Terminale – Cours – Nombres Complexes – Point de vue algébrique

Nombres Complexes – Point de vue algébrique

I Ensembles des nombres complexes

Définition 1 : On admet qu’il existe un ensemble, noté $\C$ et appelé ensemble des nombres complexes, vérifiant les propriétés suivantes :

  1. $\C$ contient $\R$;
  2. $\C$ est muni d’une addition et d’une multiplication possédant les mêmes propriétés algébriques (règles de calculs, distributivité, …) que sur $\R$
  3. Il existe un élément de $\C$ noté $\ic$ tel que $\ic^2=-1$
  4. Tout nombre complexe $z$ s’écrit de façon unique sous la forme $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Exemple : Les nombres $-2$, $\sqrt{7}$, $\ic$ et $-2+\ic\sqrt{7}$  appartiennent à $\C$.

Définition 2 : L’écriture d’un nombre complexe $z$ sous la forme $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$.
Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$. On la note $\RE{z}$.
Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$. On la note $\IM{z}$.

 

Attention : Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.

 

Exemples :

  • Si $z=3-5\ic$ alors $\RE{z}=3$ et $\IM{m}(z) = -5$ (et non $-5\ic$ !).
  • Si $z=-4$ alors $\RE{z}=-4$ et $\IM{z} = 0$.
  • Si $z=2\ic$ alors $\RE{z}=0$ et $\IM{z} = 2$.

$\quad$

Remarque : Le deuxième exemple illustre le fait que l’ensemble des nombres réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes : $\R \subset \C$. En effet, un nombre réel $x$ peut aussi s’écrire $x+0\ic$.

Définition 3 : Lorsque la partie réelle d’un nombre complexe $z$ est nulle on dit alors que $z$ est un imaginaire pur.
L’ensemble des imaginaires purs est note $\ic\R$.

Exemple : $5\ic$, $-3\ic$, $\dfrac{1}{7}\ic$ sont des imaginaires purs.

Remarque : $0$ à la particularité d’être à la fois un nombre réel et un imaginaire pur. C’est le seul nombre complexe possédant cette propriété.

Propriété 1 : On considère deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$.
$$z_1=z_2 \ssi \RE{z_1}= \RE{z_2} \text{et} \IM{z_1} = \IM{z_2}$$
Preuve Propriété 1

Si $\RE{z_1}= \RE{z_2} \text{et} \IM{z_1} = \IM{z_2}$ alors $z_1=z_2$

Réciproquement, si $z_1=a+\ic b$ et $z_2=c+\ic d$ vérifient $z_1=z_2$.
On a donc $a+\ic b=c+\ic d \ssi a-c=\ic(d-b)$.
$\ic(d-b)$ est un imaginaire pur non nul, $a-c$ est un nombre réel et ces deux quantités sont égales.
Le seul nombre complexe qui soit à la fois un réel et un imaginaire pur est $0$.
Donc $a-c=0 \ssi a=c$ et $\ic(d-b)=0\ssi d-b=0\ssi d=b$.
$\quad$

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$\quad$

Remarques :

  • Cela signifie donc qu’un nombre complexe possède une unique écriture algébrique.
  • $z=0 \ssi \RE{z}=0$ et $\IM{z}=0$.

Cette propriété nous permet de résoudre les équations complexes.

$\quad$

Exemple : On veut résoudre dans $\C$ l’équation $3z + 1 -9\ic = -5$
$$\begin{align*}
3z+1-9\ic = -5 &\ssi 3z=-5-1+9\ic \\
&\ssi 3z=-6+9\ic \\
&\ssi z=-2+3\ic
\end{align*}$$

La solution de l’équation est donc $-2+3\ic$.

$\quad$


$\quad$

II Opérations sur les nombres complexes

Propriété 2 (somme) : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$ dont leur forme algébrique sont $z=a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$.

