Fonctions logarithme népérien (AP)

Exercice 1

Résoudre les équations et inéquations avec exponentielle

$\e^x=5$
$\quad$
$5\e^x=10$
$\quad$
$\e^x-5=9$
$\quad$
$\e^x=-1$
$\quad$
$\e^{2x+3}=1$
$\quad$
$\e^x<10$
$\quad$
$\e^{-x}\pp 1$
$\quad$
$3\e^{2x}>12$
$\quad$
$2\e^{x-3}-5<1$
$\quad$
$-2\e^{-3x}\pg -8$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\e^x=5 \ssi \e^x=\e^{\ln 5} \ssi x=\ln 5$
La solution de l’équation est $\ln 5$.
$\quad$
$5\e^x=10 \ssi \e^x=2 \ssi \e^x=\e^{\ln 2}\ssi x=\ln 2$
La solution de l’équation est $\ln 2$.
$\quad$
$\e^x-5=9 \ssi \e^x=14 \ssi \e^x=\e^{\ln 14} \ssi x=\ln 14$
La solution de l’équation est $\ln 14$.
$\quad$
$\e^x=-1$
La fonction exponentielle est strictement positive.
Cette équation ne possède donc pas de solution.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \e^{2x+3}=1&\ssi \e^{2x+3}=\e^0 \\
&\ssi 2x+3=0\\
&\ssi 2x=-3\\
&\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
$\e^x<10 \ssi \e^x < \e^{\ln 10} \ssi x<\ln 10$
La solution de l’inéquation est $]-\infty;\ln 10[$.
$\quad$
$\e^{-x}\pp 1 \ssi \e^{-x}\pp e^0\ssi -x \pp 0 \ssi x\pg 0$
La solution de l’inéquation est $[0;+\infty[$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} 3\e^{2x}>12 & \ssi \e^{2x}>4 \\
&\ssi \e^{2x}> \e^{\ln 4} \\
&\ssi 2x > \ln 4 \\
&\ssi x > \dfrac{\ln 4}{2}\end{align*}$
La solution de l’inéquation est $\left]\dfrac{\ln 4}{2};+\infty\right[$.
Remarque : On a $\dfrac{\ln 4}{2}=\ln \left(\sqrt{4}\right)=\ln 2$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} 2\e^{x-3}-5<1&\ssi 2\e^{x-3}<6 \\
&\ssi \e^{x-3}<3 \\
&\ssi \e^{x-3}<\e^{\ln 3} \\
&\ssi x-3<\ln 3\\
&\ssi x<3+\ln 3 \end{align*}$
La solution de l’inéquation est $]-\infty;3+\ln 3]$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}-2\e^{-3x}\pg -8 &\ssi \e^{-3x} \pp 4 \\
&\ssi \e^{-3x} \pp \e^{\ln 4} \\
&\ssi -3x \pp \ln 4 \\
&\ssi x\pg-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
La solution de l’inéquation est $\left[-\dfrac{\ln 4}{3};+\infty\right[$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations et inéquations avec logarithme

$\ln x=3$
$\quad$
$5\ln x=35$
$\quad$
$\ln(2x-3)=1$
$\quad$
$\ln(3-2x)=-4$
$\quad$
$\ln(1-x)=\ln(x+3)$
$\quad$
$\ln x<5$
$\quad$
$\ln x\pg -3$
$\quad$
$\ln(x+2)<-2$
$\quad$
$14-2\ln x>0$
$\quad$
$-2-4\ln(x-5)>0$
$\quad$

