Exercices – Intégration – AP

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+5$

Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
$\quad$
Résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
$\quad$
Déterminer graphiquement l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=2,5$.
$\quad$
En déduire la valeur de $I=\ds =\int_0^{2,5}f(x)\dx$.
$\quad$
Calculer la valeur de $I$ à l’aide de la calculatrice.
$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient la courbe suivante :

$\quad$
$f(x)\pg 0 \ssi -2x+5\pg 0 \ssi -2x\pg -5 \ssi x \pp 2,5$
$\quad$
On calcule l’aire d’un triangle rectangle : $\mathscr{A}=\dfrac{2,5\times 5}{2}=6,25$
$\quad$
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2,5]$ donc
$I=\ds =\int_0^{2,5}f(x)\dx = 6,25$ u.a.
$\quad$
À l’aide de la calculatrice on retrouve $I=6,25$ u.a.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=-x^2+4x$.
On souhaite déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses.

Exprimer cette aire à l’aide d’une intégrale que l’on appellera $I$.
$\quad$
Encadrer cette aire par une somme d’aires de de carrés situés au-dessous de la courbe et au-dessus de la courbe. En déduire un encadrement grossier ce de cette aire.
$\quad$
Donner un encadrement de cette aire à une unité près.
$\quad$
Calculer $I$ à l’aide de la calculatrice.
$\quad$

Correction Exercice 2

La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;4]$. Par conséquent :
$I=\ds \int_0^{4}f(x)\dx$
$\quad$
On peut écrire l’encadrement : $ 6\pp I\pp 16$.
$\quad$
Pour obtenir un encadrement à une unité près on peut écrire $10 \pp I\pp 11$.
$\quad$
D’après la calculatrice on a $I\approx 10,67$ u.a.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Indiquer à quoi correspond chaque aire hachurée à l’aide d’une intégrale et déterminer graphiquement sa valeur en unité d’aire.

$\quad$

Correction Exercice 3

On veut calculer l’aire d’un trapèze :
$\mathscr{A}_1=\ds\int_{-1}^2 (x+3)\dx=\dfrac{(2+5)\times 3}{2}=10,5$ u.a.
$\quad$
On veut calculer également l’aire d’un trapèze :
$\begin{align*}\mathscr{A}_2 &=\ds \int_{-2}^2\left(-\dfrac{1}{3}x+3\right)\dx \\
&=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\times 2+3-\dfrac{1}{3}\times 2+3\right)\times 4}{2} \\
&=12 \text{u.a.}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes dont une expression algébrique est fournie:

$f(x)=5$ $\quad$ $g(x)=5x$ $\quad$ $h(x)=6-3x$ $\quad$ $i(x)=x^2-3$
$\quad$
$f(x)=\e^x$ $\quad$ $g(x)=\e^x-2x$ $\quad$ $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$ avec $x\neq 0$
$\quad$

Correction Exercice 4

Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=5x$.
Une primitive de la fonction $G$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{5}{2}x^2$.
Une primitive de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=6x-\dfrac{3}{2}x^2$.
Une primitive de la fonction $i$ est la fonction $I$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{x}{3}-3x$.
$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x$.
Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x-x^2$.
Une primitive de la fonction $h$ est la fonction $H$ définie sur $\R^*$ par $F(x)=-\dfrac{1}{x}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer une primitive des fonctions de la forme $u’\e^u$.

$f(x)=(x+1)\e^{x^2+2x}$
$\quad$
$f(x)=\e^{1-7x}$
$\quad$
$f(x)=3\e^{3x-5}$
$\quad$
$f(x)=5x+4+\e^{-2x}$
$\quad$
$f(x)=\e^x+\e^{-x}$
$\quad$

Correction Exercice 5

On a $u(x)=x^2+2x$ donc $u'(x)=2x+2$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2+2x}$.
$\quad$
On a $u(x)=1-7x$ donc $u'(x)=-7$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{7}\e^{1-7x}$.
$\quad$
On a $u(x)=3x-5$ donc $u'(x)=3$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{3x-5}$.
$\quad$
On a $u(x)=-2x$ donc $u'(x)=-2$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+4x-\dfrac{1}{2}\e^{-2x}$.
$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^x-\e^{-x}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer une primitive des fonctions de la forme $\dfrac{u’}{u^2}$ ou $u’\times u$.

$f(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)$
$\quad$
$f(x)=(3x+2)\left(3x^2+4x\right)$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{2x+3}{\left(x^2+3x\right)^2}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{\e^x+7}{\left(\e^x+7x+2\right)^2}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1-\e^x}{\left(\e^x-x\right)^2}$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

$f(x)=(2x+1)\left(x^2+x\right)$
On a $u(x)=x^2+x$ donc $u'(x)=2x+1$.
On utilise le fait qu’une primitive de $u’\times u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$.
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^2+x\right)^2$.
$\quad$
$f(x)=(3x+2)\left(3x^2+4x\right)$
$u(x)=3x^2+4x$ donc $u'(x)=6x+4$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{2}u'(x)\times u(x)$.
On utilise le fait qu’une primitive de $u’\times u$ est $\dfrac{1}{2}u^2$.
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{4}\left(x^2+x\right)^2$.
$\quad$
$f(x)=\dfrac{2x+3}{\left(x^2+3x\right)^2}$
On a $u(x)=x^2+3x$ donc $u'(x)=2x+3$.
On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{u’}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{x^2+3x}$.
$\quad$
$f(x)=\dfrac{\e^x+7}{\left(\e^x+7x+2\right)^2}$
On a $u(x)=\e^x+7x+2$ donc $u'(x)=\e^x+7$.
On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{u’}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{\e^x+7x+2}$.
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1-\e^x}{\left(\e^x-x\right)^2}$
On a $u(x)=\e^x-x$ donc $u'(x)=\e^x-1$.
On utilise le fait qu’une primitive de $\dfrac{-u’}{u^2}$ est $\dfrac{1}{u}$.
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{\e^x+7x+2}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ puis proposer une autre fonction $G$ telle que pour tout $x\in I$ on ait $G'(x)=f(x)$.

