QCM

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$ :

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le nombre de solutions sur l’intervalle $]0;10]$ de l’équation $f'(x) = 0$ est égal à :
a. $1$
b. $2$
c. $3$
$\quad$

Correction question 1

La fonction $f$ change deux fois de sens de variation, pour $x\approx 0,5$ et $x\approx 5,5$.
L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le nombre réel $f'(7)$ est :
a. nul
b. strictement positif
c. strictement négatif
$\quad$

Correction question 2

La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[5,5;10]$.
Donc $f'(7)<0$.
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La fonction $f’$ est :
a. croissante sur $]0;10]$
b. croissante sur $[4;7]$
c. décroissante sur $[4;7]$
$\quad$

Correction question 3

La fonction $f$ croît de moins en moins rapidement sur l’intervalle $[4;5,5]$ et décroît de plus en plus rapidement sur l’intervalle $[5,5;7]$.
Donc $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[4;7]$.
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
a. $0,512$
b. $2,4$
c. $0,262~144$
d. $0,081~92$
$\quad$

Correction question 4

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
L’expérience est répétée $6$ fois. Les lances sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
Réponse d
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 2x\e^{x^2}$.
La valeur exacte de l’intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\dx$ est :
a. $4\e^{4}-4\e^{-4}$
b. $4\left(\e^{4}+\e^{-4}\right)$
c. $0$
d. $1$
$\quad$

Correction question 5

Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{x^2}$.
$\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)\dx \\
&=F(2)-F(-2) \\
&=\e^{4}-\e^{4}\\
&=0
\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

La courbe $\mathscr{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d’origine $O$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$.
On considère les points $P(1;3)$ et $R(4;6)$. Le point $Q$ a pour abscisse $\e$, avec $\e\approx 2,718$.
Les points $P$ et $Q$ appartiennent à la courbe $\mathscr{C}$. La droite $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point $Q$.
La droite $(PR)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $P$ et la droite $\mathscr{D}$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $Q$.
On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.$\quad$Parmi les trois proposition ci-dessous, quelle est celle qui désigne l’équation de la droite $(PR)$?
a. $y=2x+1$
b. $y=x+2$
c. $y=2x+2$
$\quad$

Correction question 6

$P$ et $R$ n’ont pas la même abscisse donc le coefficient directeur de la droite $(PR)$ est $a=\dfrac{6-3}{4-1}=1$
La seule équation qui vérifie cette information est $y=x+2$.
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}_f$ d’ une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle $[0;7]$. Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(2;5)$ et $B(4;6,8)$. La droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

a. La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ admet pour équation :
Affirmation 1 : $y=-0,9x+3,2$
Affirmation 2 : $y=0,9x+3,5$
Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$
Affirmation 4 : $y=1,8x+3,2$
$\quad$
b. Affirmation 1 : $\ds f(0) \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp f(5)$
Affirmation 2 : $\ds 2 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 7$
Affirmation 3 : $\ds 18 \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp 19$
Affirmation 4 : $\ds 25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
$\quad$

Correction question 7

a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
$a=\dfrac{6,8-5}{4-2}=0,9$ donc $y=0,9x+b$.
Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $5=0,9\times 2+b$ et $b=3,2$.
Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$.
$\quad$
b. Une unité d’aire correspond à l’aire d’un carreau.
En comptant le nombre de carreaux situés entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=7$ on obtient :
Affirmation 4 : $25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On écrit les deux algorithmes suivants :
$$\begin{array}{ll}
\begin{array}{|l|}
\hline
V \gets 10\\
S \gets 10\\
N \gets 0\\
\text{Tant que }S \leqslant 50\\
\quad V \gets 1,05 \times V\\
\quad S \gets S + V\\
\quad N \gets N + 1\\
\text{Fin Tant que}\\
\text{Afficher } N\\ \hline
\end{array}
&
\begin{array}{|l|}
\hline
V\gets 10\\
S \gets 10\\
\text{Pour $K$ allant de $1$ à $4$}\\
\quad V \gets 1,05 \times V\\
\quad S \gets S + V\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array} \\
\textbf{algorithme }1&\textbf{algorithme }2
\end{array}$$
$\quad$
a. Affirmation 1 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
Affirmation 2 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
Affirmation 3 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $3$
Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$
$\quad$
b. Affirmation 1 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
Affirmation 3 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $3$
Affirmation 4 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $4$
$\quad$

Correction question 8

a. L’algorithme 1 affiche le plus petit entier naturel $N$ tel que la somme des $N+1$ termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0=10$ et de raison $q=1,05$ soit inférieur à $50$.
Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$.
$\quad$
b. L’algorithme 2 affiche la somme des $5$ premiers termes de la suite géométrique définie dans la question précédente.
Donc $S=10\times \dfrac{1-1,05^5}{1,05}\approx 55,26$
Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $55$ et $56$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu’on obtient.
La probabilité $p(X = 1)$ d’obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est:
a. $0,08$
b. $0,17$
c. $0,40$
d. $0,80$
$\quad$

