Partie A

Il existe donc deux entiers naturels non nuls $a’$ et $b’$, premiers entre eux, tels que $a=1~999a’$ et $b=1~999b’$.
Ainsi $a+b=11~994\ssi 1~999a’+1~999b’=11~994\ssi a’+b’=6$.

• Si $a’=1$ alors $b’=5$. $1$ et $5$ sont bien premiers entre eux. On a alors $a=1~999$ et $b=9~995$.
• Si $a’=2$ alors $b’=4$. $1$ et $4$ ne sont pas premiers entre eux.
• Si $a’=3$ alors $b’=3$. $a’$ et $b’$ sont égaux, ils ne sont donc pas premiers entre eux.

Par symétrie, seuls les couples $(1~999;9~995)$ et $(9~995;1~999)$ sont solution du problème posé.

$\quad$

Partie B

1. On veut donc déterminer l’entier $S$ tel que $9-3S+11~994=0 \ssi 3S=12~003 \ssi S=4~001$.
   En prenant $S=4~001$, $(E)$ devient $n^2-4~001+11~994=0$.
   $3$ est déjà solution de cette équation. Par conséquent, la seconde solution $n’$ vérifie $3n’=11~994 \ssi n’=3~998$.
   $\quad$
2. On veut donc déterminer l’entier $S$ tel que $25-5S+11~994=0 \ssi 5S=12~019$. Or $12~019$ n’est pas divisible par $5$. Par conséquent il n’existe pas d’entier $S$ tel que $5$ soit solution de $(E)$.
   $\quad$
3. $n^2-nS+11~994=0 \ssi n(S-n)=11~994$.
   Ainsi $n$ divise $11~994$.
   Or $11~994=2\times 3\times 1~999$.
   $\bullet$ Si $1$ est solution de $(E)$ on a alors $S-1=11~994 \ssi S=11~995$.
   $\bullet$ Si $2$ est solution de $(E)$ on a alors $2(S-2)=11~994 \ssi S=5~999$.
   $\bullet$ Si $3$ est solution de $(E)$ on a alors $S=4~001$ d’après la question 1.
   $\bullet$ Si $6$ est solution de $(E)$ on a alors $6(S-6)=11~994 \ssi S=2~005$.
   $\bullet$ Si $1~999$ est solution de $(E)$ on a alors $1~999(S-1~999)=11~994 \ssi S=2~005$.
   $\bullet$ Si $3~998$ est solution de $(E)$ $S=4~001$ d’après la question 1.
   $\bullet$ Si $5~997$ est solution de $(E)$ on a alors $5~997(S-5~997)=11~994 \ssi S=5~999$.
   $\bullet$ Si $11~994$ est solution de $(E)$ on a alors $11~994(S-11~994)=11~994 \ssi S=11~995$.
   Les seules valeurs possibles pour $S$ sont donc $\acco{2~005;4~001;5~999;11~995}$.
   $\quad$

Partie C

$\sqrt{1~999} \approx 44,71$.
Il faut montrer que $1~999$ n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à $44$.
$\quad$

1. On a $1~000=13\times 76+12$.
   Par conséquent $10^3\equiv -1~[13]$.
   Donc $10^{3n}\equiv (-1)^n ~[13]$.
   Les restes de la division euclidienne de $10^{3n}$ par $13$ sont donc $-1$ si $n$ est impair et $1$ si $n$ est pair.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=10^{3n+1}+10^{3n}=10^{3n}(10+1)$
   Ainsi :
   $\bullet$ Si $n$ est pair alors $a_n\equiv 1\times 11~[13]$ soit $a_n\equiv 11~[13]$.
   $\bullet$ Si $n$ est impair alors $a_n\equiv -1\times 11~[13]$ soit $a_n\equiv 2~[13]$.
   Le reste de la division euclidienne de $10^{3n+1}+10^{3n}$ par $13$ est donc égal à $11$ si $n$ est pair et $2$ si $n$ est impair.
   $\quad$
3. $11~000~000~000~000=10^{13}+10^{12}$
   D’après la question précédente en prenant $n=4$ on en déduit que e reste de la division euclidienne par $13$ de $11~000~000~000~000$ est $11$.
   $\quad$
4. $10^{15}=10^{3\times 5}$.
   D’après la question 1., $10^{15}\equiv -1~[13]$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} 25\times 10^{15}+1\equiv 25\times (-1)+1~[13] \\
   &\equiv -24~[13] \\
   &\equiv 2~[13]\end{align*}$
   Le reste de la division euclidienne par $13$ de $25 \times 10^{15} + 1$ est donc $2$.
   $\quad$

On a $35\equiv 1~[17]$ donc $35^{121}\equiv 1~[17]$
$50\equiv 16~[17]$ soit $50\equiv -1~[17]$ donc $50^{251}\equiv -1~[17]$
Par conséquent :
$\begin{align*} 8 \times 35^{121}-12\times 50^{251}&\equiv 8\times 1-12\times (-1) ~[17]\\
&\equiv 20~[17]\\
&\equiv 3~[17]\end{align*}$

Le reste dans la division par $17$ de $8 \times 35^{121}-12\times 50^{251}$ est donc $3$.
$\quad$