1. Le vecteur nul a pour coordonnées $(0;0)$.
   Son affixe est donc $0+0\ic = 0$.
2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. L’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on obtient ainsi la propriété.
3. Les coordonnées de $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
   Par conséquent :
   $$\begin{align*} z_{\vect{AB}} &= x_B-x_A + \ic\left( y_B-y_A \right) \\
   & = x_B + \ic y_B-\left(x_A + \ic y_A \right) \\
   & = z_B-z_A
   \end{align*}$$
4. On a $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
   Donc $z_I=x_I+\ic y_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.
   $\quad$

Si $z_{\vec{u}}=a+\ic b$ alors le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées, dans le repère $\Ouv$, $(a;b)$.
Par conséquent $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(ka;kb)$.
Son affixe est donc $z_{k\vec{u}}=(ka)+(kb)\ic$.
Donc $z_{k\vec{u}}=kz_{\vec{u}}$.
$\quad$

On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$.

• On appelle $M_1$ le point d’affixe $\conj{z}$.
  Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M_1$ sont $(a;-b)$.
  Donc ces 2 points sont bien symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
• On appelle $M_2$ le point d’affixe $-z$.
  Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M_2$ sont $(-a;-b)$.
  Donc ces 2 points sont bien symétriques par à l’origine du repère.
  $\quad$

On note $z = a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$ où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.

1. Si $z=0$ alors $|z|=\sqrt{0^2+0^2}=0$
   Réciproquement, si $|z|=0$ avec la forme algébrique $z=a+\ic b$
   Par conséquent $\sqrt{a^2+b^2}=0$ soit $a^2+b^2=0$.
   Une somme de nombres positifs est nulle si tous ces nombres sont nuls.
   Donc $a=0$ et $b=0$.
   Par conséquent $z=0$
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*}\left| \conj{z} \right| &= |a-\ic b|\\
   &= \sqrt{a^2 + (-b)^2}\\
   &= |z|\end{align*}$ $\qquad$et$\qquad$ $\begin{align*}|-z| &= |-a-\ic b|\\& = \sqrt{(-a)^2+(-b)^2}\\ &= |z|\end{align*}$
   $\quad$
3. $\quad$
   $$\begin{align*} \left|zz’\right| &= \left|aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)\right| \\
   & = \sqrt{(aa’-bb)^2+(ab’+a’b)^2}\\
   &= \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2-2aba’b’+(ab’)^2+(a’b)^2+2aba’b’} \\
   & = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} \end{align*}$$
   $|z|\times \left|z’\right| = \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{a’^2+b’^2} = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} = |zz’|$
   $\quad$
4. $\left|\dfrac{z}{z’} \right|^2 = \dfrac{z}{z’} \times \conj{\left(\dfrac{z}{z’} \right)} = \dfrac{z\conj{z}}{z’\conj{z’}} = \dfrac{|z|^2}{|z’|^2}$
   $\quad$

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ (et $z\neq 0$) alors $|z^n|=|1|$ et $|z|^n=1$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $|z^n| = |z|^n$
$\begin{align*}|z^{n+1}| &= |z\times z^n|\\
&= |z| \times |z^n|\\
&= |z| \times |z|^n \\
&= |z|^{n+1}\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $|z^n| = |z|^n$.
$\quad$

On considère un nombre complexe $z$ d’image $M$.
$\begin{align*} z\in \U&\ssi |z|=1 \\
&\ssi OM=1\end{align*}$
Donc $z\in \U$^si, et seulement si, $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
$\quad$

$z$ et $z’$ appartiennent à $\U$ donc $|z|=1$ et $\left|z’\right|=1$.