Correction question 9

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
Donc d’après la calculatrice $p(X=1)\approx 0,40$
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$.
La somme des $13$ premiers termes de cette suite vaut
a. $4~095$
b. $8~191$
c. $\dfrac{1 – 2^{14}}{1 – 2}$
$\quad$

Correction question 10

La somme des $13$ termes de cette suite vaut :
$S=1 \times \dfrac{1-2^{13}}{1-2} = 8~191$
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses $- 3$ et $0$.
a.

$f'(0) = – 1$
b. $f'(-1) = 0$
c. $f'(-3) = – 1$
d. $f'(-3) = 3$
$\quad$

Correction question 11

$f'(0)=0$ donc la réponse a est fausse.
Il n’y a pas de tangente horizontale en $-1$. La réponse b est fausse.
Le coefficient directeur de la tangente en $-3$ est négatif donc $f'(-3)<0$. La réponse d est fausse.
La bonne réponse est la c.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère la fonction $h$ définie sur $[0;7]$ et représentée par la courbe ci-dessous :

a. $\displaystyle\int_0^5 h(x)\dx = h(5) – h(0)$
b. $20 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\dx < 30$
c. $15 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\dx < 20$
d. $\displaystyle\int_0^5 h(x)\dx = 20$
$\quad$

Correction question 12

$\displaystyle \int_0^1 h(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_h$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
Au moins $21$ carré unité sont compris dans ce domaine.
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k\dsec$ d’une fonction $k$
définie sur $[0;+ \infty[$.

a. $k$ est concave sur l’intervalle $[1;2]$
b. $k$ est convexe sur l’intervalle $[0;2]$.
c. $k$ est convexe sur $[0;+ \infty[$
d. $k$ est concave sur $[0;+ \infty[$.
$\quad$

Correction question 13

$k\dsec(x) \leqslant 0$ sur $[0;2]$ et donc en particulier sur $[1;2]$.
$k$ est donc concave sur l’intervalle $[1;2]$.
Réponse a
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le prix d’un produit est passé de $200$ €} à $100$ €.
Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
a. $50\%$
b. $25\%$
c. $29\%$
d. $71\%$
$\quad$

Correction question 14

On cherche la valeur de $x$ telle que :
$200\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=100$
Soit $\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=0,5$
Donc $1-\dfrac{x}{100}=\sqrt{0,5}$
D’où $\dfrac{x}{100}=1-\sqrt{0,5}$
Et $x\approx 29$.
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle
$[0;18]$.

On peut affirmer que :
a. Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont négatives sur l’intervalle $[0 ; 2]$.
b. Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont négatives sur l’intervalle $[8;12]$.
c. Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[0;2]$.
d. Toutes les primitives de la fonction $f$sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[8;12]$
$\quad$

Correction question 15

La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[8;12]$.
Donc toutes les primitives de $f$ sur l’intervalle $[0;18]$ sont croissantes sur l’intervalle $[8;12]$.
Réponse d
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)\e^{-2x + 3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée $f’$ est donnée par:
a. $f'(x)=-2\e^{-2x+3}$
b. $f'(x) = \e^{-2x+3}$
c. $f'(x)=(-2x+3)\e^{-2x+3}$
d. $f'(x) = (-2x-1)\e^{-2x+3}$
$\quad$

Correction question 16

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-2x+3}-2(x+1)\e^{-2x+3} \\
&=(1-2x-2)\e^{-2x+3} \\
&=(-1-2x)\e^{-2x+3}
\end{align*}$
Réponse d
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que sa fonction dérivée $f’$ soit aussi dérivable sur $\R$. La courbe ci-dessous représente la fonction $f\dsec$.

On peut alors affirmer que :
a. $f$ est convexe sur $[-2;2]$.
b. $f$ est concave sur $[-2;2]$.
c. La courbe représentative de $f$ sur $[-2;2]$ admet un point d’inflexion.
d. $f’$ est croissante sur $[-2;2]$.
$\quad$

Correction question 17

$f\prime\prime$ s’annule en changeant de signe en $1$.
La courbe représentative de $f$ sur $[-2;2]$ possède donc un point d’inflexion.
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[- 1;5]$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ passe par le point $A(0;1)$ et par le point $B$ d’abscisse 1.
La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(2;3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l’axe des abscisses.

