Arithmétique

Division euclidienne

Exercice 1

Pose et effectue les divisions euclidiennes suivantes :

$329 \div 4$
$\quad$
$715 \div 7$
$\quad$
$845 \div 18$
$\quad$
$2~718 \div 9$
$\quad$
$4~327 \div 24$
$\quad$
$8~363 \div 15$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 1

$329 \div 4$
$\quad$
$\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lccc}
&3&2&9\\
-&3&2 \\
\hline
&&0&9\\
-&&&8\\
\hline
&&&1\end{array}&\moveleft5pt{\begin{array}{l}
~~4~~\\
\hline
~~8~2~~\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}$
$\quad$
Ainsi $329 = 4 \times 82 + 1$
$\quad$
$715 \div 7$
$\quad$
$\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lccc}
&7&1&5\\
-&7& \\
\hline
&0&1&\\
-&&0&\\
\hline
&&1&5\\
-&&1&4\\
\hline
&&&1\end{array}&\moveleft5pt{\begin{array}{l}
~~7~~\\
\hline
~~1~0~2~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
$
$\quad$
Ainsi $715 = 7 \times 102 + 1$
$\quad$
$845 \div 18$
$\quad$
$\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lccc}
&8&4&5\\
-&7&2 \\
\hline
&1&2&5\\
-&1&0&8\\
\hline
&&1&7\end{array}&\moveleft5pt{\begin{array}{l}
~~1~8~~\\
\hline
~~4~6~~\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
$
$\quad$
Ainsi $845 = 18 \times 46 + 17$
$\quad$
$2~718 \div 9$
$\quad$
$\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lcccc}
&2&7&1&8\\
-&2&7 \\
\hline
&&0&1&\\
-&&&0&\\
\hline
&&&1&8\\
-&&&1&8\\
\hline
&&&&0\end{array}&\moveleft5pt{\begin{array}{l}
~~9~~\\
\hline
~~3~0~2~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
$
$\quad$
Ainsi $2~718 = 9 \times 302$
$\quad$
$4~327 \div 24$
$\quad$
$\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lcccc}
&4&3&2&7\\
-&2&4 \\
\hline
&1&9&2&\\
-&1&9&2&\\
\hline
&&&0&7\\
-&&&&0\\
\hline
&&&&7\end{array}&\moveleft5pt{\begin{array}{l}
~~2~4~~\\
\hline
~~1~8~0~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
$
$\quad$
Ainsi $4~327 = 24 \times 180 + 7$
$\quad$
$8~363 \div 15$
$\quad$
$\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lcccc}
&8&3&6&3\\
-&7&5 \\
\hline
&&8&6&\\
-&&7&5&\\
\hline
&&1&1&3\\
-&&1&0&5\\
\hline
&&&&8\end{array}&\moveleft5pt{\begin{array}{l}
~~1~5~~\\
\hline
~~5~5~7~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
$
$\quad$
Ainsi $8~363 = 15 \times 557 + 8$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Quand on divise $n$ par $4$, le reste est $3$, quand on divise $n$ par $5$ le reste est $1$, le quotient est le même.
Déterminer $n$.

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $q$ le quotient des deux divisions euclidiennes.
On a donc $n=4q+3$ et $n=5q+1$.
Ainsi $4q+3=5q+1 \ssi q=2$.
Par conséquent $n=4\times 2+3$ soit $n=11$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Dans la division euclidienne entre $2$ entiers positifs, le dividende est $1~517$ et le quotient est $75$.
Quels peuvent être le diviseur et le reste?

$\quad$

Correction Exercice 3

On cherche à déterminer les entiers naturels $d$ et $r$ tels que $1~517=75\times d+r$ et $r<75$.

Or $1~517 = 75 \times 20 + 17$. De plus $17<75$.

Par conséquent le diviseur est $20$ et le reste $17$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On effectue la division euclidienne de $a$ par $b$, puis on augmente le dividende de $52$ et le diviseur de $4$ . Le quotient et le reste ne changent pas. Calculer le quotient.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $q$ le quotient et $r$ le reste de ces divisions.
On a donc $a=qb+r$ et $a+52=q(b+4)+r \ssi a+52=qb+4q+r$.

Par conséquent $52=4q$ soit $q=13$.

Le quotient de ces divisions euclidiennes est donc $13$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

La somme de deux entiers naturels $a$ et $b$ est $416$. La division euclidienne de $a$ par $b$ donne $4$ pour quotient et $61$ pour reste.
Déterminer $a$ et $b$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On a donc le système
$\begin{align*} \begin{cases} a+b=416\\a=4b+61\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=4b+61\\4b+61+b=416\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} a=4b+61\\5b=355\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} b=71\\a=345\end{cases}\end{align*}$

Ainsi $a=345$ et $b=71$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$