Terminale – Cours – Nombres complexes – Point de vue géométrique

Nombres complexes – Point de vue géométrique

I Image d’un nombre complexe et affixe d’un point

Dans le repère orthonormé $\Ouv$ on notera respectivement $I$ et $J$ les points du plan tels que $\vect{OI} = \vec{u}$ et $\vect{OJ} = \vec{v}$

Définition 1 : On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$.
Le point $M(a;b)$ du plan muni du repère $\Ouv$ est appelé l’image du nombre complexe $z$.
Le nombre $z$ est appelé l’affixe du point $M$. On note alors $M(z)$.

Remarque : On note souvent $z_A$ l’affixe du point $A$.

$\quad$

Exemple : On considère le nombre complexe $z_1 = -3+\ic$. On appelle $A$ L’image de $z_1$.
L’affixe du point $B$ est $z_2 = 5-2\ic$.

Définition 2 (Affixe d’un vecteur) : On considère un vecteur du plan $\vec{w}(a;b)$.
Le nombre $z=a+\ic b$ est appelé affixe du vecteur $\vec{w}$.

Remarque : On note souvent $z_{\vec{u}}$ l’affixe du vecteur $\vec{u}$.

$\quad$

Propriété 1 :

  1. L’affixe du vecteur nul est $0$.
  2. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux, et seulement si, $z_{\vec{u}}=z_{\vec{v}}$.
  3. On considère deux points du plan $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $\vect{AB}$ a alors pour affixe $z_B-z_A$.
  4. On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. On a alors $z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$ 
Preuve Propriété 1

  1. Le vecteur nul a pour coordonnées $(0;0)$.
    Son affixe est donc $0+0\ic = 0$.
  2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. L’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on obtient ainsi la propriété.
  3. Les coordonnées de $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
    Par conséquent :
    $$\begin{align*} z_{\vect{AB}} &= x_B-x_A + \ic\left( y_B-y_A \right) \\
    & = x_B + \ic y_B-\left(x_A + \ic y_A \right) \\
    & = z_B-z_A
    \end{align*}$$
  4. On a $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
    Donc $z_I=x_I+\ic y_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(3-2\ic)$ et $B(4+3\ic)$.
L’affixe du vecteur $\vect{AB}$ est donc :
$$\begin{align*}z_{\vect{AB}}&=z_B-z_A\\
&=4+3\ic-\left(3-2\ic\right) \\
&=1+5\ic
\end{align*}$$
Le point $I$ milieu du segment $[AB]$ a pour affixe :
$$\begin{align*}z_I&=\dfrac{z_A+z_B}{2} \\
&=\dfrac{3-2\ic+4+3\ic}{2}\\
&=\dfrac{7-\ic}{2}\\
&=\dfrac{7}{2}-\dfrac{\ic}{2}\end{align*}$$

Propriété 2 : On considère un vecteur $\vec{u}$ d’affixe $z_{\vec{u}}$ et un réel $k$.
Le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz_{\vec{u}}$.
Preuve Propriété 2

Si $z_{\vec{u}}=a+\ic b$ alors le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées, dans le repère $\Ouv$, $(a;b)$.
Par conséquent $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(ka;kb)$.
Son affixe est donc $z_{k\vec{u}}=(ka)+(kb)\ic$.
Donc $z_{k\vec{u}}=kz_{\vec{u}}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : Si l’affixe du vecteur $\vec{u}$ est $z=-3+5\ic$ alors l’affixe du vecteur $4\vec{u}=-12+20\ic$.

Propriété 3 : On considère un point $M$ d’affixe $z$.

  • Le point d’affixe $\conj{z}$ est le symétrique du point $M$ par rapport à l’axe des abscisses.
  • Le point d’affixe $-z$ est le symétrique du point $M$ par rapport à l’origine du repère.
Preuve Propriété 3

On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$.

