Terminale – Maths expertes – Matrices – Puissances

Matrices

Puissances de matrices

Exercice 1

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$.

$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient $A^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}37&54\\81&118\end{pmatrix}$ et $A^4=\begin{pmatrix}199&290\\435&634\end{pmatrix}$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} -1&0&1\\3&1&2\\0&-2&1\end{pmatrix}$.
Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$.

$\quad$

Correction Exercice 2

On obtient $A^2=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&-3&7\\-6&-4&-3\end{pmatrix}$, $A^3=\begin{pmatrix}-7&-2&-3\\-9&-17&1\\-6&-2&-17\end{pmatrix}$ et $A^4=\begin{pmatrix}1&4&-14\\-42&-19&-42\\12&36&-19\end{pmatrix}$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $A^2$ et $A^3$.
    $\quad$
  2. Que vaut $A^n$ pour tout entier $n\pg 3$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On a $A^2=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.
    $A^3=0_3$ (matrice nulle d’ordre $3$).
    $\quad$
  2. Ainsi, pour tout entier $n> 3$ on a
    $\begin{align*} A^n&=A^3\times A^{n-3} \\
    &=0_3\times A^{n-3} \\
    &=0_3\end{align*}$
    Ainsi, $A^3=0_3$ et, pour tout entier $n>3$, $A^n=0_3$.
    Donc, pour tout entier n$n\pg 3$, $A^n=0_3$.
    $\quad$
    Remarque : On dit que la matrice $A$ est nilpotente.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $A^2$ et $A^3$.
    $\quad$
  2. Que peut-on conjecturer pour $A^n$ où $n$ est un entier naturel non nul?
    $\quad$
  3. Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a $A^2=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=2A$ et $A^3=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}=4A$.
    $\quad$
  2. On peut donc conjecturer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=2^{n-1}A$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $P(n):~A^n=2^{n-1}A$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors :
    $\begin{align*} 2^{n-1}A&=2^0A \\
    &=1\times A\\
    &=A\end{align*}$
    Ainsi $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=2^{n-1}A\times A \\
    &=2^{n-1}\times A^2 \\
    &=2^{n-1}\times 2A \\
    &=2^nA\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, $A^n=2^{n-1}A$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $A^2$ et $A^3$.
    $\quad$
  2. Que peut-on conjecturer pour $A^n$ où $n$ est un entier naturel non nul?
    $\quad$
  3. Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $A^2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On peut donc conjecturer que, pour tout $n\in \N^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
    Initialisation : Si $n=1$ alors $\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=A$ et $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0&1\times 1+n\times 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0&n+1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    Remarque : La propriété est également vraie si $n=0$ car $A^0=I_3$ ce qui correspond à la matrice obtenue précédemment.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $A^2$ et $A^3$.
    $\quad$
  2. Que peut-on conjecturer pour $A^n$ où $n$ est un entier naturel non nul?
    $\quad$
  3. Démontrer la conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On obtient $A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&8&0\\0&0&-27\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On peut conjecturer que, pour tout $n\in \N^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}$.
    Initialisation : $A^1=A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$ et si $n=1$ alors $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
    &=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-3\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{n+1}&0\\0&0&(-3)^{n+1}\end{pmatrix}\end{align*}$
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$ on a $A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-3)^n\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    Remarque : Ici également, la propriété est vraie pour tout $n\in \N$.
    $\quad$

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$\quad$