Terminale – Maths expertes – Arithmétique – Sujets de bac

Arithmétique

Sujets de bac 2015

Exercice 1 (Pondichéry)

Les nombres de la forme $2^n – 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.

  1. On désigne par $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b;c) = 1$.
    Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :
    $\quad$ si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.
    $\quad$
  2. On considère le nombre de Mersenne $2^{33} – 1$.
    Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \left(2^{33} – 1 \right)\div 3&\\
    &2863311530\\
    \left(2^{33} – 1 \right)\div 4&\\
    &2147483648\\
    \left(2^{33} – 1 \right)\div 12&\\
    &715827882,6\\ \hline
    \end{array}$$
    Il affirme que $3$ divise $\left(2^{33} – 1 \right)$ et $4$ divise $\left(2^{33} – 1 \right)$ et $12$ ne divise pas $\left(2^{33} – 1 \right)$.
    a. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?
    b. Justifier que, en réalité, $4$ ne divise pas $\left(2^{33} – 1 \right)$.
    c. En remarquant que $2 \equiv – 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, $3$ ne divise pas $2^{33} – 1$.
    $\quad$
    d. Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \ldots + \left(2^3\right)^{10}$.
    $\quad$
    d. En déduire que $7$ divise $2^{33} – 1$.
    $\quad$
  3. On considère le nombre de Mersenne $2^7 – 1$. Est-il premier ? Justifier.
    $\quad$
  4. On donne le programme suivant où $\verb|N % k|$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$.
    $\quad$
    $\verb|from math import *|$
    $\quad$
    $\verb|n = int(input(“valeur de n (supérieure ou égale à 3) : “))|$
    $\verb|k = 2|$
    $\verb|while ((2**n – 1) % k != 0 & k<=sqrt(2**n – 1)):|$
    $\quad \verb|k = k + 1|$
    $\verb|print(k)|$
    $\verb|if k > sqrt(2**n – 1):|$
    $\quad \verb|print(“CAS 1”)|$
    $\verb|else:|$
    $\quad \verb|print(“CAS 2”)|$
    $\quad$
    a. Qu’affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
    $\quad$
    b. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
    $\quad$
    c. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Les deux nombres $b$ et $c$ sont premiers entre eux.
    Il existe un entier naturel $b’$ tel que $a= b’b$ et un entier naturel $c’$ tel que $a = cc’$.
    Donc  $bb’ = cc’$.
    Puisque $b$ et $c$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, $b$ divisant $cc’$ divise $c’$.
    Ainsi il existe un entier naturel $q$ tel que $c’=bq$.
    Donc $a=cbq$. et $bc$ divise $a$.
    $\quad$
  2. a. $3$ et $4$ sont premiers entre eux et divise tous les deux $2^{33}-1$ d’après la calculatrice.
    D’après le résultat précédent $3 \times 4 = 12$ devrait donc également diviser $2^{33}-1$.
    $\quad$
    b. $33 > 2$ donc $4$ divisise $2^{33}$.
    Si $4$ divise $2^{33}-1$ alors $4$ divise $1$ ce qui est impossible.
    Donc $4$ ne divise pas $2^{33}-1$.
    $\quad$
    c. $2 \equiv -1 ~[3]$ donc $2^{33} \equiv -1~[3]$ d’où $2^{33} – 1 \equiv -2~[3]$.
    Donc $3$ ne divise pas $2^{33}-1$.
    $\quad$
    d. $S$ est la somme de termes d’une suite géométrique de raison $2^3$ :
    $S = \dfrac{1 – \left(2^3\right)^{11}}{1 – 2^3} = \dfrac{2^{33}-1}{7}$.
    $\quad$
    e. $S$ est nécessairement un nombre entier. Par conséquent $\dfrac{2^{33}-1}{7}$ aussi et $7$ divise $2^{33}-1$.
    $\quad$
  3. $2^7 – 1 = 127$ $\sqrt{127} \approx 11,3$.
    On teste si $127$ est divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $11$. Ce qui n’est pas le cas.
    Donc $2^7-1$ est premier.
    $\quad$
  4. a. Si on saisit $n=33$ alors l’algorithme affiche $7$ et ” CAS 2 “.
    Si on saisit $n=7$ alors l’algorithme affiche $12$ et ” CAS 1 “.
    $\quad$
    b. Le ” CAS 2 ” signifie que le nombre de Mersenne n’est pas premier. Le nombre $k$ affiché est le plus petit diviseur de $2^n-1$ strictement supérieur à $1$.
    $\quad$
    c. Le ” CAS 1 ” signifie que le nombre de Mersenne étudié est premier.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 (Centres étrangers)

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls $(x,y,z)$ tels que $$x ^2 + y^2 = z^2.$$

Ces triplets seront nommés “triplets pythagoriciens” en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé “TP”.

