TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 3

Exercices – Fonction exponentielle – AP

autour de $\boldsymbol{\e^u}$

Exercice 1

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions définies sur $\R$ suivantes dont une expression algébriques a été fournie.

  1. $f(x)=2x-5\e^{2-x}$
    $\quad$
  2. $g(x)=\e^{x^2-1}$
    $\quad$
  3. $h(x)=3\e^{1-4x}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $f(x)=2x-5\e^{2-x}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2-x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-1$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonction dérivables sur $\R$.
    Par conséquent :
    $f'(x)=2-5\times (-1)\times \e^{2-x}=2+5\e^{2-x}$.
    $\quad$
  2. $g(x)=\e^{x^2-1}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2-1$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x$.
    La fonction $g$ est donc dérivable sur $\R$.
    Par conséquent $g'(x)=2x\e^{x^2-1}.
    $\quad$
  3. $h(x)=3\e^{1-4x}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=1-4x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-4$.
    La fonction $h$ est donc dérivable sur $\R$.
    Par conséquent :
    $h'(x)=3\times (-4)\times \e^{1-4x}=-12\e^{1-4x}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer l’expression des dérivées des fonctions définies sur $\R$ suivantes dont une expression algébriques a été fournie.

  1. $f(x)=(3x-2)\e^{-5x}$
    $\quad$
  2. $g(x)=6x\e^{2x}-3\e^{2x}+4=(6x-3)\e^{2x}+4$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $f(x)=(3x-2)\e^{-5x}$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=-5x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-5$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=3x-2$ et $b(x)=\e^{-5x}$.
    $a'(x)=3$ et $b'(x)=-5\times \e^{-5x}$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=3\e^{-5x}-(3x-2)\times 5\e^{-5x} \\
    &=\left(3-5(3x-2)\right)\e^{-5x} \\
    &=(3-15x+10)\e^{-5x}\\
    &=(13-15x)\e^{-5x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)=6x\e^{2x}-3\e^{2x}+4=(6x-3)\e^{2x}+4$
    On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2x$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=6x-3$ et $b(x)=\e^{2x}$.
    $a'(x)=6$ et $b'(x)=2\times \e^{-5x}$.
    La fonction $g$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} g'(x)&=6\times \e^{2x}+(6x-3)\times 2\e^{2x} \\
    &=\left[6+2(6x-3)\right]\e^{2x} \\
    &=(6+12x-6)\e^{2x} \\
    &=12x\e^{2x}
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer le tableau des variations des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué.

  1. La fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;2]$ par $f(x)=2x\e^{3-x^2}$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-4;1]$ par $g(x)=\left(x^2-1\right)\e^x$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur l’intervalle $[-1;2]$ par $f(x)=6(x-1)\e^{x-x^2}$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=3-x^2$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=-2x$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=2x$ et $b(x)=\e^{3-x^2}$.
    $a'(x)=2$ et $b'(x)=-2x\times \e^{3-x^2}$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{3-x^2}+2x\times (-2x)\times \e^{3-x^2} \\
    &=\left(2-4x^2\right)\e^{3-x^2} \\
    &=2\left(1-2x^2\right)\e^{3-x^2}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré.
    $\Delta=0^2-4\times (-2)\times 1=8>0$
    Les racines sont donc $x_1=\dfrac{-\sqrt{8}}{-4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $x_2=\dfrac{\sqrt{8}}{-4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0$.
    $a=-2<0$. On obtient ainsi le tableau des variations suivant :

    $\quad$
  2. On considère les fonctions $u$ et $v$ définies et dérivables sur $\R$ par $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=\e^{x}$.
    $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^{x}$.
    La fonction $g$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-1\right)\e^x \\
    &=\left(2x+x^2-1\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+2x-1\right)\e^x
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-1$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré.
    $\Delta=2^2-4\times 1\times (-1)=8>0$
    Les racines sont donc $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$
    $a=1>0$. On obtient ainsi le tableau des variations suivant :

    $g\left(-1-\sqrt{2}\right)=\left(2+2\sqrt{2}\right)\e^{-1-\sqrt{2}}$ et $g\left(-1+\sqrt{2}\right)=\left(2-2\sqrt{2}\right)\e^{-1+\sqrt{2}}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x-x^2$.
    Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=1-2x$.
    On considère ensuite les fonctions $a$ et $b$ définies et dérivables sur $\R$ par $a(x)=x-1$ et $b(x)=\e^{x-x^2}$.
    $a'(x)=1$ et $b'(x)=(1-2x)\times \e^{x-x^2}$.
    La fonction $h$ est donc dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} h'(x)&=6\left[1\times \e^{x-x^2}+(x-1)(1-2x)\e^{x-x^2}\right] \\
    &=6\left(1+x-2x^2-1+2x\right)\e^{x-x^2} \\
    &=6\left(-2x^2+3x\right)\e^{x-x^2} \\
    &=6x(3-2x)\e^{x-x^1}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $h'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x(3-2x)$.
    Or $3-2x=0 \ssi -2x=-3 \ssi x=\dfrac{3}{2}$
    Et $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$
    On obtient ainsi le tableau des variations suivant :

    $\quad$

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$\quad$