TES/TL – Exercices – AP – Fonction logarithme népérien

Fonctions logarithme népérien (AP)

Exercice 1

Résoudre les équations et inéquations avec exponentielle

  1. $\e^x=5$
    $\quad$
  2. $5\e^x=10$
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9$
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    $\quad$
  5. $\e^{2x+3}=1$
    $\quad$
  6. $\e^x<10$
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1$
    $\quad$
  8. $3\e^{2x}>12$
    $\quad$
  9. $2\e^{x-3}-5<1$
    $\quad$
  10. $-2\e^{-3x}\pg -8$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\e^x=5 \ssi \e^x=\e^{\ln 5} \ssi x=\ln 5$
    La solution de l’équation est $\ln 5$.
    $\quad$
  2. $5\e^x=10 \ssi \e^x=2 \ssi \e^x=\e^{\ln 2}\ssi x=\ln 2$
    La solution de l’équation est $\ln 2$.
    $\quad$
  3. $\e^x-5=9 \ssi \e^x=14 \ssi \e^x=\e^{\ln 14} \ssi x=\ln 14$
    La solution de l’équation est $\ln 14$.
    $\quad$
  4. $\e^x=-1$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Cette équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} \e^{2x+3}=1&\ssi \e^{2x+3}=\e^0 \\
    &\ssi 2x+3=0\\
    &\ssi 2x=-3\\
    &\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  6. $\e^x<10 \ssi \e^x < \e^{\ln 10} \ssi x<\ln 10$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;\ln 10[$.
    $\quad$
  7. $\e^{-x}\pp 1 \ssi \e^{-x}\pp e^0\ssi -x \pp 0 \ssi x\pg 0$
    La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} 3\e^{2x}>12 & \ssi \e^{2x}>4 \\
    &\ssi \e^{2x}> \e^{\ln 4} \\
    &\ssi 2x > \ln 4 \\
    &\ssi x > \dfrac{\ln 4}{2}\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]\dfrac{\ln 4}{2};+\infty\right[$.
    Remarque : On a $\dfrac{\ln 4}{2}=\ln \left(\sqrt{4}\right)=\ln 2$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*} 2\e^{x-3}-5<1&\ssi 2\e^{x-3}<6 \\
    &\ssi \e^{x-3}<3 \\
    &\ssi \e^{x-3}<\e^{\ln 3} \\
    &\ssi x-3<\ln 3\\
    &\ssi x<3+\ln 3 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $]-\infty;3+\ln 3]$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*}-2\e^{-3x}\pg -8 &\ssi \e^{-3x} \pp 4 \\
    &\ssi \e^{-3x} \pp \e^{\ln 4} \\
    &\ssi -3x \pp \ln 4 \\
    &\ssi x\pg-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left[-\dfrac{\ln 4}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations et inéquations avec logarithme

  1. $\ln x=3$
    $\quad$
  2. $5\ln x=35$
    $\quad$
  3. $\ln(2x-3)=1$
    $\quad$
  4. $\ln(3-2x)=-4$
    $\quad$
  5. $\ln(1-x)=\ln(x+3)$
    $\quad$
  6. $\ln x<5$
    $\quad$
  7. $\ln x\pg -3$
    $\quad$
  8. $\ln(x+2)<-2$
    $\quad$
  9. $14-2\ln x>0$
    $\quad$
  10. $-2-4\ln(x-5)>0$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x=3 \ssi \ln x=\ln \left(\e^3\right) \ssi x=\e^3$
    La solution de l’équation est $\e^3$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x=35 \ssi \ln x=7 \ssi \ln x=\ln \left(\e^7\right) \ssi x=\e^7$
    La solution de l’équation est $\e^7$.
    $\quad$
  3. Il faut que $2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
    Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
    $\begin{align*} \ln(2x-3)=1&\ssi \ln(2x-3)=\ln \e \\
    &\ssi 2x-3=\e \\
    &\ssi 2x=3+\e\\
    &\ssi x=\dfrac{3+\e}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3+\e}{2} \in \left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3+\e}{2}$.
    $\quad$
  4. Il faut que $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$.
    Sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$,
    $\begin{align*} \ln(3-2x)=-4 &\ssi \ln(3-2x)=\ln\left(\e^{-4}\right) \\
    &\ssi 3-2x=\e^{-4} \\
    &\ssi -2x=\e^{-4}-3\\
    & \ssi x=\dfrac{3-\e^{-4}}{2}
    \end{align*}$
    $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}\in \left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$
    La solution de l’équation est donc $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}$.
    $\quad$
  5. Il faut que $1-x>0$ et $x+3>0$
    C’est-à-dire $x<1$ et $x>-3$.
    Sur l’intervalle $]-3;1[$,
    $\begin{align*} \ln(1-x)=\ln(x+3) &\ssi 1-x=x+3 \\
    &\ssi -2=2x \\
    &\ssi x=-1 \end{align*}$
    $-1\in ]-3;1[$.
    La solution de l’équation est donc $-1$.
    $\quad$
  6. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x<5 \ssi \ln x< \ln \left(\e^5\right) \ssi x<\e^5$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]0;\e^5\right[$.
    $\quad$
  7. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\ln x\pg -3 \ssi \ln x \pg \ln\left(\e^{-3}\right) \ssi x \pg \e^{-3}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left[\e^{-3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  8. Il faut que $x+2>0 \ssi x>-2$.
    Sur l’intervalle $]-2;+\infty[$,
    $\begin{align*} \ln(x+2)<-2 &\ssi \ln(x+2)<\ln \left(\e^{-2}\right)  \\
    &\ssi x+2<\e^{-2} \\
    &\ssi x<\e^{-2}-2\end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]-2;\e^{-2}-2\right[$.
    $\quad$
  9. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} 14-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>-14 \\
    &\ssi \ln x<7 \\
    &\ssi \ln x<\ln\left(\e^7\right) \\
    &\ssi x<\e^7 \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est $\left]0;\e^7\right[$.
    $\quad$
  10. Il faut que $x-5>0 \ssi x>5$.
    Sur l’intervalle $]5;+\infty[$,
    $\begin{align*}-2-4\ln(x-5)>0 &\ssi -4\ln(x-5)>2 \\
    &\ssi \ln(x-5)<-\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \ln(x-5)<\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    &\ssi x-5<\e^{-\frac{1}{2}} \\
    &\ssi x<5+\e^{-\frac{1}{2}} \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc $\left]5;5+\e^{-\frac{1}{2}}\right[$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Dresser le tableau de signes des expressions suivantes :
    a. $f(x)=\e^x-1$
    $\quad$
    b. $g(x)=2\e^{-3x}-8$
    $\quad$
  2. Étudier le signe des expressions suivantes sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    a. $f(x)=2\ln x+4$
    $\quad$
    b. $g(x)=5\ln x-20$
    $\quad$
    c. $h(x)=-5-3\ln x$
    $\quad$
    d. $i(x)=(x-2)\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. a. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
    $\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8=0 &\ssi 2\e^{-3x}=8 \\
    &\ssi \e^{-3x}=4 \\
    &\ssi -3x=\ln 4 \\
    &\ssi x=-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} 2\e^{-3x}-8>0 &\ssi 2\e^{-3x}>8 \\
    &\ssi \e^{-3x}>4 \\
    &\ssi -3x>\ln 4 \\
    &\ssi x<-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
    On obtient le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. a. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $2\ln x+4=0\ssi 2\ln x=-4\ssi \ln x=-2\ssi x=\e^{-2}$
    $2\ln x+4>0\ssi 2\ln x>-4\ssi \ln x>-2\ssi x>\e^{-2}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $5\ln x-20=0 \ssi 5\ln x=20 \ssi \ln x =4 \ssi x=\e^4$
    $5\ln x-20>0 \ssi 5\ln x>20 \ssi \ln x >4 \ssi x>\e^4$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
    $-5-3\ln x=0\ssi-3\ln x=5\ssi \ln x=-\dfrac{5}{3}\ssi x=\e^{-5/3}$
    $-5-3\ln x>0\ssi-3\ln x>5\ssi \ln x<-\dfrac{5}{3}\ssi x<\e^{-5/3}$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Pour chaque fonction, donner son domaine de définition et dresser son tableau de variation.

