Terminale – Maths expertes – Arithmétique

Arithmétique

Diviseurs et multiples

Exercice 1

Écrire l’ensemble des diviseurs dans $\Z$ de $18$, $24$, $50$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$ sont les diviseurs de $18$ dans $\N$.
L’ensemble des diviseurs dans $\Z$ de $18$ est donc :
$$\acco{-1;1;-2;2;-3;3;-6;6;-9;9;-18;18}$$

$1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ sont les diviseurs de $24$ dans $\N$.
L’ensemble des diviseurs dans $\Z$ de $18$ est donc :
$$\acco{-1;1;-2;2;-3;3;-6;6;-8;8;-12;12;-24;24}$$

$1$, $2$, $5$, $10$, $25$, $50$ sont les diviseurs de $50$ dans $\N$
L’ensemble des diviseurs dans $\Z$ de $18$ est donc :
$$\acco{-1;1;-2;2;-5;5;-10;10;-25;25;-50;50}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Combien y a t-il de multiples de $39$ entre $-300$ et $500$?

$\quad$

Correction Exercice 2

Le plus petit multiple de $39$ appartenant à $[-300;500]$ est $-273$ et le plus grand est $468$.
Si on note $u_0=-273$ on cherche alors tous le rang de$468$ dans la suite arithmétique de raison $39$ et de premier  terme $u_0$.
$468=-273+39*n \ssi n=\dfrac{468+273}{39} \ssi n=19$.
Il y a donc $20$ multiples de $39$ entre $-300$ et $500$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

  1. Trouver les diviseurs de $15$ dans $\N$.
    $\quad$
  2. Trouver tous les couples $( x, y) \in \N^2$ tels que : $x^2-y^2 = 15$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Les diviseurs de $15$ dans $\N$ sont $1$, $3$, $5$ et $15$.
    $\quad$
  2. $x^2-y^2=15\ssi (x-y)(x+y)=15$.
    Cela revient à chercher les solutions des systèmes suivants :
    – $\begin{cases} x+y=15\\x-y=1\end{cases} \ssi \begin{cases} x=8\\y=7\end{cases}$
    – $\begin{cases} x+y=5\\x-y=3\end{cases} \ssi \begin{cases} x=4\\y=1\end{cases}$
    – $\begin{cases} x+y=3\\x-y=5\end{cases}$ n’a pas de solutions dans $\N^2$
    – $\begin{cases} x+y=1\\x-y=15\end{cases}$ n’a pas de solutions dans $\N^2$
    $\quad$
    Les seuls couples solutions appartenant à $\N^2$ sont donc $(8;7)$ et $(4;1)$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $2$ et $3$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} n^3-n&=n\left(n^2-1\right) \\
&=n(n-1)(n+1)\end{align*}$

  • $n$ est soit pair, soit impair.
      • Si $n$ est pair alors il  existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$.
        Ainsi $n^3-n=2k(2k-1)(2k+1)$ est divisible par $2$.
      • Si $n$ est impair alors il  existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k+1$.
        Ainsi $n^3-n=(2k+1)\times 2k(2k+2)$ est divisible par $2$.

    Donc, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $2$.

  • $n$ s’écrit sous la forme $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$
      • S’il  existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k$ alors :
        $n^3-n=3k(3k-1)(3k+1)$ est divisible par $3$.
      • S’il  existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k+1$ alors :
        $n^3-n=(3k+1)\times 3k(3k+2)$ est divisible par $3$.
      • S’il  existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k+2$ alors :
        $n^3-n=(3k+2)\times (3k+1)(3k+3)=(3k+2)(3k+1)\times 3(k+1)$ est divisible par $3$.

    Donc, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $3$.

Pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est donc divisible par $2$ et $3$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Soient $k\in \N$, $a = 3k +5$ et $b = 2k +1$.
Prouver que les seuls diviseurs positifs communs possibles à $a$ et $b$ sont $1$ et $7$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$.
Il existe donc deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $a=dn$ et $b=dm$.
Ainsi $\begin{cases} dn=3k+5\\dm=2k+1\end{cases}\ssi \begin{cases}3k+5=dn \\7=2dn-3dm & L_2\leftarrow 2L_1-3L_2\end{cases}$.
Par conséquent $(2n-3m)d=7$.
$d$ est donc un diviseur de $7$. Ce ne peut être que $1$ ou $7$.