Correction Exercice 2

Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$\ln x=3 \ssi \ln x=\ln \left(\e^3\right) \ssi x=\e^3$
La solution de l’équation est $\e^3$.
$\quad$
Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$5\ln x=35 \ssi \ln x=7 \ssi \ln x=\ln \left(\e^7\right) \ssi x=\e^7$
La solution de l’équation est $\e^7$.
$\quad$
Il faut que $2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
$\begin{align*} \ln(2x-3)=1&\ssi \ln(2x-3)=\ln \e \\
&\ssi 2x-3=\e \\
&\ssi 2x=3+\e\\
&\ssi x=\dfrac{3+\e}{2}
\end{align*}$
$\dfrac{3+\e}{2} \in \left]-\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
La solution de l’équation est donc $\dfrac{3+\e}{2}$.
$\quad$
Il faut que $3-2x>0 \ssi -2x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{2}$.
Sur l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$,
$\begin{align*} \ln(3-2x)=-4 &\ssi \ln(3-2x)=\ln\left(\e^{-4}\right) \\
&\ssi 3-2x=\e^{-4} \\
&\ssi -2x=\e^{-4}-3\\
& \ssi x=\dfrac{3-\e^{-4}}{2}
\end{align*}$
$\dfrac{3-\e^{-4}}{2}\in \left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right[$
La solution de l’équation est donc $\dfrac{3-\e^{-4}}{2}$.
$\quad$
Il faut que $1-x>0$ et $x+3>0$
C’est-à-dire $x<1$ et $x>-3$.
Sur l’intervalle $]-3;1[$,
$\begin{align*} \ln(1-x)=\ln(x+3) &\ssi 1-x=x+3 \\
&\ssi -2=2x \\
&\ssi x=-1 \end{align*}$
$-1\in ]-3;1[$.
La solution de l’équation est donc $-1$.
$\quad$
Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$\ln x<5 \ssi \ln x< \ln \left(\e^5\right) \ssi x<\e^5$
La solution de l’inéquation est donc $\left]0;\e^5\right[$.
$\quad$
Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$\ln x\pg -3 \ssi \ln x \pg \ln\left(\e^{-3}\right) \ssi x \pg \e^{-3}$
La solution de l’inéquation est donc $\left[\e^{-3};+\infty\right[$.
$\quad$
Il faut que $x+2>0 \ssi x>-2$.
Sur l’intervalle $]-2;+\infty[$,
$\begin{align*} \ln(x+2)<-2 &\ssi \ln(x+2)<\ln \left(\e^{-2}\right) \\
&\ssi x+2<\e^{-2} \\
&\ssi x<\e^{-2}-2\end{align*}$
La solution de l’inéquation est donc $\left]-2;\e^{-2}-2\right[$.
$\quad$
Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$\begin{align*} 14-2\ln x>0 &\ssi -2\ln x>-14 \\
&\ssi \ln x<7 \\
&\ssi \ln x<\ln\left(\e^7\right) \\
&\ssi x<\e^7 \end{align*}$
La solution de l’inéquation est $\left]0;\e^7\right[$.
$\quad$
Il faut que $x-5>0 \ssi x>5$.
Sur l’intervalle $]5;+\infty[$,
$\begin{align*}-2-4\ln(x-5)>0 &\ssi -4\ln(x-5)>2 \\
&\ssi \ln(x-5)<-\dfrac{1}{2} \\
&\ssi \ln(x-5)<\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
&\ssi x-5<\e^{-\frac{1}{2}} \\
&\ssi x<5+\e^{-\frac{1}{2}} \end{align*}$
La solution de l’inéquation est donc $\left]5;5+\e^{-\frac{1}{2}}\right[$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Dresser le tableau de signes des expressions suivantes :
a. $f(x)=\e^x-1$
$\quad$
b. $g(x)=2\e^{-3x}-8$
$\quad$
Étudier le signe des expressions suivantes sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
a. $f(x)=2\ln x+4$
$\quad$
b. $g(x)=5\ln x-20$
$\quad$
c. $h(x)=-5-3\ln x$
$\quad$
d. $i(x)=(x-2)\ln x$
$\quad$

Correction Exercice 3

a. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
$\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$
b.
$\begin{align*} 2\e^{-3x}-8=0 &\ssi 2\e^{-3x}=8 \\
&\ssi \e^{-3x}=4 \\
&\ssi -3x=\ln 4 \\
&\ssi x=-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
et
$\begin{align*} 2\e^{-3x}-8>0 &\ssi 2\e^{-3x}>8 \\
&\ssi \e^{-3x}>4 \\
&\ssi -3x>\ln 4 \\
&\ssi x<-\dfrac{\ln 4}{3} \end{align*}$
On obtient le tableau de signes suivant :

