Matrices

Produit de matrices

Exercice 1

$A=\begin{pmatrix}2&1\\3&-5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.

Déterminer la matrice $AB$.

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix}2\times 2 +1\times (-3)\\3\times 2-5\times (-3)\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}1\\21\end{pmatrix}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&-1\\0&-4&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$.

Déterminer la matrice $AB$.

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix}2\times 3+1\times 1+0\times (-2)\\1\times 3+3\times 1-1\times (-2) \\0\times 3-4\times 1+2\times (-2)\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}7\\8\\-8\end{pmatrix}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

$A=\begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.

Déterminer la matrice $AB$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix}1\times 2-2\times (-3)\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}8\end{pmatrix}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Effectuer les produits suivants :

$\begin{pmatrix}2&3\\-1&-10\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}4&-1\\2&-2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&-2\\-1&3\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{pmatrix}2&3\\-1&-10\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-6\\-3&20\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}4&-1\\2&-2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&-2\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&-11\\6&-10\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Effectuer les produits suivants :

$\begin{pmatrix}1&2&-2\\3&0&1\\-2&-1&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4&0&-1\\-1&2&3\\2&1&2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\1&2&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&-3&2\\-3&2&-1\\4&0&2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}2&-1&-2\\-1&-1&1\\4&3&4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&1&2\\1&-1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}-2&4&-2\\3&-2&1\\1&3&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\\2&-2&3\end{pmatrix}$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{pmatrix}1&2&-2\\3&0&1\\-2&-1&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4&0&-1\\-1&2&3\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2&1\\14&1&-1\\-1&1&5\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\1&2&3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1&-3&2\\-3&2&-1\\4&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-7&4\\-3&2&-1\\7&1&6\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}2&-1&-2\\-1&-1&1\\4&3&4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3&1&2\\1&-1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&1&4\\-6&1&-2\\-6&1&-2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\begin{pmatrix}-2&4&-2\\3&-2&1\\1&3&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2&0&0\\-1&1&0\\2&-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12&8&-6\\10&-4&3\\-3&5&-3\end{pmatrix}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Calculer les produits $AB$ et $BA$ avec les matrices suivantes :
$A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}$
$\quad$
Quelle propriété illustre-t-on avec ces calculs?

$\quad$

Correction Exercice 6

$AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix}4&8\\-2&-4\end{pmatrix}$
$\quad$
La multiplication de deux matrices n’est pas commutative.
$\quad$

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$\quad$