Fonctions exponentielles et logarithmes (AP)

Exercice 1

Résoudre les inéquations suivantes, où $n$ est un entier naturel ;

$2^n>7~000$
$\quad$
$0,9^n<0,001$
$\quad$
$70\times 1,1^n>500$
$\quad$
$1~500\times 0,8^n<750$
$\quad$
$3^{n-1}>6~200$
$\quad$
$630\times 1,03^{n-1}>6~000$
$\quad$
$3~000\times 0,97^{n+1}<100$
$\quad$
$7\times 0,6^n>119$
$\quad$

Correction Exercice 1

On a
$\begin{align*} 2^n>7~000 &\ssi n\ln 2> \ln 7~000\\& \ssi n> \dfrac{\ln 7~000}{\ln 2}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln 7~000}{\ln 2} \approx 12,8$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $13$.
$\quad$
On a
$\begin{align*} 0,9^n<0,001 &\ssi n \ln 0,9<\ln 0,001\\ &\ssi n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9}\end{align*}$ car $\ln 0,9<0$.
Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,9} \approx 65,6$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $66$.
$\quad$
On a
$\begin{align*} 70\times 1,1^n>500 &\ssi 1,1^n > \dfrac{50}{7}\\ &\ssi n \ln 1,1>\ln \dfrac{50}{7} \\ &\ssi n>\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln\dfrac{50}{7}}{\ln 1,1} \approx 20,6$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $21$.
$\quad$
On a
$\begin{align*}1~500\times 0,8^n<750 &\ssi 0,8^n < 0,5\\ &\ssi n \ln 0,8 < \ln 0,5\\ &\ssi n>\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8}\end{align*}$ car $\ln 0,8<0$.
Or $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,8} \approx 3,1$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $4$.
$\quad$
On a
$\begin{align*}3^{n-1}>6~200 &\ssi (n-1) \ln 3 > \ln 6~200\\ &\ssi n-1>\dfrac{\ln 6~200}{\ln 3}\\ &\ssi n>1+\dfrac{6~200}{\ln 3}\end{align*}$
Or $1+\dfrac{6~200}{\ln 3} \approx 8,9$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $9$.
$\quad$
On a
$\begin{align*}630\times 1,03^{n-1}>6~000 &\ssi 1,03^{n-1}> \dfrac{200}{21}\\
&\ssi (n-1)\ln 1,3 > \ln \dfrac{200}{21}\\
&\ssi n-1>\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\\
&\ssi n >1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3}\end{align*}$
Or $1+\dfrac{\ln \dfrac{200}{21}}{\ln 1,3} \approx 9,6$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $10$.
$\quad$
On a
$\begin{align*}3~000\times 0,97^{n+1}<100 &\ssi 0,97^{n+1}<\dfrac{1}{30}\\
&\ssi (n+1)\ln 0,97 < \ln \dfrac{1}{30}\\
&\ssi n+1>\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}\\
&\ssi n >\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{30} }{\ln 0,97}-1\approx 110,7$
Ainsi, la solution est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $111$.
$\quad$
$7\times 0,6^n>119 \ssi 0,6^n>17 \ssi n \ln 0,6> \ln 17$
Pour tout entier naturel $n$ on a $n\ln 0,6<0$ et $\ln 17>0$.
Cette inéquation n’a donc pas de solution.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x\ln x$.

Quel est sont domaine de définition?
$\quad$
Déterminer son tableau de variation sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{10};1\right]$.
$\quad$

Correction Exercice 2

La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a :
$f'(x)=1\times\ln x + x\times \dfrac{1}{x} = \ln x +1$
$\begin{align*} f'(x)\pg 0 &\ssi \ln x+1\pg 0 \\
&\ssi\ln x \pg -1\\
&\ssi x \pg \e^{-1}
\end{align*}$
$\e^{-1} \approx 0,37 > \dfrac{1}{10}$. On obtient donc le tableau de signe suivant :

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0;10]$ par : $$B(x)=x+4\e^{-x}-5$$ où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d’euros.

a. Déterminer $B'(x)$, où $B’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.
$\quad$
b. Démontrer que $B'(x)$ s’annule uniquement pour $x=\ln(4)$.
$\quad$
c. Calculer les valeurs exactes de $B(0)$, $B(10)$ et $B\left(\ln(4)\right)$.
$\quad$
d. Dresser et compléter le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1;10]$.
$\quad$
a. Justifier que l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
$\quad$
b. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
$\quad$
À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire?
$\quad$

Correction Exercice 3

a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a :
$B'(x)=1+4\times (-1)\e^{-x}=1-4\e^{-x}$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} B'(x)=0 &\ssi 1-4\e^{-x}=0\\
&\ssi 4\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{4} \\
&\ssi -x=\ln\dfrac{1}{4}\\
&\ssi -x=-\ln 4\\
&\ssi x=\ln 4\end{align*}$
$\quad$c. $B(0)=0+4\times 1-5=-1$
$B(10)=10+4\e^{-10}-5=5+4\e^{-10}$
$\begin{align*} B\left(\ln 4\right)&=\ln 4+4\e{-\ln 4}-5\\
&=\ln 4+\dfrac{4}{\e^{\ln 4}}-5 \\
&=\ln 4+\dfrac{4}{4}-5 \\
&=\ln4+1-5\\
&=\ln4-4\end{align*}$
$\quad$
d. $\begin{align*} B'(x)>0 &\ssi 1-4\e^{-x}>0\\
&\ssi 4\e^{-x}<1 \\
&\ssi \e^{-x}<\dfrac{1}{4} \\
&\ssi -x<\ln\dfrac{1}{4}\\
&\ssi -x<-\ln 4\\
&\ssi x>\ln 4\end{align*}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
a. La fonction $B$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
$B\left(\ln 4\right)=\ln4-4<0$ et $B(10)=5+4\e^{-10}>0$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $B(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln(4);10\right]$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 4,97$.
$\quad$
D’après les questions précédentes $B(x)\pg 0 \ssi x\pg \alpha$.
L’entreprise doit produire et vendre au moins $497$ unités pour être bénéficiaire.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On définit la fonction $f$ par l’expression $$f(x)=3x\ln x-9x+10$$

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
$\quad$
Montrer que l’expression de sa fonction dérivée est : $f'(x)=3\ln x-6$.
$\quad$
Résoudre l’inéquation $f'(x)\pg 0$.
$\quad$
En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[1;20]$.
$\quad$
Combien l’équation $f(x)=0$ a-t-elle de solution sur l’intervalle $[1;20]$?
Donner leur valeur approchée au dixième près.
$\quad$

Correction Exercice 4

La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est également définie sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}f'(x)&=3\times \ln x+3x\times\dfrac{1}{x}-9\\
&=3\ln x+3-9\\
&=3\ln x-6\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} f'(x)\pg 0&\ssi 3\ln x-6\pg 0\\
&\ssi 3\ln x\pg 6\\
& \ssi \ln x\pg 2\\
&\ssi x\pg \e^2\end{align*}$
$\quad$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$f(1)=3\times 0-9+10=1$
$f\left(\e^2\right)=3\e^2\times 2-9\e^2+10=6\e^2-9\e^2+10=10-3\e^2$.
$f(20)=60\ln 20-180+10=60\ln 20-170$
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
$f(1)=1>0$ et $f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[1;\e^2\right]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
$f\left(\e^2\right)\approx -12,2<0$ et $f(20)\approx 9,7>0$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $\left[\e^2;20\right]$.
$\quad$
À l’aide de la calculatrice on obtient $\alpha \approx 1,2$ et $\beta \approx 16,4$.
$\quad$

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$\quad$