Ainsi $(3,4,5)$ est un TP car $3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$\quad$

Partie A : généralités

  1. Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, et $p$ un entier naturel non nul, alors le triplet $(px,py,pz)$ est lui aussi un TP.
    $\quad$
  2. Démontrer que, si $(x,y,z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs.
    $\quad$
  3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puissance de $2$ par un entier impair : $n = 2^{\alpha} \times k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair.
    L’écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ est nommée décomposition de $n$.
    Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : $9 = 2^{0} \times 9$,  $ 120 = 2^3 \times 15$.
    a. Donner la décomposition de l’entier $192$.
    $\quad$
    b. Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z=2^{\beta} \times m$.
    Écrire la décomposition des entiers naturels $2 x^2$ et $z^2$.
    $\quad$
    c. En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de $2x^2$ et dans celle de $z^2$ , montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls $(x,z)$ tels que $2x^2 = z^2$.
    $\quad$
    On admet que la question A -3. permet d’établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels $x,y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x,y,z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l’ordre suivant: $$x < y < z.$$
    $\quad$

Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier $2015$

  1. Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier $2~015$ puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x,y,2~015)$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier naturel $n$ ,\: $(2n + 1)^2 + \left(2n^2 + 2n\right)^2 = \left(2n^2 + 2n + 1\right)^2$.
    Déterminer un TP de la forme $(2~015,y,z)$.
    $\quad$
  3. a. En remarquant que $403^2 =169 \times 961$, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls $(x,z)$ tels que : $z^2-x^2 = 403^2$, avec $x < 403$.
    $\quad$
    b. En déduire un TP de la forme $(x,2~015,z)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A : généralités

  1. Soient $(x,y,z)$ est un TP et $p$ est un entier naturel non nul.
    Alors
    $\begin{align*} (px)^2 + (py)^2 &= p^2(x^2+y^2) \\
    &= p^2z^2 \\
    &= (pz)^2
    \end{align*}$
    Donc $(px,py,pz)$ est également un TP.
    $\quad$
  2. Supposons que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ soient impairs .
    Soit $n$ un entier naturel, alors $(2n+1)^2 = 4n+ 4n + 1 \equiv 1~[2]$.
    Ainsi $x^2 \equiv 1 ~[2]$ et $y^2 \equiv 1 ~[2]$ donc $x^2 + y^2 \equiv 0 ~[2]$.
    Or $z^2 \equiv 1 ~[2]$.
    On ne peut donc pas avoir $x^2+y^2 = z^2$.
    $x$, $y$ et $z$ ne peuvent donc pas être tous les trois impairs.
    $\quad$
  3. a. $192 = 2^6 \times 3$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, on a vu que le carré d’un nombre impair est impair également.
    $x^2 = 2^{2\alpha}\times k^2 $ donc $2x^2 = 2^{2\alpha + 1} \times k^2$
    $z^2 = 2^{2\beta} \times m^2$
    $\quad$
    c. Si $2x^2 = z^2$ alors $2^{2\alpha + 1} \times k^2 = 2^{2\beta} \times m^2$.
    Par conséquent $2\alpha + 1 = 2\beta$ soit $2(\beta – \alpha) = 1$. Ce qui impossible car $2(\beta – \alpha)$ est pair et $1$ impair.
    Il n’existe donc pas d’entiers naturels non nuls $(x,y)$ tels que $2x^2=z^2$.
    $\quad$

Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier $2015$

  1. $2015 = 5 \times 13 \times 31$. Et $13 \times 31 = 403$
    Le triplet $(3,4,5)$ est un TP. Par conséquent le triplet $(3 \times 403,4 \times 403, 5 \times 403)$ est également un TP.
    Ainsi le triplet $(1209,1612,2015)$ est un TP.
    $\quad$
  2. $2015 = 2 \times 1007 + 1$.
    Ainsi le triplet $(2015,2\times 1007^2 + 2\times 1007, 2\times 1007 + 2\times 1007 + 1)$ est un TP soit $(2015,2~030~112,2~030~113)$ .
    $\quad$
  3. a. On a $z^2-x^2 = (z-x)(z+x)$.
    Par conséquent, on cherche les valeurs de $x$ et $z$ telles que :
    $(z-x)(z+x) = 169 \times 961$.
    Regardons s’il est possible de résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} z-x = 169 \\z+x = 961 \end{cases} &\ssi \begin{cases} z=169+x \\169+2x=961 \end{cases} \\
    & \ssi \begin{cases} x= 396 \\z=565 \end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi le couple $(396,565)$ convient.
    $\quad$
    b. Le triplet $(396,403,565)$ est un TP.
    Donc $(5 \times 396,5 \times 403, 5 \times 565)$ est également un TP.
    Soit $(1980,2015,2825)$ est un TP.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (Antilles Guyane)

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $\verb|a%b|$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
On considère le programme suivant :

$\verb|a = int(input(“Saisir un entier naturel a non nul”))|$
$\verb|b = int(input(“Saisir un entier naturel b non nul”))|$
$\verb|c = a%b|$
$\verb|while c != 0:|$
$\quad$ $\verb|a = b|$
$\quad$ $\verb|b = c|$
$\quad$ $\verb|c = a % b|$
$\verb|print(b)|$
$\quad$

  1. Faire fonctionner ceprogramme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape.
    $\quad$
  2. Ceprogramme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$.
    Le modifier pour qu’il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non.
    $\quad$

Partie B

À chaque lettre de l’alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}
$$

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$.
Étape 2 : à la lettre que l’on veut coder, on associe l’entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus.
Étape 3 : on calcule l’entier $x’$ défini par les relations $$x’ \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \le x’ \le 25.$$
Étape 4 : à l’entier $x’$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

  1. Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$.
    a. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
    $\quad$
    b. Citer le théorème qui permet d’affirmer l’existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,v)$ qui convient.
    $\quad$
    c. Démontrer que $x’ \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x’ + 20\quad [26]$.
    $\quad$
    d. Décoder la lettre R.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D.
    Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique).
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?
    $\quad$
Correction Exercice 3

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    a&26&9&8\\
    \hline
    b&9&8&1\\
    \hline
    c&8&1&0\\
    \hline
    \end{array}$
    L’algorithme affichera donc $1$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\verb|a = int(input(“Saisir un entier naturel a non nul”))|$
    $\verb|b = int(input(“Saisir un entier naturel b non nul”))|$
    $\verb|c = a%b|$
    $\verb|while c != 0:|$
    $\quad$ $\verb|a = b|$
    $\quad$ $\verb|b = c|$
    $\quad$ $\verb|c = a % b|$
    $\verb|if b == 1 :|$
    $\quad$ $\verb|print(“a et b sont premiers entre eux”)|$
    $\verb|else :|$
    $\quad$ $\verb|print(“a et b ne sont pas premiers entre eux”)|$
    $\quad$

Partie B

  1. a.
    Etape 1 :
    $p=9$ et $q=2$
    Etape 2 : On choisit V. Donc $x=21$
    Etape 3 : $px + q = 191 \equiv 9 ~[26]$
    Etape 4 : La lettre associée à $9$ est J
    $\quad$
    b. Les nombres $9$ et $26$ sont premiers entre eux (d’après la question A.1.).
    D’après le théorème de Bézout, il existe alors au moins un couple d’entiers relatifs $(u,v)$ tel que $9u+26v=1$.
    $\quad$
    $9 \times 3+ 26 \times (-1) = 27 – 26 = 1$
    Le couple $(3;-1)$ convient donc.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} x’ \equiv 9x + 2~[26] & \ssi 3x’ \equiv 27x + 6 ~[26] \\
    & \ssi 3x’ \equiv x + 6~[26] \\
    & \ssi 3x’ – 6 \equiv x ~[26] \\
    & \ssi 3x’ + 20 \equiv x ~[26]
    \end{align*}$
    d. Si on obtient la lettre R, alors $x’= 17$
    Or $3 \times 17 + 20 = 71 \equiv 19~[26] $
    La lettre initiale était donc T.
    $\quad$
  2. J est codé par D. Cela signifie donc que si $x=9$ alors $x’=3$
    Avec $x’ \equiv px + 2~[26] $
    Soit $3\equiv 9p + 2~[26]$
    par conséquent $9p \equiv 1~[26] $
    Or $9\times 3 = 27 \equiv 1~[26]$
    Donc $p = 3$
    $\quad$
  3. $p=13$ et $q=2$
    Si on choisit la lettre $B$ alors $x=1$
    Par conséquent $13 \times 1 + 2 = 15 \equiv 15~[26]$ donc $x’ = 15$
    On obtient ainsi la lettre P.
    $\quad$
    Si on choisit la lettre $D$ alors $x= 3$
    Par conséquent $13 \times 3 + 2 = 41 \equiv 15~[26]$ donc $x’=15$
    On obtient ainsi la lettre P.
    Ce codage n’est pas utilisable car deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Il n’y a pas unicité du codage.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 (Polynésie septembre)