$f(x)=(x+2)\e^{-2x}$ $\quad$ $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ $\quad$ sur $I=\R$
$\quad$
$f(x)=(1+x)\e^x-8x$ $\quad$ $F(x)=x\e^x-4x^2$ $\quad$ sur $I=\R$
$\quad$
$f(x)=x^2-7x+5$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x+1$ $\quad$ sur $I=\R$
$\quad$
$f(x)=16x+10$ $\quad$ $F(x)=(2x-1)(4x+7)$ $\quad$ sur $I=\R$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{-6}{(x-1)^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ $\quad$ sur $I=]1;+\infty[$
$\quad$
$f(x)=2\left(\e^x(x+1)-1\right)$ $\quad$ $F(x)=2x\left(\e^x-1\right)$ $\quad$ sur $I=\R$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{5}{x}-4x$ $\quad$ sur $I=\R^*$
$\quad$

Correction Exercice 7

$f(x)=(x+2)\e^{-2x}$ $\quad$ $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ $\quad$ sur $I=\R$
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=-1\times\e^{-x}-(-x-3)\e^{-x} \\
&=(-1+x+3)\e^{-x} \\
&=(x+2)\e^{-x}\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=(-x-3)\e^{-x}+1$
$\quad$
$f(x)=(1+x)\e^x-8x$ $\quad$ $F(x)=x\e^x-4x^2$ $\quad$ sur $I=\R$
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+x\e^x-4\times 2x \\
&=(1+x)\e^x-8x\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=x\e^x-4x^2+1$
$\quad$
$f(x)=x^2-7x+5$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x+1$ $\quad$ sur $I=\R$
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2-\dfrac{7}{2}\times 2x+5 \\
&=x^2-7x+5\\
&=f(x)
\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{7x^2}{2}+5x$
$\quad$
$f(x)=16x+10$ $\quad$ $F(x)=(2x-1)(4x+7)$ $\quad$ sur $I=\R$
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=2(4x+7)+(2x-1)\times 4 \\
&=8x+14+8x-4\\
&=16x+10\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=8x^2+10x$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{-6}{(x-1)^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ $\quad$ sur $I=]1;+\infty[$
La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1\times (x-1)-(x+5)\times 1}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{-6}{(x-1)^2} \\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{x+5}{x-1}+1$
$\quad$
$f(x)=2\left(\e^x(x+1)-1\right)$ $\quad$ $F(x)=2x\left(\e^x-1\right)$ $\quad$ sur $I=\R$
La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=2\left(\e^x-1\right)+2x\times \e^x \\
&=2\e^x-2+2x\e^x \\
&=2(1+x)\e^x-2\\
&=2\left((x+1)\e^x-1\right)\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=2x\left(\e^x-1\right)+1$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}$ $\quad$ $F(x)=\dfrac{5}{x}-4x$ $\quad$ sur $I=\R^*$
La fonction $F$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{5}{x^2}-4 \\
&=\dfrac{-5-4x^2}{x^2}\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.
Une autre primitive de la fonction $f$ est la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{5}{x}-4x+1$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Soit $f$ une fonction définie sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ par $f(x)=-2x+5$.

On définit la fonction $F$ sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ par $F(x)=-x^2+5x$.
Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
$\quad$
Calculer $F(2,5)-F(0)$.
$\quad$
En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $2,5$ et comparer à la valeur de $I$ calculée à l’exercice 1.
$\quad$

Correction Exercice 8

La fonction $F$ est dérivable sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$ en tant que fonction polynôme.
$F'(x)=-2x+5=f(x)$.
La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
$\quad$
$F(2,5)-F(0)=6,25-0=6,25$.
$\quad$
La fonction $f$ est positive et continue sur $\left[0;\dfrac{5}{2}\right]$.
L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $2,5$ est donc :
$\ds \int_0^{2,5} f(x)\dx=F(2,5)-F(0)=6,25$ u.a.
$\quad$
On retrouve la valeur de $I$ de l’exercice 1.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

On se propose de déterminer la valeur exacte de l’aire de l’exercice 2.

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+4x$ qui s’annule en $x=0$.
$\quad$
Calculer $F(4)$ et comparer cette valeur à celle de l’intégrale calculée à la question 4 de l’exercice 2.
$\quad$

Correction Exercice 9

Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2$.
De plus $F(0)=0$.
$\quad$
$F(4)=-\dfrac{4^3}{3}+2\times 16=\dfrac{32}{3}$
$\quad$
L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$ et l’axe des abscisses entre $0$ et $4$ est donc :
$\ds\int_0^4 f(x)\dx=F(4)-F(0)=\dfrac{32}{3}$ u.a.
C’est cohérent avec la valeur approchée trouvée à la question 4 de l’exercice 2.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 10

Déterminer un encadrement à une unité d’aire près de l’aire délimitée par la surface grisée.
$\quad$
La représentation graphique donnée ci-dessus est celle de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=1+0,3(x-4)^2$.
Déterminer une valeur approchée au dixième de l’aire délimitée par la surface grisée.
$\quad$

Correction Exercice 10

L’aire de la surface grisée est comprise entre $6$ et $7$ u.a.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} \ds \int_1^5 f(x)\dx &=\left[x+\dfrac{0,3}{3}(x-4)^3\right]_1^5 \\
&=5+0,1(5-4)^3-1-0,1(1-4)^3 \\
&=6,8 \text{u.a.}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$