Exercices – Fonction exponentielle – AP

Problèmes de synthèse

 

Exercice 1 (d’après Nouvelle Calédonie – novembre 2015)

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Partie A

1. Montrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;10]$, $f'(x)=(-2x+7)\e^{-x+4}$.
   $\quad$
2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
   Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
   $\quad$
3. Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;10]$ et déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$.
   $\quad$

Partie B

Une entreprise fabrique entre $0$ et $1~000$ objets par semaine.
Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par : $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.

1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?
   Quel est ce bénéfice maximal en euros?
   $\quad$
2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?
   $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (Pondichéry avril 2016)

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L’entreprise produit entre $1$ et $15$ tonnes de granulés par jour.

• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$C(x) = 0,3x^2-x + \e^{-x + 5}$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.
• Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de $300$ euros.
  La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par: $$R(x) = 3x$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
• On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe, on donne $\mathscr{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d’origine $O$.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
   $\quad$
2. a. Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus.
   $\quad$
   b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
   $\quad$

Annexe 

$\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$g(x) =-0,6x + 4 + \e^{-x + 5}$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

1. a. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$.
   $\quad$
   b. En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
   $\quad$
2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;15]$, en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l’unité.
   $\quad$
   b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;15]$.
   Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près.
   $\quad$
   c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[1;15]$.
   $\quad$

Partie C : Application économique

1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a : $$D (x) = -0,3x^2 + 4x -\e^{-x + 5}$$
2. On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $D’$ sa fonction dérivée.
   Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
   $\quad$
3. En déduire les variations de la fonction $D$ sur l’intervalle $[1;15]$.
   $\quad$
4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
   On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
   $\quad$
   b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
   $\quad$