entier naturel non nul $p$.

Initialisation : Si $p=1$ alors $M^p=M$ et pour tout entier naturel $i\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ et tout entier naturel $j\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a $m_{ij}^{(p)}=m_{ij}$.
$m_{ij}$ est bien le nombre de chaînes ou chemins de longueur $1$ partant le sommet $s_i$ et arrivant au somme $s_j$.
La propriété est vraie au rang $1$.

Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel $p$ tel que la propriété soit vraie.
On a $M^{p+1}=M^p\times M$.
Pour tout entier naturel $i\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ et tout entier naturel $j\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on a :
$$\begin{align*} m_{ij}^{(p+1)}&=\ds \sum_{k=1}^n m_{ik}^{(p)}m_{kj} \\
&=m_{i1}^{(p)}m_{1j}+m_{i2}^{(p)}m_{12}+\ldots+m_{in}^{(p)}m_{nj}\end{align*}$$
Pour tout entier $k\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ $m_{ik}^{(p)}$ est le nombre de chaînes ou chemins de longueur $p$ partant du sommet $s_i$ et arrivant au sommet $s_k$ et $m_{kj}$ est le nombre nombre de chaînes ou chemins de longueur $1$ partant du sommet $s_k$ et arrivant au sommet $s_j$
Ainsi $m_{ik}^{(p)}m_{kj}$ est le nombre de chaînes ou chemins de longueur $p+1$ partant du sommet $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$  en passant par $s_k$.
En faisant la somme pour tous les entiers $k\in \lbrace 1,2,\ldots,n\rbrace$ on obtient le nombres de chaînes ou chemins de longueur $p+1$ partant du sommet $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$.
La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

Conclusion : La  propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $p$ non nul $m_{ij}^{(p)}$ est égal au nombre de chaînes ou chemins de longueur $p$ partant du somme $s_i$ et arrivant au sommet $s_j$.
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Exemple : On reprend l’exemple précédent du graphe non orienté. On a :
$M=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0&0&0\\
1&0&1&1&1&0&0&0\\
1&1&0&1&1&1&0&0\\
0&1&1&0&1&1&1&0\\
0&1&1&1&0&1&0&0\\
0&0&1&1&1&0&1&0\\
0&0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$ et $M^4=\begin{pmatrix}15&20&24&28&25&21&10&0\\
20&44&48&45&41&42&51&0\\
24&\textcolor{red}{48}&61&55&52&45&28&0\\
28&45&55&61&52&48&24&0\\
25&41&52&52&50&41&25&0\\
21&42&45&48&41&44&20&0\\
10&21&28&24&25&20&15&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

Cela signifie donc qu’il existe $48$ chaînes de longueur $4$ partant du sommet $C$ et arrivant au sommet $B$.

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