Terminale – Maths expertes – Matrices – Inverse

Matrices

Inverse d’une matrice

Exercice 1

La matrice $\begin{pmatrix}7&5\\3&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible?

$\quad$

Correction Exercice 1

Le déterminant de la matrice vaut $7\times 2-5\times 3=-1\neq 0$.
La matrice est donc inversible.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

La matrice $\begin{pmatrix}6&4\\3&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible?

$\quad$

Correction Exercice 2

Le déterminant de la matrice vaut $6\times 2-4\times 3= 0$.
La matrice n’est donc pas inversible.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Montrer que l’inverse de la matrice $A=\begin{pmatrix}2&3 \\5&8\end{pmatrix}$ est la matrice $B=\begin{pmatrix}8&-5\\5&2\end{pmatrix}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On a $AB=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
La matrice $A$ est donc inversible et $A^{-1}=B$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Démontrer que la matrice $A=\begin{pmatrix} 3&11\\2&5\end{pmatrix}$ est inversible et déterminer son inverse.

$\quad$

Correction Exercice 4

Le déterminant de $A$ est :
$\begin{align*} \det(A)&=3\times 5-2\times 11\\
&=-7 \\
&\neq 0\end{align*}$

$A$ est donc inversible et $A^{-1}=\dfrac{-1}{7}\begin{pmatrix}5&-11\\-2&3\end{pmatrix}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Démontrer que la matrice $A=\begin{pmatrix} 5&7\\12&3\end{pmatrix}$ est inversible et déterminer son inverse.

$\quad$

Correction Exercice 4

Le déterminant de $A$ est :
$\begin{align*} \det(A)&=5\times 3-7\times 12\\
&=-69 \\
&\neq 0\end{align*}$

$A$ est donc inversible et $A^{-1}=\dfrac{-1}{69}\begin{pmatrix}3&-7\\-12&5\end{pmatrix}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} -1&0\\m&1\end{pmatrix}$ où $m$ est un réel quelconque.

  1. Calculer $A^2$.
    $\quad$
  2. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner son inverse.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. Ainsi $A\times A=I_2$. $A$ est donc inversible et $A^{-1}=A$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&1&1\\1&4&1\\1&1&4\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$ et montrer qu’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $A^2=\alpha A+\beta I_3$.
En déduire que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

$A^2=\begin{pmatrix}18&9&9\\9&18&9\\9&9&18\end{pmatrix}$
Ainsi $A^2=9A-18I_3$.
Donc $A^2-9A=-18I_3 \ssi A\left(A-9I_3\right)=-18I_3 \ssi A\left[-\dfrac{1}{18}\left(A-9I_3\right)\right]=I_3$.

Par conséquent $A$ est inversible et $A^{-1}=-\dfrac{1}{18}\left(A-9I_3\right)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&-1&1\\1&-2&0\end{pmatrix}$.
Calculer $A^3-A$. En déduire que $A$ est inversible et déterminer son inverse.

$\quad$

Correction Exercice 7

On a $A^2=\begin{pmatrix}3&-4&2\\1&-1&-1\\1&2&0\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}5&0&2\\0&3&1\\1&-2&4\end{pmatrix}$.
Ainsi $A^3-A=4I_3 \ssi A\left(A^2-I_3\right)=4I_3 \ssi A\left[\dfrac{1}{4}\left(A^2-I_3\right)\right]=I_3$.
Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\left(A^2-I_3\right)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Soient $(A,B)\in \left(\mathscr{M}_n(\R)\right)^2$ tels que $AB=A+I_n$.

  1. Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse.
    $\quad$
  2. En déduire que $AB=BA$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $AB=A+I_n \ssi AB-A=I_n \ssi A\left(B-I_n\right)=I_n$.
    Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=B-I_n$.
    $\quad$
  2. Méthode 1 : $AB-BA=A+I_n-BA=\left(I_n-B\right)A+I_n=-I_n+I_n=0_n$
    Ainsi $AB=BA$
    $\quad$
    Méthode 2
    On multiplie $A^{-1}=B-I_n$ à gauche par $A$.
    $\begin{align*}A^{-1}=B-I_n &\ssi AA^{-1}=AB-A \\&\ssi I_n=AB-A\\&\ssi AB=I_n+A\end{align*}$
    On multiplie $A^{-1}=B-I_n$ à droite par $A$.
    $\begin{align*}A^{-1}=B-I_n &\ssi A^{-1}A=BA-A\\ &\ssi I_n=BA-A\\&\ssi BA=I_n+A\end{align*}$
    Ainsi $AB=BA=I_n+A$.
    $\quad$

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$\quad$