• On a :
  $\begin{align*} \left|zz’\right|&=|z|\times \left|z’\right| \\
  &=1\times 1\\
  &=1\end{align*}$
  Donc $zz’\in \U$.
  $\quad$
• On a :
  $\begin{align*} \left|\dfrac{1}{z}\right|&=\dfrac{1}{|z|}\\
  &=\dfrac{1}{1}\\
  &=1\end{align*}$
  Donc $\dfrac{1}{z}\in \U$.
  $\quad$

On a : $|z-a|=r\ssi AM=r$
Donc $|z-a|=r \ssi M$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
$\quad$

1. $z$ est un nombre réel si, et seulement si, son image $M$ appartient à l’axe des abscisses.
   Si, et seulement si, $\vect{OM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
   Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=0~~(2\pi)$ ou $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\pi~~(2\pi)$
   Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=0~~(\pi)$
   $\quad$
2. $z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, son image $M$ appartient à l’axe des ordonnées.
   Si, et seulement si, $\vect{OM}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
   Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$ ou $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=-\dfrac{\pi}{2}~~(2\pi)$
   Si, et seulement si, $\left(\vect{OM},\vec{u}\right)=\dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$
   $\quad$

On a :
$\begin{align*} r&=|z|\\
&=\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}$

On a $z=a+\ic b$ et $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ soit $z=|z|\cos \theta + \ic |z|\sin \theta$
La forme algébrique d’un nombre complexe étant unique, cela signifie que $\begin{cases} a=|z|\cos \theta \\b=|z|\sin \theta\end{cases}$
Par conséquent $\begin{cases} \cos \theta=\dfrac{a}{|z|}\\\sin \theta=\dfrac{b}{|z|}\end{cases} \ssi \begin{cases} \cos \theta=\dfrac{a}{r}\\\sin \theta=\dfrac{b}{r}\end{cases}$.
$\quad$

On utilise la forme algébrique du nombre complexe $z=a+ib$.

1. On note arg$(z) = \theta$ et arg$(-z) = \theta’$.
   $-z=-a-\ic b$.
   On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{-a}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
   Donc $\theta’ = \theta + \pi + 2k\pi$
2. On note arg$(z) = \theta$ et arg$\left(\conj{z} \right) = \theta’$.
   $\conj{z}=a-\ic b$.
   On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = \cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
   Donc $\theta’ = -\theta + 2k\pi$

1. On utilise la forme algébrique de $z=a+ib$ et $z’=a’+\ic b’$, où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.
   On appelle $\theta = $ arg$(z)$ , $\theta’ = $ arg$(z’)$ et $\alpha = $ arg$(zz’)$.
   $zz’ = aa’-bb’ + \ic (ab’+a’b)$
   Donc $\cos \alpha = \dfrac{aa’-bb’}{\left|zz’\right|} = \dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\cos \theta’ – |z|\sin \theta \left|z’\right|\sin \theta’}{|z|\times \left|z’\right|}$
   Par conséquent $\cos \alpha= \cos \theta\cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’ = \cos \left(\theta + \theta’\right)$
   On a également $\sin \alpha= \dfrac{ab’+a’b}{\left|zz’\right|}=\dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\sin \theta’+\left|z’\right|\cos \theta’ |z|\sin \theta}{|z| \times \left|z’\right|}$.
   Par conséquent $\sin \alpha = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’=\sin\left(\theta+\theta’\right)$.
   Donc $\alpha = \theta + \theta’ + 2k\pi$.
2. On peut écrire $z = \dfrac{z}{z’} \times z’$
   Donc arg$(z) = \text{arg}\left(\dfrac{z}{z’} \right) + \text{arg}(z’)~~(2\pi)$ soit arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
3. On obtient ce résultat à l’aide d’une récurrence qu’on initialise à $1$ (à faire en exercice).
   $\quad$

On considère le point $C$ d’affixe $z_B-z_A$. Ainsi $\vect{OC}=\vect{AB}$.
On a alors arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{OC}\right) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$
$\quad$

$$\begin{align*}
\text{arg} \left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) &= \text{arg} (z_B-z_A)-\text{arg}(z_D-z_C) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right)-\left(\vec{u},\vect{CD}\right) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right) + \left(\vect{CD},\vec{u}\right) \\
&= \left(\vect{CD},\vect{AB}\right)~~(2\pi) \end{align*}$$
$\quad$