Nombres complexes et trigonométrie

I Formule d’addition et de duplication

Propriété 1 (formules d’addition) : On considère deux réels $a$ et $b$. On a alors :

$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$
$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

Preuve Propriété 1

Dans le repère orthonormé $\Oij$ on considère le point $A$ du cercle trigonométrique image du réel $a$ et le point $B$ du cercle trigonométrique image du réel $b$.
On va calculer le produit scalaire $\vect{OA}.\vect{OB}$ de deux façons.
– Avec les coordonnées
Les points $A$ et $B$ appartiennent au cercle trigonométrique.
Donc leurs coordonnées sont $A\left(\cos(a);\sin(a)\right)$ et $B\left(\cos(b);\sin(b)\right)$
Ainsi $\vect{OA}.\vect{OB}=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
–Avec les normes et cosinus
$\begin{align*} \vect{OA}.\vect{OB}&=OA\times OB\times \cos\left(\vect{OA};\vect{OB}\right) \\
&=1\times 1\times \cos(a-b)\\
&=\cos(a-b)\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \cos(a+b)&=\cos\left(a-(-b)\right) \\
&=\cos(a)\cos(-b)+\sin(a)\sin(-b)\\
&=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \sin(a-b)&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(a-b)\right) \\
&=\cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b\right) \\
&=\cos(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right))\cos(b)-\sin(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right))\sin(b)\\
&=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \sin(a+b)&=\sin\left(a-(-b)\right)\\
&=\sin(a)\cos(-b)-\cos(a)\sin(-b)\\
&=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) &=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\end{align*}$

Propriété 2 (formule de duplication) : On considère un nombre réel $a$.

$\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$
$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$

Preuve Propriété 2

On a :
$\begin{align*} \cos(2a)&=\cos(a+a) \\
&=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)\\
&=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{align*}$
De plus, on a $\cos^2(a)+\sin^2(a)=1$
Donc $\sin^2(a)=1-\cos^2(a)$
Par conséquent :
$\begin{align*} \cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)\\
&=\cos^2(a)-\left(1-\cos^2(a)\right)\\
&=2\cos^2(a)-1\end{align*}$
On a également $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)$
Par conséquent :
$\begin{align*} \cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)\\
&=\left(1-\sin^2(a)\right)-\sin^2(a)\\
&=1-2\sin^2(a)\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*}\sin(2a)&=\sin(a+a) \\
&=\sin(a)\cos(a)+\cos(a)\sin(a) \\
&=2\sin(a)\cos(a)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)&=\cos\left(2\times \dfrac{\pi}{8}\right) \\
&=2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} \cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)&=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+1}{2}\\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}\end{align*}$
Cela signifie donc que $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}}$ ou $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}}$
Or $0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)>0$
Ainsi :
$\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)&=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}} \\
&=\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}\end{align*}$
$\quad$

$\quad$

II Notation exponentielle

On considère la fonction $f$ qui a tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $\cos \theta + \ic \sin \theta$.
On a alors :

$$\begin{align*} f(\theta + \theta’) &= \cos(\theta + \theta’)+\ic \sin(\theta+\theta’)\\
& = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)
\end{align*}$$

Mais on a aussi :

$$\begin{align*} f(\theta)\times f(\theta’) &= \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)\\
& = f(\theta + \theta’)\end{align*}$$

On constate donc que cette fonction $f$ possède la même propriété algébrique que la fonction exponentielle.

Définition 1 : C’est pour cette raison qu’on va noter pour tout réel $\theta$, $\e^{\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta$.

Exemple : $\e^{\ic \pi} = -1 \qquad \e^{i\pi/2} = \ic \qquad \e^{\ic \pi/3} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

Définition 2 : On considère un nombre complexe $z$ d’argument $\theta$.
On peut alors écrire $z=|z|\e^{\ic \theta}$

Propriété 3 : On considère deux réels $\theta$ et $\theta’$

$\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} = \e^{\ic \left(\theta + \theta’\right)}$
$\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} = \e^{-\ic \theta} = \conj{\e^{\ic \theta}}$
$\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}}=\e^{\ic (\theta – \theta’)}$
$\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$ pour tout entier naturel $n$

