• Si $n$ est un nombre premier alors $n$ est divisible par lui-même. On peut donc prendre $p=n$.
• Si $n$ n’est pas un nombre premier.
  On appelle $\mathscr{E}$ l’ensemble des diviseurs positifs de $n$ différent de $1$ et de $n$.
  $\mathscr{E}$ n’est pas vide puisque $n$ n’est pas premier.
  C’est donc une partie non vide de $\N$. Il possède par conséquent un plus petit élément $p$.
  Supposons que $p$ ne soit pas premier. Il existe alors un entier naturel $p’\pg 2$ qui divise $p$. Donc $2\pp p'<p$.
  $p’$ divise alors également $n$. Il appartient par conséquent à $\mathscr{E}$ et $p'<p$.
  Cela contredit le fait que $p$ soit le plus petit élément de $\mathscr{E}$.
  Donc $p$ est un nombre premier.
  $\quad$
  Montrons maintenant que $2\pp p\pp \sqrt{n}$
  Il existe un entier naturel $q$ tel  que $n=pq$ avec $p\pp q$.
  En multipliant cette inégalité par $p$ on obtient $p^2\pp qp$ soit $p^2\pp n$.
  Par conséquent $p\pp \sqrt{n}$.
  $p$ appartient à $\mathscr{E}$ donc $p\pg 2$.
  Donc $2\pp p\pp \sqrt{n}$.
  $\quad$

Nous allons faire un raisonnement par l’absurde.
On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers : $p_1< p_2<\ldots<p_n$.
On note $N=p_1\times p_2 \times \ldots \times p_n+1$.
Ainsi $N-p_1\times p_2 \times \ldots \times p_n=1$.
D’après le théorème de Bézout, les nombres $N$ et $p_1\times p_2 \times \ldots \times p_n$ sont premiers entre eux.
Aucun des nombres $p_i$ ne divise donc $N$.
Par conséquent $N$ est un nombre premier différent de chacun des $p_i$.
Cela contredit le fait que les seuls nombres premiers étaient $p_1, p_2, \ldots, p_n$.

Il existe donc une infinité de nombres premiers.
$\quad$

• Existence
  Si $n$ est un nombre premier alors la propriété est vraie.
  Supposons que $n$ ne soit pas un nombre premier.
  On appelle $p_1$ le plus petit nombre premier (il existe d’après la propriété 1) divisant $n$. Il existe un entier naturel $n_1<n$ tel que $n=p_1n_1$.
  Si $n_1$ est un nombre premier, la propriété est vraie.
  Sinon, on appelle $p_2$ le plus petit diviseur premier de $n_1$. Il existe alors un entier naturel $n_2<n_1$ tel que $n_1=p_2n_2$.
  On obtient ainsi une suite $\left(n_i\right)$ d’entiers naturels strictement décroissante. Cette suite est donc finie et son dernier terme est un nombre premier.
  On a alors déterminé une liste de nombres premiers $p_1,p_2,\ldots p_s,n_s$.
  En regroupant les nombres premiers égaux on obtient $$n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$$
• Unicité
  On suppose que le nombre $n$ se décompose de deux façons : $n=p_1\times p_2\times \ldots \times p_r$ et $N=q_1\times q_2\times \ldots \times q_s$ où les $p_i$ et $q_j$ sont des nombres premiers.
  Ainsi  $p_1\times p_2\times \ldots \times p_r=q_1\times q_2\times \ldots \times q_s$.
  On simplifie, si c’est possible, par tous les facteurs communs.
  On obtient alors $p’_1\times p’_2\times \ldots p’_{r’}=q’_1\times q’_2\times \ldots q’_{s’}$ où, $p’_i\neq q’_j$ pour tout $i$ et $j$.
  Par conséquent $p’_1$ est un nombre premier qui divise $q’_1\times q’_2\times \ldots q’_{s’}$. Il divise donc, d’après le théorème de Gauss, un des facteurs qu’on appellera $q’_{j_0}$.
  Ainsi, par construction, $p’_1$ est un nombre premier différent du nombre premier $q’_{j_0}$ et divise $q’_{j_0}$. Il y a donc une contradiction.
  La décomposition est par conséquent unique.
  $\quad$

Les nombres de la forme $p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2}\times \ldots \times p_k^{\beta_k}$ sont des diviseurs de $p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$.

Réciproquement, montrons que tous les diviseurs de $n$ s’écrivent sous cette forme.
On appelle $d$ un diviseur de $n$. $d$ possède une décomposition en facteurs premiers $d=d_1^{\gamma_1} \times d_2^{\gamma_1} \times \ldots \times d_r^{\gamma_r}$.
Chacun des $d_i$ divise $d$ qui lui même divise $p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2}\times \ldots \times p_k^{\alpha_k}$.
Par conséquent chacun des $d_i$ divise un $p_j$.
On a ainsi $d=p_1^{\gamma_1} \times p_2^{\gamma_2}\times \ldots \times p_k^{\gamma_k}$.
Supposons qu’il existe un $\gamma_i>\alpha_i$.
Cela signifie donc que $p_i^{\alpha_i+1}$ divise $n$ ce qui est impossible.
Par conséquent $0\pp \gamma_i \pp \alpha _i$

Pour chaque nombre premier $p_i$ de la décomposition il y a, d’après la propriété précédente, $\alpha_i+1$ possibilités de choisir un exposant pour un diviseur de $n$.
$n$ possède alors $\left(\alpha_1+1\right)\times \left(\alpha_2+1\right)\times \ldots\times \left(\alpha_k+1\right)$ diviseurs.
$\quad$

D’après le petit théorème de Fermat on a $a^p\equiv a~[p]$, c’est-à-dire que $p$ divise $a^p-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$ ($p-1$ est bien un entier naturel car $p\pg 2$).
$p$ et $a$ sont premiers entre eux et $p$ divise $a\left(a^{p-1}-1\right)$ .
D’après le théorème de Gauss, $p$ divise $a^{p-1}-1$.
Ainsi $a^{p-1}\equiv 1~[p]$.
$\quad$