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

  1. Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \ge 1 + n$.
    $\quad$
    b. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
    $\quad$
  3. On suppose dans cette question que $n$ s’écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
    a. Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
    $\quad$
    b. On considère la proposition suivante : “Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$”.
    Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
    $\quad$
  4. On suppose dans cette question que l’entier $n$ s’écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
    a. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
    $\quad$
    b. En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
    $\quad$
  5. On suppose dans cette question que $n$ s’écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
    a. Soit $m$ un entier naturel.
    Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \le s \le 13$ et $0 \le t \le 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 – p^{14}}{1 – p} \times \dfrac{1 – q^8}{1 – q}$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Les diviseurs positifs de $6$, sont $1,2,3$ et $6$. Ainsi $S(6) = 12$.
    Les diviseurs positifs de $7$ sont $1$ et $7$. Ainsi $S(7)=8$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $2$, $1$ et $n$ sont des diviseurs positifs de $n$ distincts.
    Ainsi $S(n) \ge 1+n$.
    $\quad$
    b. Pour que $S(n)=1+n$ il faut que $n$ ne soit divisible exactement par $2$ nombres : $1$ et lui-même. C’est donc un nombre premier.
    $\quad$
  3. a. Si $n=p\times q$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, alors les seuls diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $p$, $q$ et $pq$.
    Par conséquent $S(n)=1+p+q+pq = (1+p)(1+q)$.
    $\quad$
    b. Prenons $n=4$ et $m=2$.
    Les diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $2$ et $4$. Ainsi $S(4)=7$.
    Puisque $2$ est premier, $S(2) = 3$
    Les diviseurs positifs de $8$ sont $1$, $2$, $4$ et $8$. Ainsi $S(8) = 15$.
    Par conséquent $S(8) \neq S(4) \times S(2)$.
    La proposition faite est donc fausse.
    $\quad$
  4. a. $n=p^k$ ou $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
    Les diviseurs de $n$ sont donc les $p^i$ pour $i\in \left\{0;1;\ldots;k\right\}$.
    $\quad$
    b. Ainsi $S(n) = \displaystyle \sum_{i=0}^k p^i= 1+p+p^2+\ldots +p^k = \dfrac{1-p^{k+1}}{1-p}$.
    $\quad$
  5. a. $n=p^{13}\times q^7$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts.
    Soit $m$ un diviseur de $n$.
    Supposons que $m$ soit divisible par un nombre premier $d$ différent de $p$ et $q$.
    Puisque $d$ divise $m$, il divise également $n$.
    Cela signifie donc que $m$ divise soit $p$ soit $q$. Ce qui est impossible.
    Donc $m$ s’écrit sous la forme $p^s\times q^t$ où $s$ et $t$ sont des entiers naturels.
    $s \le 13$ car $p^{14}$ ne divise pas $n$. De même $t \le 7$ car $q^8$ ne divise pas $n$.
    Par conséquent, il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
    $\quad$
    Réciproquement  supposons qu’il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
    Alors $n=p^{13}\times q^7 = p^s\times p^{13-s}\times q^t\times q^{7-t} = m \times p^{13-s}\times q^{7-t}$.
    $m$ divise bien $n$.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $$\begin{align*} S(n) &= \displaystyle \sum_{s=0}^{13} \sum_{t=0}^{7} p^s\times q^t \\
    &= \sum_{s=0}^{13}  p^s\times\sum_{t=0}^{7} q^t \\
    &= \sum_{s=0}^{13} p^s\times\dfrac{1-q^8}{1-q} \\
    &= \left(\sum_{s=0}^{13} p^s\right) \times\dfrac{1-q^8}{1-q}\\
    &= \dfrac{1-p^{14}}{1-p} \times \dfrac{1-q^8}{1-q}
    \end{align*}$$

 

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