Preuve Propriété 3

On a : $$\begin{align*}
\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} &= \left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\times \left(\cos \theta’+\ic \sin \theta’\right) \\
&= \cos \theta \cos \theta’ -\sin \theta\sin \theta’+\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta+\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta+\theta’\right) \\
&=\e^{\ic(\theta+\theta’)}
\end{align*}$$
$\quad$
On a : $$\begin{align*} \dfrac{1}{\e^{\ic \theta}}&=\dfrac{1}{\cos \theta+\ic \sin \theta} \\
&=\dfrac{1}{\cos \theta+\ic \sin \theta} \times \dfrac{\cos \theta-\ic \sin \theta}{\cos \theta-\ic \sin \theta}\\
&=\dfrac{\cos \theta-\ic \sin \theta}{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta}\\
&=\cos \theta-\ic \sin \theta\\
&=\cos \left(-\theta\right)+\ic \sin\left(-\theta\right)\\
&=\e^{-\ic\theta}\end{align*}$$
On a également :
$$\begin{align*} \conj{\e^{\ic \theta}}&=\conj{\cos \theta+\ic \sin \theta} \\
&=\cos \theta-\ic \sin \theta \\
&=\cos \left(-\theta\right)+\ic \sin\left(-\theta\right)\\
&=\e^{-\ic\theta}\end{align*}$$
$\quad$
On a $$\begin{align*}\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}} &=\dfrac{\cos \theta+\ic \sin \theta}{\cos \theta’+\ic \sin \theta’} \\
&=\dfrac{\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\left(\cos \theta’-\ic \sin \theta’\right)}{\cos^2 \theta’+\ic \sin^2 \theta’} \\
&=\cos \theta \cos \theta’+\sin \theta\sin \theta’ -\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta-\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta-\theta’\right) \\
&=\e^{\ic(\theta-\theta’)}
\end{align*}$$
$\quad$
On va montrer ce résultat par récurrence sur $n$.
Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(\e^{\ic \theta}\right)^0=1$ et $\e^{0\times \ic \theta}=\e^0=1$
La propriété est donc vraie au rang $0$
$\quad$
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$
$\begin{align*} \left(\e^{\ic \theta}\right)^{n+1}&=\left(\e^{\ic \theta}\right)^{n}\times \left(\e^{\ic \theta}\right)\\
&=\e^{\ic n\theta}\times \e^{\ic \theta}\\
&=\e^{\ic (n+1)\theta}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$.
$\quad$

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$\quad$
Remarques :

Ces propriétés reprennent les résultats vus précédemment sur les modules et les arguments.
La propriété 4 est en fait vraie pour tout entier relatif $n$.

Ces propriétés nous permettent de retrouver les propriétés vues dans la propriété 1 :

$\cos(\theta + \theta’) = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’$
$\cos(\theta- \theta’) = \cos \theta \cos \theta’ + \sin \theta \sin \theta’$
$\sin(\theta + \theta’) = \sin \theta \cos \theta’ + \cos \theta \sin \theta’$
$\sin(\theta- \theta’) = \sin \theta \cos \theta’-\cos \theta \sin \theta’$

Exemples :

On a
$\begin{align*}\e^{\ic\pi/4}\times \e^{\ic 3\pi/5}&=\e^{\ic \left(\pi/4+3\pi/5\right)}\\
&=\e^{\ic 17\pi/20}\end{align*}$
On a :
$\begin{align*} \dfrac{\e^{\ic 3\pi/4}}{\e^{2\ic\pi/3}} &=\e^{\ic\left(3\pi/4 -2\pi/3\right)} \\
&=\e^{\ic \pi/12}\end{align*}$

$\quad$

III Formules de Moivre et d’Euler

Propriété 4 (Formule de Moivre) : On considère un entier naturel $n$ et un réel $\theta$ on a alors :
$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^n = \cos n\theta + \ic \sin n\theta$

Exemple : $\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos 2\theta + \ic \sin 2\theta$.

Si on développe le membre de gauche on obtient :

$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta + 2\ic \cos \theta \sin \theta$.
Donc, par identification, on retrouve les égalités $\begin{cases} \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\ \sin 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta\end{cases}$

$\quad$

Remarque : Cette propriété provient en fait d’une réécriture du point 4. de la propriété 3.

$\quad$

Propriété 5 (Formule d’Euler) : On considère un réel $\theta$. On a alors :

$\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
$\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$

Preuve Propriété 5

$\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta + \cos \theta – \ic \sin \theta = 2\cos \theta$
Donc $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
$\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta – \cos \theta + \ic \sin \theta = 2\ic \sin \theta$
Donc $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$

[collapse]

$\quad$