TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 2

Exercices – Fonction exponentielle – AP

Exercice 1

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions dont l’expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=\dfrac{4}{x}-\dfrac{\e^x}{3}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^6}{6}-\e^x$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f(x)=\dfrac{4}{x}-\dfrac{\e^x}{3}$
    On a donc $f(x)=4\times\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}\e^x$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} f'(x)&=4\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)-\dfrac{1}{3}\e^x \\
    &=-\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{\e^x}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{x^6}{6}-\e^x$
    On a donc $f(x)=\dfrac{1}{6}x^6-\e^x$
    Par conséquent
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{6}\times 6 x^5-\e^x \\
    &=x^5-\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$
    On note $u(x)=\e^x$ et $v(x)=x$
    Donc $u'(x)=\e^x$ et $v'(x)=1$
    Ainsi
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-1\times \e^x}{x^2} \\
    &=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions dont l’expression algébrique est fournie. Factoriser au maximum l’expression obtenue.

  1. $f(x)=(2x-5)\e^x$
    $\quad$
  2. $f(x)=\left(x^3-2x^2\right)\e^x$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=(2x-5)\e^x$
    On a donc $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$
    Ainsi $u'(x)=2$ et $'(x)=\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x \\
    &=(2+2x-5)\e^x \\
    &=(2x-3)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\left(x^3-2x^2\right)\e^x$
    On a donc $u(x)=\left(x^3-2x^2\right)$ et $v(x)=\e^x$
    Ainsi $u'(x)=3x^2-4x$ et $v'(x)=\e^x$
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(3x^2-4x\right)\e^x+\left(x^3-2x^2\right)\e^x \\
    &=\left(3x^2-4x+x^3-2x^2\right)\e^x \\
    &=\left(x^3+x^2-4x\right)\e^x \\
    &=x\left(x^2+x-4\right)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions dont l’expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)=\dfrac{1}{x+\e^x}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{4-\e^x}{1-x}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{x^2+\e^x}{4-3x}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=\dfrac{1}{x+\e^x}$
    On va utiliser la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}$ avec $u(x)=x+\e^x$ et donc $u'(x)=1+\e^x$
    Ainsi $f'(x)=-\dfrac{1+\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$
    $\quad$
  2. $f(x)=\dfrac{4-\e^x}{1-x}$
    On a $u(x)=4-\e^x$ et $v(x)=1-x$
    Donc $u'(x)=-\e^x$ et $v'(x)=-1$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^x\times (1-x)-(-1)\times \left(4-\e^x\right)}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{-\e^x+x\e^x+4-\e^x}{(1-x)^2} \\
    &=\dfrac{x\e^x-2\e^x+4}{(1-x)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $f(x)=\dfrac{x^2+\e^x}{4-3x}$
    On a $u(x)=x^2+\e^x$ et $v(x)=4-3x$
    Ainsi $u'(x)=2x+\e^x$ et $v'(x)=-3$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(2x+\e^x\right)(4-3x)-(-3)\left(x^2+\e^x\right)}{(4-3x)^2} \\
    &=\dfrac{8x-6x^2+4\e^x-3x\e^x+3x^2+3\e^x}{(4-3x)^2} \\
    &=\dfrac{-3x^2+8x+7\e^x-3x\e^x}{(4-3x)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-1\right)\e^x$.

$\quad$

Correction Exercice 4

Pour tout réel $x$ on note :
$u(x)=x^2-1$ et $v(x)=\e^x$
Donc $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^x$

Par conséquent :
$\begin{align*} f'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-1\right)\e^x \\
&=\left(x^2+2x-1\right)\e^x\end{align*}$

La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-1$.
Le discriminant est :
$\Delta = 2^2-4\times 1\times (-1)=8>0$.
Les racines du polynôme du second degré sont donc :
$x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$.

Le coefficient principal du polynôme de second degré est $a=1>0$.
Ainsi $f'(x)$ est positif sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$ et négatif sur l’intervalle $\left[-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right]$.

Par conséquent la fonction $f$ est :

  • croissante sur les intervalles $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right]$ et $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
  • décroissante sur l’intervalle $\left[-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right]$.

$\quad$

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