La valeur exacte de $f'(1)$ est:
a. $0$
b. $1$
c.$1,6$
d. autre réponse
$\quad$

Correction question 18

$f'(1)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $T_1$.
Cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Donc $f'(1)=0$
Réponse a
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La valeur exacte de $f'(0)$ est:
a. $0$
b. $1$
c. $1,6$
d. autre réponse
$\quad$

Correction question 19

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_0$, qui passe par les points $A$ et $C$.
Donc $f'(0)=\dfrac{3-1}{2-0}=1$
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La valeur exacte de $f(1)$ est :
a. $0$
b. $1$
c. $1,6$
d. autre réponse
$\quad$

Correction question 20

On ne connaît pas précisément l’ordonnée de $B$ (on peut seulement lire qu’elle vaut environ $1,5$).
Réponse d
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx$ par des entiers naturels successifs est :
a. $3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx \leqslant 4$
b. $2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx \leqslant 3$
c. $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dx \leqslant 2$
d. autre réponse
$\quad$

Correction question 21

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=2$.
Cette aire est comprise entre celle d’un rectangle de dimensions $2\times 1$ et celle d’un rectangle de dimensions $2\times 1,5$ ($1,5$ est une valeur approchée de l’ordonnée de $B$).
Par conséquent $\displaystyle 2 \leqslant \int_0^2 f(x)\mathrm{d}x \leqslant 3$.
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.
La somme $S = u_0 + u_1 + \ldots + u_{10}$ est égale à :
a. $2\times \left(1-0,5^{10}\right)$
b. $2\times \left(1-0,5^{11}\right)$
c. $800\times\left(1-0,5^{10}\right)$
d. $800 \times \left(1-0.5^{11}\right)$
$\quad$

Correction question 22

$\begin{align*} S_10&=u_0\times \dfrac{1-q^{11}}{1-q} \\
&=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5} \\
&=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{0,5} \\
&=800 \times \left(1-0,5^{11}\right)
\end{align*}$
Réponse d
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère l’algorithme ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}\hline
n \gets 0 \\
U \gets 50 \\
\text{Tant que } U < 120\\
\hspace{0.4cm} U \gets 1,2\times U\\
\hspace{0.4cm} n \gets n+1\\
\text{Fin Tant que} \\
\text{Afficher } $n$\\
\hline
\end{array}$$
En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :
a. $4$
b. $124,416$
c. $5$
d. 96
$\quad$

Correction question 23

Cet algorithme permet de déterminer le plus entier entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 120$ où $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=50$ et de raison $q=1,2$.
On a donc $u_n=50\times 1,2^n$ pour tout entier naturel $n$.
On peut, au choix :
– essayer toutes les valeurs entières proposées;
– faire calculer les $100$ premières valeurs de cette suite par la calculatrice;
– résoudre l’équation $u_n \pg 120$ (c’est ce choix qui va être fait ici).
$\begin{align*} u_n \pg 120 &\ssi 50 \times 1,2^n \pg 120 \\
&\ssi 1,2^n \pg 2,4 \\
&\ssi n\ln 1,2 \pg \ln 2,4 \\
&\ssi n \pg \dfrac{\ln 2,4}{\ln 1,2} \\
& \ssi n \pg 5
\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f (x) = x\e^x$ ; la fonction $f$ est :
a. concave sur $] -\infty; 0]$
b. convexe sur $]-\infty;0]$
c. concave sur $[0; +\infty]$
d. convexe sur $[0;+\infty[$
$\quad$

Correction question 24

La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
$f'(x)=\e^x+xe^x$
$f\prime\prime(x)=\e^x+\e^x+x\e^x = \e^x\left(2+x\right)$.
La fonction exponentielle est strictement positive.
Par conséquent $f\prime\prime(x)\pg 0 \ssi x\pg -2$.
La fonction $f$ est convexe sur $[0;+\infty[$.
Réponse d
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère l’équation d’inconnue $x$ : $$(3x + 1)\e^{5x} = 0$$
Cette équation admet sur $\R$ :
a. $0$ solution
b. $1$ solution
c. $2$ solutions
d. plus de $3$ solutions
$\quad$

Correction question 25

La fonction exponentielle ne s’annule jamais.
Par conséquent $(3x+1)\e^x=0 \ssi 3x+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$.
L’équation possède $1$ solution sur $\R$.
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On a constaté que, sur $10$ ans, le prix d’une certaine denrée a augmenté de $8\%$ par an.
On peut affirmer que, sur $10$ ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de :
a. $80\%$
b. $116\%$
c. $216\%$
d. $43\%$
$\quad$

Correction question 26

Chaque année le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{8}{100}=1,08$.
Sur $10$ ans, le coefficient multiplicateur est $1,08^{10}\approx 2,16$
Or $2,16=1+\dfrac{116}{100}$.
Le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de $116\%$. Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$