  • $z+z’=\left(a+a’\right)+\ic\left(b+b’\right)$
  • $z-z’=\left(a-a’\right)+\ic\left(b-b’\right)$

Preuve Propriété 2

L’addition suit les mêmes règles de calculs dans $\C$ que dans $\R$
$\begin{align*} z+z’&=\left(a+\ic b\right)+\left(a’+\ic b’\right)\\
&=a+\ic b+a’+\ic b’\\
&=a+a’+\ic b+\ic b’\\
&=\left(a+a’\right)+\ic\left(b+b’\right)
\end{align*}$

$\begin{align*} z-z’&=\left(a+\ic b\right)-\left(a’+\ic b’\right)\\
&=a+\ic b-a’-\ic b’\\
&=a-a’+\ic b-\ic b’\\
&=\left(a-a’\right)+\ic\left(b-b’\right)
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $(3-2\ic) + (4+7\ic) = (3+4) + (-2+7)\ic = 7 + 5\ic$

Propriété 3 (produit) : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$ dont leur forme algébrique sont $z=a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$.
$$zz’=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)$$
Preuve Propriété 3

L’addition et la multiplication suivent les mêmes règles de calculs dans $\C$ que dans $\R$
$\begin{align*}zz’&=(a+\ic b)\left(a’+\ic b’\right) \\
&=aa’+\ic ab’+\ic a’b+\ic^2bb’ \\
&=aa’+\ic ab’+\ic a’b-bb’ \\
&=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Le produit de $4-2\ic$ par $2+3\ic$ est :
$\begin{align*}
(4-2\ic) \times (2+3\ic)&=4\times 2 + 4\times 3\ic-2\ic \times 2-2\ic \times 3\ic \\
&=8 + 12\ic-4\ic-6\ic^2 \\
&=8+8\ic-6\times (-1) \\
&=8+8\ic+6 \\
&=14+8\ic
\end{align*}$

Remarque : Dans la pratique, on utilise peu la propriété et on fait les calculs comme dans l’exemple.

Propriété 4 (multiplication par un réel) : On considère un nombre complexe $z$ dont la forme algébrique est $z=a+\ic b$ et un réel $k$.
$$kz=ka+\ic kb$$
Preuve Propriété 4

$k$ peut s’écrire sous la forme $k+0\ic$. On applique alors la propriété précédente avec $a’=k$ et $b’=0$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $3(5-4\ic)=15-12\ic$

Définition 4 : On considère un nombre complexe $z$ dont la forme algébrique est $z=a+\ic b$. On appelle opposé de $z$ le nombre noté $-z$ défini par $-z=(-1)\times z$.
Ainsi $-z=-a-\ic b$.

Exemple : L’opposé de $5-4\ic$ est $-5+4\ic$.

Remarque : D’après la définition $z+(-z)=0$.

$\quad$

III Nombre conjugué

Définition 5 : On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le nombre $a-\ic b$ est appelé conjugué du nombre complexe $z$.
On le note $\conj{z}=a-\ic b$.

Exemple : $\conj{3+2\ic} = 3-2\ic \qquad \conj{5-4\ic} =5+4\ic \qquad \conj{-1+3\ic} =-1-3\ic$

Propriété 5 : On considère un nombre complexe $z$.
On a alors $\RE{\conj{z}} = \RE{z}$ et $\IM{\conj{z}} = -\IM{z}$.

Il s’agit d’une réécriture de la définition.

$\quad$

Propriété 6 (Opérations) : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $\conj{z+z’} = \conj{z} + \conj{z’}$
  2. $\conj{z \times z’} = \conj{z} \times \conj{z’}$
  3. $\conj{z^n} = \conj{z}^n$ pour tout entier naturel $n$ tel que $(z;n)\neq (0;0)$
  4. Si $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels alors $z\conj{z} = a^2 + b^2$ 
Preuve Propriété 4

On utilise les formes algébriques de $z$ et $z’$.
$z= a+\ic b$ et $z’ = a’+\ic b’$ où $a$, $b$, $a’$ et $b’$ sont des nombres réels.

