1. $\quad$
   $\begin{align*} A&=\dfrac{\e^{3x}\times \e^{-1}}{\e^{x-3}}\\
   &=\e^{3x-1-(x-3)} \\
   &=\e^{3x-1-x+3}\\
   &=\e^{2x+2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} B&=\left(2\e^x\right)^3\times \e^{-3x}\\
   &=8\e^{3x}\times \e^{-3x} \\
   &=8\end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*}C&=\dfrac{\e^{-4x}}{\e^{4-6x}}\\
   &=\e^{-4x-(4-6x)} \\
   &=\e^{-4x-4+6x} \\
   &=\e^{2x-4}\end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} D&=\dfrac{\e^3\times \e^x}{\e^{-5}\times \e^{-x}}\\
   &=\e^{3+x-\left((-5+(-x)\right)} \\
   &=\e^{3+x+5+x} \\
   &=\e^{2x+8}\end{align*}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} A&=\dfrac{1}{\e^x}+\dfrac{1}{\e^{x+1}} \\
   &=\dfrac{\e^{x+1}+\e^x}{\e^x\e^{x+1}} \qquad (*)\\
   &=\dfrac{\e^x\times \e^1+\e^x\times 1 }{\e^x\e^{x+1}} \\
   &=\dfrac{\e^x(\e+1)}{\e^x\e^{x+1}}\\
   &=\dfrac{\e+1}{\e^{x+1}}
   \end{align*}$
   Obtenir l’expression $(*)$ est une bonne chose. Obtenir la dernière est mieux.
   $\quad$
   $\begin{align*}B&=\dfrac{1+\e^{2x}}{\e^{-x}}-\dfrac{3}{\e^{2x}} \\
   &=\dfrac{\e^{2x}\left(1+\e^{2x}\right)-\e^{-x}}{\e^{-x}\e^{2x}} \\
   &=\dfrac{\e^{2x}+\e^{4x}-\e^{-x}}{\e^x}
   \end{align*}$
   On pourrait continuer le calcul pour faire en sorte qu’il n’y ait plus de $\e^{-x}$ au numérateur.
   $\quad$
   $\begin{align*}C&=\dfrac{\e^{2x}}{x}+\dfrac{\e^{-x}}{1+\e^x} \\
   &=\dfrac{\left(1+\e^x\right)\e^{2x}+x\e^{-x}}{x\left(1+\e^x\right)} \\
   &=\dfrac{\e^{2x}+\e^{3x}+x\e^{-x}}{x\left(1+\e^x\right)}
   \end{align*}$
   $\quad$

$f(x)=\e^x-3x\e^x = (1-3x)\e^x$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-3x$.
Or $1-3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$
et $1-3x>0 \ssi x<\dfrac{1}{3}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

$\begin{align*} g(x)&=\dfrac{\e^x}{x^2}-\e^x\\
&=\dfrac{\e^x-x^2\e^x}{x^2} \\
&=\dfrac{\e^x\left(1-x^2\right)}{x^2}\\
&=\dfrac{\e^x(1-x)(1+x)}{x^2}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $g(x)$ ne dépend donc que de celui de $\dfrac{(1-x)(1+x)}{x^2}$
Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
et $1+x=0 \ssi x=-1$ et $1+x>0 \ssi x>-1$
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

$\quad$

$h(x)=\e^x-\e^{x+3}=\e^x\left(1-\e^3\right)$
La fonction exponentielle est strictement positive. Donc pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $\e^3>\e^0$ soit $\e^3>1$.
Par conséquent $1-\e^3<0$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $h(x)<0$.

$\quad$

$\begin{align*} i(x)&=-2x\e^x+\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\e^x \\
&=\e^x\left(-2x+\dfrac{1}{x}+1\right) \\
&=\e^x\times \dfrac{-2x^2+x+1}{x}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $i(x)$ ne dépend donc que de celui de $\dfrac{-2x^2+x+1}{x}$.
On étudie le signe de $-2x^2+x+1$.
$\Delta=1^2-4\times (-2)\times 1=9>0$
Ainsi $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{-4}=1$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.
De plus $a=-2<0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

1. $\e^x=1 \ssi \e^x=\e^0\ssi x=0$
   La solution de l’équation est $0$.
   $\quad$
2. $\e^{2x-1}=\e^{3x-5} \ssi 2x-1=3x-5\ssi x=4 $
   La solution de l’équation est $4$.
   $\quad$
3. $\e^{x^2-3x-1}=\e^{-3} \ssi x^2-3x-1=-3 \ssi x^2-3x+2=0$
   $\Delta = (-3)^2-4\times 1\times 2=1>0$
   $x_1=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$
   Les solutions de l’équation sont donc $1$ et $2$.
   $\quad$