  • On appelle $M_1$ le point d’affixe $\conj{z}$.
    Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M_1$ sont $(a;-b)$.
    Donc ces 2 points sont bien symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
  • On appelle $M_2$ le point d’affixe $-z$.
    Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M_2$ sont $(-a;-b)$.
    Donc ces 2 points sont bien symétriques par à l’origine du repère.
    $\quad$

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$\quad$


$\quad$

$\quad$

II Module d’un nombre complexe

Définition 3 : On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$. On appelle module de $z$, le réel positif, noté $|z|$ tel que $|z| = \sqrt{z\conj{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$

Remarques :

  • Si $z$ est l’affixe de $M$ alors $OM = |z|$.
  • Si $z$ est l’affixe du vecteur $\vect{AB}$ alors $|z| = AB$

Exemple : $|2-4\ic|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Propriété 4 : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $z=0\ssi |z|=0$
  2. $|z| = \left| \conj{z} \right| = |-z|$.
  3. $\left|zz’\right| = |z| \times \left|z’\right|$.
  4. $\left| \dfrac{z}{z’} \right| = \dfrac{|z|}{|z’|}$ avec $z’ \ne 0$.
Preuve Propriété 4

On note $z = a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$ où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.

  1. Si $z=0$ alors $|z|=\sqrt{0^2+0^2}=0$
    Réciproquement, si $|z|=0$ avec la forme algébrique $z=a+\ic b$
    Par conséquent $\sqrt{a^2+b^2}=0$ soit $a^2+b^2=0$.
    Une somme de nombres positifs est nulle si tous ces nombres sont nuls.
    Donc $a=0$ et $b=0$.
    Par conséquent $z=0$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}\left| \conj{z} \right| &= |a-\ic b|\\
    &= \sqrt{a^2 + (-b)^2}\\
    &= |z|\end{align*}$ $\qquad$et$\qquad$ $\begin{align*}|-z| &= |-a-\ic b|\\& = \sqrt{(-a)^2+(-b)^2}\\ &= |z|\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{align*} \left|zz’\right| &= \left|aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)\right| \\
    & = \sqrt{(aa’-bb)^2+(ab’+a’b)^2}\\
    &= \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2-2aba’b’+(ab’)^2+(a’b)^2+2aba’b’} \\
    & = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} \end{align*}$$
    $|z|\times \left|z’\right| = \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{a’^2+b’^2} = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} = |zz’|$
    $\quad$
  4. $\left|\dfrac{z}{z’} \right|^2 = \dfrac{z}{z’} \times \conj{\left(\dfrac{z}{z’} \right)} = \dfrac{z\conj{z}}{z’\conj{z’}} = \dfrac{|z|^2}{|z’|^2}$
    $\quad$

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$\quad$

Attention : Il n’y a pas d’équivalent de ces deux dernières propriétés pour les sommes : $\left|z+z’\right|\neq |z|+\left|z’\right|$

 

Propriété 5 : Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel $n$, tels que $(z;n)\neq (0;0)$, on a $|z^n| = |z|^n$.
Preuve Propriété 5

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ (et $z\neq 0$) alors $|z^n|=|1|$ et $|z|^n=1$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $|z^n| = |z|^n$
$\begin{align*}|z^{n+1}| &= |z\times z^n|\\
&= |z| \times |z^n|\\
&= |z| \times |z|^n \\
&= |z|^{n+1}\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $|z^n| = |z|^n$.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : La propriété est en fait vraie pour tous entiers relatifs $n$.

Définition 4 : On note $\U$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$.

Remarque : $z\in\U \ssi |z|=1$.

Propriété 6 : L’ensemble $\U$ est représenté dans le repère $\Ouv$ par le centre de $O$ et de rayon $1$.

Preuve Propriété 6

On considère un nombre complexe $z$ d’image $M$.
$\begin{align*} z\in \U&\ssi |z|=1 \\
&\ssi OM=1\end{align*}$
Donc $z\in \U$^si, et seulement si, $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 7 : On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$ appartenant à $\U$.

  • $zz’\in \U$
  • $\dfrac{1}{z}\in \U$
Preuve Propriété 7

$z$ et $z’$ appartiennent à $\U$ donc $|z|=1$ et $\left|z’\right|=1$.