  1. $\quad$
    $$\begin{align*} \conj{z +z’} &= \conj{a + \ic b + a’ + \ic b’}\\
    &= \conj{a+a’+\ic(b + b’)} \\
    &= a+a’-\ic (b+b’)\\
    & = a-\ic b + a’-\ic b’ \\
    &= \conj{z} + \conj{z’}
    \end{align*}$$
  2. On a d’une part :
    $\conj{z \times z’} = \conj{(a+\ic b)(a’-\ic b’)} = \conj{aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)} = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b)$
    et d’autre part :
    $\conj{z}\times \conj{z’} = (a-\ic b)(a’-\ic b’) = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b) = \conj{z \times z’}$
  3. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n= 0$ alors $\conj{z^n} = \conj{1} = \conj{z}^n$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\conj{z^n} = \conj{z}^n$
    $$\conj{z^{n+1}} = \conj{z^n \times z} = \conj{z^n} \times \conj{z} = \conj{z}^n \times \conj{z} = \conj{z}^{n+1}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tous entiers naturels $n$ on a $\conj{z^n} = \conj{z}^n$.
  4. $z\conj{z} = (a+\ic b)(a-\ic b) = a^2 + b^2 + \ic ba-\ic ab = a^2+b^2$
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 7 : On considère un nombre complexe $z$.
On a alors les équivalences suivantes :

  • $z$ est un nombre réel $\ssi z = \conj{z}$
  • $z$ est un imaginaire pur $\ssi z = -\conj{z}$
Preuve Propriété 3

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  • $z= \conj{z}$ $\ssi a + \ic b = a-\ic b \ssi \ic b = -\ic b \ssi b = 0 \ssi z$ est un nombre réel.
  • $z = -\conj{z} \ssi a + \ic b = -a +\ic b \ssi a = -a \ssi a= 0 \ssi z$ est un imaginaire pur.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 8 : On considère un nombre complexe $z$ .
On a alors $\RE{z} = \dfrac{z+\conj{z}}{2}$ $\qquad$ et $\qquad$ $\IM{z} = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$
Preuve Propriété 5

On considère $z = a + \ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
$z + \conj{z} = a + \ic b + a-\ic b = 2a$. Donc $\RE{z}=a = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$.
$z-\conj{z} = a+\ic b-a+\ic b = 2\ic b$. Donc $\IM{z}=b = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$.
$\quad$

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$\quad$

IV Inverse d’un nombre complexe

Propriété 9 : On considère un nombre complexe non nul $z$. Il existe un unique nombre complexe $z’$ tel que $zz’=1$.
Ce nombre complexe $z’$ est appelé l’inverse de $z$ et se note $\dfrac{1}{z}$.
Preuve Propriété 9

On considère la forme algébrique $z=a+\ic b$, $(a;b)\neq (0;0)$, et un nombre complexe $z’$ dont la forme algébrique est $z’=a’+\ic b’$
On a $zz’=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)$
Ainsi :
$\begin{align*} zz’=1&\ssi \left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)=1 \\
&\ssi \begin{cases}aa’-bb’=1 \\a’b+ab’=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\ab’=-a’b\end{cases}\end{align*}$

$a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.