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f(x)=x^2\ln x$
    La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2x\ln x+x \\
    &=x(2\ln x+1)
    \end{align*}$
    Nous allons étudier le signe de $f'(x)$.
    Sur l’intervalle $]0,+\infty[$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2\ln x+1$.
    $\quad$
    $\begin{align*} 2\ln x+1=0 &\ssi 2\ln x=-1\\
    &\ssi \ln x=-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x=\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x=\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} 2\ln x+1>0 &\ssi 2\ln x>-1\\&\ssi \ln x>-\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi \ln x>\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
    & \ssi x>\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  2. $g(x)=x\ln x-2x$
    La fonction $g$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}-2\\
    &=\ln x+1-2 \\
    &=\ln x-1
    \end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(x)=0 &\ssi \ln x-1=0 \\
    &\ln x=1 \\
    &x=\e\end{align*}$ $\quad$et$\quad$ $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi \ln x-1>0 \\
    &\ln x>1 \\
    &x>\e\end{align*}$
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. $h(x)=x^2-3x+\ln x$
    La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=2x-3+\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2x^2-3x+1}{x} \end{align*}$
    Sur l’intervalle $]0;+\infty[$, le signe de $h'(x)$ n dépend que de celui de $2x^2-3x+1$.
    On cherche les racines de $2x^2-3x+1$
    $\Delta = (-3)^2-4\times 2\times 1=1>0$
    Les deux racines réelles sont :
    $x_1=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+1}{4}=1$.
    Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}+\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

  1. Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$ et $\ln 10$.
    $A=\ln 100$
    $\quad$
    $B=\ln 30$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000$
    $\quad$
    $D=\ln 8+\ln 6$
    $\quad$
  2. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul logarithme.
    $A=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7$
    $\quad$
    $C=3\ln 2+\ln 3$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $A=\ln 100=\ln\left(10^2\right)=2\ln 10$
    $\quad$
    $B=\ln 30=\ln\left(3\times 10\right)=\ln 3+\ln 10$
    $\quad$
    $C=\ln 1~000=\ln\left(10^3\right)=3\ln 10$
    $\quad$
    $\begin{align*} D&=\ln 8+\ln 6\\
    &=\ln\left(2^3\right)+\ln(2\times 3)\\
    &=3\ln 2+\ln 2+\ln 3\\
    &=4\ln 2 +\ln 3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $A=\ln 3+\ln 10=\ln(3\times 10)=\ln 30$
    $\quad$
    $B=\ln 28-\ln 7=\ln \dfrac{28}{7}=\ln 4$
    $\quad$
    $\begin{align*}C&=3\ln 2+\ln 3\\
    &=\ln \left(2^3\right)+\ln 3\\
    &=\ln 8+\ln 3\\
    &=\ln(8\times 3)\\
    &=\ln 24\end{align*}$
    $\quad$
    $D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7=\ln \sqrt{3}-\ln 7=\ln\dfrac{\sqrt{3}}{7}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$