$\quad$
a. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$2\ln x+4=0\ssi 2\ln x=-4\ssi \ln x=-2\ssi x=\e^{-2}$
$2\ln x+4>0\ssi 2\ln x>-4\ssi \ln x>-2\ssi x>\e^{-2}$
On obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$
b. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$5\ln x-20=0 \ssi 5\ln x=20 \ssi \ln x =4 \ssi x=\e^4$
$5\ln x-20>0 \ssi 5\ln x>20 \ssi \ln x >4 \ssi x>\e^4$
On obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$
c. Sur l’intervalle $]0;+\infty[$,
$-5-3\ln x=0\ssi-3\ln x=5\ssi \ln x=-\dfrac{5}{3}\ssi x=\e^{-5/3}$
$-5-3\ln x>0\ssi-3\ln x>5\ssi \ln x<-\dfrac{5}{3}\ssi x<\e^{-5/3}$
On obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Pour chaque fonction, donner son domaine de définition et dresser son tableau de variation.

$f(x)=x^2\ln x$
$\quad$
$g(x)=x\ln x-2x$
$\quad$
$h(x)=x^2-3x+\ln x$
$\quad$

Correction Exercice 4

$f(x)=x^2\ln x$
La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x\ln x+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x\ln x+x \\
&=x(2\ln x+1)
\end{align*}$
Nous allons étudier le signe de $f'(x)$.
Sur l’intervalle $]0,+\infty[$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2\ln x+1$.
$\quad$
$\begin{align*} 2\ln x+1=0 &\ssi 2\ln x=-1\\
&\ssi \ln x=-\dfrac{1}{2}\\
&\ssi \ln x=\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
& \ssi x=\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} 2\ln x+1>0 &\ssi 2\ln x>-1\\&\ssi \ln x>-\dfrac{1}{2}\\
&\ssi \ln x>\ln\left(\e^{-\frac{1}{2}}\right) \\
& \ssi x>\e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
$g(x)=x\ln x-2x$
La fonction $g$ est définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}-2\\
&=\ln x+1-2 \\
&=\ln x-1
\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} g'(x)=0 &\ssi \ln x-1=0 \\
&\ssi \ln x=1 \\
&\ssi x=\e\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} g'(x)>0 &\ssi \ln x-1>0 \\
&\ssi \ln x>1 \\
&\ssi x>\e\end{align*}$

On a utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\R$.
On obtient le tableau de variations suivant :

$\quad$
$h(x)=x^2-3x+\ln x$
La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=2x-3+\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{2x^2-3x+1}{x} \end{align*}$
Sur l’intervalle $]0;+\infty[$, le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x+1$.
On cherche les racines de $2x^2-3x+1$
$\Delta = (-3)^2-4\times 2\times 1=1>0$
Les deux racines réelles sont :
$x_1=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+1}{4}=1$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=2>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{5}{4}+\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$ et $\ln 10$.
$A=\ln 100$
$\quad$
$B=\ln 30$
$\quad$
$C=\ln 1~000$
$\quad$
$D=\ln 8+\ln 6$
$\quad$
Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un seul logarithme.
$A=\ln 3+\ln 10$
$\quad$
$B=\ln 28-\ln 7$
$\quad$
$C=3\ln 2+\ln 3$
$\quad$
$D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7$
$\quad$

Correction Exercice 5

$A=\ln 100=\ln\left(10^2\right)=2\ln 10$
$\quad$
$B=\ln 30=\ln\left(3\times 10\right)=\ln 3+\ln 10$
$\quad$
$C=\ln 1~000=\ln\left(10^3\right)=3\ln 10$
$\quad$
$\begin{align*} D&=\ln 8+\ln 6\\
&=\ln\left(2^3\right)+\ln(2\times 3)\\
&=3\ln 2+\ln 2+\ln 3\\
&=4\ln 2 +\ln 3\end{align*}$
$\quad$
$A=\ln 3+\ln 10=\ln(3\times 10)=\ln 30$
$\quad$
$B=\ln 28-\ln 7=\ln \dfrac{28}{7}=\ln 4$
$\quad$
$\begin{align*}C&=3\ln 2+\ln 3\\
&=\ln \left(2^3\right)+\ln 3\\
&=\ln 8+\ln 3\\
&=\ln(8\times 3)\\
&=\ln 24\end{align*}$
$\quad$
$D=\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 7=\ln \sqrt{3}-\ln 7=\ln\dfrac{\sqrt{3}}{7}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$