$1$ est toujours un diviseur commun à $a$ et $b$.
Si $k=3$ alors $a=14$ et $b=7$ et $7$ divise bien $a$ et $b$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

  1. Déterminer les entiers naturels $n$ tel que $n-3$ divise $n^2+3$
    aide : On pourra écrire $n^2+3 = n^2-9+12$
    $\quad$
  2. Déterminer tous les entiers naturels $n$ tel que $n-3$ divise $n^2-3$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Si $n-3$ divise $n^2+3$ alors il existe un entier naturel $k$ tem que $n^2+3=k(n-3)$
    Or :
    $\begin{align*} n^2+3&=n^2-9+12 \\
    &=(n-3)(n+3)+12\end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} (n-3)(n+3)+12=k(n-3) &\ssi k(n-3)-(n-3)(n+3)=12 \\
    &\ssi (n-3)(k-n-3)=12\end{align*}$
    Donc $n-3$ divise $12$.
    Ainsi $n-3\in \acco{-12;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;12}$ et donc $n\in \acco{-9;-3;-1;0;1;2;4;5;6;9;15}$.
    Or $n$ est un entier naturel donc $n\in \acco{0;1;2;4;5;6;9;15}$.
    – Si $n=0$ alors $n^2+3=3$ et $n-3=-3$ : $-3$ divise $3$.
    – Si $n=1$ alors $n^2+3=4$ et $n-3=-2$ : $-2$ divise $4$.
    – Si $n=2$ alors $n^2+3=7$ et $n-3=-1$ : $-1$ divise $7$.
    – Si $n=4$ alors $n^2+3=19$ et $n-3=1$ : $1$ divise $19$.
    – Si $n=5$ alors $n^2+3=28$ et $n-3=2$ : $2$ divise $28$.
    – Si $n=6$ alors $n^2+3=39$ et $n-3=3$ : $3$ divise $39$.
    – Si $n=15$ alors $n^2+3=228$ et $n-3=12$ : $12$ divise $228$.
    L’ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n-3$ divise $n^2+3$  est $\acco{-9;-3;-1;0;1;2;4;5;6;9;15}$.
    $\quad$
  2. Si $n-3$ divise $n^2-3$ alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n^2-3=k(n-3)$
    $n^2-3=n^2-9+6$
    Par conséquent
    $\begin{align*} n^2-9+6=k(n-3) &\ssi (n-3)(n+3)+6=k(n-3) \\
    &\ssi 6=k(n-3)-(n+3) \\
    &\ssi 6=(n-3)(k-n-3)\end{align*}$
    Par conséquent $n-3$ divise $6$.
    Ainsi $n-3\in \acco{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}$ soit $n\in \acco{-3;0;1;2;4;5;6;9}$
    Or $n$ est un entier naturel donc $n\in \acco{0;1;2;4;5;6;9}$.
    – Si $n=0$ alors $n^2-3=-3$ et $n-3=-3$ : $-3$ divise $-3$.
    – Si $n=1$ alors $n^2-3=-2$ et $n-3=-2$ : $-2$ divise $-2$.
    – Si $n=2$ alors $n^2-3=1$ et $n-3=-1$ : $-1$ divise $1$.
    – Si $n=4$ alors $n^2-3=13$ et $n-3=1$ : $13$ divise $1$.
    – Si $n=5$ alors $n^2-3=22$ et $n-3=2$ : $2$ divise $22$.
    – Si $n=6$ alors $n^2-3=33$ et $n-3=3$ : $3$ divise $33$.
    – Si $n=9$ alors $n^2-3=78$ et $n-3=6$ : $6$ divise $78$.
    L’ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n-3$ divise $n^2-3$  est $\acco{0;1;2;4;5;6;9}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \N^*$, le nombre $2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.

Initialisation : Si $n=1$ alors $2^{2n}+6n-1=9$ et $9$ est bien divisible par $9$.
Ainsi $P(1)$ est vraie.

Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} 2^{2(n+1)}+6(n+1)-1&=2^{2n+2}+6n+6-1 \\
&=4\times 2^{2n}+6n+5 \\
&=4\left(2^{2n}+6n-1\right)-4\times 6n+4+6n+5 \\
&=4\left(2^{2n}+6n-1\right)-18n+9\end{align*}$
Or, $18$ et $9$ sont divisibles par $9$ et, par hypothèse de récurrence, $2^{2n}+6n-1$ l’est également.
Donc $2^{2(n+1)}+6(n+1)-1$ est divisible par $9$ et $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : La propriété $P(n)$ est vraie pour $n=1$ et est héréditaire. Ainsi, pour tout $n\in \N^*$, $2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Démontrer que pour tout $n\in\N$, les nombres suivants sont premiers entre eux :

  1. $3n-1$ et $5n-2$
    $\quad$
  2. $11n + 6$ et $9n + 5$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 8

  1. On appelle $d$ un diviseur commun à $3n-1$ et $5n-2$.
    $d$ divise donc $5(3n-1)-3(5n-2)=1$.
    Ainsi $3n-1$ et $5n-2$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. On appelle $d$ un diviseur commun à $11n+6$ et $9n+5$.
    $d$ divise donc $9(11+6)-11(9n+5)=-1$.
    Ainsi $3n-1$ et $5n-2$ sont premiers entre eux.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 9

  1. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \N^*$, $6$ divise $n^3+11n$
    $\quad$
  2. On considère trois entiers naturel $a$, $b$ et $c$ tels que : $b$ divise $a$, $c$ divise $a$ , $b$ et $c$ sont premiers entre eux.
    Montrer que $bc$ divise $a$.(Théorème de Gauss)
    $\quad$
  3. En déduire, sans raisonnement par récurrence cette fois-ci, que pour tout $n \in \N^*$, $6 divise $n^3+11n$.

$\quad$

Correction Exercice 9

  1. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~6$ divise $n^3+11n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $n^3+11n=12$. Or $6$ divise bien $12$.
    Donc $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $6$ divise $n^3+11n$. Il existe donc un entier naturel $k$ non nul tel que $n^3+11n=6k$
    \begin{align*} (n+1)^3+11(n+1)&= n^3+3n^2+3n+1+11n+11 \\
    &=n^3+11n + 3n^2+3n+12 \\
    &=6k+3\left(n^2+n+4\right) \end{align*}$
    $\bullet$ Si $n$ est pair il existe alors un entier naturel non nul $q$ tel que $n=2q$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} n^2+n+4&=4q^2+2q+4 \\
    &=2\left(2q^2+q+2\right)\end{align*}
    Ainsi $(n+1)^3+11(n+1)=6k+6\left(2q^2+q+2\right)$ et $(n+1)^3+11(n+1)$ est divisible par $6$.
    $\bullet$ Si $n$ est impair il existe alors un entier naturel $q$ tel que $n=2q+1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} n^2+n+4&=(2q+1)^2+2q+1+4 \\
    &=4q^2+4q+1+2q+5 \\
    &=4q^2+6q+6 \\
    &=2\left(2q^2+3q+3\right)\end{align*}$
    Ainsi $(n+1)^3+11(n+1)=6k+6\left(2q^2+3q+3\right)$ et $(n+1)^3+11(n+1)$ est divisible par $6$.
    $\quad$
    Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : $P(1)$ est vraie et $P(n)$ est héréditaire. Donc, pour tout $n\in \N^*$, $n^3+11n$ est divisible par $6$.
    $\quad$
  2. $b$ divise $a$. Il existe donc un entier naturel $k$ tel $a=bk$.
    $c$ divise $a$. Il existe donc un entier naturel $k’$ tel $a=ck’$.
    Par conséquent $bk=ck’$.
    $b$ et $c$ sont premiers entre eux. Par conséquent $b$ divise $k’$.
    Il existe ainsi un entier naturel $q$ tel que $k’=bq$
    Donc $a=bcq$ et $bc$ divise $a$.
    $\quad$
  3. On a $n^3+11n=n(n^2+11)$.
    $\bullet$ Si $n$ est pair alors $n^3+11n$ est également pair
    $\bullet$ Si $n$ est impair alors $n^3$ et $11$ sont impairs et leur somme est pair.
    Ainsi $n^3+11n$ est divisible par $2$.
    $\quad$
    $\bullet$ S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k$ alors $n\left(n^2+11\right)$ est divisible par $3$.
    $\bullet$ S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k+1$ alors $n^2+11=9k^2+6k+12$ est divisible par $3$.
    $\bullet$ S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k+2$ alors $n^2+11=9k^2+12k+15$ est divisible par $3$.
    Ainsi $n^3+11n$ est dans tous les cas divisibles par $3$.
    $\quad$
    $2$ et $3$ sont premiers entre eux et divisent tous les deux $n^3+11n$.
    D’après la question précédente, leur produit divise $n^3+11n$.
    Ainsi $n^3+11n$ est divisible par $6$.
    $\quad$

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$\quad$