TES/TL – Exercices – AP – Dérivations

Exercices – Dérivation – AP

Exercice 1 : Dérivation de fonctions

Dans chacun des cas, déterminer l’expression des dérivées des fonctions $f$ dont une expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=3-x+2x^7$
    $\quad$
  2. $f(x)=5x^{10}+x-\sqrt{3}$
    $\quad$
  3. $f(x)=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{7x}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{5}{3x}-4$
    $\quad$
  5. $f(x)=0,3x^4-x^2+2x-7$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f(x)=3-x+2x^7$
    Donc $f'(x)=-1+2\times 7x^6=-1+14x^6$
    $\quad$
  2. $f(x)=5x^{10}+x-\sqrt{3}$
    Donc $f'(x)=5\times 10x^9+1=50x^9+1$
    $\quad$
  3. $f(x)=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{7x}=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{7}\times \dfrac{1}{x}$
    Donc $f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{7}\times \dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{7x^2}$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{5}{3x}-4=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{1}{x}-4$
    Donc $f'(x)=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-1}{x^2}=-\dfrac{5}{3x^2}$
    $\quad$
  5. $f(x)=0,3x^4-x^2+2x-7$
    Donc $f'(x)=0,3\times 4x^3-2x+2=1,2x^3-2x+2$
    $\quad$
  6. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$. La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$.
    Donc $f'(x)=-\dfrac{2x-3}{\left(x^2-3x+2\right)^2}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2 : Études des variations de fonctions

Dans chacun des cas, déterminer l’expression des dérivées des fonctions $f$ dont une expression algébrique est fournie puis étudier les variations des fonctions.

  1. $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2}{1-2x}$ sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\cup \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
    La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $I$ on a :
    $f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
    $\quad$
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0 \ssi x>-1$
    $x^2$ est toujours positif et ne s’annule qu’en $0$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;-1]$ et sur $[1;+\infty[$ et décroissante sur $[-1;0[$ et sur $]0;1]$.
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2}{1-2x}$
    La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $I$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(1-2x)-(-2)x^2}{(1-2x)^2}\\
    &=\dfrac{2x-4x^2+2x^2}{(1-2x)^2} \\
    &=\dfrac{2x-2x^2}{(1-2x)^2} \\
    &=\dfrac{2x(1-x)}{(1-2x)^2}
    \end{align*}$
    $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    $(1-2x)^2$ est toujours positif et ne s’annule qu’en $\dfrac{1}{2}$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty,0]$ et sur $[1;+\infty[$ et croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right[$ et sur $\left]\dfrac{1}{2};1\right]$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3 : Simplifier avant de dériver

  1. Simplifier les fonctions en somme de fractions puis dériver.
    $f(x)=\dfrac{4x^2-8x+6}{2x}$ pour $x\neq 0$
    $\quad$
    $g(x)=\dfrac{x^3-5x^2+2x}{3x^2}$ pour $x\neq 0$
    $\quad$
  2. Développer puis dériver.
    $f(x)=(2-5x)^2$
    $\quad$
    $g(x)=3x(x-6)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=\dfrac{4x^2-8x+6}{2x} = 2x-4+\dfrac{3}{x}$
    Donc $f'(x)=2-\dfrac{3}{x^2}$
    $\quad$
    $g(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{3}+\dfrac{2}{3x}$
    Donc $g'(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3x^2}$
    $\quad$
  2. $f(x)=(2-5x)^2=4-20x+25x^2$
    Donc $f'(x)=-20+2\times 25x=-20+50x$
    $\quad$
    $g(x)=3x(x-6)=3x^2-18x$
    Donc $g'(x)=6x-18$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4 : Tangentes et nombre dérivé

On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ d’une fonction $f$.

Déterminer graphiquement :

  1. L’image de $3$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. La valeur de la dérivée $f’$ en $x=-4$.
    $\quad$
  3. $f(-4)$ et $f(0)$
    $\quad$
  4. $f'(3)$ et $f'(0)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. L’image de $3$ par la fonction $f$ est $-2$.
    $\quad$
  2. $f'(-4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $x=-4$.
    Donc $f'(-4)=\dfrac{4-3}{-2-(-4)}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. $f(-4)=3$ et $f(0)=2$
    $\quad$
  4. $f'(3)=0$ (tangente horizontale)
    et $f'(0)=\dfrac{5-2}{-1-0}=-3$.
    $\quad$

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$\quad$