TES/TL – Exercices – AP – Fonction exponentielle 4

Exercices – Fonction exponentielle – AP

Problèmes de synthèse

 

Exercice 1 (d’après Nouvelle Calédonie – novembre 2015)

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Partie A

  1. Montrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;10]$, $f'(x)=(-2x+7)\e^{-x+4}$.
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
    $\quad$
  3. Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;10]$ et déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$.
    $\quad$

Partie B

Une entreprise fabrique entre $0$ et $1~000$ objets par semaine.
Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par : $$f(x)=(2x-5)\e^{-x+4}+20$$

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.

  1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?
    Quel est ce bénéfice maximal en euros?
    $\quad$
  2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A

  1. $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=2\e^{-x+4}-(2x-5)\e^{-x+4} = (2-2x+5)\e^{-x+4}=(-2x+7)\e^{-x+4}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que du signe de $-2x+7$.
    Or $-2x+7=0 \ssi x=\dfrac{7}{2}$ et $-2x+7 > 0 \ssi x \le \dfrac{7}{2}$
    Bac ESL-nouvelle calédonie-nov2015-ex4
    $f(0) = -5\e^4+20 \approx -252,991$
    $f\left(\dfrac{7}{2}\right)=2\e^{0,5}+20\approx 23,297$
    $f(10)=15\e^{-6}+20\approx 20,037$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    $f(0)<0$ et $f\left(\dfrac{7}{2}\right)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $\left[0;\dfrac{7}{2}\right]$.
    Sur $\left[\dfrac{7}{2};10\right]$, $f(x)\ge f(10) > 0$
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc bien une unique solution sur $[0;10]$.
    $1,59 < \alpha <1,6$
    $\quad$

 

Partie B

  1. D’après le tableau de variations la fonction atteint son maximum pour $x=3,5$.
    Pour réaliser un bénéfice maximum, l’entreprise doit donc fabriquer $350$ objets par semaine.
    $\quad$
    Le bénéfice maximal est d’environ $23~297$ euros.
    $\quad$
  2. Pour avoir un bénéfice positif, il faut donc que l’entreprise fabrique entre $160$ et $1~000$ objets.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (Pondichéry avril 2016)

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L’entreprise produit entre $1$ et $15$ tonnes de granulés par jour.

  • Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$C(x) = 0,3x^2-x + \e^{-x + 5}$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.
  • Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de $300$ euros.
    La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par: $$R(x) = 3x$$ où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
  • On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe, on donne $\mathscr{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d’origine $O$.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

  1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
    $\quad$
  2. a. Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus.
    $\quad$
    b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
    $\quad$

Annexe 

$\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1;15]$ par : $$g(x) =-0,6x + 4 + \e^{-x + 5}$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

  1. a. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
    b. En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  2. a. Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;15]$, en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l’unité.
    $\quad$
    b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$

Partie C : Application économique

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a : $$D (x) = -0,3x^2 + 4x -\e^{-x + 5}$$
  2. On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l’intervalle $[1;15]$ et on note $D’$ sa fonction dérivée.
    Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;15]$, on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction $D$ sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
    On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
    $\quad$
    b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A : Etude graphique

  1. Le coût quotidien de l’entreprise est minimal pour une production d’environ $4,5$ tonnes.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement $C(6) \approx 5,1$ et $R(6) \approx 18$.
    Le résultat net quotidien dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus vaut environ $(18-5,1)\times 100=1~290$ euros.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise un bénéfice quand la production est comprise entre $2,9$ et $13,2$ tonnes environ.
    $\quad$

Partie B : Etude d’une fonction

  1. a. $g'(x)=-0,6-\e^{-x+5}$.
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent $g'(x)<0$ sur $[1;15]$ et la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
    $\quad$
  2. a.
    bac ES-pondichery-avril2016-ex2
    b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 6,9$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est strictement décroissante et s’annule en $\alpha$.
    On a donc le tableau de signes suivant :
    bac ES-pondichery-avril2016-ex2.2$\quad$

Partie C : Application économique

  1. $D(x)=R(x)-C(x) = 3x-0,3x^2+x-\e^{-x+5}=4x-0,3x^2-\e^{-x+5}$.
    $\quad$
  2. $D'(x)=4-2\times 0,3x-(-1)\e^{-x+5}=4-0,6x+\e^{-x+5}=g(x)$.
    $\quad$
  3. D’après la question B.2.c :
    – $g$ est croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$
    – $g$ est décroissante sur l’intevalle $[\alpha;15]$
    $\quad$
  4. a. Le bénéfice est donc maximal quand $x=\alpha$ soit environ $6,9$ tonnes.
    $\quad$
    b. $D(6,9) \approx 13,17$.
    Le bénéfice maximal est donc d’environ $1~317$ euros.
    $\quad$

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