Équations différentielles

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, résoudre l’équation différentielle.

$y’-2y=0$
$\quad$
$-y’+y=0$
$\quad$
$7y’+8y=0$
$\quad$

Correction Exercice 1

$y’-2y=0 \ssi y’=2y$
Les solutions sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda\e^{2x}$ où $\lambda\in \R$
$\quad$
$-y’+y=0\ssi y’=y$
Les solutions sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda\e^{x}$ où $\lambda\in \R$$\quad$
$7y’+8y=0=\ssi y’=-\dfrac{8}{7}y$
Les solutions sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda\e^{-8x/7}$ où $\lambda\in \R$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Mettre l’équation différentielle sous la forme $y’ = ay + b$ ($a$ et $b$ réels) et la résoudre.

$y´ + 2y = 3$
$\quad$
$y’-5 = y$
$\quad$
$3y’-2y + 1 = 0$
$\quad$
$\sqrt{2} y’ = 2y-4$
$\quad$

Correction Exercice 2

$y´ + 2y = 3\ssi y’=-2y+3$
Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{-2x}+\dfrac{3}{2}$ où $\lambda \in \R$.
$\quad$
$y’-5 = y\ssi y’=y+5$
Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{x}+-5$ où $\lambda \in \R$.
$\quad$
$3y’-2y + 1 = 0\ssi 3y’=2y-1\ssi y’=\dfrac{2}{3}y-\dfrac{1}{3}$
Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{2x/3}+\dfrac{1}{2}$ où $\lambda \in \R$.
$\quad$
$2 y’ = 2y-4\ssi y’=\sqrt{2}y-2\sqrt{2}$
Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{\sqrt{2}x}+2$ où $\lambda \in \R$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Déterminer la solution de l’équation différentielle satisfaisant la condition initiale proposée.

$y = 2y’$ ; $y(0) = 1$
$\quad$
$y’ = 4y-3$ ; $y(0) = -1$
$\quad$
$y’ =-y + 1$ ; $y(2) = 6$
$\quad$

Correction Exercice 3

$y = 2y’ \ssi y’=\dfrac{1}{2}y$
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{x/2}$ où $\lambda \in \R$.
$f(0)=1 \ssi \lambda =1$.
La solution cherchée est donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x/2}$
$\quad$
$y’ = 4y-3$
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{4x}+\dfrac{3}{4}$ où $\lambda \in \R$.
$f(0)=-1 \ssi \lambda+\dfrac{3}{4} =-1 \ssi \lambda=-\dfrac{7}{4}$.
La solution cherchée est donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{7}{4}\e^{4x}+\dfrac{3}{4}$.
$\quad$
$y’ =-y + 1$
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{-x}+1$ où $\lambda \in \R$.
$f(2)=6 \ssi \lambda\e^{-2}+1 =6 \ssi \lambda=5\e^2$.
La solution cherchée est donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5\e^{2-x}+1$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$f$ est une solution de l’équation différentielle $y’ + 3y = 0~~ (E)$.
Dans un repère orthonormal $\Oij$ et dans chacun des cas suivants, construire la courbe représentative $C$ de la fonction $f$.

Le point $(0 ; 1)$ est un point de $C$.
$\quad$
Au point d’abscisse $0$ de $C$, la tangente a pour coefficient directeur $3$.
$\quad$

Correction Exercice 4

$y’ + 3y = 0\ssi y’=-3y$
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{-3x}$ où $\lambda \in \R$.

On a $f(0)=1 \ssi \lambda =1$.
La solution est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{-3x}$.
$\quad$

$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-3\lambda \e^{-3x}$
$f'(0)=3 \ssi \lambda =-1$
La solution est donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\e^{-3x}$.
$\quad$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

$f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $C$ est sa courbe représentative.
Déterminer la fonction $f$ telle que :

pour tout $x$ réel, $f (x) + 2f'(x) = 0$ ;
$C$ admet au point d’abscisse $-2$ une tangente de coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Correction Exercice 5

On résout l’équation différentielle $2y’+y=0 \ssi y’=-\dfrac{1}{2}y$
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=\lambda \e^{-x/2}$ où $\lambda \in \R$.

Pour tout réel $x$ on alors $f'(x)=-\dfrac{\lambda}{2}\e^{-x/2}$
$f'(-2)=\dfrac{1}{2}\ssi -\dfrac{\lambda}{2} \e=\dfrac{1}{2} \ssi \lambda =-\e^{-1}$

La solution est donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\e^{-1-x/2}$.
$\quad$

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$\quad$