Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun $300$ milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\\\b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70 \end{cases}$.

On considère les matrices $M =\begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.

1. a. Déterminer $U_1$.
   $\quad$
   b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
   $\quad$
2. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
   a. Calculer $(I – M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
   $\quad$
   b. En déduire que la matrice $I – M$ est inversible et préciser son inverse.
   $\quad$
   c. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n – U$.
   a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
   $\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $$V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\\dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}$$
   a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
   $\quad$
   b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.
   $\quad$

1. a. $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
   et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
   Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\280 \end{pmatrix}$.
   $\quad$$
   b. $~$
   $$ \begin{align} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\70 \end{pmatrix} \\
   &= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\
   &=U_{n+1}
   \end{align}$$
2. a. $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
   Donc $(I-M) \times \begin{pmatrix} 4&2\\1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\0&1 \end{pmatrix} = I$.
   $\quad$$
   b. Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\1&3 \end{pmatrix}$.
   $\quad$$
   c. On veut que :
   $$\begin{align} U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\
   & \Leftrightarrow (I-M)U = P \\
   &\Leftrightarrow U = (I-M)^{-1} \times P \\
   & \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\270 \end{pmatrix}
   \end{align}$$
3. a. $\quad$$
   $$\begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\
   & = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\
   &= M \times U_n – M \times U \\
   &= M \times (U_n – U) \\
   &= M \times V_n
   \end{align}$$
   b. Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
   Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
   $\quad$$
4. a. On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
   Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
   Or $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
   et $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 380$.
   $\quad$$
   b. Sur le long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.
   $\quad$

On étudie la population d’une région imaginaire. Le $1^{\text{er}}$ janvier 2013, cette région comptait $250~000$ habitants dont $70\%$ résidaient à la campagne et $30\%$ en ville.
L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l’effectif de la population est globalement constant,
• chaque année, $5\%$ de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et $1\%$ de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au $1^{\text{er}}$ janvier de l’année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
   $\quad$
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$.
   On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a, b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
   Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = A^n X_{0}$.
   $\quad$
3. Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
   a. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
   $\quad$
   b. Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
   $\quad$
   c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
   $\quad$
4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que
   $$v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times 0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 – 0,94^n\right)c_{0}.$$
   Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
   $\quad$

1. On a donc $v_{n+1} = (1 – 0,05)v_n+0,01c_n = 0,95v_n+0,01c_n$
   Et $c_{n+1} = 0,05v_n+0,99c_n$
   $\quad$
2. $Y=AX$ donc $c=0,95a+0,01b$ et $d=0,05a+0,99b$
   $~$
3. a. $PQ = \begin{pmatrix} 6&0\\0&6 \end{pmatrix}$ et $QP = \begin{pmatrix} 6&0 \\0&6 \end{pmatrix}$
   Par conséquent $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{6}Q$
   $\quad$
   b. $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1&0 \\0&0,94 \end{pmatrix} = D$
   $\quad$
   c. Initialisation : Si $n=1$ alors $PDP^{-1} = PP^{-1}APP^{-1} = A$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons le propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nP^{-1}$
   Alors :
   $\begin{align} A^{n+1}&=AA^n \\
   &= PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\
   &= PDD^nP^{-1} \\
   &=PD^{n+1}P^{-1}
   \end{align}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Donc, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, $A^n=PD^nP^{-1}$
   $\quad$
4. $\lim\limits_{n \to + \infty} 0,94^n$ car $-1 < 0,94 < 1$
   Donc $\lim\limits_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{6}v_0+\dfrac{1}{6}c_0 = \dfrac{1}{6}(v_0+c_0) = \dfrac{250~000}{6} = \dfrac{125~000}{3}$
   $\quad$
   La population citadine sera, au bout d’un grand nombre d’années de $\dfrac{125~000}{3}$ habitants.
   $\quad$