  • On a :
    $\begin{align*} \left|zz’\right|&=|z|\times \left|z’\right| \\
    &=1\times 1\\
    &=1\end{align*}$
    Donc $zz’\in \U$.
    $\quad$
  • On a :
    $\begin{align*} \left|\dfrac{1}{z}\right|&=\dfrac{1}{|z|}\\
    &=\dfrac{1}{1}\\
    &=1\end{align*}$
    Donc $\dfrac{1}{z}\in \U$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 8 : On considère un nombre complexe $a$ et un réel strictement positif $r$.
L’ensemble des points $M$ dont l’affixe $z$ vérifie $|z-a|=r$ est le cercle de centre $A$ d’affixe $a$ et de rayon $r$.
Correction Propriété 8

On a : $|z-a|=r\ssi AM=r$
Donc $|z-a|=r \ssi M$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tels que $|z+5|=6$.
$|z+5|=6 \ssi \left|z-(-5)\right|=6 \ssi AM=6$ où $A$ est le point d’affixe $-5$.
L’ensemble des points est donc le cercle de centre $A(-5)$ et de rayon $6$.

$\quad$

III Argument d’un nombre complexe

Définition 5 : On considère un nombre complexe $z$ dont sa forme algébrique est $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle argument de $z$ une mesure $\theta$ de l’angle orienté $\left(\vec{u},\vect{OM} \right)$.
On note arg$(z) = \left(\vec{u},\vect{OM} \right)~~(2\pi)$.

Exemple : arg$(4)=0$ $\qquad$ arg$(-2) = \pi$ $\qquad$ arg($\ic$) = $\dfrac{\pi}{2}$

Propriété 9 : On considère un nombre complexe $z$ de module $1$ et d’argument $\theta$.
Si on note $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des réels, alors :
$$\begin{cases} a = \cos \theta \\b = \sin \theta \end{cases}$$

Remarque : Cela vient du fait que si on considère un point $M(\theta)$ appartenant au cercle trigonométrique alors les coordonnées du point $M$ sont $x_M=\cos \theta$ et $y_M=\sin \theta$.

Propriété 10 : On considère un nombre complexe $z$.

  1. $z$ est un nombre réel $\ssi$ arg$(z)=0~~(\pi)$
  2. $z$ est un imaginaire pur $\ssi$ arg$(z) = \dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$
Preuve Propriété 10

  1. $z$ est un nombre réel si, et seulement si, son image $M$ appartient à l’axe des abscisses.
    Si, et seulement si, $\vect{OM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=0~~(2\pi)$ ou $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\pi~~(2\pi)$
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=0~~(\pi)$
    $\quad$
  2. $z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, son image $M$ appartient à l’axe des ordonnées.
    Si, et seulement si, $\vect{OM}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$ ou $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=-\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$
    Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$
    $\quad$

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$\quad$

IV Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition 6 : Tout nombre complexe $z$ non nul, peut s’écrire sous la forme $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ où $\theta = $arg$(z)$.
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Propriété 11 : On considère un nombre complexe $z$ non nul tel que $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des réels. On note $r= |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$.
On a alors $\begin{cases} r=\sqrt{a^2+b^2} \\ \cos \theta = \dfrac{a}{r} \text{ et } \sin \theta = \dfrac{b}{r} \end{cases}$ $ \Leftrightarrow$ $ \begin{cases} a=r\cos \theta \\ b=r \sin \theta \end{cases}$
Preuve Propriété 11

On a :
$\begin{align*} r&=|z|\\
&=\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}$

On a $z=a+\ic b$ et $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ soit $z=|z|\cos \theta + \ic |z|\sin \theta$
La forme algébrique d’un nombre complexe étant unique, cela signifie que $\begin{cases} a=|z|\cos \theta \\b=|z|\sin \theta\end{cases}$
Par conséquent $\begin{cases} \cos \theta=\dfrac{a}{|z|}\\\sin \theta=\dfrac{b}{|z|}\end{cases} \ssi \begin{cases} \cos \theta=\dfrac{a}{r}\\\sin \theta=\dfrac{b}{r}\end{cases}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • $z = 1 + \ic \sqrt{3}$.
    On a $|z| = \sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z = 2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic \right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
    Donc $z= 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right)$
    $\quad$
  • $z=1-\ic$.
    On a $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ic\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    On a donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}-\ic\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.
    Cette écriture n’est pas la forme trigonométrique de $z$ car elle n’est pas de la forme $r\left( \cos \theta \boldsymbol{+} \sin \theta\right)$.
    On peut également dire que $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$. Il s’agit bien ici de la forme trigonométrique de $z$.

