Terminale – Spécialité mathématiques – Dénombrement

Dénombrement

Exercice 1

On dispose de $5$ jetons rouges et $10$ jetons verts. Combien peut-on faire de choix de $5$ jetons si on les tire en même temps?

$\quad$

Correction Exercice 1

On tire simultanément $5$ jetons parmi $15$.

Il y a $\dbinom{15}{5}=3~003$ choix possibles.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Émilie et Colin étant privés de dessert, Chloé et ses parents ont le choix entre cinq gâteaux.
Combien y a-t-il de choix possibles?

$\quad$

Correction Exercice 2

La première personne a $5$ choix de gâteaux, la deuxième $4$ et la troisième $3$.

Il y a donc, en tout, $5\times 4\times 3=60$ choix possibles.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On tire ensemble $5$ cartes d’un jeu de $32$ cartes.

  1. Combien de tirages peut-on obtenir ?
    $\quad$
  2. Combien de tirages comportant $5$ carreaux?
    $\quad$
  3. Combien de tirages comportant $2$ cœurs et $3$ piques?

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Il existe $\dbinom{32}{5}=201~376$ tirages possibles.
    $\quad$
  2. On a donc tirer que des carreaux. Il y en a $8$ dans le jeu.
    Il y a par conséquent $\dbinom{8}{5}=56$ tirages ne comportant que des carreaux.
    $\quad$
  3. On a $\dbinom{8}{2}=28$ choix possibles pour les cœurs et $\dbinom{8}{3}=56$ choix possibles pour les piques.
    il y a donc $28\times 56=1~568$ tirages possibles contenant $2$ cœurs et $3$ piques.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On extrait $2$ boules d’une urne contenant huit boules blanches et sept boules noires.

  1. Combien y a-t-il d’issues possibles?
    $\quad$
  2. Combien y a-t-il de façons d’extraire $2$ boules noires?
    $\quad$
  3. Combien y a-t-il de façons d’extraire $2$ boules blanches?

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. On choisit $2$ boules parmi $15$. Il y a donc $\dbinom{15}{2}=105$ issues possibles.
    $\quad$
  2. Il y a $\dbinom{7}{2}=21$ façons d’extraire $2$ boules noires.
    $\quad$
  3. Il y a $\dbinom{8}{2}=28$ façons d’extraire $2$ boules blanches.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On choisit un bureau de sept personnes dans une assemblée de $47$ femmes et $55$ hommes.
Combien de bureaux seront composés:

  1. Uniquement d’hommes.
    $\quad$
  2. Uniquement de femmes.
    $\quad$
  3. De personnes du même sexe.
    $\quad$
  4. De personnes représentant les deux sexes.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On choisit $7$ hommes parmi $55$.
    Il y a donc $\dbinom{55}{7}=202~927~725$ bureaux possibles ne contenant que des hommes.
    $\quad$
  2. On choisit $7$ femmes parmi $47$.
    Il y a donc $\dbinom{47}{7}=62~891~499$ bureaux possibles ne contenant que des femmes.
    $\quad$
  3. Le bureau n’est constitué que de femmes ou que d’hommes.
    Il y a donc $202~927~725+62~891~499=265~819~224$ bureaux possibles.
    $\quad$
  4. On choisit $7$ personnes parmi $102$.
    Il y a donc $\dbinom{102}{7}$ choix possibles.
    On retire les bureaux ne contenant que des personnes du même sexe.
    Il existe donc $\dbinom{102}{7}-265~819~224=18~201~133~896$ bureaux de personnes représentant les deux sexes.
    $\quad$

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$\quad$