Terminale – Maths expertes – Arithmétique – Nombres premiers

Arithmétique

Nombres premiers

Exercice 1

Déterminer la décomposition en nombres premiers de: $80$, $220$, $400$, $729$, $1~500$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$80=2^4\times 5$

$220=2^2\times 5\times 11$

$400=2^4\times 5^2$

$729=3^6$

$1~500=2^2\times 3\times 5^3$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Décomposer $5!$, $6!$ et $7!$ en facteurs premiers.
En déduire la décomposition de $(5!)^2$ , $(6!)^2$, $(7!)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}5!&=5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\
&=2^3\times 3\times 5\end{align*}$

$\begin{align*}6!&=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\
&=2^4\times 3^2\times 5\end{align*}$

$\begin{align*}7!&=7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\
&=2^4\times 3^2\times 5\times 7\end{align*}$

Ainsi :

$(5!)^2=2^6 \times 3^2\times 5^2$

$(6!)^2=2^8 \times 3^4\times 5^2$

$(7!)^2=2^8 \times 3^4\times 5^2\times 7^2$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

$85^2-4$ est-il le produit de $2$ nombres premiers?

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}85^2-4&=(85-2)(85+2) \\
&=83\times 87 \\
&=3\times 29\times 83\end{align*}$

$85^2-4$ n’est pas le produit de $2$ nombres premiers.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Quel est le plus petit carré parfait divisible par $616$ ?

$\quad$

Correction Exercice 4

$616=2^3\times 7\times 11$ ainsi le plus petit carré parfait divisible par $616$ est $2^4\times 7^2\times 11^2=94~864$. (on complète les exposants impairs dans la décomposition en facteurs premiers afin d’obtenir des exposants pairs)

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$\quad$

Exercice 5

Justifier que $503$ est un nombre premier.
Déterminer $2$ entiers $x$ et $y$ tels que $x^2-y^2 = 503$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\sqrt{503}\approx 22,4$. Or $503$ n’est pas divisible par les nombres premiers inférieurs à $22$ ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$).
Par conséquent $503$ est un nombre premier.

$x^2-y^2=503\ssi (x-y)(x+y)=503$.
Ainsi $\begin{cases} x-y=1\\x+y=503\end{cases}$ ou $\begin{cases} x-y=503\\x+y=1\end{cases}$.
C’est-à-dire $\begin{cases} x=252\\y=251\end{cases}$ ou $\begin{cases} x=252\\y=-251\end{cases}$.

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$\quad$

Exercice 6

Le nombre $401$ est-il premier?
Résoudre dans $\N^2$ , l’équation $x^2-y^2 = 401$.

$\quad$

Correction Exercice 6

$\sqrt{401}\approx 20,02$. Or $401$ n’est pas divisible par les nombres premiers inférieurs à $20$ ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$).
Par conséquent $401$ est un nombre premier.

$x^2-y^2=401\ssi (x-y)(x+y)=401$.
Ainsi $\begin{cases} x-y=1\\x+y=401\end{cases}$ ou $\begin{cases} x-y=401\\x+y=1\end{cases}$.
C’est-à-dire $\begin{cases} x=201\\y=200\end{cases}$ ou $\begin{cases} x=201\\y=-200\end{cases}$.

Le seul couple d’entier naturel est $(201;200)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

  1. Démontrer que tout nombre premier différent de $2$ est congru à $1$ ou $-1$ modulo $4$.
    $\quad$
  2. Démontrer que si un entier est congru à $-1$ modulo $4$, il en est de même pour un au moins de ses facteurs premiers.

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. Soit $n$ un nombre premier différent de $2$.
    Il y a $4$ possibilités :
    $\bullet$ $n\equiv 0~[4]$ : $n$ alors divisible par $4$ et n’est pas premiers.
    $\bullet$ $n\equiv 1~[4]$
    $\bullet$ $n\equiv 2~[4]$ : il existe alors $k\in \N$ tel que $n=4k+2$. $n$ est donc divisible par $2$ et n’est pas premier.
    $\bullet$ $n\equiv 3~[4]$ qu’on peut également écrire $n\equiv -1~[4]$.
    Ainsi $n$ est congru à $1$ ou $-1$ modulo $4$.
    $\quad$
  2. $n\equiv -1~[4]$. Si $n$ est premier alors la propriété est vraie.
    Si $n$ n’est pas premier il existe alors deux entiers $a$ et $b$ supérieurs ou égaux à $2$ tels que $n=ab$
    Raisonnons par disjonctions de cas modulo $4$ pour le produit $ab$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a\text{ mod }4 \backslash ~b\text{ mod }4&0&1&2&-1\\
    \hline
    0&0&0&0&0\\
    \hline
    1&0&1&0&-1\\
    \hline
    2&0&2&0&2\\
    \hline
    -1&0&-1&2&1\\
    \hline\end{array}$$
    Les seules possibilités pour que le produit soit égal à $-1$ modulo $4$ sont $\begin{cases} a\equiv 1~[4]\\b\equiv -1~[4]\end{cases}$ et $\begin{cases} a\equiv -1~[4]\\b\equiv 1~[4]\end{cases}$.
    Si $a$ et $b$ sont premiers alors la propriété est vraie.
    Quitte à renommer les deux nombres on peut supposer que $a\equiv -1~[4]$ et n’est pas premier (sinon la propriété est vraie). En reproduisant le raisonnement $a=a’b’$ où $a’$ et $b’$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à $2$. On a alors, modulo $4$, $(a’;b’)=(-1;1)$ ou $(a’;b’)=(1;-1)$.
    On recommence ainsi un nombre fini de fois puisque $n$, possède un nombre fini de diviseurs, jusqu’à ce que $a’$ soit un nombre premier.
    Ainsi, au moins un des facteurs premiers de $n$ est congru à $-1$ modulo $4$.