$\quad$

Propriété 12 : On considère un nombre complexe $z$ non nul.

  1. arg$(-z) = \text{arg}(z) + \pi ~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \conj{z} \right) = -\text{arg}(z) ~~(2\pi)$
Preuve Propriété 12

On utilise la forme algébrique du nombre complexe $z=a+ib$.

  1. On note arg$(z) = \theta$ et arg$(-z) = \theta’$.
    $-z=-a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{-a}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = \theta + \pi + 2k\pi$
  2. On note arg$(z) = \theta$ et arg$\left(\conj{z} \right) = \theta’$.
    $\conj{z}=a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = \cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = -\theta + 2k\pi$

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$\quad$

Propriété 13 : On considère deux nombres complexes non nuls $z$ et $z’$.

  1. arg$(zz’) =$ arg$(z)+$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. arg$\left(z^n \right) = n$arg$(z)~~(2\pi)$ pour tout entier $n\in \N^*$
Preuve Propriété 13

  1. On utilise la forme algébrique de $z=a+ib$ et $z’=a’+\ic b’$, où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.
    On appelle $\theta = $ arg$(z)$ , $\theta’ = $ arg$(z’)$ et $\alpha = $ arg$(zz’)$.
    $zz’ = aa’-bb’ + \ic (ab’+a’b)$
    Donc $\cos \alpha = \dfrac{aa’-bb’}{\left|zz’\right|} = \dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\cos \theta’ – |z|\sin \theta \left|z’\right|\sin \theta’}{|z|\times \left|z’\right|}$
    Par conséquent $\cos \alpha= \cos \theta\cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’ = \cos \left(\theta + \theta’\right)$
    On a également $\sin \alpha= \dfrac{ab’+a’b}{\left|zz’\right|}=\dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\sin \theta’+\left|z’\right|\cos \theta’ |z|\sin \theta}{|z| \times \left|z’\right|}$.
    Par conséquent $\sin \alpha = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’=\sin\left(\theta+\theta’\right)$.
    Donc $\alpha = \theta + \theta’ + 2k\pi$.
  2. On peut écrire $z = \dfrac{z}{z’} \times z’$
    Donc arg$(z) = \text{arg}\left(\dfrac{z}{z’} \right) + \text{arg}(z’)~~(2\pi)$ soit arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. On obtient ce résultat à l’aide d’une récurrence qu’on initialise à $1$ (à faire en exercice).
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : $4\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \times 3\left( \cos \dfrac{\pi}{5} + \ic \sin \dfrac{\pi}{5} \right) = 12\left( \cos \dfrac{8\pi}{15} + \ic \sin \dfrac{8\pi}{15} \right)$

$\quad$

Propriété 14 : On considère deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ du plan complexe. arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$
Preuve Propriété 14

On considère le point $C$ d’affixe $z_B-z_A$. Ainsi $\vect{OC}=\vect{AB}$.
On a alors arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{OC}\right) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 15 : On considère quatre points du plan complexe $A(z_A), B(z_B), C(z_C)$ et $D(z_D)$.
arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) = \left(\vect{CD},\vect{AB} \right)~~(2\pi)$
Preuve Propriété 15

$$\begin{align*}
\text{arg} \left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) &= \text{arg} (z_B-z_A)-\text{arg}(z_D-z_C) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right)-\left(\vec{u},\vect{CD}\right) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right) + \left(\vect{CD},\vec{u}\right) \\
&= \left(\vect{CD},\vect{AB}\right)~~(2\pi) \end{align*}$$
$\quad$

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$\quad$

Cette propriété est particulièrement utile pour montrer que des droites sont perpendiculaires (argument égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$) ou que des points sont alignés (argument égal à $0$ ou à $\pi$).

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-2+2\ic), B(2-\ic), C(5+7\ic)$ et $D(-1-\ic)$.
$$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} &= \dfrac{2-\ic+2-2\ic}{-1-\ic-5-7\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \times \dfrac{-6+8\ic}{-6+8\ic} \\
&=\dfrac{-24+32\ic+18\ic+24}{(-6)^2+8^2} \\
&=\dfrac{50\ic}{100} \\
&=\dfrac{\ic}{2}
\end{align*}$$

Par conséquent arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc perpendiculaires.

$\quad$