Si $\RE{z_1}= \RE{z_2} \text{et} \IM{z_1} = \IM{z_2}$ alors $z_1=z_2$

Réciproquement, si $z_1=a+\ic b$ et $z_2=c+\ic d$ vérifient $z_1=z_2$.
On a donc $a+\ic b=c+\ic d \ssi a-c=\ic(d-b)$.
$\ic(d-b)$ est un imaginaire pur non nul, $a-c$ est un nombre réel et ces deux quantités sont égales.
Le seul nombre complexe qui soit à la fois un réel et un imaginaire pur est $0$.
Donc $a-c=0 \ssi a=c$ et $\ic(d-b)=0\ssi d-b=0\ssi d=b$.
$\quad$

L’addition suit les mêmes règles de calculs dans $\C$ que dans $\R$
$\begin{align*} z+z’&=\left(a+\ic b\right)+\left(a’+\ic b’\right)\\
&=a+\ic b+a’+\ic b’\\
&=a+a’+\ic b+\ic b’\\
&=\left(a+a’\right)+\ic\left(b+b’\right)
\end{align*}$

$\begin{align*} z-z’&=\left(a+\ic b\right)-\left(a’+\ic b’\right)\\
&=a+\ic b-a’-\ic b’\\
&=a-a’+\ic b-\ic b’\\
&=\left(a-a’\right)+\ic\left(b-b’\right)
\end{align*}$
$\quad$

L’addition et la multiplication suivent les mêmes règles de calculs dans $\C$ que dans $\R$
$\begin{align*}zz’&=(a+\ic b)\left(a’+\ic b’\right) \\
&=aa’+\ic ab’+\ic a’b+\ic^2bb’ \\
&=aa’+\ic ab’+\ic a’b-bb’ \\
&=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)\end{align*}$
$\quad$

$k$ peut s’écrire sous la forme $k+0\ic$. On applique alors la propriété précédente avec $a’=k$ et $b’=0$.
$\quad$

On utilise les formes algébriques de $z$ et $z’$.
$z= a+\ic b$ et $z’ = a’+\ic b’$ où $a$, $b$, $a’$ et $b’$ sont des nombres réels.

1. $\quad$
   $$\begin{align*} \conj{z +z’} &= \conj{a + \ic b + a’ + \ic b’}\\
   &= \conj{a+a’+\ic(b + b’)} \\
   &= a+a’-\ic (b+b’)\\
   & = a-\ic b + a’-\ic b’ \\
   &= \conj{z} + \conj{z’}
   \end{align*}$$
2. On a d’une part :
   $\conj{z \times z’} = \conj{(a+\ic b)(a’-\ic b’)} = \conj{aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)} = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b)$
   et d’autre part :
   $\conj{z}\times \conj{z’} = (a-\ic b)(a’-\ic b’) = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b) = \conj{z \times z’}$
3. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
   Initialisation : Si $n= 0$ alors $\conj{z^n} = \conj{1} = \conj{z}^n$
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\conj{z^n} = \conj{z}^n$
   $$\conj{z^{n+1}} = \conj{z^n \times z} = \conj{z^n} \times \conj{z} = \conj{z}^n \times \conj{z} = \conj{z}^{n+1}$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tous entiers naturels $n$ on a $\conj{z^n} = \conj{z}^n$.
4. $z\conj{z} = (a+\ic b)(a-\ic b) = a^2 + b^2 + \ic ba-\ic ab = a^2+b^2$
   $\quad$

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

• $z= \conj{z}$ $\ssi a + \ic b = a-\ic b \ssi \ic b = -\ic b \ssi b = 0 \ssi z$ est un nombre réel.
• $z = -\conj{z} \ssi a + \ic b = -a +\ic b \ssi a = -a \ssi a= 0 \ssi z$ est un imaginaire pur.
  $\quad$

On considère $z = a + \ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
$z + \conj{z} = a + \ic b + a-\ic b = 2a$. Donc $\RE{z}=a = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$.
$z-\conj{z} = a+\ic b-a+\ic b = 2\ic b$. Donc $\IM{z}=b = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$.
$\quad$

On considère la forme algébrique $z=a+\ic b$, $(a;b)\neq (0;0)$, et un nombre complexe $z’$ dont la forme algébrique est $z’=a’+\ic b’$
On a $zz’=\left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)$
Ainsi :
$\begin{align*} zz’=1&\ssi \left(aa’-bb’\right)+\ic\left(ab’+a’b\right)=1 \\
&\ssi \begin{cases}aa’-bb’=1 \\a’b+ab’=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\ab’=-a’b\end{cases}\end{align*}$

$a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.

• Si $a=\neq 0$
  $\begin{align*} zz’=1&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\b’=-\dfrac{b}{a}a’\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\aa’+\dfrac{b^2}{a}a’=1\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\\dfrac{a^2+b^2}{a}a’=1\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} b’=-\dfrac{b}{a}a’\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align*}$
• Si $b\neq 0$
  $\begin{align*} zz’=1&\ssi \begin{cases} aa’-bb’=1\\a’=-\dfrac{a}{b}b’\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\-\dfrac{a^2}{b}b’-b’=1\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\-\dfrac{a^2+b^2}{b}b’=1\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} a’=-\dfrac{a}{b}b’\\b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\end{cases}\\
  &\ssi \begin{cases} b’=\dfrac{-b}{a^2+b^2}\\a’=\dfrac{a}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align*}$
  $\quad$

Ce qui prouve l’existence et l’unicité de l’inverse de $z$.
$\quad$

• On a $z\times \dfrac{1}{z}=1$ donc $\conj{z\times \dfrac{1}{z}}=1$ soit $\conj{z}\times \conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)}=1$
  Par conséquent $\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)}=\dfrac{1}{\conj{z}}$
• On a :
  $\begin{align*} \conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)}&=\conj{z’}\times \conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} \\
  &=\conj{z’}\times \dfrac{1}{\conj{z}}\\
  &=\dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}\end{align*}$
  $\quad$

Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.

Initialisation : Si $n=0$ (on suppose que $a+b\neq 0$).
$(a+b)^n=1$ et $\ds\sum_{k=0}^0\binom{n}{k}a^kb^{n-k}=\binom{0}{0}a^0b^0=1$
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$
$\begin{align*}(a+b)^{n+1}&=(a+b)^n(a+b)\\
&=\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)(a+b) \\
&=a\times \left(\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)+b\times \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\right)\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}\\
&= \binom{n}{n}a^{n+1}b^{n-n}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\binom{n}{0}a^0b^{n+1-0}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k} \\
&= a^{n+1} +\sum_{j=1}^n\binom{n}{j-1}a^jb^{n+1-j}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k} \quad (1)\\
&= a^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)a^kb^{n+1-k}+b^{n+1} \quad (2)\\
&= a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}+b^{n+1}\\
&= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}+\binom{n+1}{n+1}b^{n+1}\\
&= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}\end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $(a+b)^n=\ds\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

$(1)$ on a posé $j=k-1$ pour réécire la première somme.
$(2)$ on utilise la propriété $\ds \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$.
On a également utilisé dans cette hérédité le fait que $\ds \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.

$\quad$