  • Si $a=\neq 0$
    $\begin{align*} zz’=1&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\b’=-\dfrac{b}{a}a’\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\aa’+\dfrac{b^2}{a}a’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\\dfrac{a^2+b^2}{a}a’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align*}$
  • Si $b\neq 0$
    $\begin{align*} zz’=1&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\a’=-\dfrac{a}{b}b’\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\-\dfrac{a^2}{b}b’-b’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\-\dfrac{a^2+b^2}{b}b’=1\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$

Ce qui prouve l’existence et l’unicité de l’inverse de $z$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer la forme algébrique de l’inverse de $z=3-4\ic$.
$\begin{align*} \dfrac{1}{z}&=\dfrac{1}{3-4\ic} \\
&=\dfrac{1}{3-4\ic}\times \dfrac{3+4\ic}{3+4\ic} \qquad (1)\\
&=\dfrac{3+4\ic}{3^2+4^2} \qquad (2)\\
&=\dfrac{3+4\ic}{25}\\
&=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\ic\end{align*}$
$(1)$ on multiplie l’expression par une fraction égale à $1$. On dit qu’on utilise la quantité conjuguée de $z$.
$(2)$ on utilise le fait que $z\conj{z}=a^2+b^2$.

Méthode : Utilisation du nombre conjugué pour obtenir l’écriture algébrique d’un quotient :

L’idée ici est de multiplier le quotient par $1$, en écrivant $1$ sous une forme particulière et en utilisant le conjugué du dénominateur comme on l’a fait dans l’exemple précédent.

Exemple :

$$\begin{align*} \dfrac{3+2\ic}{5+3\ic}&=\dfrac{3+2\ic}{5+3\ic} \times \dfrac{5-3\ic}{5-3\ic} \\\\
&=\dfrac{15-9\ic+10\ic+6}{(5+3\ic)(5-3\ic)} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{5^2+3^2} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{34}
\end{align*}$$

Propriété 10 : On considère  deux nombres complexes $z$ et $z’$ avec $z\neq 0$.
$\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{1}{\conj{z}}$ et $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$
Preuve Propriété 10

  • On a $z\times \dfrac{1}{z}=1$ donc $\conj{z\times \dfrac{1}{z}}=1$ soit $\conj{z}\times \conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)}=1$
    Par conséquent $\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)}=\dfrac{1}{\conj{z}}$
  • On a :
    $\begin{align*} \conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)}&=\conj{z’}\times \conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} \\
    &=\conj{z’}\times \dfrac{1}{\conj{z}}\\
    &=\dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

V Formule du binôme 

Propriété 11 (formule du binôme de Newton) : On considère deux nombres complexes $a$ et $b$ et un entier naturel $n$.$$(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$
Preuve Propriété 11

Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.

Initialisation : Si $n=0$ (on suppose que $a+b\neq 0$).
$(a+b)^n=1$ et $\ds\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}a^kb^{n-k}=\binom{0}{0}a^0b^0=1$
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$
$\begin{align*}(a+b)^{n+1}&=(a+b)^n(a+b)\\
&=\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)(a+b) \\
&=a\times \left(\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)+b\times \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}\\
&= \binom{n}{n}a^{n+1}b^{n-n}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\binom{n}{0}a^0b^{n+1-0}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k} \\
&= a^{n+1} +\sum_{j=1}^n\binom{n}{j-1}a^jb^{n+1-j}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k} \quad (1)\\
&= a^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)a^kb^{n+1-k}+b^{n+1} \quad (2)\\
&= a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}+b^{n+1}\\
&= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}+\binom{n+1}{n+1}b^{n+1}\\
&= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

$(1)$ on a posé $j=k-1$ pour réécire la première somme.
$(2)$ on utilise la propriété $\ds \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$.
On a également utilisé dans cette hérédité le fait que $\ds \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.

$\quad$

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$\quad$

Remarques :

  • On retrouve ainsi l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
  • Dans la somme, les exposants de $a^kb^{n-k}$ ont toujours une somme égale à $n$.

Exemple : 
$\begin{align*} (z+2)^3&=\ds \binom{3}{0}z^0\times 2^3+\binom{3}{1}z^1\times 2^2+\binom{3}{2}z^2\times 2^1+\binom{3}{3}z^3\times 2^0\\
&=8+3z\times 4+3z^2\times 2+z^3 \\
&=z^3+6z^2+12z+8\end{align*}$