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$\quad$

Exercice 8

Un entier $n$ a exactement $36$ diviseurs. Quel est ce nombre sachant que sa décomposition en facteurs premiers comporte uniquement $2$ élevé à la puissance $3$ ainsi que $5$ et $7$ élevés à la même puissance.

$\quad$

Correction Exercice 8

Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n=2^3\times 5^k\times 7^k$.
Le nombre de diviseurs de $n$ est alors $(3+1)(k+1)(k+1)=36$
Ainsi $(k+1)^2=9$, $k+1=3$ et $k=2$.

Donc $n=2^3\times 5^2\times 7^2=9~800$.

$\quad$

 

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$\quad$

Exercice 9

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres: $$a_n = 4\times 10^n –1 ~~;~~ b_n = 2\times 10^n-1 \text{ et } c_n = 2\times 10^n +1$$

  1. Calculer ces nombres pour $n = 1, 2, 3$.
    $\quad$
  2. Combien les écritures décimales des nombres $a_n$ et $c_n$ ont-elles de chiffres? Démontrer que $a_n$ et $c_n$ sont divisibles par $3$.
    $\quad$
  3. Démontrer en utilisant la liste en fin d’exercice que $b_3$ est premier.
    $\quad$
  4. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul , $b_n \times c_n = a_{2n}$ .En déduire la décomposition en produits de facteurs premiers de $a_6$.
    $\quad$
  5. Démontrer que $\text{PGCD}\left(b_n ; c_n \right)) = \text{PGCD}\left( 2 ; c_n\right)$.
    En déduire que $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux .

Liste des nombres premiers inférieurs à $100$ : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$.

$\quad$

Correction Exercice 9

  1. On a $a_1=39$, $a_2=399$, $a_3=3~999$.
    $b_1=19$, $b_1=199$, $b_3=1~999$
    $c_1=21$, $c_2=201$, $c_3=2~001$
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$. $10^n$ contient $n+1$ chiffres.
    C’est également le cas pour $4\times 10^n$, $4\times 10^n-1$, $2\times 10^n$ et $2\times 10^n+1$.
    $a_n$ et $c_n$ contiennent donc $n+1$ chiffres.
    $\quad$
    $10\equiv 1~[3]$ donc $10^n\equiv 1~[3]$
    Ainsi $a_n\equiv 4-1~[3]$ soit $a_n\equiv 0~[3]$.
    et $c_n\equiv 2+1~[3]$ soit $c_n\equiv 0~[3]$
    $a_n$ et $c_n$ sont donc divisibles par $3$.
    $\quad$
  3. $\sqrt{1~999}\approx 44,71$.
    $1~999$ n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $44$.
    Ainsi $b_3$ est premier.
    $\quad$
  4. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} a_{2n}&=4\times 10^{2n}-1 \\
    &=\left(2\times 10^n\right)^2-1 \\
    &=\left(2\times 10^n-1\right)\left(2\times 10^n+1\right) \\
    &=b_nc_n\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi
    $\begin{align*}a_6&=b_3c_3 \\
    &=1~999\times 2~001 \\
    &=1~999\times 3\times 667\\
    &=3\times 23\times 29\times 1~999\end{align*}$
    $\quad$
  5. Soit $n\in \N$.
    $\text{PGCD}\left(b_n;c_n\right)=\text{PGCD}\left(b_n-c_n;c_n\right)=\text{PGCD}\left(2;c_n\right)$
    Or $\text{PGCD}\left(2;c_n\right)$ divise $2$ et $c_n$.
    $\text{PGCD}\left(2;c_n\right)$ divise $2$. Il divise donc également $2\times 10^n$.
    Par conséquent il divise $c_n-2\times 10^n=1$.
    Donc $\text{PGCD}\left(2;c_n\right)=1$ et les nombres $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

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$\quad$