Terminale – Maths expertes – Arithmétique – Vrai ou faux

Arithmétique

Vrai ou faux

Dans chaque exercice, déterminez, en justifiant, si les $5$ affirmations proposées sont vraies ou fausses.

Exercice 1

L’équation $x^3\equiv 1~[7]$

  1. a pour unique solution $4$.
    $\quad$
  2. a pour solution $2$.
    $\quad$
  3. admet une infinité de solutions dans $\Z$.
    $\quad$
  4. admet les solutions $x\equiv 1~[14]$.
    $\quad$
  5. admet les solutions $x\equiv 5~[7]$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $4^3=64$ et $64\equiv 1~[7]$ donc $4$ est solution de l’équation $x^3\equiv 1~[7]$.
    Cependant $1$ est également solution de cette équation.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  2. $2^3=8$ et $8\equiv 1~[7]$.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  3. Soit $k\in \Z$
    Posons $x=7k+1$. On a alors $x\equiv 1~[7]$ et donc $x^3\equiv 1~[7]$.
    Il y a donc une infinité de solutions dans $\Z$.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  4. Soit $x\in \Z$ tel que $x\equiv 1~[14]$. Il existe alors $k\in \Z$ tel que $x=1+14k$.
    Par conséquent $x\equiv 1~[7]$ et donc $x^3\equiv 1~[7]$.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  5. Prenons $x=5$ on a bien $x\equiv 5~[7]$.
    $5^2=25$ donc $5^2\equiv 4~[7]$
    Ainsi $5^3\equiv 20~[7]$ soit $x^3\equiv 6~[7]$
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 2

L’ensemble des entiers $n\in \N^*$ tels que $n+1$ divise $n^2+1$

  1. admet une infinité de solutions dans $\N$.
    $\quad$
  2. admet $1$ comme solution.
    $\quad$
  3. n’admet que $1$ comme solution.
    $\quad$
  4. on peut montrer que $n+1$ divise $n-1$.
    $\quad$
  5. admet $2$ solutions : $0$ et $1$
    $\quad$
Correction Exercice 2

$n+1$ divise $n^2+1$ d’après l’énoncé et par définition $n+1$ divise $(n+1)^2$.
Ainsi $n+1$ divise $(n+1)^2-\left(n^2+1\right)=2n$
Par conséquent $n+1$ divise également $2n-(n+1)=n-1$.
Donc $n+1$ divise aussi $n+1-(n-1)=2$ pour tout $n\in \N^*$.
Les diviseurs positifs de $2$ sont $1$ et $2$.
On en déduit donc que $n+1=1 \ssi n=0$ (ce qui est impossible) ou $n+1=2\ssi n=1$.

D’après ce qui vient d’être fait,

  1. la propriété est fausse.
    $\quad$
  2. Propriété vraie
    $\quad$
  3. Propriété vraie
    $\quad$
  4. Propriété vraie
    $\quad$
  5. Propriété fausse
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On appelle $E$ l’ensemble des entiers relatifs $x$ tels que $x-3$ divise $x^3-3$.

  1. Soit $x\in E$, $x-3$ divise $24$.
    $\quad$
  2. $E$ n’admet que deux éléments : $1$ et $9$.
    $\quad$
  3. $E$ admet plusieurs éléments dont le plus petit est $-9$ et le plus grand $27$.
    $\quad$
  4. $E=\acco{-21;-9;-5;-3;-1;0;1;2;4;5;6;7;9;11;15;27}$
    $\quad$
  5. $E$ est infini.
    $\quad$
Correction Exercice 3

Posons $y=x-3$. On a alors $x=y+3$.
Ainsi $x$ appartient à $E$ si, et seulement si, $y$ divise $(y+3)^3-3=y^3+9y^2+27y+24$.
$y$ divise naturellement $y^3$, $y^2$ et $y$. Il divise donc également $24$.
Or les diviseurs de $24$ sont $$\acco{-24;-12;-8;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;8;12;24}$$
Ainsi, en utilisant la relation $x=y+3$ on a $$E\subset \acco{-21;-9;-5;-3;-1;0;1;2;4;5;6;7;9;11;15;27}$$

Réciproquement, on vérifie que si $x\in \acco{-21;-9;-5;-3;-1;0;1;2;4;5;6;7;9;11;15;27}$ alors $x-3$ divise $x^3-3$. Le programme Python suivant permet d’automatiser les choses:

$\verb|x = [-21,-9,-5,-3,-1,0,1,2,4,5,6,7,9,11,15,27]|$
$\verb|y = [i**3-3 for i in x]|$
$\verb|z = range(len(x))|$
$\verb|print([y[i] % (x[i]-3) for i in z])|$

C’est un peu fastidieux à la main sinon, mais cette étape permet d’obtenir l’égalité $E= \acco{-21;-9;-5;-3;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;9;11;15;27}$.

D’après ce qui vient d’être fait

  1. $y=x-3$ divise $24$
    L’affirmation est fausse
    $\quad$
  2. L’affirmation est fausse
    $\quad$
  3. L’affirmation est fausse
    $\quad$
  4. L’affirmation est vraie
    $\quad$
  5. L’affirmation est fausse
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 4

Soient $A$ la proposition “$a^2+b^2\equiv 0~[7]$” et $B$ la proposition “$a\equiv 0~[7]$ et $b\equiv 0~[7]$”.

  1. $A\Rightarrow B$
    $\quad$
  2. $B\Rightarrow A$
    $\quad$
  3. $A\ssi B$
    $\quad$
  4. L’équation $a^2+b^2\equiv 0~[7]$ admet une infinité de solution dans $\Z^2$.
    $\quad$
  5. Si $A$ est vraie alors $a^3+b^3\equiv 0~[7]$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Raisonnons par disjonction de cas :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a\text{ mod} 7&0&1&2&3&4&5&6\\
    \hline
    a^2\text{ mod} 7&0&1&4&2&2&4&1\\
    \hline\end{array}$
    On obtient évidemment le même tableau pour $b$.
    Le tableau suivant fourni la valeur de $a^2+b^2$ modulo $7$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    0&0&1&2&4\\
    \hline
    1&1&2&3&5\\
    \hline
    2&2&3&4&6\\
    \hline
    4&4&5&6&1\\
    \hline\end{array}$
    Ainsi $a^2+b^2\equiv 0~[7] \ssi \begin{cases} a\equiv 0~[7]\\b\equiv 0~[7]\end{cases}$
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  2. D’après ce qui vient d’être fait, l’affirmation est vraie
    $\quad$
  3. $A\Rightarrow B$ et $B\Rightarrow A$. Par conséquent $A\ssi B$.
    L’affirmation est vraie
    $\quad$
  4. Les solution de $a^2+b^2\equiv 0~[7]$ sont les couples d’entiers $(a;b)$ tels que $a\equiv 0~[7]$ et $b\equiv 0~[7]$.
    Soient $k\in \Z$ et $k’\in \Z$.
    Les couples $(7k;7k’)$ sont solutions de $a^2+b^2\equiv 0~[7]$
    L’affirmation est vraie
    $\quad$
  5. $A$ est vraie donc $a\equiv 0~[7]$ et $b\equiv 0~[7]$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a^3+b^3\equiv 0+0~[7] \\
    &\equiv 0~[7]\end{align*}$
    L’affirmation est vraie
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Le théorème de Fermat affirme que si $p$ est premier et $\text{PGCD} (a ;p)= 1$ alors $a^{p-1}\equiv 1~[p]$.

  1. On peut en déduire que $13$ divise $2^{70}+3^{70}$.
    $\quad$
  2. On peut en déduire que $19$ divise $2^{2^{6k+2 }}+2$.
    $\quad$
  3. Pour tout $a\in \Z$, $a^p\equiv a~[p]$
    $\quad$
  4. D’après le théorème de Fermat $13$ divise $3^{3n+3}-26n-27$.
    $\quad$
  5. On peut en déduire que $19$ divise $2^{2^{6k+2}}+3$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $2$ et $13$ sont premiers entre eux et $13$ est un nombre premier.
    D’après le théorème de Fermat, $2^{13-1}\equiv 1~[13]$
    Ainsi $2^{12}\equiv 1~[13]$
    Par conséquent $2^{60}\equiv 1~[13]$
    De plus :
    $\begin{align*} 2^{5}&=32\\
    &\equiv 6~[13]\end{align*}$
    Donc $2^{10}\equiv 10~[13]$
    De même :
    $3$ et $13$ sont premiers entre eux et $13$ est un nombre premier.
    D’après le théorème de Fermat, $3^{13-1}\equiv 1~[13]$
    Ainsi $3^{12}\equiv 1~[13]$
    Par conséquent $3^{60}\equiv 1~[13]$
    De plus :
    $\begin{align*} 3^{5}&=243\\
    &\equiv 9~[13]\end{align*}$
    Donc $9^{10}\equiv 3~[13]$
    $\quad$
    Finalement :
    $\begin{align*} 2^{70}+3^{70}\equiv 10+3~[13] \\
    \equiv 0~[13]\end{align*}$
    L’affirmation est vraie
    $\quad$
  2. On a $2^6=64$ soit $2^6\equiv 1~[9]$. Par conséquent $2^{6k}\equiv 1~[9]$ et $2^{6k+2}\equiv 2^2~[9]$.
    Il existe ainsi $k\in \N$ tel que $2^{6k+2}=9q+2^2$.
    Or $2$ divise $2^{6q+2}$ et $2^2$. Donc $2$ divise également $9k$. $2$ et $9$ étant premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss $2$ divise $q$.
    Il existe donc $t\in \N$ tel que $2^{6k+2}=18t+4$.
    $2$ et $19$ sont premiers entre eux et $19$ est un nombre premier. D’après le théorème de Fermat, $2^{18}\equiv 1~[19]$.
    Par conséquent $2^{18t+4}\equiv 2^4~[19]$.
    Ainsi $2^{2^{6k+2}}\equiv 16~[19]$ et $2^{2^{6k+2}}+2\equiv 18~[19]$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  3. $\bullet$ Si $p$ divise $a$ alors $p$ divise $a^p$ également. Ainsi $a\equiv 0~[p]$ et $a^p\equiv 0~[p]$ et donc $a^p\equiv a~[p]$.
    $\bullet$ Si $p$ ne divise pas $a$ alors $a$ et $p$ sont premiers entre eux et $p$ est un nombre premier.
    D’après le théorème de Fermat $a^{p-1}\equiv 1~[p]$ et ainsi $a^p\equiv a~[p]$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  4. $3^3\equiv 1~[13]$ donc $3^3(n+1)\equiv 1~[13]$
    De plus $-27\equiv -1~[13]$ et $26n\equiv 0~[13]$
    Donc $3^{3n+3}-26n-27\equiv 0~[13]$.
    $13$ divise bien $3^{3n+3}-26n-27$ mais le théorème de Fermat ne permet pas de le prouver.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. D’après la question 2., on a $2^{2^{6k+2}}\equiv 16~[19]$ donc $2^{2^{6k+2}}+3\equiv 0~[19]$.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

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$\quad$